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精品解析：2024届河南省名校学术联盟高考模拟信息卷&押题卷数学（三）
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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合或，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数的实部与虚部之和为（ ）
A. 0B. 2C. 4D. 8
3. 现有若干大小、质地完全相同的黑球和白球，已知某袋子中装有3个白球、2个黑球，现从袋中随机依次摸出2个球，若第一次摸出的是白球，则放回袋中；若第一次摸出的是黑球，则把黑球换作白球，放回袋中.记事件“第一次摸球摸出黑球”，事件“第二次摸球摸出白球”，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数，则“，”是“为偶函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知函数，，则的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7. 设等比数列的前项和为，若成等差数列，且，则（ ）
A 6B. 7C. 8D. 9
8. 已知O为坐标原点，椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点作圆O：的切线，与C交于M，N两点.设圆O的面积和的内切圆面积分别为，，且，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数的最小正周期为，则（ ）
A.
B. 将的图象向左平移个单位长度可得到的图象
C. 图象在区间上存在对称轴
D. 区间上单调递增
10. 某地教师招聘考试，有3200人参加笔试，满分为100分，笔试成绩前20%（含20%）的考生有资格参加面试，所有考生的笔试成绩和年龄分别如频率分布直方图和扇形统计图所示，则（ ）
A. 90后考生比00后考生多150人B. 笔试成绩的60%分位数为80
C. 参加面试考生的成绩最低为86分D. 笔试成绩的平均分为76分
11. 已知双曲线C：的上、下焦点分别为，，过点作斜率为的直线l与C的上支交于M，N两点（点M在第一象限），A为线段的中点，O为坐标原点.若C的离心率为2，则（ ）
A. B.
C. 可以是直角D. 直线OA的斜率为
12. 如图，底面半径为1，体积为的圆柱的一个轴截面为，点M为下底面圆周上一动点，则（ ）
A. 四面体体积的最大值为1
B. 直线与可能平行
C.
D. 当时，平面截圆柱的外接球的截面面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在正四面体中，分别为棱，的中点，过和侧面内的一点的平面分别与，交于点，则直线与所成角的大小为_________.
14. 出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若，，，图中两个阴影三角形的周长分别为，，则的最小值为________.
15. 已知函数的定义域为R，若为奇函数，且直线与的图象恰有5个公共点，，，，，则________.
16. 如图，已知半圆的直径是半圆上异于点的四点，且，则当六边形面积最大时，的大小为_______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
（1）求C；
（2）若D是边的中点，且，求的面积.
18. 已知数列的通项公式为，数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）设，记数列．的前项和为，从下面两个条件中选一个，判断是否存在符合条件的正整数，，，若存在，求出，，的一组值；若不存在，请说明理由．
①，，成等比数列且，，成等比数列；
②，成等差数列且，，成等差数列．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，侧面底面，，O为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若M为棱上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
20. 矮化密植是指应用生物或栽培措施使果树生长树冠紧凑的方法，它与常规的矮小栽培相比有许多优势，如采用这种矮化果树可以建立比常规果园定植密度更高的果园，不仅能提高土壤及光能利用率，还能够获得更多的早期经济效益.某乡镇计划引进A，B两种矮化果树，已知A种矮化果树种植成功率为，成功后每公顷收益7.5万元；B种矮化果树种植成功率为，成功后每公顷收益9万元.假设种植不成功时，种植A，B两种矮化果树每公顷均损失1.5万元，每公顷是否种植成功相互独立.
（1）甲种植户试种两种矮化果树各1公顷，总收益为X万元，求X的分布列及数学期望；
（2）乙种植户有良田6公顷，本计划全部种植A，但是甲劝说乙应该种植两种矮化果树各3公顷，请按照总收益的角度分析一下，乙应选择哪一种方案?
21. 已知F是抛物线C：（）的焦点，过点F作斜率为k的直线交C于M，N两点，且.
（1）求C的标准方程；
（2）若P为C上一点（与点M位于y轴的同侧），直线与直线的斜率之和为0，的面积为4，求直线的方程.
22. 已知函数.
（1）当曲线在点处的切线与直线垂直时，求a的值；
（2）讨论极值点的个数.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合或，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数的实部与虚部之和为（ ）
A. 0B. 2C. 4D. 8
3. 现有若干大小、质地完全相同的黑球和白球，已知某袋子中装有3个白球、2个黑球，现从袋中随机依次摸出2个球，若第一次摸出的是白球，则放回袋中；若第一次摸出的是黑球，则把黑球换作白球，放回袋中.记事件“第一次摸球摸出黑球”，事件“第二次摸球摸出白球”，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数，则“，”是“为偶函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知函数，，则的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7. 设等比数列的前项和为，若成等差数列，且，则（ ）
A 6B. 7C. 8D. 9
8. 已知O为坐标原点，椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点作圆O：的切线，与C交于M，N两点.设圆O的面积和的内切圆面积分别为，，且，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数的最小正周期为，则（ ）
A.
B. 将的图象向左平移个单位长度可得到的图象
C. 图象在区间上存在对称轴
D. 区间上单调递增
10. 某地教师招聘考试，有3200人参加笔试，满分为100分，笔试成绩前20%（含20%）的考生有资格参加面试，所有考生的笔试成绩和年龄分别如频率分布直方图和扇形统计图所示，则（ ）
A. 90后考生比00后考生多150人B. 笔试成绩的60%分位数为80
C. 参加面试考生的成绩最低为86分D. 笔试成绩的平均分为76分
11. 已知双曲线C：的上、下焦点分别为，，过点作斜率为的直线l与C的上支交于M，N两点（点M在第一象限），A为线段的中点，O为坐标原点.若C的离心率为2，则（ ）
A. B.
C. 可以是直角D. 直线OA的斜率为
12. 如图，底面半径为1，体积为的圆柱的一个轴截面为，点M为下底面圆周上一动点，则（ ）
A. 四面体体积的最大值为1
B. 直线与可能平行
C.
D. 当时，平面截圆柱的外接球的截面面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在正四面体中，分别为棱，的中点，过和侧面内的一点的平面分别与，交于点，则直线与所成角的大小为_________.
14. 出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若，，，图中两个阴影三角形的周长分别为，，则的最小值为________.
15. 已知函数的定义域为R，若为奇函数，且直线与的图象恰有5个公共点，，，，，则________.
16. 如图，已知半圆的直径是半圆上异于点的四点，且，则当六边形面积最大时，的大小为_______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
（1）求C；
（2）若D是边的中点，且，求的面积.
18. 已知数列的通项公式为，数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）设，记数列．的前项和为，从下面两个条件中选一个，判断是否存在符合条件的正整数，，，若存在，求出，，的一组值；若不存在，请说明理由．
①，，成等比数列且，，成等比数列；
②，成等差数列且，，成等差数列．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，侧面底面，，O为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若M为棱上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
20. 矮化密植是指应用生物或栽培措施使果树生长树冠紧凑的方法，它与常规的矮小栽培相比有许多优势，如采用这种矮化果树可以建立比常规果园定植密度更高的果园，不仅能提高土壤及光能利用率，还能够获得更多的早期经济效益.某乡镇计划引进A，B两种矮化果树，已知A种矮化果树种植成功率为，成功后每公顷收益7.5万元；B种矮化果树种植成功率为，成功后每公顷收益9万元.假设种植不成功时，种植A，B两种矮化果树每公顷均损失1.5万元，每公顷是否种植成功相互独立.
（1）甲种植户试种两种矮化果树各1公顷，总收益为X万元，求X的分布列及数学期望；
（2）乙种植户有良田6公顷，本计划全部种植A，但是甲劝说乙应该种植两种矮化果树各3公顷，请按照总收益的角度分析一下，乙应选择哪一种方案?
21. 已知F是抛物线C：（）的焦点，过点F作斜率为k的直线交C于M，N两点，且.
（1）求C的标准方程；
（2）若P为C上一点（与点M位于y轴的同侧），直线与直线的斜率之和为0，的面积为4，求直线的方程.
22. 已知函数.
（1）当曲线在点处的切线与直线垂直时，求a的值；
（2）讨论极值点的个数.
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