精品解析：福建省泉州市实验中学2024届高三上学期1月考试数学试题

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一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40 分.在每小题四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的）
1. 函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
2. 在平面直角坐标系中，设都是锐角，若的始边都与轴的非负半轴重合，终边分别与圆交于点，且满足，则当最大时，的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知平行四边形中，，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 在平面直角坐标系中，P为双曲线右支上的一个动点，若点P到直线的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为（ ）
A. B. C. D. 2
5. 已知正项等差数列满足，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 若，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则的最小值为（ ）
附：，附表：
A. 7B. 8C. 9D. 10
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中 ，有多项是符合题目要求的.正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分）
9. 大数据时代为媒体带来了前所未有的丰富数据资源和先进的数据科学技术，在AI算法的驱动下，无论是图文编辑、视频编辑，还是素材制作，所有的优质内容创作都变得更加容易.已知某数据库有视频a个，图片b张（且）.从中随机选出一个视频和一张图片，记“视频甲和图片乙入选”为事件A，“视频甲入选”为事件B，“图片乙入选”为事件C，则下列判断中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，在三棱锥中，两两垂直，且.给出下列四个命题，其中正确命题是（ ）
A. B.
C. 与的夹角为D. 三棱锥的体积为
11. 设等比数列的公比为，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. 是数列中的最大项D.
12. 18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视X服从正态分布，其密度函数，.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）.当时，对任意实数x，记，则（ ）
A.
B. 当时，
C 随机变量，当减小，增大时，概率保持不变
D. 随机变量，当，都增大时，概率单调增大
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，为的中点，与相交于点，则__________.
14. 为丰富老年人的精神文化生活，提高老年人的生活幸福指数，某街道举办以社区为代表队的老年门球比赛，比赛分老年男组和老年女组，男女组分别进行淘汰赛．经过多轮淘汰后，西苑社区的老年男子“龙马”队和老年女子“风采”队都进入了决赛．按照以往的比赛经验，在决赛中“龙马”队获胜的概率为，“风采”队获胜的概率为，“龙马”队和“风采”队两队中只有一支队伍获胜的概率为（“龙马”队和“风采”队的比赛互不影响），则西苑社区的“龙马”队和“风采”队同时获得冠军的概率为______．
15. 已知过原点的直线与双曲线交于M，N两点，点M在第一象限且与点Q关于x轴对称，，直线NE与双曲线的右支交于点P，若，则双曲线的离心率为______．
16. 函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数______．
四、解答题：本大题共6小题，共70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知点，是函数图象上的任意两点，，且当时，的最小值为.
（1）求的解析式；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
18. 在中，，．

（1）若的面积为，求AB的长；
（2）如图，点P为外一点，满足，，求的大小．
19 已知复数和，对任意非零复数有．
（1）求用表示的关系式．
（2）将作为点的坐标，作为点的坐标，当点在圆（是常数，）上移动时，试求点的轨迹方程，并指出轨迹是怎样的曲线．
（3）判断能否找到实数，使点的轨迹恰为圆？
20. 在平面直角坐标系中，点A是圆上一动点，点B是圆上一动点，当三点共线时，过点B作x轴的垂线，垂足为H，过点A作的垂线，垂足为P.
（1）请判断动点的轨迹，并求出其轨迹方程；
（2）记（1）中轨迹为曲线C，在曲线C的上半部分取两点M，N，若，且.
①当时，求四边形的面积；
②求四边形的面积最大时点M的坐标.
21. 已知数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
22. 某公司为激励员工，在年会活动中，该公司的位员工通过摸球游戏抽奖，其游戏规则为：每位员工前面都有1个暗盒，第1个暗盒里有3个红球与1个白球.其余暗盒里都恰有2个红球与1个白球，这些球的形状大小都完全相同.第1位员工从第1个暗盒里取出1个球，并将这个球放入第2个暗盒里，第2位员工再从第2个暗盒里面取出1个球并放入第3个暗盒里，依次类推，第位员工再从第个暗盒里面取出1个球并放入第个暗盒里.第位员工从第个暗盒中取出1个球，游戏结束.若某员工取出的球为红球，则该员工获得奖金1000元，否则该员工获得奖金500元.设第位员工获得奖金为元.
（1）求的概率；
（2）求的数学期望，并指出第几位员工获得奖金额的数学期望最大.
0.05
0.01
3.841
6.635