精品解析：湖南省长沙市第一中学2024届高三上学期月考数学试卷(五)

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，.若，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数在复平面内对应的点在坐标轴上，则的值不可能是（ ）
A. 3B. 4C. 5D.
3. 函数（，且）的图象可能是（ ）.
A. B.
C. D.
4. 已知，，是空间中三个不同的平面，，是空间中两条不同的直线，则下列结论错误的是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
5. 已知，则“”是“数列是递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条
C. 充要条件件D. 既不充分又不必要条件
6. 假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（ ）（，，）
A. 0.816mB. 1.33mC. 1.50mD. 1.63m
7. 函数（，，）的一个对称中心为，且的一条对称轴为，当取得最小值时，（ ）
A. B. C. D.
8. 已知对恒成立，且越接近于1，它们的值也越接近.如，取时，有，计算可得：.则的近似值为（ ）（附：，，）
A. 1.60B. 1.61C. 1.62D. 1.63
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法中正确的是（ ）
A. 男生样本容量为100B. 抽取的样本的方差为43
C. 抽取的样本的均值为166D. 抽取的样本的均值为165.5
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 经过点且在两坐标轴上截距相等的直线只有一条
B. 经过点且与原点距离等于1的直线有两条
C. 过点且与圆相切的直线只有一条
D. 过点且与圆相切圆只有一个
11. 四棱锥的底面为正方形，与底面垂直，，，动点在线段上，则（ ）
A. 不存在点，使得B. 的最小值为
C. 四棱锥的外接球表面积为D. 点到直线的距离的最小值为
12. 将数列中的所有项排成如下数阵：
…
已知从第2行开始每一行比上一行多两项，第1列数，，，…成等差数列，且，，从第2行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以2为公比的等比数列，则（ ）
A.
B. 位于第5行第9列
C.
D. 若，则位于第3行第5列或第8行第3列
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数是奇函数，且，则的值为______
14. 向量，，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中的位置如图所示，若向量与共线，则与夹角的余弦值为______
15. 设，则______
16. 已知为椭圆：（）上一点，，为左、右焦点，设，，若，则该椭圆的离心率______
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 全民健身创精彩，健康成长蟩未来.为此某校每年定期开展体育艺术节活动，活动期间举办乒乓球比赛.假设甲乙两人进行一场比赛，在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率为（）.
（1）若比赛采用五局三胜制，且，则求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；
（2）若比赛有两种赛制，五局三胜制和三局两胜制，且，试分析哪种赛制下甲获胜的概率更大？并说明理由.
18. 在△中，，，为边上一点，且平分.
（1）若，求；
（2）若，求线段的长.
19. 如图，点在以为直径的圆上，垂直于圆所在平面，为的重心.
（1）求证：平面平面；
（2）若，，求二面角余弦值.
20 设数列满足：对任意正整数，有.
（1）求数列的通项公式；
（2）若抽去数列中的第1项，第4项，第7项，…，第项，余下的项顺序不变，组成一个新数列，记数列的前项和为.已知对于任意的正整数，恒成立，求的最大值.
21. 已知函数（）.
（1）是否存在实数，使得为函数极小值点.若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
（2）若图象上总存在关于点对称两点，求的取值范围.
22. 已知双曲线的虚轴长为2，其中一条渐近线方程为.且，分别是双曲线的左、右顶点.
（1）求双曲线的方程；
（2）设过点的动直线交双曲线右支于，两点，若直线，的斜率分别为，.
①试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
②设，，，若，（），求的面积.