河北省石家庄市第一中学2023-2024学年高二上学期第三次月考（12月）数学试题

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1. 直线与平行，则（ ）
A. －2B. 2C. 6或－1D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据两直线平行与系数的关系即可求出结果.
【详解】由题可知，直线与平行，
所以，得；经验证，符合题意．
故选：B
2. 等比数列的前n项和为，则（ ）
A. －2B. 2C. －1D. －4
【答案】A
【解析】
【分析】求出，根据等比数列的性质求出.
【详解】因为为等比数列，且前n项和，
根据等比数列的性质有
所以．
故选：A
3. 与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由与椭圆共焦点得到，且焦点在轴上，从而巧设所求双曲线为，利用即可得解.
【详解】因为曲线为椭圆，焦点在轴上，且，
又因为所求双曲线与双曲线共渐近线，
所以设所求双曲线为，即，
则，解得，
所以所求双曲线为.
故选：A.
4. 已知，，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据空间向量的投影计算公式求出在上的投影，进行计算在上的投影向量.
【详解】因为，，所以.
因为，所以
故在上的投影向量为
故选：B
5. 在等差数列中，，则此数列的前13项之和等于（ ）
A. 24B. 26C. 28D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前n项和公式计算即得.
【详解】等差数列中，，因此，
所以数列的前13项之和.
故选：B
6. 如图在平行六面体中，相交于，为的中点，设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的线性运算法则，，进而可得答案.
【详解】由已知得，，
故选：C
7. 已知直线交抛物线：于轴异侧两点，，且，过向作垂线，垂足为，则点的轨迹方程为（ ）
A. （）B. （）
C. （）D. （）
【答案】B
【解析】
【分析】设直线方程，代入抛物线消去x，由和韦达定理，解得可得直线经过定点，由可知在以为直径的圆上，可求轨迹方程.
【详解】设直线，将它与抛物线方程联立得：，
则，
设，则，
所以，故或，
当时，在直线上，故舍去，所以，
所以直线经过定点，由可知在以为直径的圆（原点除外）上.
故选：B.
8. 设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且．若的面积为，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三角形面积公式可求，结合余弦定理得
，由离心率可求出，同理结合代入余弦定理可求，进而得解.
【详解】由题可知，，求得，
对由余弦定理可得
，即，
即，因为，解得，
又，
即，解得，，
所以的周长为.
故选：A
二、多选题
9. 已知直线与平面，下列四个命题中不正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若直线a上存在两点到平面的距离相等，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据线面垂直的判定定理可判断A；线面垂直的性质定理可判断B；线面平行的性质定理可判断C；线面关系可判断D.
【详解】对于A，若，且相交才有，故A错误；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，若，则，或与异面，或a、b相交，故C错误；
对于D，若直线上存在两点到平面的距离相等，则，或与相交，故D错误.
故选：B.
10. 关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（ ）
A. 等差数列，若，则
B. 等比数列，若，则
C. 若为数列前n项和，则，仍为等差数列
D. 若为数列前n项和，则，仍为等比数列
【答案】AC
【解析】
【分析】利用等差数列下标和性质判断A；举例说明判断B；利用等差数列定义判断C；举例说明判断D.
【详解】对于A，由等差数列下标和性质知，A正确；
对于B，取，显然数列成等比数列，且，而，B错误；
对于C，等差数列的公差为，，
，
有，因此成等差数列，C正确；
对于D，当等比数列的公比，为正偶数时，，显然不成等比数列，D错误.
故选：AC
11. 下列说法正确的有（ ）
A. 直线恒过定点
B. 方程表示圆
C. 圆与圆有两条公切线
D. 圆上有且只有三点到直线的距离等于2
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：依题意可得，令，解得即可求出直线过定点坐标，对于B，将方程化为，再分、、三种情况讨论，对于C，求出两圆圆心坐标与半径，求出圆心距，即可判断两圆相交，对于D，求出圆心到直线的距离，结合圆的半径，即可判断.
【详解】解：对于A：直线，即，
令，解得，所以直线恒过定点，故A正确；
对于B：方程，即，
当，即时方程表示圆，
当，即时方程表示点，
当，即时方程不表示任何图形，故B错误；
对于C：圆的圆心坐标为，半径，
圆的圆心坐标为，半径，
又，即，所以两圆相交，故两圆有两条公切线，故C正确；
对于D：圆心到直线距离，
又圆的半径，所以圆上有且只有三点到直线的距离等于，故D正确；
故选：ACD
12. 如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. 若，则的最小值为2D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线定义计算判断A；由余弦定理计算判断B，C；由余弦定理、二倍角的余弦计算判断D作答.
【详解】依题意，，解得，A不正确；
令，由余弦定理得： ，
当时，，即，因此，B正确；
当时，，即，有，
而，则有，解得，C不正确；
，
，于是得，
解得，而，因此，D不正确.
故选：ACD
三、填空题
13. 已知数列的前n项和为，则__________
【答案】
【解析】
【分析】利用求解即得.
【详解】数列的前n项和为，当时，，
而不满足上式，
所以.
故答案为：
14. 已知点到抛物线的准线的距离为2，则a的值为__________
【答案】##
【解析】
【分析】根据双曲线方程，求出双曲线渐近线方程，根据点到直线距离即可求解值.
【详解】根据已知条件有双曲线的标准方程为：，则抛物线的准线方程：，
因为点到抛物线的准线的距离为2，则有，
解得或，因为，所以（舍去），所以.
故答案为：.
15. 过点P向圆作切线，切点为A，过点P向圆作切线，切点为B，若，则动点P的轨迹方程为__________
【答案】
【解析】
【分析】求出圆的圆心坐标及半径，再利用切线的性质结合已知求解即得.
【详解】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
设点，因为分别切圆，圆于点，且，
于是，则，
整理得，所以动点P的轨迹方程为.
故答案为：
16. 正方体的棱长为2，点M在线段上，且，动点P在正方形内运动（含边界），若，则当取得最小值时，三棱锥外接球的表面积为__________
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，确定点的位置，进而确定的形状，结合球的截面小圆性质求出球半径平方即可计算得解.
【详解】正方体的棱长为2，显然平面，平面，则，
于是，即点在以点为圆心，1为半径的圆在正方形及内部的圆弧上，
又平面，平面，则，，
要最小，当且仅当最小，即点为线段与圆弧的交点，此时，
在中，，
而，即，
因此三棱锥的外接球截平面所得小圆圆心是线段中点，小圆半径，
而平面，则三棱锥的外接球球心在线段的中垂面上，该中垂面平行于平面，
该球心到平面的距离，令三棱锥的外接球半径为，
于是，
所以三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：
四、解答题
17. 已知等差数列的前n项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求其前n项和为．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把条件都用，表示出来，解方程求出，，可得等差数列的通项公式；
（2）采用裂项求和的方法求数列的前项和.
【小问1详解】
设等差数列的通项公式为：，由题意：，解得.
所以：.
【小问2详解】
由（1）可得：，
所以：，
故：.
18. 已知直线的方程为，若直线过点，且.
（1）求直线和直线的交点坐标；
（2）已知直线经过直线与直线的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）求出直线的方程与方程联立求解交点坐标即可；
（2）分类讨论，截距都为0与截距都不为0两种情况求解的方程即可.
【小问1详解】
因为直线过点，且，
所以直线的方程为，即，
联立，解得，，
所以直线和直线的交点坐标为；
【小问2详解】
当直线在两坐标轴上的截距都为0时，此时直线方程为，
当直线在两坐标轴上截距都不为0时，此时可设直线方程为，
因为直线过，
所以，
所以，此时直线方程为，即，
综上直线的方程为或.
19. 已知点，圆C：.
（1）若过点.A可以作两条圆的切线，求m的取值范围；
（2）当时，过直线上一点P作圆的两条切线PM､PN，求四边形PMCN面积的最小值.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）利用点在圆外代入得到不等式，结合曲线方程表示圆即可解答；
（2）首先得到，再根据点到直线的距离公式求出的最小值，最后得到四边形面积的最小值.
【小问1详解】
由题意得在圆外，则，即
又，即或
所以或.
【小问2详解】
时，圆方程为，则圆的半径，圆心，
直线方程为，设圆心到直线的距离为，
，
20. 已知在四棱锥中，平面，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若是棱上的点，若二面角的余弦值为，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）的长为
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直得线线垂直，再结合面面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，设，，根据空间向量求得二面角余弦值，列方程即可解得的值，从而可得线段的长．
【小问1详解】
证明：因为平面，平面，所以
又，，所以，
由于平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
【小问2详解】
由（1）得，，如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
由，则
设，所以，
则，
设平面的法向量为，则，令，则，
又平面，所以是平面的一个法向量，
所以，整理得，所以，
故当为中点时符合题意，所以.
21. 设正项数列的前项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据推出，再由等差数列的通项公式可求出结果；
（2）根据错位相减法可求出结果.
小问1详解】
当时，，得，
当时，，
则，
化简得，
又，所以，．
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以；
【小问2详解】
因为，，
所以，
所以，
，
所以，
所以，
整理得.
22. 已知椭圆的焦距为，左右焦点分别为、，圆与圆相交，且交点在椭圆E上，直线与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若，试问E上是否存在P、Q两点关于l对称，若存在，求出直线PQ的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）存在P、Q两点关于l对称，直线PQ的方程为．
【解析】
【分析】（1）由椭圆定义知为两圆半径之和，由点差法可得，求出，从而得到椭圆方程；
（2）设直线PQ的方程为，根据中点在直线上求得值，注意检验直线PQ与椭圆有两个交点.
【小问1详解】
因为圆与圆相交，且交点在椭圆上，所以，，
设，，中点，
，①－② ，
，
，
则椭圆E的方程：；
【小问2详解】
假设存在P、Q两点关于l对称，设直线PQ的方程为，
，，PQ中点，
，
，
，，即，
由N在l上，，此时，
故存在P、Q两点关于l对称，直线PQ的方程为．