湖南省株洲市2024届高三教学质量统一检测（一）数学试题及参考答案

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班级：______姓名：______准考证号：______
(本试卷共4页，22题，考试用时120分钟，全卷满分150分)
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，将答题卡上交。
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．已知集合，，且，则a等于（ ）
A．1B．0C．﹣1D．﹣2
2．已知i是虚数单位，则复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．一次歌唱比赛中，由10位评委的打分得到一组样本数据．，去掉一个最高分，去掉一个最低分后，与原始数据相比，一定不变的是（ ）
A．平均数B．中位数C．标准差D．极差
4．已知向量，，若实数λ满足，则λ＝（ ）
A．B．C．﹣1D．1
5．已知是定义在I上的函数，M为常数，则“，”是“的最大值为M”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知若且，则a＝（ ）
A．B．C．D．
7．直线、为圆与的公切线，设、的夹角为θ，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．在非直角中，、、成等比数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．)
9．已知双曲线，则下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为2B．双曲线C的焦点坐标为
C．双曲线C的渐近线方程为D．双曲线C的离心率为
10．高中学生要从必选科目(物理和历史)中选一门，再在化学、生物、政治、地理这4个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选2个科目构成“1＋2选考科目组合”参加高考．已知某班48名学生关于选考科目的结果统计如下：
下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确是（ ）
A．
B．选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过9人
C．在选考化学的所有学生中，最多出现6种不同的选考科目组合
D．选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的
11．小学实验课中，有甲、乙两位同学对同一四面体进行测量，各自得到了一条不全面的信息：甲同学：四面体有两个面是等腰直角三角形；乙同学：四面体有一个面是边长为1的等边三角形．那么，根据以上信息，该四面体体积的值可能是（ ）
A．B．C．D．
12．设的整数部分为，小数部分为，则下列说法中正确的是（ ）
A．数列是等比数列B．数列是递增数列
C．D．
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．若半径为R的球O是圆柱的内切球，则该球的表面积与该圆柱的侧面积之差为______．
14．在的展开式中，含的项的系数是______．(用数字作答)
15．已知函数(，)，若为奇函数，且在上单调递减，则ω的最大值为______．
16．已知为等腰三角形，其中，点D为边AC上一点，．以点B、D为焦点的椭圆E经过点A与C，则椭圆E的离心率的值为______．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)在中，，点D在AB边上，且为锐角，，的面积为4．
(1)求的值；
(2)若，求边AC的长．
18．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD为直角梯形，其中，，，点E为BC的中点，以DE为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且使，连接AP、BP．
(1)求证：平面PDA⊥平面PDE；
(2)求平面PDA与平面PBE的夹角的余弦值．
19．(本小题满分12分)各项都为整数的数列满足，，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求出所有的正整数m，使得．
20．(本小题满分12分)已知函数在处的切线方程为，其中e为自然常数．
(1)求a，b的值及的最小值；
(2)设，是方程()的两个不相等的正实根，证明：．
21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，点为抛物线()上一点，点M、N为x轴正半轴(不含原点)上的两个动点，满足，直线PM、PN与抛物线C的另一个交点分别为点A、B．
(1)求直线AB的斜率；
(2)求面积的取值范围．
22．(本小题满分12分)品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试，测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等他等记忆淡忘之后，再让他品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．
设在第一次排序时被排为1，2，3，…，n的n种酒，在第二次排序时的序号为，并令，称X是两次排序的偏离度．
评委根据一轮测试中的两次排序的偏离度的高低为其评分．
(1)当时，若等可能地为1，2，3的各种排列，求X的分布列；
(2)当n＝4时，
①若等可能地为1，2，3，4的各种排列，计算的概率：
②假设某品酒师在连续三轮测试中，都有(各轮测试相互独立)，你认为该品酒师的鉴别能力如何，请说明理由．选考科目名称
物理
化学
生物
历史
地理
政治
选考该科人数
36
39
24
12
a
b