北京市石景山区2023-2024学年第一学期初三期末数学试卷（附参考答案）

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学校 姓名 准考证号
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第1- 8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．若，则的值是
2．如图，在中，，，则为
3．如图，四边形内接于⊙，是直径，是的
中点．若，则的大小为
4．将抛物线向左平移个单位长度，平移后抛物线
的解析式为
5．若抛物线与轴只有一个交点，则的值为
6．如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为，．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”．其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度.如图2，从“矩”的一端望向树顶端的点，使视线通过“矩”的另一端，测得，．
若“矩”的边，边，则树高为
7．在平面直角坐标系中，若点，在抛物线上，则下列结论正确的是
8．如图，在中，于点，给出下面三个条件：
①；
②；
③.
添加上述条件中的一个，即可证明是直角三角形的条件序号是
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9．如图，在矩形中，是边的中点，连接交
对角线于点．若，则的长为 ．
10．在平面直角坐标系中，若点，在反比例
函数的图象上，则 （填“>”“=”或“<”）．
第11题 第12题 第13题
第11题
11．如图，正六边形内接于⊙，，
则的长为 ．
12．如图，，分别与⊙相切于，两点，，，则⊙的半径为 ．
13．如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，两座建筑物间的距离为．
若在点处测得点的俯角为，点的仰角为，则乙建筑物的高约为 （结果精确到；参考数据：，）．
14．如图，点，在⊙上，．若为⊙上任
一点（不与点，重合），则的大小为 ．
15．如图，是正方形内一点，满足，连
接.若，则长的最小值为 ．
16．在平面直角坐标系中，抛物线
的顶点为，且经过点，其部分图象如图
所示，下面四个结论中，
①；
②；
③若点在此抛物线上，则；
④若点在此抛物线上且，则．
所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．计算：．
18．如图，在四边形中，平分，
．
（1）求证：∽；
（2）若，，求的长．
19．已知二次函数．
（1）将化成的形式，并写出其图象的
顶点坐标；
（2）求此函数图象与轴交点的坐标；
（3）在平面直角坐标系中，画出此函数的图象．
20．如图，是⊙的直径，弦于点，
，．求⊙的半径．
21．已知二次函数的图象过点和．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围．
22．如图，在四边形中，∥，，，．
求的长．
23．已知某蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的
电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函
数关系，即，其图象如图所示．
（1）求的值；
（2）若用电器的电阻为，则电流
为 ；
（3）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不得超过，那么用电器的电阻
应控制的范围是 ．
24．如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，点在的延长线上，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
25．投掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被投掷后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，
实心球从出手（点处）到落地的过程中，其竖直高度（单位：）与水平距离
（单位：）近似满足二次函数关系．
小石进行了三次训练，每次实心球的出手点的竖直高度为．记实心球运动路线的最高点为，训练成绩（实心球落地点的水平距离）为（单位：）．训练情况如下：
根据以上信息，
（1）求第二次训练时满足的函数关系式；
（2）小石第二次训练的成绩为 ；
（3）直接写出训练成绩，，的大小关系．
26．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）点，在抛物线上.若，求的取值范围．
27．如图，在中，，．是边上一点（不与点
重合且），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．
（1）求的度数；
（2）是的中点，连接并延长，交的延长线于点，依题意补全图形．
若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中，⊙的半径为．对于⊙的弦和点给出如下定
义：若点在弦的垂直平分线上，且点关于直线的对称点在⊙上，则称点是弦的“关联点”．
（1）如图，点，．
在点，，，中，弦的“关联点”是 ；
（2）若点是弦的“关联点”，直接写出的长；
（3）已知点，．对于线段上一点，存在⊙的弦，使得点是弦的“关联点”．记的长为，当点在线段上运动时，直接写出的取值范围．
考
生
须
知
1．本试卷共8页，共两部分，28道题。满分100分。考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。在答题卡上，
选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
(A)
(B)
(C)
(D)
(A)
(B)
(C)
(D)
(A)
(B)
(C)
(D)
(A)
(B)
(C)
(D)
(A)
(B)
(C)
(D)
第6题 图1 第6题 图2
(A)
(B)
(C)
(D)
(A)
(B)
(C)
(D)
(A) ①②
(B) ①③
(C) ②③
(D) ①②③
第一次训练
第二次训练
第三次训练
训练成绩
最高点
满足的函数关系式