2023-2024学年江苏省九年级数学期末突击模拟卷01

这是一份2023-2024学年江苏省九年级数学期末突击模拟卷01，共24页。试卷主要包含了方程x2＝5x的根是等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共6小题）
1．如图，在3×3的正方形网格中，有3个小正方形涂成了黑色，现在从白色小正方形中任意选取一个并涂成黑色，使黑色部分的图形构成一个中心对称图形的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．方程x2＝5x的根是（ ）
A．x＝﹣5B．x＝0
C．x1＝0，x2＝﹣5D．x1＝0，x2＝5
3．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线AB分别交三条平行线于点A、E、B，直线CD分别交三条平行线于点C、F、D，直线AB、CD相交于点O，若AE：EO：OB＝4：2：7，则下列式子①；②；③；④中，正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
4．在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中经过哪三个点的a的值最大（ ）
A．点A，点B，点CB．点A，点C，点D
C．点A，点B，点DD．点B，点C，点D
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB＝67.5°．点D是AO延长线上一点，且BD与⊙O相切于点B，若⊙O的半径为1，则AD长为（ ）
A．B．C．D．3
6．如图，不能说明△ABC∽△ACD的一组条件是（ ）
A．∠B＝∠ACDB．∠ADC＝∠ACBC．AC2＝AD•ABD．＝
二．填空题（共10小题）
7．已知4a＝5b，则＝ ．
8．如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，三个顶点均在坐标轴上，B的坐标为（1，0），将△ABC位似缩小到原来的，得到△A′B′C′，当点B的对应点B′的坐标为（0，3）时，则点C的对应点C′的坐标为 ．
9．已知三个互不相等的正整数的平均数、中位数都是3，则这三个数的标准差是 ．
10．将二次函数y＝x2+2x+2的图象向右平移1个单位，再向下平移一个单位，得到对应函数图象的解析式为 ．
11．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝8，则m的值为 ．
12．若点P为线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，BP＝10，则AP＝ ．
13．如图，点A（3，1）在反比例函数的图象上，过A作直线AB⊥y轴于B，在第三象限的反比例函数图象上找一点P，使PH⊥AB于H，若P、H、A三点组成的三角形与△AOB相似，则P点的坐标是 ．
14．若用一个半径为6的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径为 ．
15．△ABC中，A（1，5）、B（1，1）、C（4，1），则△ABC外接圆圆心坐标为 ．
16．抛物线y＝x2+4x+5﹣m与x轴只有一个交点，则m满足的条件是 ．
三．解答题（共11小题）
17．解方程（x+2）2＝3（x+2）．
18．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D．
（1）求证：△ABD是等腰直角三角形；
（2）若AC＝6，AC＝5，求线段BC的长．
19．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．
（1）证明：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长．
20．二次函数y＝x2﹣bx+c的图象经过（﹣2，y1），（1，y2）两点．
（1）当b＝1时，判断y1与y2的大小．
（2）当y1＜y2时，求b的取值范围．
（3）若此函数图象还经过点（m，y1），且1＜b＜2，求证：3＜m＜4．
21．小颖和小华玩摸球游戏，游戏采用一个不透明的盒子，里面装有3个白色乒乓球和2个黄色乒乓球，这些球除颜色外，其它完全相同，游戏规则是：将盒子里的五个乒乓球摇匀后，闭上眼睛从中随机地一次摸出两个球，若两球同色，小颖赢，你认为此游戏对双方公平吗？请借助列表或画树状图说明理由．
22．1963年3月5日，毛泽东主席亲笔题词号召全国人民“向雷锋同志学习”，“雷锋精神”激励着一代又一代中国人．今年3月5号，某校团委组织全校师生开展“学习雷锋精神，爱心捐款活动”，活动结束后对本次活动的捐款抽取了样本进行了统计，制作了下面的统计表，根据统计表回答下面的问题：
（1）抽取了多少名学生作为样本？本次抽取样本学生捐款的众数是 元，中位数是 元，并补全条形统计图；
（2）求本次抽取样本学生捐款的平均金额；
（3）若该校有1800名学生，根据以上信息，估计该校本次活动捐款金额为20元的学生有多少人．
23．国旗上的每颗星都是标准五角星，圆圆对五角星进行了较深入的研究：延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形ABCDE的边BA、
DE的延长线相交于点F，∠EAF的平分线交EF于点M．
（1）求证：AE2＝EF•EM；
（2）若AF＝1，求AE的长．
24．计算：
（1）解方程：x2+2x﹣24＝0；
（2）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，求该抛物线的解析式．
25．如图，已知四点A，B，C，D，请按下列要求用直尺和圆规作图．
（1）连接BC；
（2）作射线BD交直线AC于点O；
（3）连接DA，在DA的延长线上作线段AE＝AD．
26．某文具店最新购进一批比较畅销的特色毕业纪念册，已知每本特色毕业纪念册的进价为16元，根据价格规定，该纪念册每本的利润不低于25%且不高于100%，若每本纪念册按照20元进行销售，则每天能售出100本，通过市场调查：若每本纪念册的售价每提高1元，则每天销售量减少10本．
（1）求每本纪念册的售价x（元）与每天销售量y（本）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当每本纪念册的售价为多少元时，每天的利润W最大？最大利润是多少？
27．如图，正方形ABCD的边长为4，动点P在边AB上从点B沿BA向点A运动（点P不与点A，B重合），连接PC．过点P作PE⊥PC，PE交AD于点Q．
（1）求证：△APQ∽△BCP；
（2）若S△APQ：S△BCP＝1：16，求AQ的长度；
（3）连接CQ．试判断当点P运动到边AB的什么位置时，△PCQ∽△BCP？并说明理由．
参考答案
一．选择题（共6小题）
1．如图，在3×3的正方形网格中，有3个小正方形涂成了黑色，现在从白色小正方形中任意选取一个并涂成黑色，使黑色部分的图形构成一个中心对称图形的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：如图：
白色小正方形有6个，根据中心对称图形的定义可知，使黑色部分的图形构成一个中心对称图形的有2个，
故从白色小正方形中任意选取一个并涂成黑色，使黑色部分的图形构成一个中心对称图形的概率是．
故选：A．
2．方程x2＝5x的根是（ ）
A．x＝﹣5B．x＝0
C．x1＝0，x2＝﹣5D．x1＝0，x2＝5
【答案】D
【解答】解：把方程移项得，x2﹣5x＝0即x（x﹣5）＝0，
解得x1＝0，x2＝5．
故选：D．
3．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线AB分别交三条平行线于点A、E、B，直线CD分别交三条平行线于点C、F、D，直线AB、CD相交于点O，若AE：EO：OB＝4：2：7，则下列式子①；②；③；④中，正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【解答】解：∵l1∥l2，
∴CF：OF＝AE：EO＝4：2，
∴，故①正确；
∵AE：EO：OB＝4：2：7，
∴AE：BE＝4：9，
∵l1∥l2∥l3，
∴，故②正确；
∵l2∥l3，
∴△OEF∽△OBD，
∴，故③正确；
∵l1∥l2，
∴△OEF∽△OAC，
∴，故④错误；
∴正确的说法有3个．
故选：B．
4．在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中经过哪三个点的a的值最大（ ）
A．点A，点B，点CB．点A，点C，点D
C．点A，点B，点DD．点B，点C，点D
【答案】C
【解答】解：由图可知，
过点A，点C，点D和过点B，点C，点D的二次函数开口向下，a＜0，故排除B和D，
∵|a|越大，开口越小，
∴当a＞0时，开口小的那个a最大，
由图可知，过点A，点B，点D三点的二次函数的a的值最大．
故选：C．
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB＝67.5°．点D是AO延长线上一点，且BD与⊙O相切于点B，若⊙O的半径为1，则AD长为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【解答】解：连接OB，
∵∠ACB＝67.5°．
∴∠AOB＝2∠C＝135°，
∴∠BOD＝45°，
∵BD与⊙O相切于点B，
∴∠OBD＝90°，
∴△OBD是等腰直角三角形，
∴OB＝BD＝OA＝1，
∴OD＝＝，
∴AD＝AO+OD＝1+，
故选：A．
6．如图，不能说明△ABC∽△ACD的一组条件是（ ）
A．∠B＝∠ACDB．∠ADC＝∠ACBC．AC2＝AD•ABD．＝
【答案】D
【解答】解：A、∠B＝∠ACD，∠BAC＝∠CAD，故△ABC∽△ACD，故选项A不符合题意；
B、∠ADC＝∠ACB，∠BAC＝∠CAD，故△ABC∽△ACD，故选项B不符合题意；
C、∵AC2＝AD•AB，∴，又∵∠BAC＝∠CAD，故△ABC∽△ACD，故选项C不符合题意；
D、∵根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，∴不能判断△ABC∽△ACD，故选项D符合题意．
故选：D．
二．填空题（共10小题）
7．已知4a＝5b，则＝ ．
【答案】．
【解答】解：∵4a＝5b，
∴＝，
即＝．
故答案为：．
8．如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，三个顶点均在坐标轴上，B的坐标为（1，0），将△ABC位似缩小到原来的，得到△A′B′C′，当点B的对应点B′的坐标为（0，3）时，则点C的对应点C′的坐标为 （，） ．
【答案】（，）．
【解答】解：过C′⊥y轴于H，则△B′C′H是等腰直角三角形，
∵B的坐标为（1，0），
∴OB＝1，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴OA＝OC＝OB＝1，
∴＝，
∵将△ABC位似缩小到原来的，
∴，
∴，
∵OB′＝3，
∴OH＝2.5，
∴点C的对应点C′的坐标为（，），
故答案为：（，）．
9．已知三个互不相等的正整数的平均数、中位数都是3，则这三个数的标准差是 或 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得，这三个数为1、3、5，或2、3、4，
∴方差S2＝[（1﹣3）2+（3﹣3）2+（5﹣3）2]＝，或S2＝[（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2]＝，
标准差是S＝＝＝，或S＝＝＝，
故答案为：或．
10．将二次函数y＝x2+2x+2的图象向右平移1个单位，再向下平移一个单位，得到对应函数图象的解析式为 y＝x2 ．
【答案】y＝x2．
【解答】解：将二次函数y＝x2+2x+2化为顶点式为：y＝（x+1）2+1，
将二次函数y＝（x+1）2+1的图象向右平移1个单位，再向下平移一个单位，得到的新图象函数的表达式为y＝（x+1﹣1）2+1﹣1＝x2．
故答案为：y＝x2．
11．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝8，则m的值为 1 ．
【答案】1．
【解答】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两实根，
∴x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+2，
∵（x1+1）（x2+1）＝8，
∴m2+2+2（m+1）+1＝8，
解得m＝1或m＝﹣3，
∵Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+2）＝8m﹣4≥0，
解得k，
∴k＝1，
故答案为：1．
12．若点P为线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，BP＝10，则AP＝ 5﹣5 ．
【答案】5﹣5．
【解答】解：∵点P为线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，BP＝10，
∴＝＝，
∴AP＝5﹣5，
故答案为：5﹣5．
13．如图，点A（3，1）在反比例函数的图象上，过A作直线AB⊥y轴于B，在第三象限的反比例函数图象上找一点P，使PH⊥AB于H，若P、H、A三点组成的三角形与△AOB相似，则P点的坐标是 P2（﹣3，﹣1），P3（﹣，﹣9） ．
【答案】P2（﹣3，﹣1），P3（﹣，﹣9）．
【解答】解：∵点A（3，1）在反比例函数的图象上，
∴xy＝k＝1×3＝3，
∴y＝，＝3
∵在反比例函数图象上找一点P1，使P1H⊥AB于H，
若P1、H、A三点组成的三角形与△AOB相似，
∴＝3，或＝3，
假设P点横坐标为：x，则纵坐标为：，
∴AH＝x﹣3，HP1＝1﹣，
∴当＝3，
∴，
解得：x1＝x2＝3（不合题意舍去），
当＝3，
∴，
解得：x1＝，x2＝3（不合题意舍去），
∴y1＝9，
∴P1的坐标为：（，9），
同理可得出P2，P3点的坐标分别为：P2（﹣3，﹣1），P3（﹣，﹣9）．
故答案为：P2（﹣3，﹣1），P3（﹣，﹣9）．
14．若用一个半径为6的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径为 3 ．
【答案】3．
【解答】解：∵半径为6的半圆的弧长为：×2π×6＝6π，
∴围成的圆锥的底面圆的周长为6π，
设圆锥的底面圆的半径为r，则，
2πr＝6π．
解得r＝3．
故答案为：3．
15．△ABC中，A（1，5）、B（1，1）、C（4，1），则△ABC外接圆圆心坐标为 ．
【答案】．
【解答】解：如图，∵A（1，5）、B（1，1）、C（4，1），
∴AB⊥BC，
∴△ABC的外心是斜边AC的中点，
∴外接圆的圆心坐标为：，即；
故答案为：．
16．抛物线y＝x2+4x+5﹣m与x轴只有一个交点，则m满足的条件是 m＝1 ．
【答案】m＝1．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+4x+5﹣m与x轴只有一个交点，
∴关于x的方程x2+4x+5﹣m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝16﹣4（5﹣m）＝0，
解得m＝1，
故答案为：m＝1．
三．解答题（共11小题）
17．解方程（x+2）2＝3（x+2）．
【答案】x1＝﹣2，x2＝1．
【解答】解：（x+2）2＝3（x+2），
移项，得（x+2）2﹣3（x+2）＝0，
（x+2）（x+2﹣3）＝0，
（x+2）（x﹣1）＝0，
x+2＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝1．
18．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D．
（1）求证：△ABD是等腰直角三角形；
（2）若AC＝6，AC＝5，求线段BC的长．
【答案】（1）见解析；（2）8．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°．
∵∠ACB的平分线CD，
∴∠ACD＝∠DCB＝45°，
∵∠CDB＝∠CAB，∠BAD＝∠DCB，
∴∠DBA＝∠BAD，
∴DA＝DB．
∴△ABD是等腰直角三角形．
（2）解：由（1）得△ABD是等腰直角三角形，
∴，∠ADB＝90°．
∴，
又∵∠ACB＝90°，
∴＝．
19．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．
（1）证明：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）3.6．
【解答】（1）证明：∵AD是斜边BC上的高，
∴∠BDA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BDA＝∠BAC，
又∵∠B为公共角，
∴△ABD∽△CBA；
（2）解：由（1）知△ABD∽△CBA，
∴，
∴，
∴BD＝3.6．
20．二次函数y＝x2﹣bx+c的图象经过（﹣2，y1），（1，y2）两点．
（1）当b＝1时，判断y1与y2的大小．
（2）当y1＜y2时，求b的取值范围．
（3）若此函数图象还经过点（m，y1），且1＜b＜2，求证：3＜m＜4．
【答案】（1）y1＞y2；
（2）b＜﹣1；
（3）答案见解析．
【解答】解：（1）当b＝1时，
∴，
∵6+c＞c，
∴y1＞y2；
（2）∵y1＝4+2b+c，y2＝1﹣b+c，
又∵y1＜y2，
∴4+2b+c＜1﹣b+c，
∴b＜﹣1；
（3）二次函数y＝x2﹣bx+c的对称轴为直线，
∵二次函数经过（﹣2，y1），（m，y1）两点，
∴＝m﹣得，即m＝2+b，
∵1＜b＜2，
∴3＜m＜4．
21．小颖和小华玩摸球游戏，游戏采用一个不透明的盒子，里面装有3个白色乒乓球和2个黄色乒乓球，这些球除颜色外，其它完全相同，游戏规则是：将盒子里的五个乒乓球摇匀后，闭上眼睛从中随机地一次摸出两个球，若两球同色，小颖赢，你认为此游戏对双方公平吗？请借助列表或画树状图说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：这个游戏对双方不公平．理由如下：
列表为：
共有10种等可能的结果数，其中两球同色占4种，
所以P（小颖赢）＝＝，P（小华赢）＝＝，
所以P（小颖赢）≠P（小华赢），
所以这个游戏对双方不公平．
22．1963年3月5日，毛泽东主席亲笔题词号召全国人民“向雷锋同志学习”，“雷锋精神”激励着一代又一代中国人．今年3月5号，某校团委组织全校师生开展“学习雷锋精神，爱心捐款活动”，活动结束后对本次活动的捐款抽取了样本进行了统计，制作了下面的统计表，根据统计表回答下面的问题：
（1）抽取了多少名学生作为样本？本次抽取样本学生捐款的众数是 50 元，中位数是 10 元，并补全条形统计图；
（2）求本次抽取样本学生捐款的平均金额；
（3）若该校有1800名学生，根据以上信息，估计该校本次活动捐款金额为20元的学生有多少人．
【答案】（1）50；10；15；图形见解析；
（2）16元；
（3）360．
【解答】解：（1）4÷8%＝50，
∴抽取了50名学生作为样本；
捐款15元的人数为50×24%＝12人，
∴捐款人数最多的为10元，
∴本次抽取样本学生捐款的众数是10元；
从小到大排列，位于正中间的为都是15元，
∴中位数是元；
补全图形如下：
（2）元，
答：本次抽取样本学生捐款的平均金额16元；
（3）人，
答：该校本次活动捐款金额为20元的学生有360人．
23．国旗上的每颗星都是标准五角星，圆圆对五角星进行了较深入的研究：延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形ABCDE的边BA、
DE的延长线相交于点F，∠EAF的平分线交EF于点M．
（1）求证：AE2＝EF•EM；
（2）若AF＝1，求AE的长．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）AE的长为．
【解答】（1）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠AED＝108°，
∴∠FAE＝180°﹣∠BAE＝72°，∠AEF＝180°﹣∠AED＝72°，
∴∠F＝180°﹣∠FAE﹣∠AEF＝36°，
∵AM平分∠FAE，
∴∠FAM＝∠MAE＝∠FAE＝36°，
∴∠F＝∠MAE，
∵∠AEM＝∠AEF，
∴△AEM∽△FEA，
∴，
∴AE2＝EF•EM；
（2）解：设AE＝x，
由（1）可得：∠F＝∠FAM＝36°，
∴FM＝AM，
由（1）可得：∠FAE＝∠AEF＝72°，
∴FA＝FE＝1，
∵∠AME＝∠F+∠FAM＝72°，
∴∠AME＝∠AEF＝72°，
∴AM＝AE，
∴AM＝AE＝FM＝x，
∴ME＝EF﹣FM＝1﹣x，
由（1）可得：AE2＝EF•EM，
∴x2＝1•（1﹣x），
解得x＝或x＝（舍去），
∴AE＝，
∴AE的长为．
24．计算：
（1）解方程：x2+2x﹣24＝0；
（2）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，求该抛物线的解析式．
【答案】（1）x1＝﹣6，x2＝4；
（2）y＝x2﹣2x﹣3．
【解答】解：（1）∵（x+6）（x﹣4）＝0，
∴x1＝﹣6，x2＝4；
（2）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3．
25．如图，已知四点A，B，C，D，请按下列要求用直尺和圆规作图．
（1）连接BC；
（2）作射线BD交直线AC于点O；
（3）连接DA，在DA的延长线上作线段AE＝AD．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
（3）见解答．
【解答】解：（1）如图，线段BC即为所求．
（2）如图，射线BD即为所求．
（3）如图，线段AE即为所求．
26．某文具店最新购进一批比较畅销的特色毕业纪念册，已知每本特色毕业纪念册的进价为16元，根据价格规定，该纪念册每本的利润不低于25%且不高于100%，若每本纪念册按照20元进行销售，则每天能售出100本，通过市场调查：若每本纪念册的售价每提高1元，则每天销售量减少10本．
（1）求每本纪念册的售价x（元）与每天销售量y（本）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当每本纪念册的售价为多少元时，每天的利润W最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y＝300﹣10x（20≤x≤32）；
（2）当x＝23元时，W取得最大值为490元．
【解答】解：（1）纪念册每本的利润不低于25%且不高于100%，
则20≤x≤32，
则y＝100﹣（x﹣20）×10＝300﹣10x（20≤x≤32）；
（2）W＝y（x﹣16）＝（300﹣10x）（x﹣16）＝﹣10（x﹣30）（x﹣16），
则函数的对称轴为直线x＝23，
∵﹣10＜0，
故当x＝23（元）时，W取得最大值为490（元）．
27．如图，正方形ABCD的边长为4，动点P在边AB上从点B沿BA向点A运动（点P不与点A，B重合），连接PC．过点P作PE⊥PC，PE交AD于点Q．
（1）求证：△APQ∽△BCP；
（2）若S△APQ：S△BCP＝1：16，求AQ的长度；
（3）连接CQ．试判断当点P运动到边AB的什么位置时，△PCQ∽△BCP？并说明理由．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）当点P运动到边AB的中点时，△PCQ∽△BCP．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴∠APQ+∠AQP＝90°，
∵PE⊥PC，
∴∠APQ+∠BPC＝90°，
∴∠AQP＝∠BPC，
∴△APQ∽△BCP；
（2）解：∵S△APQ：S△BCP＝1：16，△APQ∽△BCP，
∴＝＝，
设BP＝x，则AP＝4﹣x，
∴＝，
解得x＝3，
∴AQ＝；
（3）解：当点P运动到边AB的中点时，△PCQ∽△BCP，理由如下：
∵P是AB的中点，
∴AP＝BP＝2，
∵△APQ∽△BCP，
∴＝，即＝，
∴AQ＝1，
∴PQ＝，PC＝2，
∴＝＝，
又∵∠CPQ＝∠B＝90°，
∴△PCQ∽△BCP．