河南省濮阳市清丰县2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份河南省濮阳市清丰县2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题(每小题3分， 共30分)
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答
题卡的相应位置上】
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
2.下列方程中是一元二次方程的是
A. xy+2=1

3.对于二次函数 的图象，下列说法正确的是
A.开口向下 B.对称轴是x=-1
C. 顶点坐标是(-1,2) D. 与x轴无交点
4.观察下列表格，估计一元二次方程 的一个解在
A.-1 和 0 之间 B.0和1之间
C.1 和 2 之间 D.2 和 3 之间
5. 给出一种运算：对于函数 规定 例如：若函数y=x⁴,则有 已知函数 则方程 的解是


6.某校办工厂生产的某种产品，今年产量为 200件，计划通过改革技术，使今后两年的
产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得第三年的产量达到 1400件.若设这个百分数
为x，则可列方程


7.在同一平面直角坐标系中，函数 与y=kx+a(k≠0)的图象可能是
8.点 P是正方形ABCD边 AB上一点(不与A、B重合),连接 PD 并将线段 PD绕点 P顺
时针旋转 90°,得线段 PE,连接BE,则∠CBE 等于
A.75° B.60° C.30° D.45°
9.已知点 A(-3,y₁),B(0,y₂),C(3,y₃)都在二次函数 的图象上，则
y₁,y₂,y₃的大小关系是

10.如图.四边形 ABCO为正方形,点 A 的坐标为( 将正方形绕点 O 逆时针旋
转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点C所到位置的坐标为

二、填空题(每小题3分， 共 15分)
11.抛物线. 的顶点坐标是 .
12.抛物线 ，a，b，c 为常数)的部分图象如图所示，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标是 .
13.一元二次方程 的两个根为 m，n，则 的值是 .
14.如图,已知点A(2,0),B(0,4),C(2,4),D(6,6),连接AB,CD,将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合(点A 与点 C 重合，点 B 与点 D 重合)，则这个旋转中心的坐标为 .
15.如图,在ΔABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,将ΔABC绕点 A 逆时针方向旋转得到△AED,连接CE,BE,当∠BCE=90°时,BE的长为 .
三、解答题 (本大题共8小题， 共75分)
16.(10分) 解下列一元二次方程
(1) (5分)
(2)(5分)x(x-4)=2﹣8x.
17.(9分) 如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(1,1),C(4,3).
(1) 请画出 △ABC关于原点成中心对称的.
(2) 请画出△ABC绕点 B 逆时针旋转 90°后的.
(3) 在y轴上有一点P，使 PA+PB 的值最小，请直接写出点P的坐标.
18.(9分) 已知，关于x的一元二次方程 请完成下面的问题.
(1) 求证：此方程一定有两个不相等的实数根；
(2) 若此方程有一个根是 1，请求出另一个根及 k 的值.
19.(9分) 超市销售某种商品，平均每天可售出 20件，每件盈利40元，为了扩大销量，
增加盈利，该店采取了降价措施.经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多
售出 2 件.
(1)若降价6元，则平均每天销售数量为 _件；
(2) 为尽快减少库存，要使该商店每天销售利润为 1200元，每件商品应降价多少元?
20.(9分) 已知二次函数 过点(1,1).
(1) 求二次函数解析式；
(2) 把函数图象向下平移2个单位，得到的函数图象y₁与x轴交于A，B两点， 求线段
AB的长;
(3) 当x取何范围时,y₁<0?
21.(9分)2023年杭州亚运会女足比赛中，7号队员王霜从球门正前方8m的A处射
门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地
面 3m.已知球门高 OB为 2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系.
(1) 求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素)；
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球
向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处?
22.(10分) 阅读下列材料.
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替(即换元)，不
仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式
分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.
下面是小涵同学用换元法对多项式 进行因式分解的过程.
解：设
原式=(y+1)(y+7)+9∨(第一步)
(第二步)
(第三步)
(第四步).
请根据上述材料回答下列问题：
(1) 小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的( )；
A.提取公因式法 B.平方差公式法 C.完全平方公式法
(2) 老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：
;
(3) 请你用换元法对多项式 进行因式分解；
(4) 当x= 时,多项式 存在最_值(填“大”或
“小”),这个最值是 .
23.(10分)如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形 ABC 中，( ，过点 B 作射线 ，垂足为B，点P在CB 上.
(1)【动手操作】
如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA 绕点 P逆时针旋转 与 BD
交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE 的度数为 度；
(2)【问题探究】
根据(1)所画图形，探究线段 PA 与 PE的数量关系，并说明(提示：在线段 CA 上截取
CM=CP);
(3)【拓展延伸】
如图③，若点P在射线 CB上移动，将射线 PA 绕点 P逆时针旋转 90°与 BD交于点E，探究线段 BA，BP，BE 之间的数量关系，直接写出结论.
九年级数学期中考试参考答案：
1．B
解析：解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、既是中心对称图形也是轴对称图形，故符合题意；
C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意；
D、是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意；
故选B．
2．C
解析：解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；
B、不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意；
C、是一元二次方程，故符合题意；
D、中的二次项系数可能为0，不一定是一元二次方程，故不符合题意，
故选：C．
3．D
解析：图象在X轴上方，与X轴无交点
4．C
解析：解：根据表格得：
当时，，
当时，，
∴的一个解x的取值范围为，
故选C．
5．B
解析：解：由题意可知，即，
解得：，
故选：B．
6．C
解析：解：已设这个百分数为x．
200（1+x）2=1400．
故选C．
7．D
解析：解：A选项中，开口朝上，与y轴交点在原点下方，∴，，
而函数y随x增大而增大，与y轴交点在原点下方，∴，，
∴A选项不符合题意；
B选项中，开口朝上，与y轴交点在原点上方，∴，，
而函数y随x增大而减少，与y轴交点在原点上方，∴，，
∴B选项不符合题意；
C选项中，开口朝下，与y轴交点在原点下方，∴，，
而函数y随x增大而减少，与y轴交点在原点上方，∴，，
∴C选项不符合题意；
D选项中，开口朝下，与y轴交点在原点上方，∴，，
而函数y随x增大而增大，与y轴交点在原点下方，∴，，
∴D选项符合题意；
故选：D．
8．D
解析：过点E作EF⊥AF，交AB的延长线于点F，则∠F=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
由旋转可得：PD=PE，∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPF=90°，
∴∠ADP=∠EPF，
在△APD和△FEP中，
∵，
∴△APD≌△FEP（AAS），
∴AP=EF，AD=PF，
又∵AD=AB，
∴PF=AB，即AP+PB=PB+BF，
∴AP=BF，
∴BF=EF，又∠F=90°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴∠EBF=45°，又∠CBF=90°，
则∠CBE=45°．
故选D．
9．A
解析：解：二次函数y＝﹣（x+2）2+4图象的对称轴为直线x＝﹣2，
又∵a=-1，二次函数开口向下，
∴点到对称轴越近，函数值越大；
∵点A（﹣3，y1）到直线x＝﹣2的距离最小，点C（3，y3）到直线x＝﹣2的距离最大，
∴y3＜y2＜y1．
故选：A．
10．D
解析：解：∵正方形绕点O逆时针旋转，每次旋转60°
∴正方形绕点O逆时针旋转次回到原位置
∵
∴第2023次旋转结束时，点C所到位置的坐标，与第次旋转结束时，点C所到位置的坐标相同
如图：绕点O逆时针60°得到，作

∵
∴
∵点A的坐标为
∴
∴
∵
∴
∴
即点
故选：D
11．
解析：解：∵抛物线，
∴该抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
12．（5，0）
解析：解：观察图象得：该抛物线与轴的一个交点为（-1，0），对称轴为直线，
∴该抛物线与轴的另一个交点坐标是（5，0）．
故答案为：（5，0）
13．
解析：解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，
∴
故答案为：．
14．(4，2)
解析：解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P（4，2），
故答案为：（4，2）．
15．或4
解析：解：∵在中，，，
．
如图1，当点在上方时，；
如图2，当点在下方时，是等边三角形，所以．
综上所述，的长为或4．

故答案为：或4．
16．(1)，x2=2
(2)，
整理得：
∵，，，
∴，
∴
∴，
17．(1)见解析
(2)见解析
(3)点P的坐标为（0,2）；
解析：
（2）解：如图，绕点B逆时针旋转后的
18．(1)，k=-1
(2)见解析
解析：（1）证明：-4ac=(k+2)2-4×(-2)×1=(k+2)2-4×(-2)×1=(k+2)2+8
∵(k+2)2≥0
∴(k+2)2+8＞0
∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）解：设此方程的另一个根是，由根与系数关系得：
∴，由1+(-2)=-(k+2)，
∴k=-1．
19．(1)32
(2)每件商品应降价20元
解析：（1）解：由题意得，若降价6元，则平均每天销售数量为件，
故答案为：32
（2）解：设每件商品应降价x元，
由题意得，，
整理得：，
解得或，
∵要尽快减少库存，
∴，
∴每件商品应降价20元．
20．(1)二次函数解析式为y=x2-2x+2
(2)AB=2
(3)当0解析：（1）先利用待定系数法先求出a，得出二次函数解析式；
（2）利用平移求解析式，令y=0,解出x1=2，x2=0
得AB=2
（3）根据二次函数的图象在x轴下方即可写出自变量x的取值范围．
21．
解析：（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
把点代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
当时，，
∴球不能射进球门；
（2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，
把点代入得，
解得（舍去），，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．
22．(1)C；
(2)；
(3)见解析；
(4)1，小，．
解析：（1）由第二步到第三步是运用了完全平方公式法，故选C；
（2）
设，
原式
故答案为：；
（3）设，
原式
；
（4）设，
原式
即：当时，多项式存在最小值，为：．
23．(1)135
(2)相等，见解析
(3)当P在线段上时，；当P在线段的延长线上时，
解析：（1）画出图形如下：

∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：135；
（2），理由如下：
过P作交于M，如图：

∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）当P在线段上时，过P作交于M，如图：

由（2）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴；
当P在线段的延长线上时，过P作交BE于N，如图：

∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上所述，当P在线段上时，；当P在线段的延长线上时，．