重庆市第十八中学2023-2024学年高二上学期12月学习能力摸底数学试卷(含答案)

这是一份重庆市第十八中学2023-2024学年高二上学期12月学习能力摸底数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．平行于直线且过点的直线方程为( )
A.B.C.D.
2．已知,,若,则m的值为( )
A.3B.-4C.-3D.4
3．已知数列的前n项和是,则( )
A.20B.18C.16D.14
4．曲线（）与曲线（）的( )
A.焦距相等B.离心率相等C.焦点相同D.顶点相同
5．已知点,点P为圆上的动点,则AP的中点的轨迹方程是( )
A.B.C.D.
6．已知双曲线的右焦点为F,以F为圆心,过坐标原点O的圆与双曲线的一条渐近线交于点O、A,则( )
A.B.2C.D.3
7．已知O为坐标原点,抛物线（）的焦点为F,抛物线上的点P满足,的面积为,则该抛物线的准线方程为( )
A.B.C.D.
8．双曲线（）的左、右焦点分别为,,焦距为2c,若直线与双曲线的一个交点M满足,则该双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
9．已知圆的方程为,则下列说法正确的是( )
A.圆M过坐标原点B.圆M的圆心为
C.圆M的半径为5D.圆M被y轴截得的弦长为6
10．对于数列,若,,（）,则下列说法正确的是( )
A.B.数列是单调递增数列
C.数列是等差数列D.数列是等差数列
11．如图,在棱长为2的正方体中,点P满足,其中,,则( )
A.存在点P,使得平面
B.存在点P,使得平面
C.当时,CP的最小值为
D.当时,CP的最大值为
12．在平面直角坐标系xOy中,方程对应的曲线为E,则( ).
A.曲线E关于原点中心对称
B.曲线E上的点到原点距离的最小值为1
C.曲线E是封闭图形,其围成的面积小于
D.曲线E上的点到直线距离的最小值为
二、填空题
13．直线与直线之间的距离为________.
14．如图所示､点A,,为椭圆的顶点,F为C的右焦点,若,则椭圆C的离心率为__________.
15．数列满足,,,若,,则______.
16．在平面直角坐标系xOy中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线相切,则圆C面积的最小值为______.
三、解答题
17．如图,在长方体中,E,F分别是棱,的中点,,.
（1）求直线CE与所成角的余弦值;
（2）求点到平面CDE的距离.
18．如图,四边形ABCD的四个顶点的坐标为,,,.
（1）求线段BC的中垂线的方程;
（2）设过点的直线与四边形ABCD的外接圆交于M,N两点,若,求直线MN的方程.
19．已知点在抛物线上.
（1）求抛物线C的方程;
（2）设A、B是抛物线C上异于原点O的两个动点,若,求直线AB在x轴上的截距的取值范围.
20．如图,在四面体中,AD平面BCD,,,.M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上.
（1）若PQ平面BCD,求的值;
（2）若二面角的大小为,求四面体的体积.
21．已知点,,动点P与点A,B连线的斜率之积为.
（1）求点P的轨迹方程;
（2）设直线PA,PB与直线分别交于M,N两点,求证：以MN为直径的圆过两定点.
22．如图,O为坐标原点,椭圆的左右焦点分别为,,离心率为;双曲线的左右焦点分别为,,离心率为,已知,且.
(1)求,的方程;
(2)过点作的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值.
参考答案
1．答案：D
解析：与直线平行的直线l可设为,直线l过点,
所以有,
故选：D.
2．答案：A
解析：由题意可得,故,则,
故选：A.
3．答案：C
解析：设数列的前n项和为,则,故.
故选：C.
4．答案：A
解析：因为,则,可知表示焦点在x轴上的椭圆,
其焦距为,又因为,则,
可知曲线表示焦点在y轴上的双曲线,
其焦距为,所以其焦距相等,离心率、焦点和顶点均不相同.
故选：A.
5．答案：D
解析：设AP的中点,则,
因为点P为圆上的动点,所以,即.
故选：D.
6．答案：C
解析：
对于双曲线,,,则,则点,
以F为圆心,过坐标原点O的圆的方程为,
双曲线渐近线方程为,即,
圆心F到双曲线渐近线的距离为,则.
故选：C.
7．答案：B
解析：
设,由可得,解得,
故,解得,故.
又,故,解得,故抛物线的准线方程为.
故选：B.
8．答案：A
解析：
由题意直线过点且倾斜角为,则,
又,,可得,
因为,所以,,
由双曲线定义,,即,解得.
故选：A.
9．答案：ACD
解析：把代入可得,即方程成立,所以圆M过坐标原点,故A正确;
由整理得,可知圆M的圆心为,圆M的半径为5,故B错误,C正确;
因为圆心到y轴的距离为4,所以圆M被y轴截得的弦长为,故D正确;
故选：ACD.
10．答案：ACD
解析：对A,由题意,,故,故A正确;
对B,因为,,,故B错误;
对C,,故数列是等差数列,故C正确;
对D,,故数列是等差数列,故D正确.
故选：ACD.
11．答案：BC
解析：在正方体中,以点A为坐标原点,AB、AD、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则、、、、、、
、,
因为,其中、,
对于A选项,,,则,所以,与不垂直,故不存在点P,使得平面,A错;
对于B选项,,,若存在点P,使得平面,则,解得,即当点P与点C重合时,平面,B对;
对于CD选项,,可得,又因为,,设,,其中,则,
则,
因为,则,所以,,所以,,
当且仅当时,即当时,取最小值,,
当且仅当或时,即当或时,取最大值,C对D错.
故选：BC.
12．答案：ACD
解析：
对于选项A,因为当点满足方程时,点也满足方程,
则可得到曲线E关于原点中心对称,所以选项A正确;
对于选项B,设曲线E上任意一点为,则其到原点的距离的平方为,
且,
即曲线E上的点到原点距离的最小值为,所以选项B错误;
对于选项C,则,
故当时,当时.
作出如图,易得,则E上的点满足,
故围成的图形在圆内,
故围成的面积小于,所以选项C正确;
对于选项D,到直线取距离最小值的点显然满足,,
故,其到直线距离为,此时,故选项D正确;
故选：ACD.
13．答案：
解析：两直线间的距离.
故答案为：.
14．答案：
解析：由椭圆可得,,,,
所以,,因为,所以,即,
所以,所以,因为,所以
故答案为：.
15．答案：3
解析：因为,显然不合题意,则,
可得,,,,
所以数列是以周期为4的周期数列,且,所以.
故答案为：3.
16．答案：5
解析：由题意可知：圆心C到原点的距离与到直线的距离相等,
所以圆C的面积最小时,圆心在原点到直线的垂线中点上,
因为到直线的距离,
则圆C的半径最小值为,即面积的最小值为5.
故答案为：5.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）以A为原点,AB,AD,所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,,
可得,,,,
则,
因为异面直线所成的角时锐角或直角,则直线CE与所成角的余弦值为
（2）设平面CDE的法向量,则,
令,则,,可得,
所以点到平面CDE的距离为.
18．答案：（1）
（2）或.
解析：（1）因为,,则线段BC的中点坐标为,
,则中垂线的斜率为,
则线段BC的中垂线的方程为,即.
（2）由题意得CD的方程为,则,且,则四边形ABCD为梯形,
又因为,,则,
则四边形ABCD为等腰梯形,则其外接圆圆心位于y轴正半轴上,
由（1）线段BC的中垂线的方程为,
令,则,则圆心坐标为,半径,
则外接圆的方程为,
设圆心到直线MN的距离为d,则,即,（负舍）,
当直线MN的方程的斜率不存在时,此时直线MN的方程为,
即,圆心到直线的距离,符合题意,
当直线MN的方程的斜率存在时,设直线MN的方程为,
即,则有,解得,
则此时直线方程为,即.
综上直线MN的方程为或.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）将点P的坐标代入抛物线C的方程,可得,得,
故抛物线C的方程为.
（2）
若直线AB的斜率为零,则直线AB与抛物线C只有一个交点,不合乎题意,
设直线AB的方程为,设点、,
联立可得,,即,
由韦达定理可得,,
所以,,解得,满足,
因此,直线AB在x轴上的截距的取值范围.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）如图,取BD的中点O,以O为原点,OD,OP所在射线y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,,
设点C的坐标为,可得,,,
设,,
则,,
因为平面BCD的法向量,
若PQ平面BCD,则,解得,所以.
（2）设为平面BMC的一个法向量
由,
可得,取,得.
又因为平面BDM的一个法向量为,
由题意可得：,整理得.①
又因为,所以,
故,即.②
联立①②,解得（舍去）或,即,
所以四面体的体积.
21．答案：（1）
（2）以MN为直径的圆过两定点和,证明见解析
解析：（1）设点,由题意,即,
化简可得,故点P的轨迹方程为
（2）
由对称性可得,当P取关于x轴对称的两个位置时,
所成的以MN为直径的两个圆也关于x轴对称,故若以MN为直径的圆过两定点,
则定点必在x轴上,设为.
设,,,则由可得,即,
故,同理,故.
则,故,即.
又,故,则,解得或.
即以MN为直径的圆过两定点和.
22．答案：（1）,
（2）2
解析：（1）由题可得,,且,
因为,且,
所以且且,,
所以椭圆方程为,双曲线的方程为.
（2）由（1）可得,因为直线AB不垂直于y轴,所以设直线AB的方程为,
联立直线与椭圆方程可得,则,,
则,因为在直线AB上,所以,
则直线PQ的方程为,
联立直线PQ与双曲线可得,,
则,则,
设点A到直线PQ的距离为d,则B到直线PQ的距离也为d,则,
因为A,B在直线PQ的两端,所以,
则,
又因为A,B在直线上,
所以,
则四边形APBQ面积,
因为,所以当时,四边形APBQ面积的最小值为2.