吉林省松原市宁江区吉林油田第十二中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份吉林省松原市宁江区吉林油田第十二中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，从左边看到的图形是（ ）
A． B． C． D．
2．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．三角形的外心到三边的距离相等 B．某射击运动员射击一次，命中靶心
C．任意画一个三角形，其内角和是180° D．抛一枚硬币，落地后正面朝上
3．如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（ ）
A．3 B．3 3 C．6 D．9
4．已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．20cm2 B．20πcm2 C．10πcm2 D．5πcm2
5．将抛物线y=-x2向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为（ ）
A．y=-（x+2）2 B．y=-（x-2）2 C．y=-x2-2 D．y=-x2+2
6．如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=10，BD=9，则△ADE的周长为（ ）
A．19 B．20 C．27 D．30
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7．已知⊙O的半径长为10cm，若点P在⊙O外，则线段OP的长度为______cm．（写出一个正确的值即可）
8．某蓄电池的电压为48V，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数表达式为I=48R．当R=12Ω时，I的值为______ A．
9．已知（-1,y1），（2,y2）在二次函数y=x2-2x的图象上，比较y1 ______ y2．（填>、<或=）
10.如图，以点O为圆心，AB为直径的半圆经过点C．若AC=BC= 2，则图中阴影部分的面积为______ ．
11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=2，则⊙O的直径为______．
12．如图，Rt△OAB的顶点A（-2,4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为______．
13．如图，小峰同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=30cm，测得AC=1．5m，AG=8m，则树高AB为______m．
14．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，点C是AB上一点，过C作⊙O的切线，交PA，PB于点D，E，若PA=6cm，则△PDE的周长是______ cm．
三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题5分）
计算：|-3|-2tan45°+（-1）2023-（ 3-π）0．
16．（本小题5分）
如图所示某地铁站有三个闸口．
（1）一名乘客随机选择此地铁闸口通过时，选择A闸口通过的概率为______ ．
（2）当两名乘客随机选择此地铁闸口通过时，请用树状图或列表法求两名乘客选择不同闸口通过的概率．
17．（本小题5分）
如图，在△ABC与△ADE中，ABAD=ACAE，且∠EAC=∠DAB．求证：△ABC∽△ADE．
18．（本小题5分）
河南樱桃，半壁江山在新安．新安因樱桃产量大、品质优、成熟早，被誉为“中国樱桃之乡”．村民以原价30元/千克对外销售．为了减少库存，决定降价，经过两次降价后，售价为19．2元/千克．求平均每次降价的百分率．
19．（本小题7分）
已知一抛物线形大门，其地面宽度AB=18m．一同学站在门内，在离门脚点B处1m远的点D处，垂直地面立起一根1.7m长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上的点C处．建立如图所示的平面直角坐标系．求：
（1）大门所在抛物线对应的函数表达式；
（2）大门的高h．
20.（本小题7分）
如图所示是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取三个涂上阴影，使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（只需要填涂三种不同情况）
21．（本小题7分）
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b的图象上与反比例函数y2=mx的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A（4,1），点B的横坐标为-2．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D是y轴上一点，且S△ABD=6，求点D坐标．
22．（本小题7分）
墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm，与墙壁的夹角∠CAD为43°．求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1cm）．（参考数据：sin43°=0.68，cs43°=0.73，tan43°=0.93）
23．（本小题8分）
如图，在△ABC中，AB=AC，O在AB上，以O为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点F，交BC于点D，交AB于点G，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）DE与⊙O有什么位置关系，请写出你的结论并证明；
（2）若⊙O的半径长为3，AF=4，求CE的长．
24．（本小题8分）
综合与探究
问题情境：数学课上，老师引导同学们以“正方形中线段的旋转”为主题开展数学活动．已知正方形ABCD中，AB=2，点E是射线CD上一点（不与点C重合），连接BE．将BE绕点E顺时针旋转90°得到FE，连接DF．
特例分析：（1）如图1，当点E与点D重合时，求∠ADF的度数；
深入探究：（2）当点E不与点D重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请在图2与图3中选择一种情况进行证明：若不成立，请说明理由；
问题解决：（3）如图4，当点E在线段CD上，且DF=DA时，请直接写出线段BF的长．
25．（本小题10分）
如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长交BC于点E，过点Q作QF/​/AC，交BD于点F，设运动时间为t（s）（0（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形；
（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，当S五边形OECQF：S△ACD=9：16时．直接写出t的值．
26．（本小题10分）
如图，抛物线y=a（x+2）2-9a（a>0）与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C，连接BC．
（1）直接写出点C的坐标______（用含a的式子表示）；
（2）求点B的坐标；
（3）以BC为边，在BC边的右下方作正方形BCDE，设点D的坐标为（m,n）．
①当∠ABC=30°时，求点D的坐标；
②当∠ABC=45°时，直接写出点D的坐标；
③直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．
答案和解析
1．【答案】D
【解析】解：从左边看底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形．
故选：D．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
2．【答案】C
【解析】解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，只有三角形是等边三角形时才符合，故本选项不符合题意；
B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；
C、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；
D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意．
故选：C．
必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．
解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．【答案】A
【解析】解：连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=30°，OB=3，
∴AO=3，则OP=6，
所以，BP=6-3=3．
故选：A．
直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，进而利用含30°角直角三角形的性质得出OP的长．
此题主要考查了切线的性质以及含30°角直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题关键．
4．【答案】C
【解析】【分析】
圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
本题考查圆锥侧面积的求法．
【解答】
解：圆锥的侧面积=π×2×5=10πcm2，
故选：C．
5．【答案】D
【解析】[分析]
根据“左加右减，上加下减”的规律解答．
主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
[详解]
解：将抛物线y=-x2向上平移2个单位得到的抛物线是y=-x2+2．
故选D．
6．【答案】A
【解析】解：∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴BD=BE，CD=AE，∠DBE=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD=BE=9，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC=10，
∵△ADE的周长=AE+AD+DE=AD+CD+DE=AC+BD，
∴△ADE的周长=19，
故选：A．
由旋转的性质可得BD=BE，CD=AE，∠DBE=60°，可得△BDE是等边三角形，即可求DE=BD=BE=9，根据△ADE的周长=AE+AD+DE=AD+CD+DE=AC+BD，可求△ADE的周长．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用旋转的性质解决问题的关键．
7．【答案】大于10
【解析】解：由题意，得
d>r，
即线段OP的长度大于10cm．
故答案为：大于10.
要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，则d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d8．【答案】4
【解析】解：当R=12Ω时，I=4812=4（A）．
故答案为：4．
直接将R=12代入I=48R中可得I的值．
此题考查的是反比例函数的应用，掌握反比例函数的点的坐标是解决此题的关键．
9．【答案】>
【解析】解：由抛物线y=x2-2x可知对称轴x=--22×1=1，
∵抛物线开口向上，点（-1,y1）到对称轴的距离大于点（2,y2）到对称轴的距离，
∴y1>y2．
故答案为：>．
先得到抛物线的对称轴为直线x=1，根据二次函数的性质，通过点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
10.【答案】π4
【解析】解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴在Rt△ABC中，AB= AC2+BC2= （ 2）2+（ 2）2=2．
∴⊙O的半径为12AB=1，
∵AC=BC，
∴CO⊥AB，AC=BC，
∴S阴影=S扇形OBC=14S⊙O=14×π×12=π4．
故答案为：π4．
根据圆周角定理的推论可知∠ACB=90°，利用勾股定理可求出直径AB，再根据圆周角定理结合图形可知S阴影=S扇形OBC=14S⊙O，即可求出．
本题考查求不规则图形的面积、圆周角定理和其推论．理解S阴影=S扇形OBC=14S⊙O是解答本题的关键．
11．【答案】2 2
【解析】解：如图，连接OB，OC，
∵∠A=45°，
∴∠BOC=2∠A=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
又∵BC=2，
∴BO=CO= 22BC= 2，
∴⊙O的直径为2 2
故答案为：2 2．
连接OB，OC，证△BOC是等腰直角三角形，即可得到BO=CO= 2，进而得出⊙O的直径．
本题主要考查了三角形的外接圆、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
12．【答案】（ 2,2）
【解析】【分析】
先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得D（0,2），且DC/​/x轴，从而求得P的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得P的坐标．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得P的纵坐标是解题的关键．
【解答】
解：∵Rt△OAB的顶点A（-2,4）在抛物线y=ax2上，
∴4=4a，解得a=1，
∴抛物线为y=x2，
∵点A（-2,4），
∴B（-2,0），
∴OB=2，
∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，
∴D点在y轴上，且OD=OB=2，
∴D（0,2），
∵DC⊥OD，
∴DC/​/x轴，
∴P点的纵坐标为2，
代入y=x2，得2=x2，
解得x=± 2，
∴P（ 2,2）．
故答案为（ 2,2）．
13．【答案】7．5
【解析】解：在△DEF和△DBC中，∵∠D=∠D，∠DEF=∠DCB，
∴△DEF∽△DBC，
∴DEEF=CDBC，
即4030=8BC，
解得：BC=6，
∵AC=1．5m，
∴AB=AC+BC=1．5+6=7．5m，
即树高7．5m．
故答案为：7．5．
先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．
本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出△DEF和△DBC相似是解题的关键．
14．【答案】12
【解析】解：根据切线长定理得：AD=CD，BE=CE，PA=PB，则△PDE的周长=2PA=12cm．
根据切线长定理将△PDE的周长转化为切线长即可．
此题主要考查切线长定理的运用能力．
15．【答案】解：|-3|-2tan45°+（-1）2023-（ 3-π）0
=3-2×1+（-1）-1
=3-2-1-1
=-1．
【解析】首先计算零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
16．【答案】13
【解析】解：（1）一名乘客随机选择此地铁闸口通过时，选择A闸口通过的概率为13；
故答案为：13；
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中两名乘客选择不同闸口通过的结果数为6，
所以两名乘客选择不同闸口通过的概率=69=23．
（1）直接根据概率公式计算；
（2）画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两名乘客选择不同闸口通过的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
17．【答案】证明：∵∠EAC=∠DAB，
∴∠EAC+∠BAE=∠DAB+∠BAE，
∴∠BAC=∠DAE，
∵ABAD=ACAE，
∴△ABC∽△ADE．
【解析】根据相似三角形的判定即可求出答案．
本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定．
18．【答案】解：设平均每次降价的百分率为x，
根据题意得：30（1-x）2=19．2，
解得：x1=0.2=20%，x2=1．8（不符合题意，舍去）．
答：平均每次降价的百分率为20%．
【解析】设平均每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格=原价×（1-平均每次降价的百分率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．【答案】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx．
由题意知B、C两点坐标分别为B（18,0），C（17,1．7），
把B、C两点坐标代入抛物线解析式得，
324a+18b=0289a+17b=1．7，
解得a=0.1，b=1．8，
∴抛物线的解析式为y=-0.1x2+1．8x；
（2）y=-0.1x2+1．8x
=-0.1（x2-18x+81-81）
=-0.1（x-9）2+8．1．
∴该大门的高h为8．1m．
【解析】（1）设拱门所在抛物线的解析式为y=ax2+bx，依题意找出B、C两点的坐标，就可以确定抛物线解析式了；
（2）把函数表达式配方可得顶点坐标，根据坐标确定大门的高．
本题经历选取抛物线解析式的形式，求抛物线解析式，运用解析式解答题目问题，充分体现由实际问题--抛物线--实际问题，体现数学知识的运用价值．
20.【答案】解：如图：

【解析】根据中心对称的定义：把一个图形绕某点旋转180°后能够与自身重合，则这个图形是中心对称图形，根据定义画图即可．
本题主要考查了利用中心对称图形的定义设计图案，掌握定义是解题的关键．
21．【答案】（1）解：将点A（4,1）代入y2=mx，得m=1×4=4，
∴反比例函数的解析式为y2=4x，
∵点B的横坐标为-2，
∴将x=-2代入y2=4x，得y=-2，
∴B（-2,-2）．
将A（4,1），B（-2,-2）代入y1=kx+b，
得4k+b=1-2k+b=-2，
解得k=12b=-1，
∴一次函数的解析式为y1=12x-1；
（2）由y1=12x-1可知C（0,-1），
∵S△ABD=S△ACD+S△BCD=12×4CD+12×2CD=3CD=6，
∴CD=2，
∴D（0,1）或（0,-3）．
【解析】（1）把点A（4,1）代入y2=mx，解得m=4，即可求得反比例函数的解析式以及B的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式．
（2）根据S△ABD=S△ACD+S△BCD求得CD，进而即可求得D的坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用坐标解出函数的解析式．
22．【答案】解：过C作CF⊥AB于F，
则∠AFC=90°，
在Rt△ACF中，AC=30，∠CAF=43°，
∵cs∠CAF=AFAC，
∴AF=AC⋅cs∠CAF=30×0.73=21．9，
∴CE=BF=AB+AF=170+21．9=191．9≈192（cm），
答：花洒顶端C到地面的距离CE为192cm．
【解析】过C作CF⊥AB于F，于是得到∠AFC=90°，解直角三角形即可得到结论．
本题考查解直角三角形，解题的关键是正确理解题意以及灵活运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
23．【答案】解：（1）DE与⊙O相切；
理由如下：
连接OD，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB；
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD/​/AC；
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切．
（2）连接OD，OF；
∵DE，AF是⊙O的切线，
∴OF⊥AC，OD⊥DE，
又∵DE⊥AC，
∴四边形ODEF为矩形，
∴EF=OD=3；
在Rt△OFA中，AO2=OF2+AF2，
∴AO= 32+42= 25=5，
∴AC=AB=AO+BO=8，CE=AC-AF-EF=8-4-3=1，
∴CE=1．
答：CE长度为1．
【解析】由已知可证得OD⊥DE，OD为圆的半径，所以DE与⊙O相切；连接OD，OF，由已知可得四边形ODEF为矩形，从而得到EF的长，再利用勾股定理求得AO的长，从而可求得AC的长，此时CE就不难求得了．
本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
24．【答案】解；（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠A=90°，
∴∠ADB=∠ABD=180°-∠A2=45°，
由旋转可知∠BDF=90°，
∴∠ADF=∠BDC=∠ADB=45°；
（2）仍然成立，
如图2，过点F作FG⊥CD交CD的延长线于点G，则∠FGD=90°，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=∠ADC=90°，BC=CD，
∴∠FGD=∠C，∠CBE+∠BEC=90°，
由旋转的性质可知EF=BE，∠BEF=90°，
∴∠BEC+∠FEG=90°．
∴∠FEG=∠CBE，
∴△FGE≌△ECB（AAS）．
∴FG=EC，EG=BC=CD．
∴EG-DE=CD-DE，即CE=DG．
∴FG=DG．
∵∠ADC=90°，
∴∠ADG=90°，
∴∠FDG=45°，
∵∠FGD=90°，
∴∠FDA=45°；
如图3，过点F作FG⊥CD交CD的延长线于点G，则∠FGD=90°，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=∠ADC=90° BC=CD，
∴∠FGD=∠C，∠CBE+∠BEC=90°．
由旋转的性质可知EF=BE，∠BEF=90°，
∴∠BEC+∠FEG=90°，
∴∠FEG=∠CBE，
∴△FGE≌△ECB（AAS），
∴FG=EC，EG=BC=CD．
∴EG+DE=CD+DE，
即CE=DG．
∴FG=DG，
又∠FGD=90°，
∴∠FDG=45°，
∵∠ADC=90°，
∴∠FDA=180°-∠FDG-∠ADC=45°；
（3）如图4，

过点F作FG⊥CD交CD的延长线于点G，则∠FGD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=∠ADC=90°，BC=CD，
∴∠FGD=∠C，∠CBE+∠BEC=90°，
由旋转的性质可知EF=BE，∠BEF=90°，
∴∠BEC+∠FEG=90°．
∴∠FEG=∠CBE，
∴△FGE≌△ECB（AAS）．
∴FG=EC，EG=BC=CD．
∴EG-DE=CD-DE，即CE=DG．
∴FG=DG，
∴△DFG是等腰直角三角形，
∴FG= 22DF= 2，
∴CE=FG= 2，
∵BC=AB=2，
∴BE= BC2+CE2= 6，
∴BF= 2BE=2 3．
【解析】．（1）根据正方形的性质得到AB=AD，∠A=90°，求得∠ADB=∠ABD=180°-∠A2=45°，根据旋转的性质得到∠BDF=90°，于是得到∠ADF=∠BDC=∠ADB=45°；
（2）如图2，过点F作FG⊥CD交CD的延长线于点G，则∠FGD=90°，根据正方形的性质得到∠C=∠ADC=90°，BC=CD，由旋转的性质可知EF=BE，∠BEF=90°，根据全等三角形的性质得到FG=EC，EG=BC=CD．求得FG=DG．根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；如图3，过点F作FG⊥CD交CD的延长线于点G，则∠FGD=90°，根据正方形的性质得到∠C=∠ADC=90°，BC=CD，由旋转的性质可知EF=BE，∠BEF=90°，根据全等三角形的性质得到FG=EC，EG=BC=CD．求得FG=DG．根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（3）如图4，根据正方形的性质得到∠C=∠ADC=90°，BC=CD，由旋转的性质可知EF=BE，∠BEF=90°，根据全等三角形的性质得到FG=EC，EG=BC=CD．求得FG=DG．根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；
本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
25．【答案】解：（1）在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，
∴AC=10，
①当AP=PO=t，如图1，过P作PM⊥AO于点M，

∴AM=12AO=52，
∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，
∴△APM∽△ACD，
∴APAC=AMAD，
∴AP=t=258，
②当AP=AO=t=5，
∴当t为258或5时，△AOP是等腰三角形；
（2）如图2，过点O作OH⊥BC交BC于点H，则OH=12CD=12AB=3cm，

由矩形的性质可知∠PDO=∠EBO，DO=BO，又得∠DOP=∠BOE，
∴△DOP≌BOE（ASA），
∴BE=PD=8-t，
则S△BOE=12BE⋅OH=12×3（8-t）=12-32t．
∵FQ/​/AC，
∴△DFQ∽△DOC，相似比为DQDC=t6，
∴S△DFQS△DOC=t236，
∵S△DOC=14S矩形ABCD=14×6×8=12cm2，
∴S△DFQ=12×t236=t23，
∴S五边形OECQF=S△DBC-S△BOE-S△DFQ=12×6×8-（12-32t）-t23=-13t2+32t+12；
∴S与t的函数关系式为S=-13t2+32t+12；
（3）∵S△ACD=12×6×8=24，
∴S五边形OECQF：S△ACD=（-13t2+32t+12）：24=9：16，
解得t=3，或t=32，
∴当S五边形OECQF：S△ACD=9：16时，t=3或32．
【解析】（1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10，①当AP=PO=t，如图1，过P作PM⊥AO，根据相似三角形的性质得到AP=t=258，②当AP=AO=t=5，于是得到结论；
（2）过点O作OH⊥BC交BC于点H，已知BE=PD，则可求△BOE的面积；可证得△DFQ∽△DOC，由相似三角形的面积比可求得△DFQ的面积，从而可求五边形OECQF的面积．
（3）根据题意列方程得到t=3或t=32，可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，图形面积的计算，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
26．【答案】（-2,-9a）
【解析】解：（1）∵抛物线y=a（x+2）2-9a顶点为C，
∴C（-2,-9a），
故答案为：（-2,-9a）；
（2）在y=a（x+2）2-9a中，令y=0得：a（x+2）2-9a=0，
∵a>0，
∴（x+2）2-9=0，解得x=-5或x=1，
而点A在点B的左侧，
∴B（1,0）；
（3）①过C作y轴平行线交x轴于F，过D作DG⊥CF于G，如图：
∵C（-2,-9a），B（1,0）；
∴BF=OB+OF=3，
∵∠ABC=30°，
∴CF=BF⋅tan30°=3× 33= 3，
∵四边形BCDE是正方形，
∴BC=DC，∠BCD=90°，
∴∠FCB=90°-∠GCD=∠CDG，
∵∠BFC=∠G=90°，
∴△BFC≌△CGD（AAS），
∴BF=CG=3，CF=DG= 3，
∴GF= 3+3，OF-DG=2- 3，
∴D（ 3-2,-3- 3）；
②过C作y轴平行线交x轴于F，过D作DG⊥CF于G，如图：
∵C（-2,-9a），B（1,0）；
∴BF=OB+OF=3，
∵∠ABC=45°，
∴CF=BF⋅tan45°=3×1=3，
∵四边形BCDE是正方形，
∴BC=DC，∠BCD=90°，
∴∠FCB=90°-∠GCD=∠CDG，
∵∠BFC=∠G=90°，
∴△BFC≌△CGD（AAS），
∴BF=CG=3，CF=DG=3，
∴GF=6，DG-OF=1，
∴D（1,-6）；
③过C作y轴平行线交x轴于F，过D作DG⊥CF于G，如图：
∵C（-2,-9a），B（1,0）；
∴BF=OB+OF=3，CF=|-9a|=9a，
∵四边形BCDE是正方形，
∴BC=DC，∠BCD=90°，
∴∠FCB=90°-∠GCD=∠CDG，
∵∠BFC=∠G=90°，
∴△BFC≌△CGD（AAS），
∴CG=BF=3，DG=CF=9a，
∵D的坐标为（m,n），
∴m=-9a-3，n=-2+9a，
∴m+n=-5
∴n=-5-m，
∵在BC边的右下方作正方形BCDE，
∴m>-2，
答：n=-5-m（m>-2）．
（1）根据抛物线y=a（x+2）2-9a顶点为C，直接可得C（-2,-9a）；
（2）在y=a（x+2）2-9a中，令y=0得：a（x+2）2-9a=0，即可得B（1,0）；
（3）①过C作y轴平行线交x轴于F，过D作DG⊥CF于G，由C（-2,-9a），B（1,0）可得BF=OB+OF=3，又∠ABC=30°得CF=BF⋅tan30°= 3，根据四边形BCDE是正方形，可得△BFC≌△CGD（AAS），即知BF=CG=3，CF=DG= 3，从而求得D（ 3-2,-3- 3）；
②过C作y轴平行线交x轴于F，过D作DG⊥CF于G，同①的方法可得D（1,-6）；
③过C作y轴平行线交x轴于F，过D作DG⊥CF于G，根据C（-2,-9a），B（1,0）和△BFC≌△CGD（AAS）可得CG=BF=3，DG=CF=9a，又D的坐标为（m,n），即知m=-9a-3，n=-2+9a，消去a得m+n=-5，n=-5-m，又在BC边的右下方作正方形BCDE，故m>-2．
本题考查二次函数综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，正方形性质及应用等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．