2023-2024学年天津市南开区南开大学附中高二（上）第二次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市南开区南开大学附中高二（上）第二次月考数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.“若一条直线的斜率为tanα”是“此直线的倾斜角为α”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
2.正项等比数列{an}的公比为2，若a2a10=16，则a9的值是( )
A. 8B. 16C. 32D. 64
3.椭圆x29+y24=1的离心率是( )
A. 133B. 53C. 23D. 59
4.在等差数列{an}中，a3+a7=6，则a2+a8=( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
5.双曲线x216−y29=1的渐近线方程是( )
A. y=±34xB. y=±43xC. y=±916xD. y=±169x
6.两直线3x+4y−3=0与mx+8y+1=0平行，则它们之间的距离为( )
A. 4B. 75C. 710D. 1710
7.在数列{an}中，a1=12，an=1−1an−1(n≥2,n∈N+)，则a2023=( )
A. 12B. 1C. −1D. 2
8.抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
9.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2,AA1=4,E为棱BB1的中点，则异面直线AE与A1D所成角的余弦值为( )
A. 53B. 63C. 65D. 105
10.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴交于D，E两点，且|DE|=45|AB|，则直线l的方程为( )
A. x± 3y−1=0B. x±y−1=0C. 2x±y−2=0D. x±2y−1=0
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.直线2ax+(a+3)y+2=0与(a+2)x+ay−1=0平行，则a= ______ ．
12.圆C1：x2+y2−2x−6y−1=0和圆C2：x2+y2−10x−12y+45=0的公共弦的长为______．
13.已知数列{an}的前n项和Sn=2n2+n−5，那么它的通项公式是______ ．
14.已知点A，B分别是射线l1：y=x(x≥0)，l2：y=−x(x≤0)上的动点，O为坐标原点，且△AOB的面积为定值4.则线段AB中点M的轨迹方程为______．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
设{an}是由正数组成的等比数列，且a5⋅a6=9，则lg3a1+lg3a2+lg3a3+…+lg3a10的值是______ ．
16.(本小题12分)
已知等差数列{an}满足a5=9，其前11项和S11=121；数列{bn}是单调递增的等比数列，且满足b1+b4=9，b2b3=8．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式．
(2)求数列{bn}的前n项和Tn．
17.(本小题12分)
已知圆C过点P(0,−4)，Q(2,0)，R(3,−1)．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l：mx+y−1=0与圆C交于两点A，B，且|AB|=4，求m的值．
18.(本小题12分)
已知数列{an}满足an+1−2an+2=0，且a1=8．
(1)证明：数列{an−2}为等比数列；
(2)设bn=nan，求数列{bn}的前n项和为Tn．
19.(本小题12分)
如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD，EF/​/AB，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P为棱DF的中点．
(1)求证：BF/​/平面APC；
(2)求直线DE与平面BCF所成角的正弦值；
(3)求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值．
20.(本小题12分)
已知O为坐标原点，设椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，过椭圆E上第一象限内一点P引x轴、y轴的平行线，分别交y轴、x轴于点A，B，且分别交直线y=−bax于点Q，R，记△OAQ与△OBR的面积分别为S1，S2，满足S1+S2=1．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知点N(0,−1)，直线l：y=kx+3交椭圆E于S，T两点，直线NS，NT分别与x轴交于C，D两点，证明：|OC|⋅|OD|为定值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：若一条直线的斜率为tanα，则该直线的倾斜角为不一定是α，如α=330°时，此时，直线的倾斜角为150°，
若直线的倾斜角为α，直线的斜率也不一定是tanα，如直线与y轴重合．
故“若一条直线的斜率为tanα”是“此直线的倾斜角为α”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，得出结论轮．
本题主要考查直线的倾斜角和斜率，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵正项等比数列{an}的公比为2，a2a10=16，
∴a12×210=16，
∴a1=18，
∴a9=a1×28=25=32，
故选：C．
利用正项等比数列{an}的公比为2，a2a10=16，求出a1=18，再利用a9=a1×28，即可得出结论．
本题考查等比数列的通项公式，考查学生的计算能力，比较基础．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查椭圆的离心率的求法，属于基础题．
直接利用椭圆离心率公式求解即可．
【解答】
解：椭圆x29+y24=1，可得a=3，b=2，
则c= 9−4= 5，
所以椭圆的离心率为ca= 53，
故选B．
4.【答案】D
【解析】解：由{an}是等差数列，得a2+a8=a3+a7=6．
故选：D．
根据{an}是等差数列，直接利用a2+a8=a3+a7进行求解即可．
本题主要考查等差数列的性质，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查双曲线的标准方程，掌握双曲线的渐近线方程即可．
根据题意，由双曲线的标准方程可得其中a、b的值，结合焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程即可得答案．
【解答】
解：根据题意，双曲线的方程为：x216−y29=1，
其中a= 16=4，b= 9=3；
且其焦点在x轴上，则其渐近线方程为：y=±34x；
故选：A．
6.【答案】C
【解析】解：因为直线3x+4y−3=0与mx+8y+1=0平行，
故3×8−4m=0，解得m=6．
故直线6x+8y−6=0与mx+8y+1=0间的距离为|−6−1| 62+82=710．
故选：C．
先根据直线平行求得m，再根据平行线间的距离公式求解即可．
本题考查平行线间的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：a2=1−1a1=1−2=−1，
a3=1−1a2=1+1=2，
a4=1−1a3=1−12=12，
可得数列{an}是以3为周期的周期数列，
∴a2023=a3×674+1=a1=12，
故选：A．
利用数列的递推公式求出数列{an}的前4项，推导出{an}为周期数列，从而得到a2023的值．
本题考查数列的递推公式、数列的周期性，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】D
【解析】解：依题意可知抛物线的准线方程为y=−1
∴点A到准线的距离为4+1=5
根据抛物线的定义可知点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离
∴点A与抛物线焦点的距离为5
故选D
先根据抛物线的方程求得准线的方程，进而利用点A的纵坐标求得点A到准线的距离，进而根据抛物线的定义求得答案．
本题主要考查了抛物线的定义的运用．考查了学生对抛物线基础知识的掌握．属基础题．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
取CC1的中点F，连结DF，A1F，EF，推导出四边形BCEF是平行四边形，从而异面直线AE与A1D所成角即为相交直线DF与A1D所成角，由此能求出异面直线AE与A1D所成角的余弦值．
【解答】
解：取CC1的中点F，连结DF，A1F，EF，
∵E为棱BB1的中点，∴EF/​/BC，EF=BC，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∴异面直线AE与A1D所成角即为相交直线DF与A1D所成角，
∵AB=AD=2，AA1=4，
∴A1D= 4+16=2 5，DF= 4+4=2 2，A1F= 4+4+4=2 3，
∴A1F2+DF2=A1D2，∴△A1DF是直角三角形，∠A1FD=90°，
∴cs∠A1DF=DFA1D=2 22 5= 105，
∴异面直线AE与A1D所成角的余弦值为 105．
故选：D．
10.【答案】C
【解析】解：设|AB|=2r(2r≥4)，AB的中点为M，MN⊥y轴于点N，过A，B作准线x=−1的垂线，垂足分别为A1，B1，如图：
由抛物线的定义知2(|MN|+1)=|AA1|+|BB1|=|AF|+|BF|=|AB|=2r，
故|MN|=r−1，
所以|DE|=2 r2−(r−1)2=85r，
即16r2−50r+25=0，
解得r=52或r=58(舍去)，
故M的横坐标为32，
设直线l：y=k(x−1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
将y=k(x−1)代入y2=4x，
得k2x2−(2k2+4)x+k2=0，
则x1+x2=2k2+4k2=3，
解得k=±2，
故直线l的方程为2x±y−2=0．
故选：C．
设|AB|=2r(2r≥4)，AB的中点为M，根据|DE|=45|AB|求出r，进而得到M点横坐标；再设直线l：y=k(x−1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，由韦达定理得到k与M横坐标的关系，进而求出k．
本题解题的关键是要抓住圆的两要素：圆心和半径，用圆心的横坐标得到斜率的等量关系．
11.【答案】6
【解析】解：由2a⋅a=(a+2)⋅(a+3)，得a=−1或a=6，
当a=−1时，两直线重合，不符合题意，舍去，
当a=6时，符合题意．
故答案为：6．
由两直线平行的系数间的关系，列出方程，检验求得a的值．
本题主要考查了两直线平行时的斜率关系，属于基础题．
12.【答案】2 7
【解析】解：因为圆C1：x2+y2−2x−6y−1=0和圆C2：x2+y2−10x−12y+45=0，
两式相减得，公共弦所在直线的方程4x+3y−23=0，
因为圆心C1(1,3)，半径r1= 11，
所以圆心C1到公共弦的距离为d=|4+9−23| 42+32=2，
所以公共弦长为2 r12−d2=2 11−4=2 7．
故答案为：2 7．
两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程4x+3y−23=0，计算出C1到公共弦的距离为d，进而得公共弦长．
本题考查两圆的位置关系，属于基础题．
13.【答案】an=−2,n=14n−1,n≥2
【解析】解：分类讨论：当n=1时，a1=S1=2+1−5=−2，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=(2n2+n−5)−[2(n−1)2+(n−1)−5]=4n−1，且当n=1时：4n−1=4−1=3≠−2
据此可得，数列的通项公式为：an=−2,n=14n−1,n≥2．
故答案为：an=−2,n=14n−1,n≥2．
根据题意，首先当n=1时，计算出a1，当n≥2时，an=Sn−Sn−1，求解得到an=4n−1，同时验证n=1时，是否成立，即可．
本题考查由数列的前n项和公式，求通项公式，属于基础题．
14.【答案】x2−y2=2(x>0)
【解析】解：∵点A，B分别是射线l1：y=x(x≥0)，l2：y=−x(x≤0)上的动点，
∴可设A(x1,x1)，B(x2,−x2)，M(x,y)，其中x1>0，x2>0，
∵M为AB的中点，
∴x=x1+x22 ①，y=x1−x22 ②，
∴S△OAB=12|OA||OB|=12×( 2x1)×( 2x2)=4，即x1x2=4，
∴①2−②2，消去x1，x2，x2−y2=4，
∵x1>0，x2>0，
∴x>0，
∴点M的轨迹方程为x2−y2=2(x>0)．
故答案为：x2−y2=2(x>0)．
点A，B分别是射线l1：y=x(x≥0)，l2：y=−x(x≤0)上的动点，可设A(x1,x1)，B(x2,−x2)，M(x,y)，其中x1>0，x2>0，由M为AB的中点，可推得x=x1+x22 ①，y=x1−x22 ②，再结合三角形面积公式，即可求解．
本题主要考查轨迹方程的求解，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
15.【答案】10
【解析】解：∵{an}是由正数组成的等比数列，且a5⋅a6=9，
∴a1⋅a10=a2⋅a9=…=a5⋅a6=9，
∴lg3a1+lg3a2+lg3a3+…+lg3a10=lg3(a1⋅a10)5=5lg39=10．
故答案为：10．
依题意知，a1⋅a10=a2⋅a9=…=a5⋅a6=9，利用对数的运算性质可得lg3a1+lg3a2+lg3a3+…+lg3a10=lg395=10．
标题考查数列的求和，着重考查等比数列的性质(下标之和相等的两角之积相等)与对数的运算性质的应用，属于中档题．
16.【答案】解：(1)设数列{an}的公差为d，
由已知可得a5=a1+4d=9S11=11a1+11×10d2=121，
解得a1=1d=2，
所以an=a1+(n−1)d=2n−1(n∈N*)．
因为数列{bn}是单调递增的等比数列，
由已知可得b1+b4=9b2b3=b1b4=8b1解得b1=1b4=8，
所以数列{bn}的公比为q=3b4b1=2，
所以bn=b1⋅qn−1=2n−1(n∈N*)．
(2)Tn=b1(1−qn)1−q=1−2n1−2=2n−1．
【解析】(1)设数列{an}的公差为d，由已知条件可得出关于a1、d的方程组，解出这两个量的值，可得出等差数列{an}的通项公式，根据等比数列的单调性与基本性质可求得b1、b4的值，可求得等比数列{bn}的公比，进而可得出数列{bn}的通项公式；
(2)利用等比数列的求和公式可求得Tn．
本题考查等差数列和等比数列的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
由题意可得：16−4E+F=04+2D+F=010+3D−E+F=0，解得D=−2E=4F=0，
故圆的一般方程为x2+y2−2x+4y=0，即(x−1)2+(y+2)2=5．
(2)由(1)可得：圆心C(1,−2)，半径r= 5，
则圆心C(1,−2)到直线l的距离d= r2−(|AB|2)2=1，
可得|m−2−1| m2+12=1，解得m=43，
所以m的值为43．
【解析】(1)设圆的一般方程，代入运算求解即可；
(2)根据垂径定理可得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式运算求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】(1)证明：依题意，由an+1−2an+2=0，
可得an+1=2an−2，
两边同时减去2，
可得an+1−2=2an−2−2=2(an−2)，
∵a1−2=8−2=6，
∴数列{an−2}是以6为首项，2为公比的等比数列．
(2)解：由(1)，可得an−2=6⋅2n−1=3⋅2n，
则an=3⋅2n+2，n∈N*，
∴bn=nan=n⋅(3⋅2n+2)=3n⋅2n+2n，
∴Tn=b1+b2+…+bn
=(3⋅1⋅21+2⋅1)+(3⋅2⋅22+2⋅2)+…+(3n⋅2n+2n)
=3⋅(1⋅21+2⋅22+…+n⋅2n)+2⋅(1+2+…+n)
=3⋅(1⋅21+2⋅22+…+n⋅2n)+2⋅n(n+1)2
=3⋅(1⋅21+2⋅22+…+n⋅2n)+n2+n，
令Mn=1⋅21+2⋅22+…+n⋅2n，
则2Mn=1⋅22+2⋅23+…+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1，
两式相减，
可得−Mn=21+22+…+2n−n⋅2n+1
=21−2n+11−2−n⋅2n+1
=−(n−1)⋅2n+1−2，
∴Mn=(n−1)⋅2n+1+2，
∴Tn=3⋅(1⋅21+2⋅22+…+n⋅2n)+n2+n
=3Mn+n2+n
=3⋅[(n−1)⋅2n+1+2]+n2+n
=3(n−1)⋅2n+1+n2+n+6．
【解析】(1)先将题干中递推公式进行转化，进一步推导即可证得数列{an−2}是以6为首项，2为公比的等比数列；
(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{an−2}的通项公式，进一步计算出数列{an}的通项公式，再计算出数列{bn}的通项公式，然后运用分组求和法，错位相减法，以及等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前n项和Tn．
本题主要考查等比数列的判定，以及数列求和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，分组求和法，错位相减法，等差数列和等比数列的求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
19.【答案】(1)证明：连接BD，交AC于O，连接OP，
因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD中点，
因为点P为棱DF的中点，所以BF/​/OP，
因为OP⊂平面APC，BF⊄平面APC，
所以BF/​/平面APC．
(2)解：因为四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD，所以AB、AD、AF两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
D(0,2,0)，E(12,0,1)，B(1,0,0)，F(0,0,1)，C(1,2,0)，
BC=(0,2,0)，BF=(−1,0,1)，DE=(12,−2,1)，
令m=(1,0,1)，
因为m⋅BC=0，m⋅BF=0，
所以m=(1,0,1)是平面BCF的法向量，
所以直线DE与平面BCF所成角的正弦值为|m⋅DE||m|⋅|DE|=32 2⋅ 212= 4214．
(3)解：因为P(0,1,12)，再由(2)知AP=(0,1,12)，AC=(1,2,0)，
设平面ACP的法向量为n=(x,y,z)，
n⋅AP=y+12z=0n⋅AC=x+2y=0，令y=−1，n=(2,−1,2)，
因为平面ACP与平面BCF的夹角是锐角，
所以平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值为|m⋅n||m|⋅|n|=4 2⋅3=2 23．
【解析】(1)只要证明BF平行于平面ACP内直线PO即可；(2)用向量数量积计算直线与平面成角正弦值；(2)用向量数量积计算二面角的余弦值．
本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，考查了二面角计算问题，属于中档题．
20.【答案】解：(1)设P(x0,y0)(x0>0,y0>0)，得Q(−aby0,y0)，
同理可得R(x0,−bax0)．
所以S1=12y0|−aby0|=a2by02，S2=12x0|−bax0|=b2ax02，
所以S1+S2=a2by02+b2ax02=a2y02+b2x022ab=b2(a2−x02)+b2x022ab=ab2=1，
即ab=2．
又ca= 32，所以ba= 1−(ca)2=12，所以a=2，b=1．
所以椭圆E的标准方程为x24+y2=1．
(2)证明：联立直线l和椭圆E的方程得y=kx+3x24+y2=1，
消去y得(1+4k2)x2+24kx+32=0．
由Δ=(24k)2−4×32(1+4k2)>0，可得k2>2．
设S(x1,y1)，T(x2,y2)，则x1+x2=−24k1+4k2，x1x2=321+4k2>0．
由题易知x1≠0，x2≠0，y1≠−1，y2≠−1，
所以直线SN的方程为y+1=y1+1x1(x−0)，
令y=0，得xC=x1y1+1，同理xD=x2y2+1．
所以|OC|⋅|OD|=|x1y1+1|⋅|x2y2+1|=x1x2(y1+1)(y2+1)=x1x2(kx1+4)(kx2+4)=x1x2k2x1x2+4k(x1+x2)+16=321+4k2k2⋅321+4k2+4k(−24k1+4k2)+16=3216=2．
故|OC|⋅|OD|为定值2．
【解析】(1)设P(x0,y0)(x0>0,y0>0)，得Q，R坐标，由S1+S2=1，得ab=2，再由离心率 32，求得a，b，得椭圆E的标准方程；
(2)直线l与椭圆E联立方程组，设S(x1,y1)，T(x2,y2)，表示出直线NS，NT，得C，D两点，利用韦达定理证明|OC|⋅|OD|为定值．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．