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第六章 立体几何初步（A卷·知识通关练）-2023-2024学年高一数学分层专题训练（北师大版必修第二册）
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这是一份第六章 立体几何初步（A卷·知识通关练）-2023-2024学年高一数学分层专题训练（北师大版必修第二册），文件包含第六章立体几何初步A卷·知识通关练原卷版docx、第六章立体几何初步A卷·知识通关练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共130页， 欢迎下载使用。
核心知识1基本立体图形
1．（2023春·四川德阳·高一四川省德阳中学校校考阶段练习）以下说法正确的个数为（ ）
①圆柱的所有母线长都相等
②棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
③底面是正多边形的棱锥是正棱锥
④棱台的侧棱延长后必交于一点
A．1B．2C．3D．4
2．（2023春·安徽滁州·高一滁州市第二中学校联考期中）下列说法正确的是（ ）
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台
C．底面是矩形的四棱柱是长方体
D．三棱台有8个顶点
3．（2023春·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥
B．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台
C．棱柱的侧面都是平行四边形
D．直角三角形绕一条边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆锥
4．（2023春·山东青岛·高一青岛二中校考期中）给出下列命题中，正确的命题是（ ）
A．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱
B．侧棱都相等的棱锥是正棱锥
C．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱
D．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
5．（2023·全国·高一专题练习）如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为（ ）
A．25B．23C．42D．23
6．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=2，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M，则从点B经点M到C1的最短路线长为（ ）
A．22B．25C．4D．45
7．[多选]（2023·全国·高一专题练习）用一个平面去截正方体，则截面可能是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形C．正方形D．正六边形
核心知识2直观图
1．[多选]（2023·全国·高一专题练习）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ）
A．三角形的直观图是三角形
B．平行四边形的直观图是平行四边形
C．正方形的直观图是正方形
D．菱形的直观图是菱形
2．（2023·全国·高一专题练习）下列关于平面图形的直观图的叙述中，正确的是（ ）
A．等腰三角形的直观图仍是一个等腰三角形
B．若某一平面图形的直观图面积为a，则原图形面积为22a
C．原图形中相等的线段，其直观图也一定相等
D．若三角形的周长为12，则其直观图的周长为6
3．（2023·全国·高一专题练习）如图所示的水平放置的三角形的直观图，D'是△A'B'C'中B'C'边的中点，且A'D'平行于y'轴，那么A'B'，A'D'，A'C'三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中（ ）
A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AD，最短的是AC
4．（2023春·河南·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习）如图，△O'A'B'是△OAB的直观图，则△OAB是（ ）
A．正三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．以上都有可能
5．（2023春·安徽·高一安徽师范大学附属中学校考阶段练习）如图，△A'B'C'是水平放置△ABC的直观图，其中B'C'=C'A'=1，A'B'//x'轴，A'C'//y'轴，则BC=（ ）
A．2B．2C．6D．4
6．（2023春·全国·高一专题练习）若△OAB的直观图如图所示，∠B'A'O'=π2，B'A'=2，则顶点B到x轴的距离是（ ）
A．2B．4C．2D．42
7．（2023春·河南郑州·高一河南省实验中学校考期中）如图，矩形O'A'B'C'是一个水平放置的平面图形的直观图，其中O'A'=3，O'C'=1，则原图形是（ ）
A．面积为62的菱形B．面积为62的矩形
C．面积为324的菱形D．面积为324的矩形
8．（2023·全国·高一专题练习）如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A'B'C'D'，已知A'B'=4,C'D'=2，则下列说法正确的是（ ）
A．AB=2B．A'D'=22
C．四边形ABCD的周长为4+22+23D．四边形ABCD的面积为62
9．[多选]（2023春·广西玉林·高一校联考期中）水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B'O'=C'O'=1，A'O'=32，那么原△ABC是一个（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．三边互不相等的三角形D．面积为3的三角形
10．（2023春·浙江·高一台州市书生中学校联考期中）如图等腰梯形ABCD，AB∥CD，AB=1，AD=2，CD=3，那么该梯形直观图的面积是______.
11．（2023春·浙江·高一校联考期中）平面直角坐标系xOy中线段OA的长为5，与x轴所成的夹角为α，且tanα=2，在斜二测画法下∠x'y'=45°，其直观图为线段O'A'，则线段O'A'的长度为___________．
12．（2023春·高一课时练习）已知正五边形ABCDE，如图，试画出其直观图．
13．（2023·全国·高一专题练习）用斜二测画法画出如图所示水平放置的等腰梯形和正五边形的直观图.
核心知识3空间点、直线、平面之间的位置关系
1．（2023春·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）根据所学知识判断下列描述错误的是（ ）
A．不相交的直线是平行直线B．经过两条平行直线有且只有一个平面
C．不共线的三点确定一个平面D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
2．（2023·吉林·统考模拟预测）已知α,β是两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ）
A．若α∩β=l,A∈α且A∈β，则A∈l
B．若A,B,C是平面α内不共线三点，A∈β,B∈β，则C∉β
C．若直线a⊂α，直线b⊂β，则a与b为异面直线
D．若A∈α且B∈α，则直线AB⊂α
3．（2023·全国·高一专题练习）下列命题正确的为（ ）
①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q，R，则P，Q，R三点共线；
②若三条直线a，b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；
③已知a，b，c为三条直线，若a，b异面，b，c异面，则a，c异面；
④已知a，b，c为三条直线，若a⊥c，b⊥c，则a∥b.
A．①③B．②③C．②④D．①②
4．（2023·河南·模拟预测）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1的中点，过M，N，B1三点的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面形状为（ ）
A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形
5．[多选]（2023春·江苏淮安·高一淮阴中学校考期中）已知空间中的平面α，直线l，m，n以及点A，B，C，D，则以下四个命题中，不正确的命题是（ ）
A．在空间中，四边形ABCD满足AB=BC=CD=DA，则四边形ABCD是菱形.
B．若l∉α，A∈l，则A∉α.
C．若m⊂α，n⊂α，A∈m，B∈n，A∈l，B∈l，则l⊂α.
D．若l和m是异面直线，n和l是平行直线，则n和m是异面直线.
6．[多选]（2023春·四川广安·高一广安二中校考期中）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E,H分别是边AB,AD的中点，点F,G分别是边BC,CD上的三等分点，且CFCB=CGCD=23，则下列说法正确的是（ ）
A．E,F,G,H四点共面
B．EF与GH异面
C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上
D．EF与GH的交点M一定在直线AC上
7．（2023·全国·高一专题练习）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G,H 分别为AB,A1D1,BC,CC1的中点，则直线EF与GH夹角的余弦值为（ ）
A．33B．23C．22D．32
8．（2023春·浙江杭州·高一杭师大附中校考期中）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值是（ ）
A．0B．12C．31010D．1010
9．（2023·河南·校联考模拟预测）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1是正方形A1B1C1D1的中心，则直线O1B与直线C1D1所成角的余弦值为（ ）
A．36B．66C．63D．306
10．（2022·海南·校联考模拟预测）卡夫拉金字塔（如图1）由埃及第四王朝法老卡夫拉建造，可通往另一座河谷的神庙和狮身人面像，是世界上最紧密的建筑．从外侧看，金字塔的形状可以抽象成一个正四棱锥（如图2），其中SAAC=2，点E为SB的中点，则SA，CE所成角的余弦值为（ ）
A．104B．64C．5624D．612
11．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，点P在正方形ABB1A1内，若AB=2，A1P//平面AEF，则DP的最小值是（ ）
A．2B．655C．2D．3
12．（2023春·广东深圳·高一深圳市罗湖高级中学校考期中）如图，在三棱锥D-ABC中，AC=3BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于__________.
13．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是_____.
14．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，已知四棱锥D1-ABCD的底面ABCD为平行四边形，M是棱DD1上靠近点D的三等分点，N是BD1的中点，平面AMN交CD1于点H，则，D1HD1C=_______.
15．（2023·全国·高一专题练习）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，M是A1B1的中点，点N在棱CC1上，且CN=2NC1.作出过点D，M，N的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面，写出作法；
16．（2023春·陕西·高一校联考期中）已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中BC和CC1的中点.
(1)证明：A,E,F,D1四点共面.
(2)证明：AE，D1F，DC三条直线交于一点.
17．（2023春·安徽·高一安徽师范大学附属中学校考阶段练习）空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD上，且满足AE:EB=CF:FB=2:1，CG:GD=AH:HD=3:1.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)求证：EH，FG，BD三线共点.
18．（2023春·安徽·高一安徽省宿松中学校联考期中）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C1∩B1D1=O1，B1D∩截面A1BC1=P.
(1)确定点P的位置；
(2)若AB=3，BC=4，CC1=6，求线段DP的长.
核心知识4平行关系
1．[多选]（2023春·吉林·高一长春吉大附中实验学校校考期中）设有两条不同的直线m、n和两个不同的平面α、β，下列命题中错误的命题是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若m∥n，m⊂α，则n∥α
D．若α∥β，m⊂α，则m∥β
2．（2023春·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期中）已知不重合的直线l，m和不重合的平面α，β，下列命题正确的是（ ）
A．若l∥α，l//β，则α//βB．若l⊥α，l⊥m，则m//α
C．若l⊥α，l⊥β，则α//βD．若l⊂α，m⊂α，l//β，m//β，则α//β
3．[多选]（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考期中）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱BB1，B1C1，C1D1的中点，则（ ）
A．点F在平面AED1内B．BC1∥平面AED1
C．点C1在平面AED1内D．点G在平面AED1内
4．[多选]（2023春·浙江·高一台州市书生中学校联考期中）如图正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F分别为CC1、AA1的中点，M是线段D1E上的动点（包括端点），下列说法正确的是（ ）
A．对于任意M点，B1M与平面DFB平行
B．存在M点，使得A1M与平面DFB平行
C．存在M点，使得直线B1M与直线DF平行
D．对于任意M点，直线A1M与直线BF异面
5．[多选]（2023·河北衡水·模拟预测）如图，已知圆锥的顶点为S，底面ACBD的两条对角线恰好为圆O的两条直径，E,F分别为SA,SC的中点，且SA=AC=AD，则下列说法中正确的有（ ）
A．SD//平面OEF
B．平面OEF//平面SBD
C．OE⊥SA
D．直线EF与SD所成的角为45°
6．[多选]（2023春·河南濮阳·高一濮阳外国语学校校考期中）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F、M、N分别为所在棱上的中点，下列判断不正确的是（ ）
A．直线AD//平面MNEB．直线FC1//平面MNE
C．平面A1BC//平面MNED．平面AB1D1//平面MNE
7．（2023·全国·高一专题练习）如图所示的是正方体的平面展开图．有下列四个命题：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF．其中，正确命题的序号是________．
8．（2023春·北京·高一汇文中学校考期中）（1）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是A1C1的中点．求证：BC1∥平面AB1D；
（2）如图，在三棱锥P-ABC中，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF=2FP．求证：CM∥平面BEF．
9．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．
(1)求证：QN∥平面PAD；
(2)记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明．
10．（2023·全国·高一专题练习）如图：在正方体ABCD-A1B1C1D1中AB=2，M为DD1的中点.
(1)求三棱锥M-ABC的体积；
(2)求证：BD1//平面AMC；
(3)若N为CC1的中点，求证：平面AMC//平面BND1.
11．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E,F,G,H 分别是AB,AC，A1C1，A1B1的中点，求证：
(1)B1C1//平面A1EF；
(2)平面A1EF//平面BCGH．
12．（2023·全国·高一专题练习）已知点P为正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=AB=13，M、N分别为PA、BD上的点，且PMMA=BNND=58.
(1)求证：MN//平面PBC；
(2)求线段MN的长.
13．（2023·全国·高一专题练习）如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别是被DD1，AB的中点．
(1)若平面PQC与直线AA1交于R点，求ARA1R的值；
(2)若M为棱CC1上一点且CM＝λCC1，若BM//平面PQC，求λ的值．
核心知识5垂直关系
1．（2023·全国·高三专题练习）已知a，b，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β=l，a⊂α，b⊂β，则下列结论正确的是（ ）
A．若a∥β，则a∥lB．若a⊥b，a⊥l，则α⊥β
C．若α⊥β，则a⊥βD．a，b一定是异面直线
2．（2023·河北张家口·统考一模）已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列选项不正确的是（ ）
A．直线A1B与B1C所成的角为60°B．A1B⊥DB1
C．DB1⊥平面ACD1D．B1C⊥B1D
3．（2021春·高一课时练习）如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
4．[多选]（2023·全国·模拟预测）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1C，C1D1的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．E∈平面BDD1B1B．A1C⊥平面BDD1B1
C．EF∥平面BCC1B1D．EF⊥AB
5．[多选]（2023春·河南·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习）如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，E，F分别为CC1，AA1的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．B1E⊥平面BEF
B．直线B1E与直线BF所成的角为90∘
C．平面BEF与平面ABCD的夹角为45∘
D．直线D1F与平面ABCD所成的角为45∘
6．[多选]（2023·山西·校联考模拟预测）在四面体ABCD中，∠BAD=∠CBD=π2，AD=23，BC=2，E为CD的中点，△ACE为等边三角形，则（ ）
A．平面ABC⊥平面ACDB．BC⊥平面ABD
C．异面直线AB与CD所成角为π2D．异面直线AC与BE所成角为π2
7．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期中）已知棱长均相等的正三棱柱ABC-A1B1C1，M，N分别为棱CC1，A1B1中点．
(1)证明：C1N∥平面A1BM；
(2)证明：AB1⊥平面A1BM．
8．（2023春·陕西榆林·高二绥德中学校考阶段练习）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，SA⊥底面ABCD，SA=AD，点M是SD的中点，AN⊥SC且交SC于点N.
(1)求证：SB∥平面ACM；
(2)求证：平面SAC⊥平面AMN.
9．（2023·全国·高一专题练习）如图，在长方形ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=1．
(1)求证：B1C⊥BD1；
(2)求直线AB1与平面ABC1D1所成角的正弦值．
10．（2023春·浙江·高一期中）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，平面ABC⊥平面BCC1B1，且B1C⊥AB，点D为棱A1B1的中点．
(1)求证：直线B1C⊥平面ABC；
(2)若AB=1，AC=3，BB1=3，求直线CD与平面ABB1A1所成角的正弦值．
11．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1在平面ABC的射影恰为等边三角形ABC的中心，且AB=2，AA1=2.
(1)证明：BB1⊥平面A1BC；
(2)求二面角B1-A1C-B的正弦值.
12．（2023春·吉林·高一长春吉大附中实验学校校考期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=22a，设E，F分别为PC，BD的中点．
(1)求证：EF//平面PAD；
(2)求证：平面PAB⊥平面PDC；
(3)求直线EF与平面ABCD所成角的大小．
核心知识6简单几何体的再认识
1．（2023·全国·高一专题练习）若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（ ）
A．1:2B．2:1C．2:1D．1:22
2．（2023·全国·高一专题练习）已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为90°，则这个圆台的侧面积为（ ）
A．32πB．48πC．64πD．80π
3．（2023春·安徽·高一安徽师范大学附属中学校考阶段练习）圆台上、下底面积分别为36π和49π，母线长为5，则其轴截面面积为（ ）
A．136B．266C．132D．262
4．（2023·河北·统考模拟预测）《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四棱台）建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象成ABCD-A1B1C1D1的正四棱台（如图所示），其中上底面与下底面的面积之比为1:16，方亭的高为棱台上底面边长的3倍.已知方亭的体积为567m3，则该方亭的表面积约为（ ）（5≈2.2，3≈1.7，2≈1.4）
A．380m2B．400m2C．450m2D．480m2
5．（2023·全国·高一专题练习）已知圆台O1O2的下底面半径是上底面半径的2倍，其内切球的半径为2，则该圆台的体积为（ ）
A．72π3B．142π3C．242π3D．252π3
6．（2023·浙江绍兴·统考二模）牟合方盖是由我国古代数学家刘徽发现并采用的，一种用于计算球体体积的方法，类似于现在的微元法.由于其采用的模型像一个牟合的方形盒子，故称为牟合方盖.本质上来说，牟合方盖是两个半径相等并且轴心互相垂直的圆柱体相交而成的三维图形，如图1所示.刘徽发现牟合方盖后200多年，祖冲之及他的儿子祖暅，推导出牟合方盖八分之一部分的体积计算公式为V=23r3（r为构成牟合方盖的圆柱底面半径）.图2为某牟合方盖的18部分，且图2正方体的棱长为1，则该牟合方盖的体积为（ ）
A．23B．423C．163D．3223
7．[多选]（2023春·四川德阳·高一四川省德阳中学校校考阶段练习）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积为2πR2
B．圆锥的侧面积为2πR2
C．圆柱的侧面积与球的表面积相等
D．圆柱､圆锥､球的体积之比为3:1:2
8．[多选]（2023春·山东青岛·高一校考期中）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=90°，侧面AA1C1C的对角线交点O，点E是侧棱BB1上的一个动点，下列结论正确的是（ ）
A．直三棱柱的体积是1
B．直三棱柱的外接球表面积是6π
C．三棱锥E-AA1O的体积与点E的位置有关
D．AE+EC1的最小值为22
9．[多选]（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图，在矩形AEFC中，AE=2，EF=22，B为EF中点，现分别沿AB、BC将△ABE、△BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-ABC，则（ ）
A．AC⊥BP
B．三棱锥P-ABC的体积为423
C．直线PA与平面ABC所成角的大小为π6
D．三棱锥P-ABC外接球的半径为102
10．（海南省海口市2023届高三模拟考试数学试题）在正三棱锥S-ABC中，SA=2AB=23，则该三棱锥外接球的表面积为______.
11．（2023·全国·高一专题练习）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥AD，AB=BD=2，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为10，则该棱锥的外接球的体积为______.
12．（2023春·陕西宝鸡·高一统考期中）已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为90°，则圆台的表面积为_________．
13．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考二模）在圆台O1O2中，ABCD是其轴截面，AD=DC=BC=12AB，过O1C与轴截面ABCD垂直的平面交下底面于EF，若点A到平面CEF的距离是3，则圆台的体积等于______.
14．（2023·广西·统考模拟预测）如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，∠ABC=60∘，AB=2AA1=2A1B1=2，AA1⊥平面ABCD.
(1)证明：BD⊥CC1；
(2)若M是棱BC上一动点（含端点），求三棱锥D-AMD1的体积.
核心知识7立体几何初步综合
1．[多选]（2023春·吉林·高一东北师大附中校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．圆柱的母线长与圆柱的底面圆半径不可能相等
B．将一个直角梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体
C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体
D．任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥
2．[多选]（2023春·安徽·高一安徽师范大学附属中学校考阶段练习）下列命题中成立的是（ ）
A．a //b，a // c⇒b //c
B．a⊥c，b⊥c⇒ a //b
C．A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
D．P∈α，P∈β且α∩β=l⇒P∈l
3．（2023春·宁夏银川·高一银川一中校考期中）如图，已知圆锥的母线长为2，底面半径为23，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面爬行一周返回A点，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．1B．3
C．23D．4
4．（2023春·河南濮阳·高一濮阳外国语学校校考期中）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（ ）
A．16B．12C．4+82D．4+42
5．（2023·全国·高一专题练习）如图，用斜二侧画法得到△ABC的直观图为等腰Rt△A'B'C'，其中A'B'=1，则△ABC的面积为（ ）
A．1B．2C．2D．22
6．（2023春·贵州·高一校联考阶段练习）如图所示，△ABC的直观图是边长为2的等边△A'B'C'，则在原图中，BC边上的高为（ ）
A．26B．6C．23D．3
7．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1，∠BAC=60°，则直线AB1与BC所成角的余弦值等于（ ）
A．22B．32C．24D．0
8．（2023·四川凉山·三模）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是棱CC1的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值为（ ）．
A．1010B．31010C．105D．155
9．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）在正三棱锥P-ABC中，PA=63，BC＝6，M，N，Q，D分别是AP，BC，AC，PC的中点，平面MQN与平面PBC的交线为l，则直线QD与直线l所成角的正弦值为（ ）
A．22B．56C．116D．32
10．（2023·高一单元测试）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是25，M为A1C1的中点，N是侧面BCC1B1上一点，且MN//平面ABC1，则线段MN的最大值为（ ）
A．22B．23C．10D．3
11．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期中）已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为3，在其中有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱的高为（ ）
A．223B．2C．423D．322
12．（2023·江西新余·统考二模）表面积为15π的球内有一内接四面体PABC，其中平面ABC⊥平面PAB，△ABC是边长为3的正三角形，则四面体PABC体积的最大值为（ ）
A．3215B．154C．275D．278
13．[多选]（2023·山东烟台·统考二模）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1,AA1的中点，G为线段B1C上一个动点，则（ ）
A．存在点G，使直线B1C⊥平面EFG
B．存在点G，使平面EFG∥平面BDC1
C．三棱锥A1-EFG的体积为定值
D．平面EFG截正方体所得截面的最大面积为334
14．[多选]（2023·湖北·统考模拟预测）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AD1上的动点，则（ ）
A．点A1,E,B,C四点不共面
B．△EBC在底面ABCD内的射影面积为定值
C．直线B1C与平面EBC所成角的正弦的最大值为22
D．当E为AD1中点时，四棱锥E-ABCD外接球的表面积为8π
15．（2023·全国·高一专题练习）棱台的上下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是________.
16．（2023·河南·校联考模拟预测）已知四面体ABCD的顶点都在球О的表面上，平面ABC⊥平面BCD，BC=2，△ABC为等边三角形，且∠BDC=90°，则球O的表面积为_______.
17．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，BC∥AD，E为侧棱PD的中点，且BC=2，AD=4，求证:CE∥平面PAB．
18．（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为AB的中点，求证：BC1//平面MA1C．
19．（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形．设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．
(1)求证：平面MNQ∥平面PAD；
(2)求证：BC∥l．
20．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC=12AD，E是PD的中点．
(1)求证：BC∥AD；
(2)求证：CE∥平面PAB．
21．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，△PAB为边长为2的正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，E为线段AD的中点，PE与平面ABCD所成角为45°.
(1)证明：EP=EC；
(2)求证：平面PCE⊥平面PBC.
22．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在三棱锥P-ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，且△ABC为边长为4的等边三角形，PA⊥PC，∠PAC=π6，D为PA的中点．
(1)求证：AP⊥BD；
(2)求点D到平面PBC的距离．
23．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AD，底面ABCD为直角梯形，BC=3AD，AD//BC，∠BCD=90∘，M为线段PB上一点．
(1)若PM=13PB，棱BC上是否存在点E，使得平面AME//平面PCD？并说明理由；
(2)若PA=2，AD=1，CD=1，异面直线PA与CD成90∘角，求异面直线PC与AB所成角的余弦值．
24．（2023春·广东广州·高一广州四十七中校考期中）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．
(1)求证BC⊥平面PAC；
(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正弦值．
25．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别为AC、AA1的中点，AC=AA1=2.
(1)求证：DE∥平面A1BC；
(2)求DE与平面BCC1B1夹角的余弦值.
26．（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）如图，在四棱锥D-ABC中，∠ADC=90∘,AD=AB=BC=3CD,E为线段AC的中点，BD=BC.
(1)证明：BE⊥CD；
(2)求直线BE与平面BCD所成角的正弦值.
27．（2021春·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上一点.
(1)求证：平面EBD⊥平面SAC；
(2)当SAAB的值为多少时，二面角B-SC-D的大小为120°.
28．（2023春·河南·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=AA1=1，∠ABC=90°，D，E分别是棱A1C1，AC的中点．
(1)判断多面体ABEDB1C1是否为棱柱并说明理由；
(2)求多面体ABEDB1C1的体积；
(3)求证：平面BC1E∥平面AB1D．
29．（2023春·天津武清·高一天津英华国际学校校考阶段练习）如图，在圆锥PO中，已知PO⊥底面⊙O，PO=2，⊙O的直径AB=2，C是AB的中点，D为AC的中点.
(1)证明：平面POD⊥平面PAC；
(2)求三棱锥D-PBC的体积；
(3)求二面角B-PA-C的余弦值.
核心知识1基本立体图形
1．（2023春·四川德阳·高一四川省德阳中学校校考阶段练习）以下说法正确的个数为（ ）
①圆柱的所有母线长都相等
②棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
③底面是正多边形的棱锥是正棱锥
④棱台的侧棱延长后必交于一点
A．1B．2C．3D．4
2．（2023春·安徽滁州·高一滁州市第二中学校联考期中）下列说法正确的是（ ）
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台
C．底面是矩形的四棱柱是长方体
D．三棱台有8个顶点
3．（2023春·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥
B．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台
C．棱柱的侧面都是平行四边形
D．直角三角形绕一条边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆锥
4．（2023春·山东青岛·高一青岛二中校考期中）给出下列命题中，正确的命题是（ ）
A．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱
B．侧棱都相等的棱锥是正棱锥
C．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱
D．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
5．（2023·全国·高一专题练习）如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为（ ）
A．25B．23C．42D．23
6．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=2，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M，则从点B经点M到C1的最短路线长为（ ）
A．22B．25C．4D．45
7．[多选]（2023·全国·高一专题练习）用一个平面去截正方体，则截面可能是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形C．正方形D．正六边形
核心知识2直观图
1．[多选]（2023·全国·高一专题练习）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ）
A．三角形的直观图是三角形
B．平行四边形的直观图是平行四边形
C．正方形的直观图是正方形
D．菱形的直观图是菱形
2．（2023·全国·高一专题练习）下列关于平面图形的直观图的叙述中，正确的是（ ）
A．等腰三角形的直观图仍是一个等腰三角形
B．若某一平面图形的直观图面积为a，则原图形面积为22a
C．原图形中相等的线段，其直观图也一定相等
D．若三角形的周长为12，则其直观图的周长为6
3．（2023·全国·高一专题练习）如图所示的水平放置的三角形的直观图，D'是△A'B'C'中B'C'边的中点，且A'D'平行于y'轴，那么A'B'，A'D'，A'C'三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中（ ）
A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AD，最短的是AC
4．（2023春·河南·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习）如图，△O'A'B'是△OAB的直观图，则△OAB是（ ）
A．正三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．以上都有可能
5．（2023春·安徽·高一安徽师范大学附属中学校考阶段练习）如图，△A'B'C'是水平放置△ABC的直观图，其中B'C'=C'A'=1，A'B'//x'轴，A'C'//y'轴，则BC=（ ）
A．2B．2C．6D．4
6．（2023春·全国·高一专题练习）若△OAB的直观图如图所示，∠B'A'O'=π2，B'A'=2，则顶点B到x轴的距离是（ ）
A．2B．4C．2D．42
7．（2023春·河南郑州·高一河南省实验中学校考期中）如图，矩形O'A'B'C'是一个水平放置的平面图形的直观图，其中O'A'=3，O'C'=1，则原图形是（ ）
A．面积为62的菱形B．面积为62的矩形
C．面积为324的菱形D．面积为324的矩形
8．（2023·全国·高一专题练习）如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A'B'C'D'，已知A'B'=4,C'D'=2，则下列说法正确的是（ ）
A．AB=2B．A'D'=22
C．四边形ABCD的周长为4+22+23D．四边形ABCD的面积为62
9．[多选]（2023春·广西玉林·高一校联考期中）水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B'O'=C'O'=1，A'O'=32，那么原△ABC是一个（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．三边互不相等的三角形D．面积为3的三角形
10．（2023春·浙江·高一台州市书生中学校联考期中）如图等腰梯形ABCD，AB∥CD，AB=1，AD=2，CD=3，那么该梯形直观图的面积是______.
11．（2023春·浙江·高一校联考期中）平面直角坐标系xOy中线段OA的长为5，与x轴所成的夹角为α，且tanα=2，在斜二测画法下∠x'y'=45°，其直观图为线段O'A'，则线段O'A'的长度为___________．
12．（2023春·高一课时练习）已知正五边形ABCDE，如图，试画出其直观图．
13．（2023·全国·高一专题练习）用斜二测画法画出如图所示水平放置的等腰梯形和正五边形的直观图.
核心知识3空间点、直线、平面之间的位置关系
1．（2023春·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）根据所学知识判断下列描述错误的是（ ）
A．不相交的直线是平行直线B．经过两条平行直线有且只有一个平面
C．不共线的三点确定一个平面D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
2．（2023·吉林·统考模拟预测）已知α,β是两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ）
A．若α∩β=l,A∈α且A∈β，则A∈l
B．若A,B,C是平面α内不共线三点，A∈β,B∈β，则C∉β
C．若直线a⊂α，直线b⊂β，则a与b为异面直线
D．若A∈α且B∈α，则直线AB⊂α
3．（2023·全国·高一专题练习）下列命题正确的为（ ）
①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q，R，则P，Q，R三点共线；
②若三条直线a，b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；
③已知a，b，c为三条直线，若a，b异面，b，c异面，则a，c异面；
④已知a，b，c为三条直线，若a⊥c，b⊥c，则a∥b.
A．①③B．②③C．②④D．①②
4．（2023·河南·模拟预测）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1的中点，过M，N，B1三点的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面形状为（ ）
A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形
5．[多选]（2023春·江苏淮安·高一淮阴中学校考期中）已知空间中的平面α，直线l，m，n以及点A，B，C，D，则以下四个命题中，不正确的命题是（ ）
A．在空间中，四边形ABCD满足AB=BC=CD=DA，则四边形ABCD是菱形.
B．若l∉α，A∈l，则A∉α.
C．若m⊂α，n⊂α，A∈m，B∈n，A∈l，B∈l，则l⊂α.
D．若l和m是异面直线，n和l是平行直线，则n和m是异面直线.
6．[多选]（2023春·四川广安·高一广安二中校考期中）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E,H分别是边AB,AD的中点，点F,G分别是边BC,CD上的三等分点，且CFCB=CGCD=23，则下列说法正确的是（ ）
A．E,F,G,H四点共面
B．EF与GH异面
C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上
D．EF与GH的交点M一定在直线AC上
7．（2023·全国·高一专题练习）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G,H 分别为AB,A1D1,BC,CC1的中点，则直线EF与GH夹角的余弦值为（ ）
A．33B．23C．22D．32
8．（2023春·浙江杭州·高一杭师大附中校考期中）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值是（ ）
A．0B．12C．31010D．1010
9．（2023·河南·校联考模拟预测）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1是正方形A1B1C1D1的中心，则直线O1B与直线C1D1所成角的余弦值为（ ）
A．36B．66C．63D．306
10．（2022·海南·校联考模拟预测）卡夫拉金字塔（如图1）由埃及第四王朝法老卡夫拉建造，可通往另一座河谷的神庙和狮身人面像，是世界上最紧密的建筑．从外侧看，金字塔的形状可以抽象成一个正四棱锥（如图2），其中SAAC=2，点E为SB的中点，则SA，CE所成角的余弦值为（ ）
A．104B．64C．5624D．612
11．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，点P在正方形ABB1A1内，若AB=2，A1P//平面AEF，则DP的最小值是（ ）
A．2B．655C．2D．3
12．（2023春·广东深圳·高一深圳市罗湖高级中学校考期中）如图，在三棱锥D-ABC中，AC=3BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于__________.
13．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是_____.
14．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，已知四棱锥D1-ABCD的底面ABCD为平行四边形，M是棱DD1上靠近点D的三等分点，N是BD1的中点，平面AMN交CD1于点H，则，D1HD1C=_______.
15．（2023·全国·高一专题练习）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，M是A1B1的中点，点N在棱CC1上，且CN=2NC1.作出过点D，M，N的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面，写出作法；
16．（2023春·陕西·高一校联考期中）已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中BC和CC1的中点.
(1)证明：A,E,F,D1四点共面.
(2)证明：AE，D1F，DC三条直线交于一点.
17．（2023春·安徽·高一安徽师范大学附属中学校考阶段练习）空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD上，且满足AE:EB=CF:FB=2:1，CG:GD=AH:HD=3:1.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)求证：EH，FG，BD三线共点.
18．（2023春·安徽·高一安徽省宿松中学校联考期中）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C1∩B1D1=O1，B1D∩截面A1BC1=P.
(1)确定点P的位置；
(2)若AB=3，BC=4，CC1=6，求线段DP的长.
核心知识4平行关系
1．[多选]（2023春·吉林·高一长春吉大附中实验学校校考期中）设有两条不同的直线m、n和两个不同的平面α、β，下列命题中错误的命题是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若m∥n，m⊂α，则n∥α
D．若α∥β，m⊂α，则m∥β
2．（2023春·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期中）已知不重合的直线l，m和不重合的平面α，β，下列命题正确的是（ ）
A．若l∥α，l//β，则α//βB．若l⊥α，l⊥m，则m//α
C．若l⊥α，l⊥β，则α//βD．若l⊂α，m⊂α，l//β，m//β，则α//β
3．[多选]（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考期中）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱BB1，B1C1，C1D1的中点，则（ ）
A．点F在平面AED1内B．BC1∥平面AED1
C．点C1在平面AED1内D．点G在平面AED1内
4．[多选]（2023春·浙江·高一台州市书生中学校联考期中）如图正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F分别为CC1、AA1的中点，M是线段D1E上的动点（包括端点），下列说法正确的是（ ）
A．对于任意M点，B1M与平面DFB平行
B．存在M点，使得A1M与平面DFB平行
C．存在M点，使得直线B1M与直线DF平行
D．对于任意M点，直线A1M与直线BF异面
5．[多选]（2023·河北衡水·模拟预测）如图，已知圆锥的顶点为S，底面ACBD的两条对角线恰好为圆O的两条直径，E,F分别为SA,SC的中点，且SA=AC=AD，则下列说法中正确的有（ ）
A．SD//平面OEF
B．平面OEF//平面SBD
C．OE⊥SA
D．直线EF与SD所成的角为45°
6．[多选]（2023春·河南濮阳·高一濮阳外国语学校校考期中）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F、M、N分别为所在棱上的中点，下列判断不正确的是（ ）
A．直线AD//平面MNEB．直线FC1//平面MNE
C．平面A1BC//平面MNED．平面AB1D1//平面MNE
7．（2023·全国·高一专题练习）如图所示的是正方体的平面展开图．有下列四个命题：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF．其中，正确命题的序号是________．
8．（2023春·北京·高一汇文中学校考期中）（1）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是A1C1的中点．求证：BC1∥平面AB1D；
（2）如图，在三棱锥P-ABC中，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF=2FP．求证：CM∥平面BEF．
9．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．
(1)求证：QN∥平面PAD；
(2)记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明．
10．（2023·全国·高一专题练习）如图：在正方体ABCD-A1B1C1D1中AB=2，M为DD1的中点.
(1)求三棱锥M-ABC的体积；
(2)求证：BD1//平面AMC；
(3)若N为CC1的中点，求证：平面AMC//平面BND1.
11．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E,F,G,H 分别是AB,AC，A1C1，A1B1的中点，求证：
(1)B1C1//平面A1EF；
(2)平面A1EF//平面BCGH．
12．（2023·全国·高一专题练习）已知点P为正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=AB=13，M、N分别为PA、BD上的点，且PMMA=BNND=58.
(1)求证：MN//平面PBC；
(2)求线段MN的长.
13．（2023·全国·高一专题练习）如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别是被DD1，AB的中点．
(1)若平面PQC与直线AA1交于R点，求ARA1R的值；
(2)若M为棱CC1上一点且CM＝λCC1，若BM//平面PQC，求λ的值．
核心知识5垂直关系
1．（2023·全国·高三专题练习）已知a，b，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β=l，a⊂α，b⊂β，则下列结论正确的是（ ）
A．若a∥β，则a∥lB．若a⊥b，a⊥l，则α⊥β
C．若α⊥β，则a⊥βD．a，b一定是异面直线
2．（2023·河北张家口·统考一模）已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列选项不正确的是（ ）
A．直线A1B与B1C所成的角为60°B．A1B⊥DB1
C．DB1⊥平面ACD1D．B1C⊥B1D
3．（2021春·高一课时练习）如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
4．[多选]（2023·全国·模拟预测）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1C，C1D1的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．E∈平面BDD1B1B．A1C⊥平面BDD1B1
C．EF∥平面BCC1B1D．EF⊥AB
5．[多选]（2023春·河南·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习）如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，E，F分别为CC1，AA1的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．B1E⊥平面BEF
B．直线B1E与直线BF所成的角为90∘
C．平面BEF与平面ABCD的夹角为45∘
D．直线D1F与平面ABCD所成的角为45∘
6．[多选]（2023·山西·校联考模拟预测）在四面体ABCD中，∠BAD=∠CBD=π2，AD=23，BC=2，E为CD的中点，△ACE为等边三角形，则（ ）
A．平面ABC⊥平面ACDB．BC⊥平面ABD
C．异面直线AB与CD所成角为π2D．异面直线AC与BE所成角为π2
7．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期中）已知棱长均相等的正三棱柱ABC-A1B1C1，M，N分别为棱CC1，A1B1中点．
(1)证明：C1N∥平面A1BM；
(2)证明：AB1⊥平面A1BM．
8．（2023春·陕西榆林·高二绥德中学校考阶段练习）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，SA⊥底面ABCD，SA=AD，点M是SD的中点，AN⊥SC且交SC于点N.
(1)求证：SB∥平面ACM；
(2)求证：平面SAC⊥平面AMN.
9．（2023·全国·高一专题练习）如图，在长方形ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=1．
(1)求证：B1C⊥BD1；
(2)求直线AB1与平面ABC1D1所成角的正弦值．
10．（2023春·浙江·高一期中）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，平面ABC⊥平面BCC1B1，且B1C⊥AB，点D为棱A1B1的中点．
(1)求证：直线B1C⊥平面ABC；
(2)若AB=1，AC=3，BB1=3，求直线CD与平面ABB1A1所成角的正弦值．
11．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1在平面ABC的射影恰为等边三角形ABC的中心，且AB=2，AA1=2.
(1)证明：BB1⊥平面A1BC；
(2)求二面角B1-A1C-B的正弦值.
12．（2023春·吉林·高一长春吉大附中实验学校校考期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=22a，设E，F分别为PC，BD的中点．
(1)求证：EF//平面PAD；
(2)求证：平面PAB⊥平面PDC；
(3)求直线EF与平面ABCD所成角的大小．
核心知识6简单几何体的再认识
1．（2023·全国·高一专题练习）若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（ ）
A．1:2B．2:1C．2:1D．1:22
2．（2023·全国·高一专题练习）已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为90°，则这个圆台的侧面积为（ ）
A．32πB．48πC．64πD．80π
3．（2023春·安徽·高一安徽师范大学附属中学校考阶段练习）圆台上、下底面积分别为36π和49π，母线长为5，则其轴截面面积为（ ）
A．136B．266C．132D．262
4．（2023·河北·统考模拟预测）《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四棱台）建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象成ABCD-A1B1C1D1的正四棱台（如图所示），其中上底面与下底面的面积之比为1:16，方亭的高为棱台上底面边长的3倍.已知方亭的体积为567m3，则该方亭的表面积约为（ ）（5≈2.2，3≈1.7，2≈1.4）
A．380m2B．400m2C．450m2D．480m2
5．（2023·全国·高一专题练习）已知圆台O1O2的下底面半径是上底面半径的2倍，其内切球的半径为2，则该圆台的体积为（ ）
A．72π3B．142π3C．242π3D．252π3
6．（2023·浙江绍兴·统考二模）牟合方盖是由我国古代数学家刘徽发现并采用的，一种用于计算球体体积的方法，类似于现在的微元法.由于其采用的模型像一个牟合的方形盒子，故称为牟合方盖.本质上来说，牟合方盖是两个半径相等并且轴心互相垂直的圆柱体相交而成的三维图形，如图1所示.刘徽发现牟合方盖后200多年，祖冲之及他的儿子祖暅，推导出牟合方盖八分之一部分的体积计算公式为V=23r3（r为构成牟合方盖的圆柱底面半径）.图2为某牟合方盖的18部分，且图2正方体的棱长为1，则该牟合方盖的体积为（ ）
A．23B．423C．163D．3223
7．[多选]（2023春·四川德阳·高一四川省德阳中学校校考阶段练习）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积为2πR2
B．圆锥的侧面积为2πR2
C．圆柱的侧面积与球的表面积相等
D．圆柱､圆锥､球的体积之比为3:1:2
8．[多选]（2023春·山东青岛·高一校考期中）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=90°，侧面AA1C1C的对角线交点O，点E是侧棱BB1上的一个动点，下列结论正确的是（ ）
A．直三棱柱的体积是1
B．直三棱柱的外接球表面积是6π
C．三棱锥E-AA1O的体积与点E的位置有关
D．AE+EC1的最小值为22
9．[多选]（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图，在矩形AEFC中，AE=2，EF=22，B为EF中点，现分别沿AB、BC将△ABE、△BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-ABC，则（ ）
A．AC⊥BP
B．三棱锥P-ABC的体积为423
C．直线PA与平面ABC所成角的大小为π6
D．三棱锥P-ABC外接球的半径为102
10．（海南省海口市2023届高三模拟考试数学试题）在正三棱锥S-ABC中，SA=2AB=23，则该三棱锥外接球的表面积为______.
11．（2023·全国·高一专题练习）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥AD，AB=BD=2，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为10，则该棱锥的外接球的体积为______.
12．（2023春·陕西宝鸡·高一统考期中）已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为90°，则圆台的表面积为_________．
13．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考二模）在圆台O1O2中，ABCD是其轴截面，AD=DC=BC=12AB，过O1C与轴截面ABCD垂直的平面交下底面于EF，若点A到平面CEF的距离是3，则圆台的体积等于______.
14．（2023·广西·统考模拟预测）如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，∠ABC=60∘，AB=2AA1=2A1B1=2，AA1⊥平面ABCD.
(1)证明：BD⊥CC1；
(2)若M是棱BC上一动点（含端点），求三棱锥D-AMD1的体积.
核心知识7立体几何初步综合
1．[多选]（2023春·吉林·高一东北师大附中校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．圆柱的母线长与圆柱的底面圆半径不可能相等
B．将一个直角梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体
C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体
D．任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥
2．[多选]（2023春·安徽·高一安徽师范大学附属中学校考阶段练习）下列命题中成立的是（ ）
A．a //b，a // c⇒b //c
B．a⊥c，b⊥c⇒ a //b
C．A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
D．P∈α，P∈β且α∩β=l⇒P∈l
3．（2023春·宁夏银川·高一银川一中校考期中）如图，已知圆锥的母线长为2，底面半径为23，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面爬行一周返回A点，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．1B．3
C．23D．4
4．（2023春·河南濮阳·高一濮阳外国语学校校考期中）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（ ）
A．16B．12C．4+82D．4+42
5．（2023·全国·高一专题练习）如图，用斜二侧画法得到△ABC的直观图为等腰Rt△A'B'C'，其中A'B'=1，则△ABC的面积为（ ）
A．1B．2C．2D．22
6．（2023春·贵州·高一校联考阶段练习）如图所示，△ABC的直观图是边长为2的等边△A'B'C'，则在原图中，BC边上的高为（ ）
A．26B．6C．23D．3
7．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1，∠BAC=60°，则直线AB1与BC所成角的余弦值等于（ ）
A．22B．32C．24D．0
8．（2023·四川凉山·三模）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是棱CC1的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值为（ ）．
A．1010B．31010C．105D．155
9．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）在正三棱锥P-ABC中，PA=63，BC＝6，M，N，Q，D分别是AP，BC，AC，PC的中点，平面MQN与平面PBC的交线为l，则直线QD与直线l所成角的正弦值为（ ）
A．22B．56C．116D．32
10．（2023·高一单元测试）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是25，M为A1C1的中点，N是侧面BCC1B1上一点，且MN//平面ABC1，则线段MN的最大值为（ ）
A．22B．23C．10D．3
11．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期中）已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为3，在其中有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱的高为（ ）
A．223B．2C．423D．322
12．（2023·江西新余·统考二模）表面积为15π的球内有一内接四面体PABC，其中平面ABC⊥平面PAB，△ABC是边长为3的正三角形，则四面体PABC体积的最大值为（ ）
A．3215B．154C．275D．278
13．[多选]（2023·山东烟台·统考二模）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1,AA1的中点，G为线段B1C上一个动点，则（ ）
A．存在点G，使直线B1C⊥平面EFG
B．存在点G，使平面EFG∥平面BDC1
C．三棱锥A1-EFG的体积为定值
D．平面EFG截正方体所得截面的最大面积为334
14．[多选]（2023·湖北·统考模拟预测）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AD1上的动点，则（ ）
A．点A1,E,B,C四点不共面
B．△EBC在底面ABCD内的射影面积为定值
C．直线B1C与平面EBC所成角的正弦的最大值为22
D．当E为AD1中点时，四棱锥E-ABCD外接球的表面积为8π
15．（2023·全国·高一专题练习）棱台的上下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是________.
16．（2023·河南·校联考模拟预测）已知四面体ABCD的顶点都在球О的表面上，平面ABC⊥平面BCD，BC=2，△ABC为等边三角形，且∠BDC=90°，则球O的表面积为_______.
17．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，BC∥AD，E为侧棱PD的中点，且BC=2，AD=4，求证:CE∥平面PAB．
18．（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为AB的中点，求证：BC1//平面MA1C．
19．（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形．设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．
(1)求证：平面MNQ∥平面PAD；
(2)求证：BC∥l．
20．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC=12AD，E是PD的中点．
(1)求证：BC∥AD；
(2)求证：CE∥平面PAB．
21．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，△PAB为边长为2的正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，E为线段AD的中点，PE与平面ABCD所成角为45°.
(1)证明：EP=EC；
(2)求证：平面PCE⊥平面PBC.
22．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在三棱锥P-ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，且△ABC为边长为4的等边三角形，PA⊥PC，∠PAC=π6，D为PA的中点．
(1)求证：AP⊥BD；
(2)求点D到平面PBC的距离．
23．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AD，底面ABCD为直角梯形，BC=3AD，AD//BC，∠BCD=90∘，M为线段PB上一点．
(1)若PM=13PB，棱BC上是否存在点E，使得平面AME//平面PCD？并说明理由；
(2)若PA=2，AD=1，CD=1，异面直线PA与CD成90∘角，求异面直线PC与AB所成角的余弦值．
24．（2023春·广东广州·高一广州四十七中校考期中）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．
(1)求证BC⊥平面PAC；
(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正弦值．
25．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别为AC、AA1的中点，AC=AA1=2.
(1)求证：DE∥平面A1BC；
(2)求DE与平面BCC1B1夹角的余弦值.
26．（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）如图，在四棱锥D-ABC中，∠ADC=90∘,AD=AB=BC=3CD,E为线段AC的中点，BD=BC.
(1)证明：BE⊥CD；
(2)求直线BE与平面BCD所成角的正弦值.
27．（2021春·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上一点.
(1)求证：平面EBD⊥平面SAC；
(2)当SAAB的值为多少时，二面角B-SC-D的大小为120°.
28．（2023春·河南·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=AA1=1，∠ABC=90°，D，E分别是棱A1C1，AC的中点．
(1)判断多面体ABEDB1C1是否为棱柱并说明理由；
(2)求多面体ABEDB1C1的体积；
(3)求证：平面BC1E∥平面AB1D．
29．（2023春·天津武清·高一天津英华国际学校校考阶段练习）如图，在圆锥PO中，已知PO⊥底面⊙O，PO=2，⊙O的直径AB=2，C是AB的中点，D为AC的中点.
(1)证明：平面POD⊥平面PAC；
(2)求三棱锥D-PBC的体积；
(3)求二面角B-PA-C的余弦值.
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