高一数学第二次月考模拟检测卷-2023-2024学年高一数学分层专题训练（北师大版必修第二册）

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范围：三角函数；平面向量；三角恒等变换；复数；立体几何初步
（时间：120 分钟，满分：150 分）
一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的。）
1．已知tanx=-125，x∈π2,π，则cs-x=（ ）
A．513B．1213C．-513D．-1213
【答案】C
【分析】根据题意建立有关sinx和csx的方程组，解出sinx和csx的值，再利用诱导公式可得出结果.
【解析】∵tanx=-125，x∈π2,π，∴csx<0，
由同角三角函数的基本关系得tanx=sinxcsx=-125sin2x+cs2x=1csx<0，解得csx=-513，
因此，cs-x=csx=-513.
故选：C.
【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求值，解题的关键就是建立有关sinx和csx的方程组，考查计算能力，属于基础题.
2．已知复数z满足z2+i3=3+i，则z=（ ）
A．2B．3C．5D．25
【答案】A
【分析】根据复数的除法法则，求得复数z，再根据复数模的计算公式求得答案.
【解析】由z2+i3=3+i可得:z=3+i2+i3=3+i2-i=3+i2+i2-i2+i=1+i，
故z=12+12=2,
故选：A.
3．已知向量a=(3,-4)，b=(4,3)，则向量b-a在向量a方向上的投影是( )
A．52B．-52C．5D．-5
【答案】D
【解析】向量b-a在向量a方向上的投影，计算(b-a)⋅a|a|即可得出结论．
【解析】∵向量a=(3,-4)，b=(4,3)，∴b-a=(1,7)，(b-a)⋅a=1×3+7×(-4)=-25；
则向量b-a在向量a方向上的投影是：(b-a)⋅a|a|=-2532+(-4)2=-5．
故选：D
【点睛】本题考查向量的数量积，投影，主要考查基本公式，属于基础题．
4．已知等边△ABC的直观图△A'B'C'的面积为6，则△ABC的面积为（ ）
A．32B．62C．26D．43
【答案】D
【分析】由原图和直观图面积之间的关系S直=24S原即可得结果.
【解析】因为直观图△A'B'C'的面积为6，
所以6=24S原，解得S原=43，
故选：D.
5．函数y=f(x) 的图象向右平移π6 单位后与函数y=sin2x 的图象重合,
则y=f(x)的解析式是（ ）
A．f(x)=cs(2x-π3)B．f(x)=cs(2x-π6)
C．f(x)=cs(2x+π6)D．f(x)=cs(2x+π3)
【答案】B
【解析】 将函数y=sin2x的图象向左平移π6个单位后即得到函数y=fx的图象，
由平移规律得：
y=fx=sin[2(x+π6)]=sin(2x+π3)=cs[π2-(2x+π3)]=cs(2x+π6)，
故选B.
点睛：对于三角函数图像变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住sinα=cs(α-π2),csα=sin(α+π2)；另外，在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x而言.
6．已知α∈（0，π2），β∈（﹣π，-π2），sinα=7210，csβ=-255，则α+2β的值为（ ）
A．34πB．-34πC．54πD．-54π
【答案】D
【分析】利用同角三角函数关系式求出tanα、tanβ，利用二倍角的正切公式求出tan2β，再根据tan(α+2β)的值可求得结果.
【解析】由于α∈（0，π2），sinα=7210，所以csα=1-sin2α=210，
由于β∈（﹣π，-π2），csβ=-255，所以sinβ=-1-cs2β=-55.
所以tanα=sinαcsα=7，tanβ=sinβcsβ=12，所以tan2β=2tanβ1-tan2β=2×121-14=43，
由于α∈（0，π2），β∈（﹣π，-π2），
所以α+2β∈-2π，-π2，
由于tan（α+2β）=tanα+tan2β1-tanαtan2β=7+431-7×43=-1，
所以α+2β=-5π4.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：熟练掌握同角公式、二倍角的正切公式、两角和的正切公式是解题关键.
7．小赵同学骑自行车从A地出发向东骑行了103km到达B地，然后从B地向西偏南45°方向骑行了一段距离到达C地，再从C地向西偏北15°方向骑行了42km到达D地，已知C地在A地东偏南75°方向上，则A地与D地之间的距离为（ ）
A．38kmB．210kmC．238kmD．410km
【答案】C
【分析】根据给定条件，作出图形，再利用正弦、余弦定理求解作答.
【解析】如图，在△ABC、△ACD中，AB=103,∠BAC=75∘,∠ABC=45∘，∠ACD=75∘-15∘=60∘，
在△ABC中，∠ACB=60∘，由正弦定理得：ACsin∠ABC=ABsin∠ACB，即AC=103×sin45∘sin60∘=102，
在△ACD中，由余弦定理得：AD2=AC2+CD2-2AC⋅CDcs∠ACD，
即AD=(102)2+(42)2-2×102×42×cs60∘=238，
所以A地与D地之间的距离为238km.
故选：C
8．在△ABC中，点M是边AC上的点，满足CM=2MA，|BM|=1，sin∠ABC2=64，则2|AB|+|BC|的最大值为（ ）
A．210B．16105C．6105D．2105
【答案】C
【分析】利用向量的线性运算，结合解三角形余弦定理可得(2|BA|+|BC|)2=9+3|BA|⋅|BC|，再利用基本不等式进行求解即可.
【解析】∵CM=2MA，∴BM=23BA+13BC，
又cs∠ABC=1-2sin2∠ABC2=1-34=14，
所以|BM|2=(23BA+13BC)2，|BM|=1，
所以49|BA|2+19|BC|2+2×23×13×BA⋅BC=1，
即49|BA|2+19|BC|2+49|BA|⋅|BC|⋅cs∠ABC=1，4|BA|2+|BC|2+|BA|⋅|BC|=9，
故(2|BA|+|BC|)2=9+3|BA|⋅|BC|，
根据基本不等式可得(2|BA|+|BC|)2≤9+32(2|BA|+|BC|2)2，
解得：2|BA|+|BC|≤6105，
当且仅当2|BA|=|BC|，即|BA|=31010，|BC|=3105时取等号，
故2|AB|+|BC|的最大值为6105.
故选：C.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．下列命题中正确的是（ ）
A．过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径
B．母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等
C．圆台中所有平行于底面的截面都是圆面
D．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形
【答案】ACD
【分析】根据球、圆台、圆锥的结构特征，即可得出答案.
【解析】对于A项，根据球的特征，可知A项正确；
对于B项，圆锥的轴截面为三角形，该三角形顶角的取值范围为0,π，显然面积不相等，故B项错误；
对于C项，根据圆台的特征，可知C项正确；
对于D项，圆锥所有的轴截面都是三角形，且腰长等于母线长，故D项正确.
故选：ACD.
10．下列各式中值为1的是（ ）
A．tan13°+tan32°1-tan13°tan32°B．4sinπ12csπ12
C．22(cs2π8-sin2π8)D．sin69°cs381°+sin21°sin159°
【答案】ABD
【分析】应用和角正切、正弦公式及二倍角正余弦公式，化简各选项函数式求值.
【解析】A：tan13∘+tan32∘1-tan13∘tan32∘=tan(13∘+32∘)=tan45∘=1，符合题意；
B：4sinπ12csπ12=2sin(2×π12)=1，符合题意；
C：22(cs2π8-sin2π8)=22cs(2×π8)=22csπ4=12，不符合题意：
D：sin69°cs381°+sin21°sin159°= sin69°cs21°+cs69°sin21°= sin(69°+21°)=sin90°=1符合题意.
故选：ABD．
11．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ）
A．c=acsB+bcsA
B．若(OA+OB)⋅AB=(OB+OC)⋅BC=0，则点O为△ABC的外心
C．若acsA=bcsB，则△ABC一定是等腰三角形
D．若OA⋅(AC|AC|-AB|AB|)=OB⋅(BC|BC|-BA|BA|)=0，则点O为△ABC的内心
【答案】ABD
【分析】由正弦定理判断A；利用向量的线性运算，判定点O为△ABC的外心；由正弦定理结合正弦函数的性质判断C；由单位向量以及向量垂直的性质判断点O为△ABC的内心.
【解析】对于A项，∵sinC=sin(A+B)=sinAcsB+sinBcsA，∴由正弦定理可得c=acsB+bcsA，故A正确；
对于B项，∵(OA+OB)⋅AB=(OB+OC)⋅BC=0，∴(OA+OB)⋅(OB-OA)=(OB+OC)⋅(OC-OB)=0，∴|OA|=|OB|=|OC|，故点O为△ABC的外心，故B正确；
对于C项，由正弦定理可得sinAcsA=sinBcsB，∴sin2A=sin2B，∵A,B∈(0,π)，∴2A=2B或2A+2B=π，∴A=B或A+B=π2，∴ △ABC为等腰或直角三角形，故C错误；
对于D项，∴AC|AC|,AB|AB|为AC,AB的单位向量，∴AC|AC|-AB|AB|为单位向量三角形的第三边，且为菱形的对角线，由OA⋅(AC|AC|-AB|AB|)=0，点O在∠BAC的平分线上，同理点O在∠ABC的平分线上，∴点O为△ABC的内心，故D正确；
故选：ABD
12．关于函数f(x)=1-cs2x+π2-2sin2x的描述正确的是（ ）
A．其图象可由y=2sin2x的图象向左平移π8个单位长度得到
B．f(x)在0,π2上单调递增
C．f(x)在[0,π]上有3个零点
D．f(x)在-π2,0上的最小值为-2
【答案】AD
【分析】利用三角恒等变换对函数f(x)进行化简，结合三角函数的性质，逐项判断即可求解.
【解析】f(x)=1-cs2x+π2-2sin2x=sin2x+cs2x=2sin2x+π4，
对于A，由y=2sin2x的图象向左平移π8个单位长度，得到y=2sin2x+π8=2sin2x+π4，故选项A正确；
对于B，令2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ-3π8≤x≤kπ+π8，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为kπ-3π8,kπ+π8，k∈Z，
所以f(x)在0,π8上单调递增，在π8,π2上单调递减，故选项B不正确；
对于C，令f(x)=0，得2x+π4=kπ，k∈Z，解得x=kπ2-π8，k∈Z，
因为x∈[0,π]，所以k=1，x=38π；k=2，x=78π，所以f(x)在[0,π]上有2个零点，故选项C不正确；
对于D，因为x∈-π2,0，所以2x+π4∈-3π4,π4，所以sin2x+π4∈-1,22，
所以f(x)∈[-2,1]，所以f(x)在-π2,0上的最小值为-2，故选项D正确.
故选：AD．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．求函数f(x)=1-2csx+ln(sinx-22)的定义域为_________．
【答案】{x|π3+2kπ≤x<3π4+2kπ,k∈Z}
【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式组，再利用正余弦函数的性质求解作答.
【解析】函数f(x)=1-2csx+ln(sinx-22)有意义，则1-2csx≥0sinx-22>0，即csx≤12sinx>22，
解csx≤12，得π3+2kπ≤x≤5π3+2kπ,k∈Z，
解sinx>22，得π4+2kπ所以所求定义域为{x|π3+2kπ≤x<3π4+2kπ,k∈Z}.
故答案为：{x|π3+2kπ≤x<3π4+2kπ,k∈Z}
14．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图是函数fx=sinωx+φφ<π2的部分图像，则fx的单调递增区间为_______．
【答案】kπ-5π12,kπ+π12，k∈Z
【分析】运用三角函数的周期公式及五点法求得ω、φ的值，结合同增异减求得其单调递增区间.
【解析】由图知，T4=π12-(-π6)=π4，解得：T=π，
所以|ω|=2πT=2，解得：ω=±2，
①当ω=-2时，f(x)=sin(-2x+φ)，
则-2×π12+φ=π2+2kπ，k∈Z，解得：φ=2π3+2kπ，k∈Z，
又因为|φ|<π2，
所以φ无解，故舍去；
②当ω=2时，f(x)=sin(2x+φ)，
则2×π12+φ=π2+2kπ，k∈Z，解得：φ=π3+2kπ，k∈Z，
又因为|φ|<π2，
所以φ=π3，
综述：ω=2且φ=π3，
所以f(x)=sin(2x+π3)，
-π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，
解得：-5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为-5π12+kπ,π12+kπ，k∈Z.
故答案为：-5π12+kπ,π12+kπ，k∈Z.
15．（2023春·吉林长春·高一长春市第二实验中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，已知AB=2,AC=5,∠BAC=60∘,BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为__________.
【答案】49191
【分析】利用平面向量的加减法运算和数量积的运算律求解即可.
【解析】由题可得，AM=12(AB+AC),BN=12AC-AB，
AB⋅AC=AB⋅ACcs60∘=5，
所以AM⋅BN=12AB+AC⋅12AC-AB=-12AB2+14AC2-14AB⋅AC
=-2+254-14×5=3，
AM=12AB+AC=12AB2+AC2+2AB⋅AC=124+25+10=392，
BN=12AC-AB=14AC2+AB2-AC⋅AB=212，
所以cs∠MPN=csAM,BN=AM⋅BNAM⋅BN=3392×212=49191，
故答案为: 49191.
16．（河南省五市2023届高三二模数学试题）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且46csA=absinB+acsinC．若△ABC的面积S=62，则边a的最小值为_______．
【答案】2
【分析】由正弦定理化简已知条件可推得，sinA=26csA.根据sin2A+cs2A=1，可求得csA=15，sinA=265.由面积公式可求得bc=52，根据余弦定理可得出a2=b2+c2-2bccsA，由基本不等式，即可得出a2≥4，即可得出答案.
【解析】由正弦定理asinA=bsinB=csinC可得，bsinC=csinB，asinB=bsinA.
由已知可得，46bccsA=acsinB+absinC=2acsinB=2bcsinA，
所以sinA=26csA.
又00.
因为sin2A+cs2A=25cs2A=1，
所以csA=15，sinA=265.
因为△ABC的面积S=12bcsinA=65bc=62，
所以bc=52.
由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccsA =b2+c2-2×52×15≥2bc-1=4，
当且仅当b=c=102时，等号成立.
所以，a2≥4，a的最小值为2.
故答案为：2.
四、解答题（本题共6小题，共70分。）
17．已知z是复数，且z-i和z1-i都是实数，其中i是虚数单位．
（1）求复数z和z；
（2）若复数z+m+2+m2-m-5i在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．
【答案】（1）z=-1+i，z=2；（2）1-172,-1
【分析】（1）设z=a+bi(a,b∈R)，由已知列关于a，b的方程组求解；
（2）把（1）中求得的z代入z+m+2+m2-m-5i，整理后由实部与虚部均小于0联立不等式组求解．
【解析】（1）设z=a+bi(a,b∈R)，则z-i=a+(b-1)i，
∵z-i为实数，∴b-1=0，即b=1．
∵ z1-i=a+bi1-i=(a+bi)(1+i)(1-i)(1+i)=a-b2+a+b2i为实数，
∴a+b2=0，则a=-1；
所以z=-1+i，z=-12+12=2
（2）由（1）得，
z+m+2+m2-m-5i=-1+i+m+2+m2-m-5i=m+1+m2-m-4i
依题意得m+1<0m2-m-4<0，解得1-172∴实数m的取值范围是1-172,-1．
18．已知向量a=(3,2)，b=(x,-1)．
（1）当(a+2b)⊥(2a-b)且x>0时，求a+b；
（2）当c=(-8,-1)，a//(b+c)求向量a与b的夹角α．
【答案】（1）82；（2）π4.
【分析】（1）由向量的坐标运算法则先求出a+2b，2a-b的坐标，再由条件可得a+2b⋅2a-b=0，求出x的值，再求a+b的坐标，得出其模长.
（2）由向量的坐标运算法则先求出b+c的坐标，由a//(b+c)，求出x的值，然后由向量的夹角公式可得答案.
【解析】（1）向量a=(3,2)，b=(x,-1)，则a+2b=3+2x,0，2a-b=6-x,5
由(a+2b)⊥(2a-b)，可得a+2b⋅2a-b=0
即3+2x6-x+0×5=0，解得x=6或x=-32
又x>0，所以x=6，则b=(6,-1)，则a+b=9,1
所以a+b=92+12=82
（2）由c=(-8,-1)，b=(x,-1)，a=(3,2)，则b+c=x-8,-2
由a//(b+c)，可得3×-2-2×x-8=0，解得x=5
所以a=13，b=26，a⋅b=3×5+2×-1=13
csα=a⋅ba⋅b=1313×26=22
又α∈0，π，所以α=π4
19．在下面给出的三个条件：①2sin2C-B2+2cs2C+B2 +2csCcsB=1，②2tanBtanA+tanB=bc，③3b=a(sinC+3csC)中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.
问题：在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a=13，b=3，___________.
（1）求角A；
（2）求△ABC的面积.
【答案】条件选择见解析；（1）π3；（2）33.
【分析】（1）选①，根据降幂公式、两角和差的余弦公式及三角形的内角和化简已知条件，从而求出csA，即可求出角A；
选②，由正弦定理化边为角，切化弦，化简已知条件，求出csA，即可求出角A；
选③，由正弦定理化边为角，结合三角恒等变换化简已知条件，求出tanA，即可求出角A；
（2）利用余弦定理求出边c，结合三角形的面积公式即可得出答案.
【解析】选①（1）因为2sin2C-B2+2cs2C+B2 +2csCcsB=1，
所以1-cs(C-B)+1+cs(C+B) +2csCcsB=2+2cs(C+B) =2-2csA=1，
所以csA=12，因为C为三角形的内角，∴A=π3，
（2）∵a=13，b=3，
∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccsA，可得：13=9+c2-2×3×c×12，
可得：c2-3c-4=0，解得c=4，或-1(舍去)，
∴S△ABC=12bcsinA=12×3 ×4×32=33.
选②，（2）∵2tanBtanA+tanB=bc，∴由正弦定理可得：2tanBtanA+tanB=sinBsinC，可得：2×sinBcsBsinAcsA+sinBcsB=sinBsinC，可得：2sinBcsBsinAcsB+sinBcsAcsAcsB=2sinBcsBsinCcsAcsB =2sinBcsAsinC=sinBsinC，
∵sinB≠0，sinC≠0，∴解得csA=12，∵A∈(0,π)，∴A=π3.
（2）同上，
选③，（1）由正弦定理得，asinA=bsinB，∵3sinB=sinA(sinC+3csC)，
∴3sin(A+C)=sinAsinC +3sinAcsC，
∴3csAsinC=sinAsinC，∵sinC≠0，即3csA=sinA，tanA=3，
又A∈(0,π)，∴A=π3.
（2）同上.
20．如图，AB是圆柱的底面直径，AB＝2，PA是圆柱的母线且PA＝2，点C是圆柱底面圆周上的点.
(1)求圆柱的侧面积和体积；
(2)若AC＝1，D是PB的中点，点E在线段PA上，求CE＋ED的最小值.
【答案】(1)圆柱的侧面积为4π，体积为2π
(2)5
【分析】（1）根据圆柱的侧面积和体积公式即可求解；
（2）将CE和ED转化到一个平面中，利用两点间线段最短即可求得最小值.
【解析】（1）圆柱的底面半径r＝1，高h＝2，
圆柱的侧面积S'=2πrh=2π×1×2=4π.
圆柱的体积V=πr2h=π×12×2=2π.
（2）将△PAC绕着PA旋转到PAC'使其与平面PAB共面，且C'在AB的反向延长线上.
∵PA=AB=2，∠PBA=π4，
BD=12BP=2，BC'=BA+AC'=2+1=3，
∴在三角形C'BD中，
由余弦定理得C'D=32+22-2×3×2×22=5，
∴CE＋ED的最小值等于5.
21．如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地ABO，其中OA=3km，OB=33km，∠AOB=90°．物业管理部门拟在中间开挖一个三角形人工湖OMN，其中M，N都在边AB上（M，N均不与A，B重合，M在A，N之间），且∠MON=30°．
(1)若M在距离A点2km处，求点M，N之间的距离；
(2)设∠AOM=θ，
（i）求出△OMN的面积S关于θ的表达式；
（ii）为节省投入资金，三角形人工湖OMN的面积要尽可能小，试确定θ的值，使△OMN的面积最小，并求出这个最小面积．
【答案】(1)74；
(2)S=278sin(2θ+60°)+43,0<θ<60°，27(2-3)4.
【分析】（1）△AMO中，利用余弦定理可得OM，再利用余弦定理可得cs∠AOM，△OMN中，利用正弦定理可得MN；
（2）设∠AOM=θ，△AMO中，利用正弦定理可得OM，在△ANO中，利用正弦定理可得ON，利用三角形面积计算公式及其三角函数的恒等变换化简求最值即可得出．
【解析】(1)在△OAB中，因为OA=3，OB=33，∠AOB=90°，所以∠OAB=60°．
在△OAM中，由余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AO⋅AM⋅csA=7，
所以OM=7，所以cs∠AOM=OA2+OM2-AM22OA⋅OM=277，
在△OAN中，sin∠ONA=sin(∠A+∠AON)=sin(∠AOM+90°)
=cs∠AOM=277．
在△OMN中，由MNsin30∘=OMsin∠ONA，得MN=7277×12=74．
(2)设∠AOM=θ，0°<θ<60°
在△AMO中，OMsin∠OAM=OAsin∠OMA得OM=332sin60°+θ
在△ANO中，ONsin∠OAM=OAsin∠ONA得 ON=332sin(θ+90°)=332csθ．
（i）S=12OM⋅ONsin30°=12×332sin 60°+θ×332cs θ×12
=2716×1sin60°+θcsθ=278sinθcsθ+83cs2θ
=274sin2θ+43cs2θ+43
=278sin(2θ+60°)+43,0<θ<60°，
（ii）当2θ+60°=90°时，即θ=15°时，面积最小，Smin=278sin90°+43=278+43=27(2-3)4，即最小值为27(2-3)4．
22．已知函数f(x)=sin2ωx+23sinωxcsωx-cs2ωxω>0
(1)化简y=f(x)的表达式.
(2)若y=f(x)的最小正周期为π，求y=f(x)，x∈0,π2的单调区间与值域.
(3)将（2）中的函数f(x)图像上所有的点向右平移φφ∈0,π2个单位长度，得到函数y=g(x)，且y=g(x)图像关于x=0对称.若对于任意的实数a，函数y=gλx，x∈a,a+π3与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数λ的取值范围.
【答案】(1)f(x)=2sin(2ωx-π6)(ω>0)；
(2)递增区间为(0,π3]，递减区间为[π3,π2)，值域为(-1,2]；
(3)[9,15).
【分析】（1）根据给定函数，利用二倍角公式、辅助角公式化简即可作答.
（2）由（1）及已知求出f(x)，再结合正弦函数性质求解作答.
（3）由（2）及已知求出函数g(x)的解析式，借助g(x)的周期列出不等式求解作答.
【解析】（1）依题意，f(x)=3sin2ωx-(cs2ωx-sin2ωx)=3sin2ωx-cs2ωx=2sin(2ωx-π6)，ω>0.
（2）由（1）知，T=2π2ω=π，解得ω=1，则f(x)=2sin(2x-π6)，
当0由-π6<2x-π6≤π2得：0所以f(x)在(0,π3]上单调递增，在[π3,π2)上单调递减，f(x)max=f(π3)=2，f(0)=-1,f(π2)=1，
所以f(x)在x∈(0,π2)上的值域为(-1,2].
（3）由（2）及已知，g(x)=f(x-φ)=2sin(2x-2φ-π6)，因y=g(x)图像关于x=0对称，
则2φ+π6=kπ+π2,k∈Z，解得：φ=kπ2+π6,k∈Z，又φ∈[0,π2]，即有k=0,φ=π6，
于是得g(x)=-2cs2x，由g(λx)=1得：cs(2λx)=-12，λ>0，而函数y=cs(2λx)的周期T'=2π2λ=πλ，
依题意，对于∀a∈R，cs(2λx)=-12在x∈[a,a+π3]上均有不少于6个且不多于10个根，
则有3T'≤π35T'>π3，即3πλ≤π35πλ>π3，解得9≤λ<15，
所以正实数λ的取值范围是[9,15).
【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得.