第七章 概率（A卷·知识通关练） -2024-2025学年高一数学分层专题训练（北师大版必修第一册）

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核心知识1 确定性现象与随机现象
1．一个不透明的袋子中装有8个红球，2个白球，除颜色外，球的大小、质地完全相同，采用不放回的方式从中摸出3个球．下列事件为不可能事件的是
A．3个都是白球B．3个都是红球C．至少1个红球D．至多2个白球
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合必然事件，不可能事件，随件事件的概念，即可求解．
【详解】解：由于袋子中白球的个数为2个，摸出的3个球都是白球是不可能事情，故选项正确，
摸出的3个球都是红球是随机事件，故选项错误，
摸出的球至少一个红球是必然事件，故选项错误，
摸出的球至多2个白球是必然事件，故选项错误．故选：．
2．下列事件：①当是实数时，；②某班一次数学测试，及格率低于；③从分别标有0，1，2，3，，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团标的数字是偶数；④体育彩票某期的一等奖号码．其中是随机事件的是
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④
【答案】C
【分析】根据随机事件的定义，即可求解．
【详解】解：对于①，当时，，无解，当时，，（舍去），无解，故①是不可能事件，
对于②，某班一次数学测试，及格率低于，是随机事件，
对于③，从分别标有0，1，2，3，，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团中标的数字是偶数，是随机事件，
对于④，体育彩票某期的一等奖号码，是随机事件．
随机事件为②③④，
故选：．
核心知识2 事件类型的判断
1．给出下列四个命题：
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；
②当“为某一实数时可使”是不可能事件；
③“2010年的国庆节是晴天”是必然事件；
④“从100个灯泡（有10个是次品）中取出5个，5个都是次品”是随机事件．
其中正确命题的个数是
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】由随机事件的定义对四个命题的事件逐一判断，即可找出正确命题，①研究必然事件，②研究不可能事件，③研究随机事件，④研究随机事件，易判断出正确选项
【详解】解：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；此命题是正确命题，②当“为某一实数时可使”是不可能事件；命题是正确命题，因为没有那个实数的平方小于0；③“2010年的国庆节是晴天”是必然事件；这是一个随机事件，故此命题不正确；
④“从100个灯泡（有10个是次品）中取出5个，5个都是次品”是随机事件．此命题正确，一个都是次品的情况存在，但不一定出现，故是一个随机事件．综上，①②④是正确命题,故选：．
核心知识3 样本点和样本空间
1．关于样本点、样本空间，下列说法错误的是
A．样本点是构成样本空间的元素B．样本点是构成随机事件的元素
C．随机事件是样本空间的子集 D．随机事件中样本点的个数可能比样本空间中的多
【答案】D
【分析】样本点、样本空间及随机事件的定义直接判断即可．
【详解】解：由定义知，，均正确．因为随机事件是样本空间的子集，所以由子集的定义可知错．
故选：．
2．集合，，，2，，从，中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为
A．8B．9C．12D．11
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合列举法，即可求解．
【详解】解：由题意可得，所有样本点为：21，22，24，31，32，34，12，13，23，42，43，共11个．
故选：．
3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为，转盘②得到的数为，结果为，则满足“”的样本点有 个．
【答案】4
【分析】直接列举出基本事件“”即可．
【详解】解：由题意要得事件“”包含以下4个样本点：，，，，
故答案为：4．
核心知识4 事件的关系与运算
1．抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件，“向上的面的点数是2或3”为事件，则
A． B．
C．表示向上的面的点数是1或2或3D．表示向上的面的点数是1或2或3
【答案】C
【分析】由题意，得到事件，所包含的基本事件，由此分析判断即可．
【详解】解：由题意可知，，，，，
所以，，2，，
则表示向上的面的点数是1或2或3．
故选：．
2．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件两弹都击中飞机，事件两弹都没击中飞机，事件恰有一弹击中飞机，事件至少有一弹击中飞机，下列关系不正确的是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，由此能求出结果．
【详解】解：“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，，故选：．
核心知识5 互斥事件与对立事件
1．从一批产品中取出三件产品，设 “三件产品全不是次品”， “三件产品全是次品”， “三件产品不全是次品”，则下列结论不正确的是
A．与互斥且为对立事件B．与互斥且为对立事件
C．与存在有包含关系D．与不是对立事件
【答案】A
【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接判断作答．
【详解】解：事件：三件产品都是正品，事件：三件产品全是次品，事件：三件产品包含一件正品两件次品，两件正品一件次品，三件正品．事件与互斥不对立，错误；事件与互斥，又对立，正确；事件包含于事件，、都正确．故选：．
2．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么对立的两个事件
A．至少有1名男生和全是男生 B．至少有1名男生和至少有1名女生
C．恰有1名男生和恰有1名女生 D．至少有1名男生和全是女生
【答案】D
【分析】互斥事件是两个事件不包括共同的事件，对立事件首先是互斥事件，再就是两个事件的和事件是全集，由此规律对四个选项逐一验证即可得到答案．
【详解】解：选取的两名学生均为男生时，至少有1名男生和全是男生同时发生，故中两个事件不是互斥事件，更不可能是对立事件；选取的两名学生一男一女时，至少有1名男生和至少有1名女生，故中两个事件不是互斥事件，更不可能是对立事件；选取的两名学生一男一女时，恰有1名男生和恰有1名女生，故中两个事件不是互斥事件，更不可能是对立事件；至少有1名男生和全是女生，两个事件不可能同时发生，且两个事件的和事件是全集，故中两个事件是对立事件，故选：．
3．箱子里有3双不同的手套，从中随机拿出2只，记事件拿出的手套不能配对，事件拿出的都是同一只手上的手套，事件拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对．
（Ⅰ）写出该试验的样本空间；
（Ⅱ）用集合的形式表示事件、事件、事件；
（Ⅲ）说出事件、事件、事件的关系．
【答案】，，，，，，，，，，，，，，；，，，，，，，，，，，，，，，，，，
，，，，，．
，，．
【分析】根据已知条件，结合列举法，即可求解．
根据事件、事件、事件的含义，即可直接求解．
根据事件、事件、事件的关系，即可直接求解．
【详解】解：设3双手套为，，，其中，，代表左手手套，，，代表右手手套，样本空间为，，，，，，，，，，，，，，．
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，
，，，，，．
，，．
核心知识6 古典概型
1．下列有关古典概型的说法中，错误的是（ ）
A．试验的样本空间的样本点总数有限
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点出现的可能性相等
D．已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率
【答案】B
【分析】根据古典概型的定义逐项判断即可
【详解】解：由古典概型概念可知：试验的样本空间的样本点总数有限；每个样本点出现的可能性相等，故A，C正确；
每个事件不一定是样本点，可能包含若干个样本点，所以B不正确；
根据古典概型的概率计算公式可知D正确，
故选：B
2．下列是古典概型的是（ ）
①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；
②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.
A．①②③④B．①②④C．②③④D．①③④
【答案】B
【分析】根据古典概型中基本事件的个数是有限的，且每个基本事件等可能这两个特点逐一判断，即可得出结论.
【详解】①②④中的基本事件都是有限个，且每个基本事件都是等可能的，
符合古典概型的定义和特点；③不是古典概型，因为不符合等可能性，
受多方面因素影响.故选：B.
3．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则由乙箱中取出的是红球的概率为
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用题中的条件甲箱中取出的球为红球和非红球进行分类讨论，即可解出．
【详解】解：若从甲箱取出的是红球，则从乙箱取出的是红球的概率为：，若从甲箱取出的不是红球，则从乙箱取出的是红球的概率为：，故先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则由乙箱中取出的是红球的概率为：，故选：．
4．柜子里有3双不同的鞋子，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双的概率为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用列举法分别求出从6只鞋子中取出2只的可能情况及取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双的情况，然后结合等可能事件的概率公式可求．
【详解】解：分别用，，，，，表示6只鞋，则可能发生的情况有15种，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双设为事件，
则包含的结果有6种，，，，，，，，，，，，，（A）．故选：．
5．已知事件A与事件B是互斥事件，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据互斥事件，对立事件和必然事件的定义分析判断即可
【详解】对于AD，因为事件A与事件B是互斥事件，所以是必然事件，所以，所以A错误，D正确，
对于B，因为互斥的两个事件不一定是独立事件，如抛一枚骰子，令事件A为1朝上，事件 B为2朝上，则，则，，所以，所以不一定成立，所以B错误，
对于C，因为互斥两个事件不一定是对立事件，如抛一枚骰子，令事件A为1朝上，事件 B为2朝上，则，则，所以不一定成立，所以C错误，
故选：D
6．已知随机事件A和B互斥，且，，则P（）＝（ ）
A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7
【答案】D
【分析】先求出，再求.
【详解】因为随机事件A和B互斥，且，，所以.所以故选：D
核心知识7 频率与概率
1．某种彩票的中奖概率为，则以下理解正确的是
A．购买这种彩票100000张，一定能中奖一次B．购买这种彩票100000张，可能一次也没中奖
C．购买这种彩票1张，一定不能中奖 D．购买这种彩票100000张，至少能中奖一次
【答案】B
【分析】根据概率的基本概念，即可求解．
【详解】解：某种彩票的中奖概率为，购买彩票为随机事件，则购买这种彩票100000张，可能一次也没中奖．故选：．
2．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了48次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为
A．0.48，0.48B．0.5，0.5C．0.48，0.5D．0.5，0.48
【答案】C
【分析】利用频率的计算公式能求出频率；利用概率的定义能求出概率．
【详解】解：在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了48次，那么出现正面朝上的频率为：，概率为0.5．故选：．
核心知识8 相互独立事件
1．甲、乙两人打靶，甲击中目标的概率为0.8，乙击中目标的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则他们都不击中目标的概率是
A．0.56B．0.14C．0.24D．0.06
【答案】D
【分析】根据对立事件的概率公式，独立事件的积事件的概率乘法公式即可求解．
【详解】解：甲击中目标的概率为0.8，乙击中目标的概率为0.7，甲、乙都不击中目标的概率为．故选：．
2．甲乙丙三个同学独立地解答一个数学题，已知三位同学能够正确解答这个数学题的概率分别为，则这个数学题能被正确解答的概率为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式求解．
【详解】解：设这个数学题能被正确解答为事件，（A），故选：．
3．甲、乙二人的投篮命中率分别为0.9、0.8，若他们二人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为
A．0.72B．0.27C．0.26D．0.98
【答案】D
【分析】“至少一人命中”可分为三种情况：甲、乙都中、甲中乙不中、甲不中乙中，结合二人投篮相互独立，计算即得解．
【详解】解：由题意“至少一人命中”可分为三种情况：甲、乙都中、甲中乙不中、甲不中乙中，
记“至少一人命中”为事件，由甲、乙二人投篮相互独立，
则（A）．故选：．
4．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.
(1)求一辆车从甲地到乙地没有遇到红的概率；
(2)求一辆车从甲地到乙地遇到一个红灯的概率；
(3)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
【答案】(1)(2)(3)
【分析】(1)利用独立事件同时发生的概率等于各自发生的概率之积即可求解；(2) 利用独立事件同时发生的概率运算方法即可求解；(3)分类讨论，根据独立事件发生的概率运算方法求解.
【详解】（1）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，
.
（2）.
（3）设表示第一辆车遇到红灯个数，表示第二辆车遇到红灯个数，
则所求事件的概率等于
=.
5．甲、乙、丙三人进行摔跤比赛，比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，另一人当裁判，没有平局；②每场比赛结束时，负的一方在下一场当裁判；③累计负两场者被淘汰；④当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人累计负两场被淘汰，另一人最终获得冠军，比赛结束．已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为，乙胜丙的概率为，各局比赛的结果相互独立．经抽签，第一．场比赛甲当裁判．
(1)求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；
(2)求只需四场比赛就决出冠军的概率；
(3)求甲最终获胜的概率．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）前三场比赛结束后，丙被淘汰的情况有2种①乙胜丙、乙胜甲、乙胜丙②乙胜丙、甲胜乙、甲胜丙，再利用相互独立事件概率的乘法运算即可得出答案.
（2）首先分析出只需四场比赛就决出冠军的情况，再利用相互独立事件概率的乘法运算即可得出答案.
（3）首先分析出甲最终获胜的情况，再利用相互独立事件概率的乘法运算即可得出答案.
（1）
记事件A为甲胜乙，则，，事件B为甲胜丙，则，，
事件C为乙胜丙，则，，前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率为
（2）只需四场比赛就决出冠军的概率为
．
（3）由于甲胜乙和甲胜丙的概率均为，且乙胜丙和丙胜乙的概率也相等，均为，第一场比赛甲当裁判，以后的比赛相对于甲，可视乙丙为同一人，设甲胜为事件D，甲当裁判为事件E，
．
核心知识9概率与统计的综合应用
1．某校对某次高一期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图：
(1)求的值；
(2)估计该校高一期中数学考试成绩的第百分位数；
(3)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率．
【答案】(1)；(2)分；(3).
【分析】（1）利用频率之和为，即可计算出；
（2）利用百分位数的运算方法，求出成绩的第百分位数；
（3）利用分层抽样取样方法，算出需在分数段内抽人，分别记为，，需在分数段内抽人，分别记为，，，写出样本空间和符合条件样本点，即可求出相应概率.
（1）
由，解得；
（2）
由题可知知样本数据中数学考试成绩在分以下所占比例为，
在分以下所占比例为，
因此，第百分位数一定位于内，由，
可以估计样本数据的第百分位数约为分，
据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第百分位数约为分；
（3）
由题意可知，分数段的人数为 (人)，分数段的人数为 (人)．
用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，则需在分数段内抽人，分别记为，，需在分数段内抽人，分别记为，，，
设“从样本中任取人，至少有人在分数段内”为事件，
则样本空间共包含个样本点，
而的对立事件包含个样本点，所以，所以.