专题03 导数及其应用-备战2024年高考之5年高考数学真题分项汇编（新高考通用）

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考点一 导数的运算
1．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，均为偶函数，则
A．B．C．（4）D．（2）
考点二 利用导数研究曲线上某点切线方程
2．（2021•新高考Ⅰ）若过点可以作曲线的两条切线，则
A．B．C．D．
3．（2022•新高考Ⅰ）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ．
4．（2022•新高考Ⅱ）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
5．（2021•新高考Ⅱ）已知函数，，，函数的图象在点，和点，的两条切线互相垂直，且分别交轴于，两点，则的取值范围是 ．
考点三 利用导数研究函数的单调性
6．（2023•新高考Ⅱ）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为
A．B．C．D．
7．（2023•新高考Ⅰ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
8．（2022•浙江）设函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）已知，，曲线上不同的三点，，，，，处的切线都经过点．证明：
（ⅰ）若，则（a）；
（ⅱ）若，，则．
（注是自然对数的底数）
9．（2022•新高考Ⅱ）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围；
（3）设，证明：．
10．（2021•新高考Ⅱ）已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：恰有一个零点．
①，；
②，．
11．（2021•浙江）设，为实数，且，函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围；
（Ⅲ）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，，满足．
（注是自然对数的底数）
12．（2021•新高考Ⅰ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：．
13．（2020•海南）已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若，求的取值范围．
14．（2019•浙江）已知实数，设函数，．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）对任意，均有，求的取值范围．
注：为自然对数的底数．
考点四 利用导数研究函数的极值
15．【多选】（2023•新高考Ⅱ）若函数既有极大值也有极小值，则
A．B．C．D．
16．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知函数，则
A．有两个极值点
B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
17．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若为的极大值点，求的取值范围．
考点五 利用导数研究函数的最值
18．（2022•新高考Ⅰ）已知函数和有相同的最小值．
（1）求；
（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．