考点巩固卷02 一元二次不等式及基本不等式（十二大考点）-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

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考点01：不等式性质的应用
1．（多选）对于实数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，
【答案】BC
【分析】利用不等式的性质即可判断选项A、B、C，对D选项取特殊值验证即可.
【详解】对于A，因为，所以，
所以，所以，故A错误；
对于B，因为，所以，，
所以，故B正确；
对于C，因为，所以，，
所以，故C正确；
对于D，取，满足，
而，故D错误.
故选：BC.
2．已知，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】利用不等式的性质即可求出的取值范围.
【详解】由题意，
在中，
∵，
∴，解得：，
故答案为：.
3．（多选）已知实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据不等式的性质对各个选项验证.
【详解】因为，所以有，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D正确．
故选：BCD．
4．已知，，分别求，，，的取值范围．
【答案】详见解析.
【分析】根据不等式的基本性质和反比例函数特点即可求解.
【详解】因为，，
所以，
即的取值范围是．
由，，
得，
所以的取值范围是．
由，，
得，
所以的取值范围是．
易知，
而
则，
所以的取值范围是．
考点02：利用基本不等式求最值(直接法)
5．若实数满足，则的最小值为_________．
【答案】
【分析】直接由基本不等式求解即可.
【详解】,当且仅当，
即时取到等号.
故答案：.
6．若，则的最小值是 （ ）
A．B．1
C．2D．
【答案】C
【分析】根据给定等式，利用均值不等式变形，再解一元二次不等式作答.
【详解】，当且仅当时取等号，
因此，即，解得，
所以当时，取得最小值2.
故选：C
7．已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，则ab的最大值为_______.
【答案】/0.0625
【分析】由已知条件利用基本不等式求解即可．
【详解】因为a＞0，b＞0，4a＋b＝1，
所以1＝4a＋b≥＝，
所以≤，≤，当且仅当4a＝b＝，即a＝，b＝时，等号成立，
则ab的最大值为．
故答案为：．
8．已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．20B．40C．D．
【答案】C
【分析】由两次应用基本不等式即可求解.
【详解】，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故选：C.
9．已知，且，则的最小值为___________.
【答案】/
【分析】由基本不等式求解即可.
【详解】，且，
，
当且仅当时等号成立.
故答案为：.
考点03：利用基本不等式求最值(配凑法)
10．若，则的最值情况是（ ）
A．有最大值B．有最小值6C．有最大值D．有最小值2
【答案】B
【分析】利用基本不等式可得答案.
【详解】若，则，
当且仅当即等号成立，
所以若时，有最小值为6，无最大值.
故选：B.
11．当时， 的最小值为10，则（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】A
【分析】应用基本不等式求解最小值,再根据最小值求参即可.
【详解】当时
,
即，故.
故选:A.
12．已知，则的最大值为________.
【答案】
【分析】变形，利用基本不等式求解.
【详解】，，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：.
13．（2023天津红桥一模）已知，则的最小值为___________．
【答案】
【分析】将不等式变为，再由基本不等式即可得出答案.
【详解】,
当且仅当，即时取等.
故答案为：.
考点04：利用基本不等式求最值(商式)
14．函数在上的最大值为_______________．
【答案】
【分析】令，则，则，利用基本不等式计算可得.
【详解】解：因为，，令，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最大值为．
故答案为：
15．函数 的最大值为________.
【答案】/
【分析】首先化简可得，由则可以利用基本不等式求最值即可.
【详解】因为，则，
所以
≤，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：.
16．函数的最小值为_________．
【答案】
【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可.
【详解】由，又，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以原函数的最小值为.
故答案为：
17．求的最小值．
【答案】4
【分析】根据已知可知，然后根据基本不等式，即可得出答案.
【详解】因为，
当且仅当，即时，取到最小值4.
18．当时，函数的最小值为（ ）
A．B．
C．D．4
【答案】B
【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决.
【详解】因为，所以，当且仅当 ，即时，等号成立．
故选：B．
考点05：利用基本不等式求最值(“1”的代换)
19．已知正数x、y满足，求的最小值为____________；
【答案】/
【分析】利用1的妙用，由利用基本不等式求得结果.
【详解】，
当且仅当，即时取等号，
的最小值为.
故答案为：.
20．设，且，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】根据“1”的代换，结合已知可推得，然后根据基本不等式，即可得出答案.
【详解】因为，，
所以.
当且仅当，且，即时，等号成立.
所以，的最小值为.
故答案为：.
21．若，则的值可以是__________．
【答案】5（答案不唯一，只要不小于即可）
【分析】由基本不等式“1”的代换求解即可.
【详解】因为，
所以．
因为，所以，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
则.
故答案为：5（答案不唯一，只要不小于即可）
22．已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．9
【答案】C
【分析】化简已知式可得，因为，由基本不等式求解即可.
【详解】
，
而，
当且仅当，即取等.
故选：C.
23．已知，若，则的最小值是（ ）
A．7B．9C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即可.
【详解】因为，，则，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
故选：D.
考点06：利用基本不等式求最值(消参法)
24．已知，若，则的最小值为______
【答案】8
【分析】根据题意，由条件可得，然后结合基本不等式即可得到结果.
【详解】因为，且，所以，则，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为8．
故答案为:
25．若，，且，则的最小值是（ ）
A．5B．8C．13D．16
【答案】C
【分析】由可得，从而将化为，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意，，得，
故，
由于，故，
当且仅当即时取等号，即，
故的最小值是13，
故选：C
26．已知，，，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】B
【分析】由换底公式和基本不等式即可求解.
【详解】由知,
结合，以及换底公式可知，
，
当且仅当，，
即时等号成立，
即时等号成立，
故的最小值为，
故选：B.
27．若，且，则的最小值为______.
【答案】5
【分析】根据对数的换底公式得到，解得，即，然后代入中，利用基本不等式求最小值即可.
【详解】因为，所以，解得或，
因为，所以，则，即，
因为，所以，，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：5.
考点07：利用对勾函数求最值
28．求函数的最值.
【答案】最小值为，无最大值
【分析】利用分式变形结合换元法构造对勾函数，利用对勾函数最值求解即可
【详解】解：，令，则，
因为对勾函数在上单调递增，当时，取得最小值.
故的最小值为，无最大值.
29．下列函数中，最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由对勾函数性质，结合换元法判断A、C的最值，应用基本不等式求B的最值，根据二次函数性质求D的最值.
【详解】A：当时，显然最小值不为4，排除；
B：由，则，当且仅当时等号成立，满足；
C：由题意，而在上递减，故时函数最小值为5，不满足；
D：由，当时最小值为3，不满足.
故选：B
30．函数的值域（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，将原式整理成，利用对勾函数能得到在上单调递减，且没有最大值，即可得到答案
【详解】解：令，所以，
因为对勾函数在上单调递减，且没有最大值，
所以
所以，
故选：D
31．当时，的最小值为________.
【答案】3
【分析】根据对勾函数的单调性求最值.
【详解】设，则，
又由得，
而函数在上是增函数，
因此时，取得最小值，
故答案为：.
考点08：解不含参的一元二次不等式
32．下列不等式中，解集为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式的解，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A,，故A不符合，
对于B，,且开口向上，所以对任意的,都有,故B符合,
对于C,得，故C不符合，
对于D,由得，故D不符合，
故选：B
33．不等式的解集为（ ）
A．或.B．或.
C．D．
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】不等式，解得：或，
所以不等式的解集为或.
故选：B
34．关于实数的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据三个二次之间的关系结合韦达定理可得，且，代入所求不等式运算求解即可.
【详解】由题意可得：的解为，且，
可得，解得，
则不等式，即为，
且，则，整理得，
解得或，即解集为.
故选：D.
35．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先化简集合A，再利用集合的并集运算求解.
【详解】解：由题意知，，
所以.
故选：C.
考点09：分式不等式、高次不等式
36．不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先化简不等式，等价转化后画数轴，利用穿根法求出不等式的解集.
【详解】
由，得，
等价于，
由穿根法可得不等式的解集为.
故选：B
37．解下列不等式：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】对不等式因式分解，由数轴标根法或分类讨论求解即可.
【详解】（1），由数轴标根法得，解集为；
（2）或，
易得解集为.
38．不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出的根，根据所得根为界点，讨论范围判断题设不等式是否成立即可得解集.
【详解】令，则或或，
当时，，满足不等关系；
当时，，则不满足；
当时，，满足不等关系；
当时，，则不满足；
而x=-1或x=1或x=3时，原不等式左侧等于0，不满足；
综上，解集为.
故选：A
39．已知集合，则_________．
【答案】
【分析】解分式不等式得到集合，求交集即可.
【详解】对于集合，解不等式，
所以，即，等价于，
解得或，所以，
，则.
故答案为：.
40．不等式的解集是__________．
【答案】
【分析】化为整式不等式求解.
【详解】不等式等价于，解得，
所以不等式的解集是.
故答案为：
41．不等式的解集是__________．
【答案】
【分析】移项通分得，即，再利用穿根法即可得到答案.
【详解】，即，即，
则，根据穿根法解得，
故答案为：.
考点10：解含参的一元二次不等式
42．关于x的方程的解集为，则实数a的值为______.
【答案】1
【分析】根据一元一次方程的解的即可求解.
【详解】由得，
若该方程的解为空集，则且，解得，
故答案为：1
43．关于的不等式的解集为______.
【答案】
【分析】直接因式分解，再利用基本不等式即可得到答案.
【详解】,
即，
因为，则，当且仅当时等号成立，
则不等式得解集为，
故答案为：.
44．解关于x的不等式：
(1)
(2)
【答案】(1)详见解析；
(2)详见解析.
【分析】（1）分解因式并含参讨论解不等式即可；
（2）将分式不等式化为整式不等式，含参讨论即可.
【详解】（1），
若，，解不等式得；
若，则不等式可化为：
①若，则，解不等式得或；
②若，则，解不等式得；
③若，则无解，即；
④若，则，解不等式得.
综上所述：时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为.
（2）由，
若，则，即；
若，原不等式可化为：
若，则，解不等式得：或；
若，则，解不等式得：；
若，则，显然无解，即；
若，则，解不等式得：；
综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
45．解关于x的不等式.
【答案】答案见解析
【分析】对不等式变形为，然后对进行合理分类讨论即可.
【详解】原不等式变为，
①当时，原不等式可化为，
所以当时，解得；
当时，解集为；
当时，解得
②当时，原不等式等价于，即.
③当时，，原不等式可化为，
解得或.
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或.
考点11：一元二次不等式的恒成立问题
46．已知函数.若对于，恒成立，则实数m的取值范围________________.
【答案】
【分析】解法1：不等式配方变形为在上恒成立，讨论的取值，使不等式恒成立，即可求的取值；
解法2：采用参变分离的方法，转化为在上恒成立，转化为求函数最值问题.
【详解】要使在上恒成立，即在上恒成立，有以下两种解法：
解法1：令，．
当时，在上单调递增，所以，即，
所以，所以；当时，恒成立；当时，在上单调递减，所以，即，所以，所以.
综上所述，m的取值范围是.
解法2：因为，又因为在上恒成立，所以在上恒成立．令，因为函数在上的最小值为，所以只需即可．所以的取值范围是.
故答案为：
47．已知，当时，不等式恒成立，则实数m的范围为__________．
【答案】
【分析】由题意可得对任意的恒成立，根据二次函数的性质求出，的最小值即可求解.
【详解】由题意可得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立.
令，，
，，则,
所以,所以实数m的范围为.
故答案为:.
48．若函数的定义域为，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【分析】根据题意转化为在恒成立，结合一元二次方程的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数的定义域为，即在恒成立，
结合一元二次方程的性质，则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
49．命题“,使”是假命题，则实数的取值范围为____________．
【答案】
【分析】由题意可得“，使”是真命题，讨论m的取值，结合二次不等式恒成立，即可求得答案.
【详解】由题意命题“，使”是假命题，
故“，使”是真命题，
当时, 成立，
故，则且,解得，
综合得，
故答案为:
50．已知命题，使得“成立”为真命题，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【分析】由特称命题的真假分类讨论求解参数的取值范围即可.
【详解】因为命题，使得“成立”为真命题，
当时，，则，故成立；
当时，，解得：；
当时，总存在；
综上所述：实数a的取值范围为.
故答案为：
51．已知时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解出不等式可得集合A，由，计算可得范围.
【详解】设的解集为A，
因为时，恒成立，所以，
由得，即，
当，解得，即，可得；
当，解得，即，不合题意；
当，解集为，不合题意；
综上所述：实数a的取值范围是.
故选：C.
考点12：不等式的实际应用
52．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为平方米的泳池，池的深度为米，池的四周墙壁建造单价为每米元，中间一条隔壁建造单价为每米元，池底建造单价每平方米元(池壁厚忽略不计)．则泳池的长设计为________米时，可使总造价最低．
【答案】15
【分析】根据题意求出总造价关于泳池的长的函数关系式，再根据基本不等式可求出结果.
【详解】设泳池的长为米，则宽为米，
总造价
(元)，
当且仅当，即时等号成立．
即泳池的长设计为米时，可使总造价最低
故答案为：15
53．在中国很多乡村，燃放烟花爆竹仍然是庆祝新年来临的一种方式，烟花爆竹带来的空气污染非常严重，可喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒一个单位的去污剂，空气中释放的去污剂浓度（单位：毫克/立方米）随着时间（单位：天）变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和，由试验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.
(1)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
(2)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒个单位的去污剂，要使接下来的3天能够持续有效去污，求的最小值.
【答案】(1)7天
(2)
【分析】（1）根据空气中去污剂的浓度不低于4，直接列出不等式，然后解出不等式即可
（2）根据题意，列出空气中去污剂的浓度关于时间的关系式，然后利用基本不等式放缩，并解出不等式即可
【详解】（1）释放的去污剂浓度为，
当时，，解得，所以；
当时，，解得，即；
故一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达7天.
（2）设从第一次喷洒起，经天，则浓度，
，当且仅当即等号成立.
所以的最小值为.
54．为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为万元.
(1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？
(2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)75人
(2)存在，7
【分析】（1）根据题意直接列出不等式可求解；
（2）由条件可得，，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解.
【详解】（1）依题意可得调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，
则，()
解得，
又，，所以调整后的技术人员的人数最多75人；
（2）假设存在实数m满足条件.
由技术人员年人均投入不减少有，解得.
由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有
，
两边同除以得，
整理得，
故有，
因为，当且仅当时等号成立，所以，
又因为，，所以当时，取得最大值7，所以，
，即存在这样的m满足条件，其范围为.
55．如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC，AE交DC于点P．设AB＝xcm．
(1)若，求x的取值范围；
(2)设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）由折叠性质可知，进而可得，再利用勾股定理得到，化简整理求出a，根据，求出x的范围即可；
（2）根据题意可得，，利用基本不等式即可求出S的最大值以及相应的x的值．
【详解】（1）由矩形周长为，可知，设，则∵，∴．
在中，，即，
得，
由题意，，即，
解得，
由得，，∴，
即x的取值范围是．
（2）因为，．
化简得．
∵，∴，
当且仅当，即时，，.
56．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本．
(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式；
(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？
【答案】(1)
(2)6万元
【分析】（1）依题意求解即可；
（2）由结合基本不等式求解即可.
【详解】（1） ．
因为，所以
（2）因为 ．
又因为，所以，
所以（当且仅当时取“”）
所以
即当万元时，取最大值30万元．