专题突破卷02 指对幂比较大小-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

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1.单调性法比较大小
1．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的单调性结合中间量法即可得出答案.
【详解】解：是增函数，故，
而，故.
故选：A.
2．若，，，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的知识确定正确答案.
【详解】函数在上递增，函数在上递减，
所以，
所以.
故选：A
3．设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用指数函数的单调性结合中间量法即可得解.
【详解】解：因为函数为减函数，
所以，即，
又，
所以.
故选：C.
4．设，则，，的大小关系为__________注：用“”将三个数按从小到大的顺序连接
【答案】
【分析】根据指数函数，幂函数单调性比较大小即可解出.
【详解】由题知，
因为在定义域内单调递减，
所以，
因为在定义域内单调递增，
所以，
所以
所以．
故答案为：．
2.中间值法比较大小
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据幂函数、指数函数和对数函数的单调性，比较可得结果.
【详解】因为，
，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查了利用幂函数、指数函数和对数函数的单调性比较大小，属于基础题.
6．已知，，，则、、的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】本题首先可根据函数是减函数得出，然后通过与进行对比即可得出结果.
【详解】因为函数是减函数，，
所以，
因为，，
所以，
故选：C.
7．已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据中间值法进行判断.
【详解】
,即
故选：A
8．若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】3个数和特殊值0,1比较大小，即可判断大小.
【详解】，，
，所以，
所以
故选：A
9．设，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先将与和比较大小,即可得出的大小.
【详解】解: ,
,
.
故,即.
故选:D
3.作差作商法比较大小
10．已知，则大小关系是__________．
【答案】
【分析】设，得，，，然后作商法比较和大小解决即可.
【详解】因为，设，
所以，，，
因为，
所以，，，
因为，
所以．
因为，
所以．
故答案为：．
11．已知，则正数的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据对数式与指数式之间的互化，以及作商法比较大小，即可比较的大小，由对数函数的单调性以及中间值法即可比较三者的大小.
【详解】由，得，由，得
，
因此，即；
由，得，于是，
所以正数的大小关系为.
故选:A.
12．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据对数的运算可得，作差可推得，开方即可得出.作差可得，开方即可得出.
【详解】因为，
所以，所以.
因为，，所以.
因为，
所以，.
因为，，所以.
综上所述，.
故选：A.
13．已知，，，则p，q，r的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指、对数函数的性质，结合基本不等式分析运算.
【详解】由题意可得：，
因为，即，
所以，即，
又因为，
所以.
故选：D.
14．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先证明当，时，有.进而根据对数的运算性质以及换底公式，即可得出答案.
【详解】当，时，有，
则，
所以.
所以，
所以，即．
故选：B.
4.零点法比较大小
15．设正实数分别满足，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】作出的图像，利用图像和图像交点的横坐标比较大小即可.
【详解】由已知可得，，，
作出的图像如图所示：
它们与交点的横坐标分别为，
由图像可得，
故选：B
16．已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将函数的零点，转化为函数的图象分别与函数、、的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解．
【详解】解：函数，，的零点，
即为函数分别与函数、、的图象交点的横坐标，
如图所示：
由图可得.
故选：B
17．已知，则a，b，c从小到大的关系是___________.
【答案】
【分析】由题可得，，，且，分别作出函数，，和的图象，数形结合可得结果.
【详解】由，
可得，，，且，
分别作出函数，，和的图象，如图，
由图可知：.
故答案为：
18．设，，，则、、的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用零点存在定理计算出、的取值范围，利用对数函数的单调性可得出，即可得出、、的大小关系.
【详解】构造函数，因为函数、在上均为增函数，
所以，函数为上的增函数，且，，
因为，由零点存在定理可知；
构造函数，因为函数、在上均为增函数，
所以，函数为上的增函数，且，，
因为，由零点存在定理可知.
因为，则，因此，.
故选：B.
19．已知函数在区间内的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用函数的单调性结合零点存在性定理判断a，b，c所在区间作答.
【详解】函数在上单调递减，函数在上都单调递增，
因此函数在上都单调递减，
在上最多一个零点，，即有，
，则，而，即，
所以.
故选：A
20．已知，，满足，，，则，， 的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用指数对数函数图像数形结合即可得到，，的大小关系.
【详解】在同一平面直角坐标系内作出
的图像
过点；过点；
过点；过点，
则与图像交点横坐标依次增大，
又与图像
交点横坐标分别为，则.
故选：C
5.结合函数单调性及奇偶性比较大小
21．（ 2023·天津滨海新·．统考三模）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，，则，，大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据指数幂，对数的运算法则进行比较大小，利用函数的奇偶性和单调性进行转化求解即可.
【详解】，
因为是定义在上的偶函数，
所以，
因为，，，
且在上单调递减，
所以，
即.
故选：A.
22．设是定义域为上的偶函数，且在单调递增，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据指数函数单调性可知，再根据对数函数单调性可得，结合函数的奇偶性和单调性即可得出结论.
【详解】由指数函数为单调递增函数可知，所以，
又是定义域为上的偶函数，
所以，
由对数函数可知，，所以，
即.
故选：B
23．是定义在上的偶函数，在上单调递减，，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据对数的运算法则，得到 ，结合偶函数的定义以及对数函数的单调性，得到自变量的大小，根据函数在上的单调性，得到函数值的大小，即可选出答案.
【详解】，
而，
因为是定义在上的偶函数，且在上单调递减，
所以，
所以，
故选：A.
24．已知函数为上的偶函数，且对任意，均有成立，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意判断的单调性，根据函数单调性确定函数值大小.
【详解】对任意，均有成立，
所以在单调递减，
又因为上的偶函数，所以在单调递增，
，，即，
故，即.
故选：A
25．已知是偶函数，且当时，，若，，，则a，b，c的大小关系为________．（用“<”连接）
【答案】
【分析】利用导数探讨函数在上的单调性，再结合偶函数的性质比较大小作答.
【详解】当时，，求导得，则函数在上单调递增，
又是偶函数，则，，
，于是，
所以.
故答案为：
26．函数均为偶函数，且当时，是减函数，设，，则a、b、c的大小是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据偶函数的性质和周期函数的定义证明，由此转化，利用函数的单调性比较其大小.
【详解】因为函数均为偶函数，
所以，，
所以，
所以，
，
因为，当时，是减函数，
所以，
所以.
故选：A.
6.换元法比较大小
27．已知实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先应用指对数转换求出,再转化成整数幂比较即可.
【详解】因为,所以,
即得得,
因为是上的增函数,比较的大小关系即是,的大小关系 ,
同时取15次幂,因为幂函数在上是单调递增的，比较即可,
因为 所以
即,即得.
故选:.
28．已知正实数x，y，z满足，则（ ）
A．
B．
C．x，y，z可能构成等比数列
D．关于x，y，z的方程有且只有一组解
【答案】D
【分析】对于A、B项，令，结合幂函数的单调性即可判断；对于C项，利用反证法即可判定；对于D项，构造函数判定其零点个数即可.
【详解】令，则
令，
由幂函数图象的性质可知：
当时，在上单调递增，故，即；
当时，在上单调递减，故，即；
故AB不一定正确；
假设成等比数列，则，
则，与已知矛盾，故C错误；
令，由指数函数的性质可知在上单调递减，
注意到，故只有一个零点，即只有一个解，
所以只有一组解，故D正确.
故选：D
29．设，，为正数，且，则( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】令，将x、y、z表示为对数，利用作商的方法可判断大小．
【详解】令，则，，，
∴，则，
，则．
故选：A．
7.含变量比较大小
30．已知，，，，则a，b，c的大小关系正确的为（ ）
A．c＞a＞bB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．a＞b＞c
【答案】B
【分析】由题意可得，结合，的单调性可判断.
【详解】由题意，故，
由指数函数的单调性，单调递减，故，
由幂函数的单调性，在单调递增，故，
综上：.
故选：B
31．已知、、，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，由题中条件可得出，，，再利用函数的单调性可得出、、的大小，再结合函数在上的单调性及指数函数的单调性可得出、、的大小关系.
【详解】因为、、，由可得，由可得，
由可得，
构造函数，其中，则，
当时，；当时，.
所以，函数的增区间为，减区间为，
因为，所以，，即，即，
因为、、，则、、，所以，，
因此，.
故选：A.
32．若，则，，的大小关系是（ ）
A．B．；
C．；D．．
【答案】B
【分析】直接感觉指数函数与幂函数的单调性进行比较大小即可.
【详解】，，
，，，
得，.
，在上单调递减.
.
综上所述：.
故选：B
33．已知，令那么，，之间的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由对数函数、指数函数、余弦函数的性质比较即可.
【详解】解：，，，，
，
故选：A．
34．设a∈，则之间的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用指数函数单调性可得，利用对数的单调性与特殊点可得，从而得到三者间的大小关系．
【详解】∵a∈，则为R上减函数，则
∵在上单调递减，a∈，∴
∴
故选：C．
8.构造法比较大小
35．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据数的结构构造函数，利用导数法研究函数的单调性，利用函数单调性比较大小即可.
【详解】令，则，
所以在上单调递增.
又，所以，
又，，，
所以c＞b＞a.
故选:A.
36．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，利用其单调性判定大小即可.
【详解】，
令，则，
所以当时，函数单调递增，
，即，
即，从而可知.
故选：B.
37．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意得到，，，令，其中，求得，结合函数的单调性，即可求解.
【详解】由，，，
对两边取对数，可得，，，
令，其中，
可得，
令，可得，所以为单调递增函数，
当时，可得，所以,
所以，在单调递增，
所以，即，
所以.
故选：A.
38．若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据结构，构造函数，利用导数证明出，利用单调性判断出；令，利用单调性判断出，即可得到答案.
【详解】记，因为，
令，解得；令，解得；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
所以，
因为，所以，即；
令，，
所以在单调递增，，
所以当时，，即，
所以，
又，，所以.
故.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题考查比较大小，解答的关键是结合式子的特征，合理构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可判断.
39．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，应用导函数判断函数单调性判断大小关系.
【详解】由，得．
设，则，
故当时，，f(x)单调递增；
当时，，f(x)单调递减．
所以f(x)在处取得极大值，也是最大值，
即，即，
所以，所以（当且仅当时取等号），
所以，即．
设，则当时，
，所以g(x)单调递增，
所以，故，
所以，即，所以．
故选：C.
9.放缩法比较大小
41．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】通过构造函数，利用导数研究单调性的方法比较大小.
【详解】，
令，则，
设，有，
所以在上单调递增，即在上单调递增，从而，
所以在上单调递增，于是，即；
，
令，则，
所以在上单调递增，于是，即，所以.
故选：A.
【点睛】方法点睛：构造函数比较大小主要方法有：
1.通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们就可以通过引入一个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到他们之间的大小关系。
2.通过构造函数比较大小，要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性，就可以通过自变量的大小关系，进面找到要比较的数的大小关系。有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围。
42．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数得出大小，然后利用放缩法得到，进而即得.
【详解】构造函数，则，
在上恒成立，则在上单调递减，
故，则，
设 ，则，
由对于函数，恒成立，
所以， 即在上恒成立，
所以，（注： ）
所以，.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，通过构造函数比较的大小，通过构造函数结合放缩法得，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.
43．设，，，则（ ）
A．b＞c＞aB．b＞a＞c
C．c＞b＞aD．a＞b＞c
【答案】A
【分析】构造函数证明b＞c，构造函数证明，构造函数证明，从而得结论.
【详解】令函数，则，当时，，当x＞1时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故，当且仅当x＝1时取等号，即．所以，故，即b＞c．
令函数，x＞0，则，在上单调递增，所以，故，即，故．
令函数，则，故当x＞1时，，所以，即，所以c＞a．
综上b＞c＞a．
故选：A．
1．已知实数，其中，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用指数函数的值域与对数函数的性质判断得；利用指数与对数的互换判断；利用对数的运算法则与对数函数的性质判断得；从而得解.
【详解】因为，，所以，则；
因为，所以，且，所以；
因为，所以；
综上：.
故选：D.
2．若，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用指数函数、对数函数单调性，结合三角函数值域限定其范围即可比较出大小.
【详解】由指数函数为单调递减可知，即，
由三角函数值域值域可得，再利用为单调递增函数可得，所以；
由指数函数为单调递增可知，即可得.
故选：C
3．已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】依题意可将函数的零点转化为函数、、与的交点的横坐标，画出函数图象，结合图象即可判断；
【详解】解：依题意令，即，
同理可得，，
则函数的零点转化为、、与的交点的横坐标，
在平面直角坐标系上画出函数图象如下：
由图可得，，，即.
故选：D
4．已知，且，若把，，按从小到大的顺序排列，则排在中间的数（ ）
A．一定是B．一定是
C．一定是D．不能确定，与的值有关
【答案】B
【分析】先得到，利用作商法，结合指数运算和指数函数性质比较出大小.
【详解】因为，且，所以，
故，
，
因为，所以，所以，
故，
，
因为，所以，所以，
故，
综上：，
故选：B
5．已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用题目中涉及的指数函数、对数函数、幂函数和正弦函数的单调性比较大小.
【详解】，∴，
函数是减函数，函数在定义域内是增函数，函数在定义域内是增函数，
∴，，
∴，
故选：C.
6．已知函数是定义在上的偶函数，且在上是单调递增的，设，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据偶函数的性质以及函数在上单调递增，比较自变量绝对值的大小即可得解
【详解】由题意可得，，
，
因为函数是定义在上的偶函数，，所以，，
因为在上是单调递增的，且，
所以，即.
故选：D
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先通过化同指数比较和的大小，再通过化同底数比较和的大小.
【详解】先比较和的大小：
，，
，，.
然后比较和的大小：
，，
综上，.
故选：D.
8．已知，，，则a，b，c三者的大小关系______．
【答案】
【分析】根据函数的单调性比较大小．
【详解】解：，，
构造函数，为R上的递增函数，
，
．
故答案为：．
9．（多选）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性结合不等式的性质逐项分析即得.
【详解】A选项，∵，∴单调递增，∴，故A错误；
B选项，由可知函数单调递增，又，
故，∴，即，故B正确；
C选项，由题可知，，，故，即，故C正确；
D选项，函数单调递减，单调递增，，故，故D错误.
故选：BC.
10．已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是______．
【答案】
【分析】在同一坐标系中作出函数，，的图象求解.
【详解】解：在同一坐标系中作出函数，
，的图象，如图所示：
由图象知：，
故答案为：.
11．（多选）已知函数，，的零点依次为a，b，c，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】分别将三个函数的零点问题转化成图象的交点问题，在同一坐标系中作出图象，数形结合可得答案.
【详解】函数 的零点为函数与的图象交点的横坐标，
函数 的零点为函数与的图象交点的横坐标，
函数的零点为函数与的图象交点的横坐标，
在同一直角坐标系内作出函数，， 与的图象如图所示：
由图可知：，，，所以，故选BCD
故选：BCD
12．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】可设，求导得出，从而判断出在上单调递减，从而得出，进而得出，而根据指数函数的单调性得出，这样即可得出，，的大小关系．
【详解】设，，
时，，单调递减，
，
，即，
又，
．
故选：．
13．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先构造函数，对函数求导，利用导函数的单调性可得到，且，再结合，即可得到，进而即可得到答案．
【详解】设，则，
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减，
所以，
所以，且，即，且，
又，则，即，即，即，
故，
故选：D．
14．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用单调性得，进而根据指对数的运算性质即可比较.
【详解】令，则，当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减，
所以当时，取极小值也是最小值，故，因此，
故，
，因此，
又，所以，进而，故，
因此，
故选：D
【点睛】比较值的大小，是对函数性质综合运用的考查.一般常采用以下方法：
利用指对幂函数的单调性比较大小，
构造函数，利用导数求解单调性比较大小，
利用不等式的性质以及基本不等式，进行放缩比较.
15．下列不等式关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据对数函数的单调性结合条件即得.
【详解】因为，，，
又，，
所以，即，
故，即.
故选：C.
16．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先得出，再找中间值和，通过构造函数，证明，判断，，由题意推出，，然后得出，，即可得出答案.
【详解】因为，所以即比较与的大小，即比较与的大小，即比较与的大小，
所以，即，
令
则，即在上单调递增
所以，即，当时等号成立，
令，得，所以，故，
因为，即比较与的大小，即比较与的大小，即比较与的大小，
得，即，
由可得，所以，当时取得等号，
令，得，所以，综上：.
故选：B.
17．已知是定义在上的减函数，设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用中间值法，判定对数与指数的大小，根据函数单调性，可得答案.
【详解】由，，，，则，
已知是定义在上的减函数，即.
故选：B.