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专题突破卷08 极值点偏移-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）
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这是一份专题突破卷08 极值点偏移-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用），文件包含专题突破卷08极值点偏移原卷版docx、专题突破卷08极值点偏移解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共81页， 欢迎下载使用。
1.加法不含参型
1．已知函数
(1)若函数在定义域上单调递增，求的最大值；
(2)若函数在定义域上有两个极值点和，若，，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出，由题意可知，对任意的，，可得出，利用导数求出函数的最小值，即可求得实数的最大值；
（2）设，由极值点的定义可得出，变形可得出，，由此可得出，利用导数求出函数在上的最小值，即为所求.
【详解】（1）解：因为，其中，
则，
因为函数在上单调递增，对任意的，，即，
令，其中，则，，
由可得，由可得，
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以，，故，所以，的最大值为.
（2）解：由题意可知，，设，
由可得，则，
可得，，所以，，令，其中，
所以，，
令，其中，则，
因为，由，可得，由可得，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且，
又因为且，
所以，当时，，即，
当时，，即，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，.
【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：
（1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.
2．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)①证明函数（为自然对数的底数）在区间内有唯一的零点；
②设①中函数的零点为，记（其中表示中的较小值），若在区间内有两个不相等的实数根，证明：.
【答案】(1)当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)①证明见解析；②证明见解析；
【分析】（1）由题设有，讨论、判断的符号，进而确定的单调性；
（2）①由题意得，利用导数研究函数在上的单调性，结合零点存在性定理确定证明结论，
②根据题设确定函数解析式，应用导数研究单调性，进而应用分析法：要证只需要证，构造函数，应用导数研究单调性并确定，即可证结论.
【详解】（1）由已知，
函数的定义域为，导函数
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令有，
∴当时，，单调递增，
当时，，单调递减.
综上所述：
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）①的定义域为，导函数，
当时，，即在区间内单调递增，
又，，且在区间内的图像连续不断，
∴根据零点存在性定理，有在区间内有且仅有唯一零点.
②当时，，函数在上单调递增，
又，
∴当时，，故，即；
当时，，故，即，
∴可得，
当时，，由得单调递增；
当时，，由得单调递减：
若在区间内有两个不相等的实数根，，
则，
∴要证，需证，又，
而在内递减，
故需证，又，
即证，即
下证：
记，，
由知：，
记，则：
当时，；
当时，，
故，而，所以，
由，可知.
∴，即单调递增，
∴当时，，即，故，得证.
【点睛】关键点点睛：
（1）分类讨论参数的范围，应用导数在对应区间的符号研究函数的单调性；
（2）由导数研究在上零点的个数，写出解析式并判断单调性，利用分析法：将要证明的结论转化为函数不等式恒成立.
3．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有两个零点、，证明.
【答案】(1)单调减区间为，单调增区间为
(2)证明见解析
【分析】（1）利用函数单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间；
（2）设，由（1）可得，先证，即证，构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，可证得成立；其次证明出，令，则，将所证不等式变形为即证，
令，，利用导数分析函数的单调性，可证得，综合可得结论.
【详解】（1）解：因为的定义域为，
则，
令，解得，令，解得，
所以的单调减区间为，单调增区间为.
（2）证明：不妨设，由（1）知：必有.
要证，即证，即证，
又，即证.
令，其中，
则，
令，则
在时恒成立，
所以在上单调递减，即在上单调递减，所以，
所以在上单调递增，所以，
即，所以；
接下来证明，
令，则，又，即，所以，
要证，即证，有，
不等式两边取对数，即证，
即证，即证，
令，，则，
令，其中，则，
所以，在上单调递增，则当时，，
故当时，
可得函数单调递增，可得，即，所以，
综上，.
【点睛】方法点睛：证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：
（1）证明（或）：
①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；
②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；
③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；
（2）证明（或）（、都为正数）：
①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；
②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；
③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；
（3）应用对数平均不等式证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
4．已知函数为其极小值点．
(1)求实数的值；
(2)若存在，使得，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据求出，再根据极小值点的定义加以验证即可；
（2）分类讨论和，转化为证明当，时，，继续转化为证明当时，，构造函数，利用导数判断单调性可证不等式成立.
【详解】（1）的定义域为，
，依题意得，得，
此时，
当时，，，，故，在内单调递减，
当时，，，，故，在内单调递增，
故在处取得极小值，符合题意.
综上所述：.
（2）由（1）知，，
不妨设，
当时，不等式显然成立；
当，时，不等式显然成立；
当，时，由（1）知在内单调递减，因为存在，使得，所以，
要证，只要证，
因为，所以，又在内单调递减，
所以只要证，又，所以只要证，
设，
则
，
令，则，
因为，所以，在上为减函数，所以，
即，
所以在上为减函数，
所以，即.
综上所述：.
【点睛】方法点睛：对于含双变量的不等式的证明一般采用以下两种方法：
①比值代换：设，将不等式化为关于的不等式，再构造函数，利用导数证明即可；
②构造函数，其中为极值点，利用导数判断单调性，根据单调性证明即可.
5．已知函数，
(1)若，求的单调区间；
(2)若，，是方程的两个实数根，证明：．
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用函数的单调性与导数正负的关系即可求解；
（2）根据已知条件构造，利用导数法研究函数的单调性和最值，进而得出，的范围，再构造函数，利用导数法研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可求解.
【详解】（1）由题可知的定义域为，
.
令，则的两根分别为，．
当或时，；
当时，；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，．
（2）原方程可化为，
设，则，．
令，得．∵在上，，在上，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，且当，趋向于0时，趋向于，
当趋向于时，趋向于．
则在和上分别有一个零点，，
不妨设，∵，∴，
设，则，
．
当时，，
∴在上单调递增，而，
∴当时，，，即．
∵，
∴．
∵在上单调递减，
∴，即．
【点睛】关键点睛：本题第二问关键是合理转化，将问题变成熟悉的极值点偏移问题，从而根据对称化构造方法及利用导数法研究函数的单调性即可.
6．已知函数，.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，存在满足，证明.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；
（2）由得，令，，后可转化为证，构造函数即可求证.
【详解】（1）依题意得，，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）时，，，
令，得，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
，，，
因为存在满足，不妨设，
则其一个必要条件是，
由得，即，
令，，
则，两边取对数得，即，
要证，只要证，
，
故只要证，即，
设，则，
故只要证，即，
令，则，
所以在上单调递增，所以，
即成立，从而原不等式得证.
【点睛】方法点睛：本题第二问关键是合理转化，将问题变为熟悉的极值点偏移问题，进而转化为证明对数均值不等式即可.
7．已知函数，.
(1)当时，讨论方程解的个数；
(2)当时，有两个极值点，，且，若，证明：
（i）；
（ii）.
【答案】(1)答案见解析；
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（1）方法1，由，可得，后令，利用导数知识可得其值域即可知解的情况；方法2，，利用导数知识可知时，的单调性与零点情况，又利用可知当时，，即可得解的情况；
（2）（i）由题可得，由结合单调性可得，后通过构造可证；
（ii）由（i）可知，后说明，即可证明结论.
【详解】（1）方法一：，.
设，则.
设，则，单调递减.
，当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减.
，
当时，方程有一解，当时，方程无解；
方法二：设，则.
设，则.单调递增
当时，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
，方程有一解.
当时，.
令,
令，则在上单调递增，又
，则在上单调递减，
在上单调递增，则.
即，
无解，即方程无解.
综上，当时，方程有一解，当时，方程无解．
（2）（i）当时，，则，
，是方程的两根.
设，则，
令，解得，在上单调递减，在上单调递增.
，，当时，，，.
由.
令，，，.
等价于.
设，，
则，
单调递增，，
，即，，
综上，；
（ii）由（i）知，，.
.
由（i）知，，
设，，则.
单调递减，，即.
.
设，，
则.
单调递增，又，当时，.
，，即命题得证.
【点睛】关键点睛：本题涉及讨论函数零点及极值点偏移问题.对于零点问题，常利用分离参数法和研究函数单调性解决，还可以利用数形结合思想转化为函数图象与直线的交点问题；对于极值点偏移问题，关键是将多变量转变为单变量，常利用引入参数或不等关系构造新函数证明结论.
2.加法含参型
8．已知函数（）．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若方程有两个不相等的实数根，证明：．
【答案】(1)见解析.
(2)见解析.
【分析】（1）求出的导数，通过讨论的范围，判断的符号，得到函数的单调区间即可.
（2）根据不单调，令，令，，求出的单调性，得到，从而证出结论.
【详解】（1）函数的定义域为：
当时，，的单调递增区间为
当时，当时，，的单调递增区间为；
当时，，的单调递减区间为；
综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）因为方程存在两个不同的实数解，
因此不为单调函数，所以，
令，则的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值，
，令，，
，
在上单调递增，且，
当时，，
，，
，
的单调递增区间为，、
，.
9．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）函数求导，分类讨论通过判断导函数符号，确定函数单调性.
（2）对分类讨论，求得有两个零点时的范围，及的范围，构造函数，研究在上的单调性，可得，又，及的单调性可得结论.
【详解】（1）函数的定义域为，
时，恒成立，所以在上单调递减；
时，令得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：时，由（1）知至多有一个零点.
时，由（1）知当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，即，故没有零点；
③当时，即，
又，
由（1）知在上有一个零点.
又，
由（1）知在有一个零点，
所以在上有两个零点，的取值范围为
不妨设，则，且，
令
，
则，
由于（且仅当等号成立，
所以当时，在单调递减，又，
所以，即，
又，所以，
又由于，且在上单调递增，
所以即.
【点睛】极值点偏移问题是根据极值点的偏移情况，即极值点两侧函数增长速度的差异构造关于其中一个极值点的一元差函数（或比函数），然后通过探究该函数的单调性解决问题。
10．已知函数，.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)设，是的两个不同零点，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）当时，求出、，代入直线的点斜式方程可得答案；
（2）令，，设函数与相切于，可得，，，根据、的图象可得时有两个不同的交点，有两个零点，得的取值范围为，求出，即证，不妨设，由，则，构造函数，利用导数判断出，再由在上的单调性可得答案.
【详解】（1）当时，，
，，，
曲线在处的切线方程为，即；
（2）令，可得，
令，，设函数与相切于，
由、、可得，，，
，的大致图象如下，
当时，与有两个不同的交点，
即有两个零点，所以的取值范围为，
，当时，，在上递增，
当时，，在上递减，
要证，只要证，
不妨设，由，则，
构造函数，
，
∵，∴，∴在是递增，
又，∴，∴，
∴，又，∴，
而，，在上递减，∴，即，
∴.
【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键点一是利用函数图象的交点得到函数零点的个数，二是
构造函数，利用函数的单调性证明不等式，考查了学生分析问题、解决问题以及运算能力.
11．已知函数（）．
(1)试讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个零点，（），求证：．
【答案】(1)当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
(2)证明见解析
【分析】（1）求导后，根据的不同取值范围，对的符号进行讨论即可；
（2）由已知及（1）中单调性，可知，且，故只需证明，再借助不等式性质和放缩，即可证出.
【详解】（1）由已知，的定义域为，，
①当时，，恒成立，
∴此时在区间上单调递增；
②当时，令，解得，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
综上所述，当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（2）若函数有两个零点，（），
则由（1）知，，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
且，，，
当时，，当时，，（*）
∵，∴，∴，
又∵，∴，
∴只需证明，即有.
下面证明，
设
，，
设，则，
令，解得，
当时，，在区间单调递减，
当时，，在区间单调递增，
∴，在区间上单调递增，
又∵，∴，
即，
∴由（*）知，，∴，即.
又∵，，
∴，原命题得证.
【点睛】本题第（2）问为极值点偏移的变式，首先需要通过和，确认只需证，再通过构造关于其中一个零点的一元差函数，利用导数研究该函数的单调性，证出，最后使用不等式性质和放缩得到.
12．已知函数.
(1)若有唯一零点，设满足条件的值为与证明：①与互为相反数；②；
(2)设.若存在两个不同的极值点、，证明.
参考数据：，
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）求出函数的导数，根据仅有一个零点结合函数的单调性可得零点满足，通过构建新函数可判断该方程有两个根且它们互为导数，从而可得与互为相反数，结合其中一个根的范围可证.
（2）利用零点满足的方程可得，结合对数不等式可得.
【详解】（1）若，则，此时无零点，舍.
故，，
令，因为，故在上有且只有一个零点，
若，则，这与矛盾，故.
且时，，当，，
故在上为减函数，在上为增函数，
下证：当时，有.
证明：当时，成立，
设，则，
故在上为减函数，故即，
故，故当时且.
当时，若，则恒成立，
而当时，有，
设，则，，
故当时，即：
当时，有即.
当时，，由时的讨论可得：
若时，有，故成立.
而即时，有成立.
因为仅有一个零点，故，
所以且，
故，整理得到，
化简得到：，
令，则，其中.
设，则，
故在上均为增函数，
而，
，
故在上有且只有一个零点，
而，
故在上有且只有一个零点，
故在有且只有两个零点，且它们互为倒数，
故在有且只有两个零点，
且即，其中即.
设函数零点为时对应的参数值为，函数零点为时对应的参数值为，
则，且，故，
故即，但，故，
故，故互为相反数.
又，其中，而在为减函数，
故，同理，故.
（2），
设，故为的两个不同的零点，
故，
故，
故，
不妨设，则，
若，则，故为上的增函数，
故至多一个零点，与题设矛盾，故.
设，则，
故在上为增函数，故，
即任意，恒成立，故对任意的恒成立，
而，故，故.
【点睛】思路点睛：函数的零点问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，同时结合零点存在定理来判断，讨论单调性时，导数的零点不易求得，则可以虚设零点，利用零点满足的方程来求解，当函数值的符号不易判断时，可以利用放缩法来处理符号问题.
13．已知函数f(x)＝lnx+1，是f(x)的导函数．
(1)令函数，求g(x)的最小值；
(2)若关于x的方程恰有两个不同的实根x1，x2．
①写出实数a的取值范围（不需要证明）；
②证明：|x2﹣x1|＞﹣1．
【答案】(1)2
(2)①0＜a＜1；②证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；
（2）①根据函数的单调性得到方程有两个不同的实根，时，必有0＜a＜1，②根据的单调性及零点，则，从而证出结论．
(1)
因为，所以g(x)＝lnx+1+，
则，令，则x＝1，
故当0＜x＜1时，，g(x)单调递减；当x＞1时，，g(x)单调递增；
所以当x＝1时，g(x)取最小值，则g(x)min＝g(1)＝2；
(2)
①0＜a＜1，
②因为，则恰有两个不同的实根，，
令，则，解得x＝1，
所以h(x)在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，即h(x)在x＝1处取得极大值；又当h(x)＝0时，，则在上h(x)＜0，在（，+∞）上h(x)＞0，
所以，方程h(x)＝a有两个不同的实根x1，x2时，必有0＜a＜1，不妨令x1＜x2
由，所以
由h(x)在（1，+∞）上单调递减可知，
所以，即满足：．
3.乘积不含参型
14．已知函数.
(1)证明：.
(2)若函数，若存在使，证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）构造，求导后判断函数最大值，得到，即得证；
（2）根据题意判断，，将原题转化为证明，构造函数后求导证明即可.
【详解】（1）令，，，
令，解得：；令，解得：，
∴在递增，在递减，则，
∴恒成立，即.
（2）∵，，∴，
令，解得：；令，解得：；
∴在递增，在递减.
又∵，，，，且，.
要证，即证.
∵，∴，
又∵，∴只证即可.
令，，
恒成立，
∴在单调递增.
又∵，∴，∴，
即，∴.
【点睛】极值点偏移的题目常用的手法就是对称构造，本题可先判断，，再转化为证明，根据的单调性可以将其转化为证明，构造函数后利用导数证明不等式即可.
15．已知函数
(1)求函数单调区间；
(2)设函数，若是函数的两个零点，
①求的取值范围；
②求证：．
【答案】(1)单调递增区间为；单调递减区间为
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）求导后，根据正负即可得到的单调区间；
（2）①将问题转化为与在上有两个不同的交点，采用数形结合的方式可求得结果；
②由①可得，设，利用导数可求得，进而得到，即，根据的范围和单调性可得结论.
【详解】（1）定义域为，，
当时，；当时，；
的单调递增区间为；单调递减区间为.
（2）①若是的两个不同零点，则与在上有两个不同交点；
由（1）知：，又，
在的图象如下图所示，
由图象可知：，，即的取值范围为.
②不妨设，由①知：，
，，
在上单调递增，在上单调递减；
设，则，
在上单调递减，，，
又，，又，；
，，在上单调递增，
，则.
【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于（）的问题的基本步骤如下：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导后可得恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.
16．已知函数，直线与曲线相切．
(1)求实数的值；
(2)若曲线与直线有两个公共点，其横坐标分别为．
①求实数的取值范围；
②证明：．
【答案】(1)
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义，即可求解；
（2）①问题转化为有2个实数根，转化为与有2个交点，利用导数分析函数，即可求解的取值范围；
②构造函数，，利用导数判断函数的单调性，再结合极值点偏移问题的解决方法，即可证明.
【详解】（1）设切点，，
得，，所以，代入直线方程得；
（2）①由（1）知，若曲线与直线有两个公共点，则等价于有2个实数根，，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，当趋向于正无穷大时，趋向于0，当趋向于负无穷大时，趋向于负无穷大，
则；
②，即，等价于，
令，，
，
因为，所以，故，
所以在上单调递增，故,
不妨设，故，即，
由已知，所以，
由①知，当时，单调递增，
故，所以，
所以.
【点睛】极值点偏移问题中（极值点为），证明或的方法：
①构造，
②确定的单调性，
③结合特殊值得到或，再利用，得到与的大小关系，
④利用的单调性即可得到或.
17．（ 2022春·广东深圳·高二统考期末）设函数，已知直线是曲线的一条切线.
(1)求的值，并讨论函数的单调性；
(2)若，其中，证明：.
【答案】(1)；在上单调递减，在上单调递增
(2)证明见解析.
【分析】（1）设切点为，利用导数几何意义和切线方程可构造方程组得到；设，利用导数可确定有唯一零点，由此可得；代入后，根据的正负可得单调区间；
（2）根据单调性和的正负可确定，将所证不等式转化为对任意恒成立；令，利用导数可求得单调递增，得到，由此可得结论.
(1)
设直线与曲线相切于点，
，；
又，，即；
设，则，在上单调递增，
又，有唯一零点，，，解得：；
，，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增.
(2)
由（1）知：；
当时，；当时，，；
要证，只需证；
在上单调递减，只需证，
又，则只需证对任意恒成立；
设，
；
设，则，
在上单调递减，，
又当时，，，
在上单调递增，，
即在时恒成立，又，
，原不等式得证.
【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于（满足）的问题的基本步骤如下：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导后可得恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.
18．已知函数．
(1)当，和有相同的最小值，求的值；
(2)若有两个零点，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分别求出和的最小值，列方程即可求出结果；
（1）问题转化为有两个零点，证明，进而只需要证明只需要证明，也即是，从而令，构造函数求出最值即可证出结论．
【详解】（1）由．
所以．
所以．
令，则为上的增函数，且．
所以在上单调递减，上单调递增．
所以．
又．
所以．令，则
所以为上的增函数．
又．
令，因为在上单调递增，且，而，因此函数与直线有唯一交点，
故方程在上有唯一解，
所以存在唯一，使得．
即，故，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以．
所以．
故而．
（2）由题意有两个零点．
所以，即．
所以等价于：有两个零点，证明.
不妨令．
由．
要证，只需要证明．
即只需证明：．
只需证明：，即．
令．
只需证明：．
令．
则，即在上为增函数．
又．
所以．
综上所述，原不等式成立．
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
19．已知函数.
(1)求在上的最小值.
(2)设，若有两个零点，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导后，令，利用导数可知当时，，由此可知，得到单调性，由最值定义可求得结果；
（2）求导后，根据正负可确定单调性，从而确定的取值范围；采用分析法可知要证，只需证得；令，利用导数可证得，结合（1）中结论可证得，由此可得结论.
【详解】（1），
令，，
则当时，恒成立，在上单调递增，；
又当时，，，在上单调递增，
.
（2）由题意得：，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
有两个零点，，；
要证，只需证，
又，，在上单调递减，只需证，
又，只需证，
即证：；
设，则，
在上单调递增，，
；
由（1）知：，成立，
综上所述：.
【点睛】思路点睛：本题考查利用导数求解函数的最值、证明不等式的问题；本题证明不等式的关键是利用极值点偏移的思想进行分析，将所证不等式转化为的证明，通过构造函数，结合导数知识证得成立.
20．已知是实数，函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个相异的零点且，求证：．
【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)证明过程见解析.
【分析】（1）求定义域，求导，对进行分类讨论，求出单调性；（2）先结合第一问得到，且得到，将不等式变形为，故构造函数，，进行证明.
【详解】（1）的定义域为，，当时，恒成立，故在上单调递减；
当时，令得：，令得：，故在上单调递增，在上单调递减；
综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）由（1）可知，要想有两个相异的零点，则，不妨设，因为，所以，所以，要证，即证，等价于，而，所以等价于证明，即，
令，则，于是等价于证明成立，
设，
，所以在上单调递增，
故，即成立，
所以，结论得证.
4.乘积含参型
21．已知函数有两个不同的零点.
(1)求的最值；
(2)证明：.
【答案】(1)，无最小值
(2)见解析
【分析】（1）求出导函数，由函数有两个不同的零点，则在内必不单调，得，进而得到函数的单调性，即可求出函数的最值．
（2）由题意转化为证明，不妨设，令，只需证明，设，根据函数的单调性，即可作出证明．
（1）
，有两个不同的零点，
∴在内必不单调，故，
令，解得，
∴在上单增，上单减，
∴，无最小值．
（2）
由题知两式相减得，即，
故要证，即证，即证，
不妨设，令，则只需证，
设，则，
设，则，∴在上单减，
∴，∴在上单增，
∴，即在时恒成立，原不等式得证．
【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的证明，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用．
22．已知．
(1)当时，讨论函数的极值点个数；
(2)若存在，，使，求证：．
【答案】(1)函数的极值点有且仅有一个
(2)证明见解析
【分析】（1）对函数进行求导，然后分和两种情况对函数的单调性进行研究，即可得到答案；
（2）由可得（*），通过证明单调递增，（*）转化为，接着证明成立，即可求解
【详解】（1）当时，，则，
当时，，
故在上单调递增，不存在极值点；
当时，令，则总成立，
故函数即在上单调递增，
且，，所以存在，使得，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；
故在上存在唯一极值点，
综上，当时，函数的极值点有且仅有一个．
（2）由知，
整理得，（*），
不妨令，则，故在上单调递增，
当时，有，即，
那么，
因此，（*）即转化为，
接下来证明，等价于证明，
不妨令（），
建构新函数，，则在上单调递减，
所以，故即得证，
由不等式的传递性知，即．
【点睛】思路点睛：应用对数平均不等式证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
23．已知函数，．
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)若存在，且当时，，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导后，分别在和的情况下，根据导函数正负确定单调区间和极值；
（2）设，由导数可确定单调递增，推导可得；令，利用导数可求得，利用推导可得，由此可知，进而证得结论.
【详解】（1），且定义域为；
当时，，的单调递增区间为，无单调递减区间和极值；
当时，令，解得：，
当时，；当时，；
的单调递减区间为；单调递增区间为；
的极小值为，无极大值；
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间和极值；当时，的单调递减区间为；单调递增区间为；极小值为，无极大值.
（2）不妨设，由得：；
设，则，
在上单调递增，，
即，
，
；
设，则，
在上单调递减，，
，，，
，，
即，.
24．已知函数，.
(1)求证：，；
(2)若存在、，且当时，使得成立，求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，可得出，即可证得结论成立；
（2）先证明对数平均不等式，其中，分析可知，不妨设，由已知条件推导出，再结合对数平均不等式可证得结论成立.
【详解】（1）证明：构造函数，其中，
则
，
因为，则，，
即当时，，所以，函数在上单调递减，
故当时，，即.
（2）证明：先证明对数平均不等式，其中，
即证，
令，即证，
令，其中，则，
所以，函数在上为减函数，当时，，
所以，当时，，
本题中，若，则，
此时函数在上单调递减，不合乎题意，所以，，
由（1）可知，函数在上单调递减，不妨设，则，
则，即，
所以，，
因为，则，
所以，，
所以，，
所以，，所以，，
由对数平均不等式可得，可得，所以，.
【点睛】方法点睛：应用对数平均不等式证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
25．已知函数，
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在上有两个不相等的零点，求证：.
【答案】(1)当时，单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)证明见解析
【分析】（1）先求定义域，再求导，对进行分类讨论，利用导函数的正负，求出函数的单调性；（2）对要证明的不等式进行变形，然后构造函数进行证明.
【详解】（1），.
①当时，恒成立，单调递增；
②当时，由得，，单调递增，
由得，，单调递减.
综上：当时，单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）∵在上有两个不相等的零点，，不妨设，
∴在上有两个不相等的实根，
令，，∴，
由得，，单调递减，由得，，单调递增，
，，，，
∴
要证，即证，又∵，
只要证，即证，
∵，即证
即证，即证，即证
令，，∴，
令，，则，当时，恒成立，所以在上单调递增，又，∴，∴，∴
∴在上递增，∴，∴
∴.
5.平方型
26．已知函数，.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）求得的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得切线的方程；
（2）求得的导数，判断不成立，设，，求得导数，判断的单调性，得到，的不等式，再运用分析法，结合构造函数法，求得导数，判断单调性，即可得证．
【详解】（1）当时，，导数为，
可得切线的斜率为，且，
所以切线的方程为，
即为；
（2）证明：由题意可得，
若，则，所以在递增，
因此不存在，使得，所以；
设，，则，
令，，
所以在递减，又，所以在恒成立，
从而在递减，从而.①
又由，可得，
所以.②
由①②可得.
又因为，所以，
因此要证，
只需证明，
即证，③
设，，则，
所以在上为增函数，
又因为，所以，即③式成立.
所以获证.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
27．已知函数
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若，且，证明: .
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，分，两种情况，分别研究的正负，即可得到的单调性；（2）将已知的方程两边同时取对数，得到，由进行分析，利用（1）中的结论，不妨令，分或两种情况求解，构造函数，利用导数研究其性质，结合不等式的性质及基本不等式，即可证明.
【详解】（1）
当时，， ， 所以单调递增；， ， 所以单调递减；
当时，， 所以单调递减；， 所以单调递增；
（2）证明：
， ∴ ，
即当时，
由（1）可知，此时是的极大值点，因此不妨令
要证，即证：
①当时，成立；
②当时
先证
此时
要证，即证：，即，即
即： ①
令 ，
∴
∴在区间上单调递增
∴，∴①式得证.
∴
∵，
∴ ∴ ∴
28．已知函数，．
(1)若，求的取值范围；
(2)证明：若存在，，使得，则．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数后可得函数的单调性，结合单调性可求最大值，从而可求参数的取值范围.
（2）利用极值点偏移可证，结合不等式放缩可证.
【详解】（1），，令，解得，
所以当时，，在上单调递增；
当时，，在单调递减，
所以，要使，则有，而，故，
所以的取值范围为．
（2）证明：当时，由（1）知，当时，单调递增；
当时，单调递减，
设，所以，，
①若，则，成立；
②若，先证，此时，
要证，即证，即，，
令，，
，
所以在(1,2)上单调递增，所以，
即，，所以，
因为，，所以，
即．
1．已知函数的图像在点处的切线方程为.
(1)求实数，的值及函数的单调区间；
(2)当时，比较与（为自然对数的底数）的大小.
【答案】(1)，，函数的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）根据导数几何意义即可求出，的值，根据导数和函数的单调性的关系即可求出；
（2）当时，，设，当时，显然成立，当时，构造函数，根据函数的单调性即可证明.
（1）
解：因为，所以，
函数图象在点处的切线方程为，
，
，定义域为，
时，当时，
的单调递增区间是，单调递减区间是；
（2）
解：当时，，
下面证明结论，
当时，，由（1）可知的单调递增区间是，单调递减区间是，
又，
若，则，都大于1，且必有一个小于，一个大于，
设，
当时，显然，
当时，
，
设，，
，
，
，
，
在上单调递增，
，
，
，
，
在上单调递增，
，
，
综上所述，当时，
2．已知函数， ，是曲线上两个不同的点.
(1)求的单调区间，并写出实数的取值范围；
(2)证明：.
【答案】(1)的取值范围是；
(2)见解析.
【分析】（1）令，利用导数求出的单调性，结合零点存在定理可求参数的取值范围.
（2）根据函数的单调性原不等式等价于，即是，根据导数研究函数的单调性，可证明，原式可得证.
（1）
由题设可得有两个不同的解，则有两个不同的零点.
而，
由得，；由得，，
所以的单调增区间为，单调减区间为.
因为有两个不同的零点，故即，故.
若，则当时，恒成立，
故此时在上没有零点，在上至多1个零点，矛盾.
当时，，
下证：当时，，
证明：设，则，
所以在上为增函数，故，
故.
所以当时，，
故当时，有，
由零点存在定理及的单调性可得在上有两个不同的零点.
故的取值范围是.
（2）
不妨设，
由(1)知，，要证，只需证
因为，所以只需证，
只需证，只需证()，
令，则，
设，则，
故在上为减函数，故即，
所以在上单调递增，所以，
所以在上恒成立，
故.
3．已知（为常数）.
(1)求的极值；
(2)设，记，已知为函数的两个零点，求证：.
【答案】(1)的极大值为，无极小值
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，判断单调性得极值即可；
（2）用导数判断出的单调区间，构造函数,转化为与图象两交点的横坐标为，,，构造函数和比较大小，再在上利用函数单调性得.
（1）
,由得，
且时，，时，，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，函数的极大值为，无极小值；
（2）
由，
，当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
由条件知，即,
构造函数,知与图象两交点的横坐标为，,
，由得，时，时，
易知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
欲证，只需证，不妨设，，
考虑到在上递增，只需证,
由知，只需证,
令，
则，
即单调增，注意到，
结合知，即成立，
即成立.
【点睛】方法点睛:本题考查的是函数的极值问题和极值点偏移问题.求极值时要注意判断在导数为的点两侧的符号，异号时为极值点，要记得判断是极大值还是极小值 ，否则不是极值点;在第二问极值点偏移中，要解决两个问题，一是在上构造函数和比较大小，二是在上利用函数单调性.
4．设.
(1)令，求的单调区间；
(2)当时，直线与的图像有两个交点，且，求证：.
【答案】(1)当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)证明见解析
【分析】（1）先求得的表达式，对求导，讨论与0的大小关系，即可求出函数的单调区间；
（2） 由（1）知，，根据单调性可知函数在处取得极小值也是最小值.构造函数，利用导数求得，即有，根据单调性有，即有.
（1）
由,
可得,
则.
当时, 时，，函数单调递增；
当时，时，，函数单调递增；时，，函数单调递减；
所以，当时，函数单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）
由（1）知，.
当时, 是增函数，
所以当时，，故单调递减；
当时，，故单调递增.
所以在处取得极小值，且，
所以.
.
令，则，
于是在上单调递减，故，
由此得即.
因为，在单调递增，
所以，
即.
【点睛】本题主要考查导数的应用.解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．
5．设，函数．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若无零点，求实数的取值范围；
（3）若有两个相异零点，求证：．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析.
【分析】（1）求函数的导数，当时，点斜式写出切线方程即可；
（2）当时，由可知函数有零点，不符合题意；当时，函数有唯一零点有唯一零点，不符合题意；当时，由单调性可知函数有最大值，由函数的最大值小于零列出不等式，解之即可；
（3）设的两个相异零点为，，设，则，，两式作差可得，即，由可得即，，设上式转化为，构造函数，证（1）即可．
【详解】解：（1）函数的定义域为，，
当时，，则切线方程为，即．
（2）①若时，则，是区间上的增函数，
∵，，
∴，函数在区间有唯一零点；
②若，有唯一零点；
③若，令，得，
在区间上，，函数是增函数；
在区间上，，函数是减函数；
故在区间上，的极大值为，
由于无零点，须使，解得，
故所求实数的取值范围是．
（3）证明：设的两个相异零点为，，设，
∵，，∴，，
∴，，
∵，故，故，
即，即，
设上式转化为（），
设，
∴，
∴在上单调递增，
∴，∴，
∴．
【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查分类讨论思想方法和构造函数法，以及转化思想的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题．
6．已知函数.
（1）求的最小值；
（2）若方程有两个根，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）先求得定义域为，求导得，利用导数判断函数的单调性，再求函数的最小值；
（2）首先转化为，即.要证，需证，再换元，，构造函数，构造函数求最小值，即可证明.
【详解】（1），
所以在上单调递减，在上单调递增，故的最小值为.
（2）若方程有两个根，
则，即.
要证，需证，即证，
设，则等价于.
令，则，
所以在上单调递增，，即，故.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，求极值和最值，构造函数证明不等式.第一问是一个常见的求导后求单调区间、极值和最值的题目，求解过程注意定义域必须先求出来.第二问是极点偏移问题.先用分析法分析，然后构造函数后，利用导数求得函数是一个增函数，然后根据单调性就可以证明原不等式成立.
7．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数的两个零点为，证明：.
【答案】（1）单调性见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）对函数求导，根据参数的符号确定导函数的符号，求出单调性；
（2）构造对称函数，利用函数的单调性证明即可.
【详解】（1），
当时，，在上单调递增；
当时，，得，在上单调递增；，得，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增；在上单调递减；
（2）若函数的两个零点为，由（1）可得，
令，
则，
所以在上单调递减，，即.
令，则，所以，
由（1）可得在上单调递增，所以，故.
【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，构造函数证明不等式.第一问是一个常见的求导后对参数进行分类讨论的题，求导通分后分子是一个一次函数，则只需要分成两类，结合图象来讨论即可.第二问是极点偏移问题.构造函数后，利用导数求得函数是一个减函数，然后根据单调性就可以证明原不等式成立.
8．已知函数在（为自然对数的底）时取得极值且有两个零点．
（1）求实数的取值范围；
（2）记函数的两个零点为，，证明：．
【答案】（1）（2）详见解析
【分析】（1）由题意得可求，再根据导函数零点确定函数单调性变化规律：函数在上递增，在上递减，结合函数在端点处变化趋势，确定函数有两个零点的条件：，（2）本题实质为极值点偏移，先转化不等式：为，由，再转化为，由解得，从而转化为，即．令，转化为，然后构造函数，只需证明其最小值大于零．利用导数可得在单调递增，因此
【详解】（1），
由，且当时，，当时，，
所以在时取得极值，所以，
所以，，，函数在上递增，在上递减，，
时；时，，有两个零点，，
故，；
（2）不妨设，由题意知，
则，，
欲证，只需证明：，只需证明：，
即证：，
即证，设，则只需证明：，
也就是证明：．
记，，∴，
∴在单调递增，
∴，所以原不等式成立，故得证．
9．已知函数.
（1）证明：曲线在点处的切线恒过定点；
（2）若有两个零点，，且，证明：.
【答案】（1）恒过定点，证明见解析；
（2）证明见解析.
【分析】（1）利用导数求出曲线在点处的切线方程，进而可证得结论；
（2）令，可得，构造，用导数可证得在上单调递增，则，即，故.
【详解】（1）函数的定义域为，由，得，则，又，则曲线在点处的切线的方程为，即，显然恒过定点.
（2）若有两个零点，，则，，得.
因为，令，则，
得，则，
所以.
令，则，
令，则，
则在上单调递增，所以.
所以，则在上单调递增，
所以，即，故.
【点睛】关键点点睛：本题第（2）问的关键点是：构造，用导数证得在上单调递增，进而得到.
10．已知．
（1）求的单调区间；
（2）当时，若关于x的方程存在两个正实数根，证明：且．
【答案】（1）减区间为：，增区间为：；（2）证明见解析．
【分析】（1）对函数求导，根据导数与0的关系，判断函数单调区间；
（2）方法一：由条件，分离参数，令，利用导数研究函数单调区间及最值情况，利用数形结合将问题转化为图像交点问题，从而证得参数a的取值范围；令，将证明的结论等价转化为，从而，令，通过导数研究其最大值情况，从而证明结论；
方法二：令，通过导数求得单调区间，若,有两个零点，只需最小值小于0，从而求得参数a取值范围；令，则，变形整理，要证，则只需证，即只要证，结合对数函数的图象可知，只需要证两点连线的斜率要比两点连线的斜率小即可．
【详解】（1）解：的定义域为，
又由得，
当时，，
当时，，
的减区间为：，增区间为：，
（2）证明：方法一：由存在两个正实数根，
整理得方程存在两个正实数根．
由，知，
令，则，
当时，减函数；当时，增函数．
所以．
因为．所以的值域为，
问题等价于直线和有两个不同的交点．
，且，
所以，从而．
令，则，解得，
，而，
下面证明时，，
令，
则，
令，则，
在为减函数，，
在为减函数，，
在为减函数，，即．
方法二：由存在两个正实数根，
整理得方程存在两个正实数根．
由，知，
令，则，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减．
所以．
因为有两个零点，即，得．
因为实数是的两个根，
所以，从而．
令，则，变形整理，
要证，则只需证，即只要证，
结合对数函数的图象可知，只需要证两点连线的斜率要比两点连线的斜率小即可．
因为，所以只要证，整理得．
令，则，
所以在上单调递减，即，
所以成立，故成立．
【点睛】方法点睛：通过导数研究函数的单调区间，最值情况以及交点，零点情况；带参数时，可以分离参数或者带参分类讨论这两种方法来求得参数取值范围；对于双变量问题的证明，一般需要找到两个变量间的关系，利用另一个变量来表示这两个变量，从而转化为函数问题，借助导数证得结论.
11．已知定义在上的函数．
（1）若为定义域上的增函数，求实数的取值范围；
（2）若，，，为的极小值，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）由单调性可知在上恒成立，分离变量可得；利用导数可求得的最大值，由此可得的范围；
（2）利用导数，结合零点存在定理可确定，在上单调递减，在上单调递增；构造函数，利用导数可求得单调性，得到，从而得到，根据自变量的范围，结合在上的单调性可证得结论.
【详解】（1）由得：．
为上的增函数，在上恒成立，
即，
令，则，
在上单调递减，，即，
，即实数的取值范围为.
（2）当时，，则，
，在上单调递增，
又，，
，使得，且当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，则为的极小值.
设，，，，
设，
，．
，，又，，
在上单调递增，
，
，在上单调递增，
，
，，，
又在上单调递减，，即.
【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于（为的两根）的问题的基本步骤如下：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导后可得恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.
1.加法不含参型
1．已知函数
(1)若函数在定义域上单调递增，求的最大值；
(2)若函数在定义域上有两个极值点和，若，，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出，由题意可知，对任意的，，可得出，利用导数求出函数的最小值，即可求得实数的最大值；
（2）设，由极值点的定义可得出，变形可得出，，由此可得出，利用导数求出函数在上的最小值，即为所求.
【详解】（1）解：因为，其中，
则，
因为函数在上单调递增，对任意的，，即，
令，其中，则，，
由可得，由可得，
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以，，故，所以，的最大值为.
（2）解：由题意可知，，设，
由可得，则，
可得，，所以，，令，其中，
所以，，
令，其中，则，
因为，由，可得，由可得，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且，
又因为且，
所以，当时，，即，
当时，，即，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，.
【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：
（1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.
2．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)①证明函数（为自然对数的底数）在区间内有唯一的零点；
②设①中函数的零点为，记（其中表示中的较小值），若在区间内有两个不相等的实数根，证明：.
【答案】(1)当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)①证明见解析；②证明见解析；
【分析】（1）由题设有，讨论、判断的符号，进而确定的单调性；
（2）①由题意得，利用导数研究函数在上的单调性，结合零点存在性定理确定证明结论，
②根据题设确定函数解析式，应用导数研究单调性，进而应用分析法：要证只需要证，构造函数，应用导数研究单调性并确定，即可证结论.
【详解】（1）由已知，
函数的定义域为，导函数
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令有，
∴当时，，单调递增，
当时，，单调递减.
综上所述：
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）①的定义域为，导函数，
当时，，即在区间内单调递增，
又，，且在区间内的图像连续不断，
∴根据零点存在性定理，有在区间内有且仅有唯一零点.
②当时，，函数在上单调递增，
又，
∴当时，，故，即；
当时，，故，即，
∴可得，
当时，，由得单调递增；
当时，，由得单调递减：
若在区间内有两个不相等的实数根，，
则，
∴要证，需证，又，
而在内递减，
故需证，又，
即证，即
下证：
记，，
由知：，
记，则：
当时，；
当时，，
故，而，所以，
由，可知.
∴，即单调递增，
∴当时，，即，故，得证.
【点睛】关键点点睛：
（1）分类讨论参数的范围，应用导数在对应区间的符号研究函数的单调性；
（2）由导数研究在上零点的个数，写出解析式并判断单调性，利用分析法：将要证明的结论转化为函数不等式恒成立.
3．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有两个零点、，证明.
【答案】(1)单调减区间为，单调增区间为
(2)证明见解析
【分析】（1）利用函数单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间；
（2）设，由（1）可得，先证，即证，构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，可证得成立；其次证明出，令，则，将所证不等式变形为即证，
令，，利用导数分析函数的单调性，可证得，综合可得结论.
【详解】（1）解：因为的定义域为，
则，
令，解得，令，解得，
所以的单调减区间为，单调增区间为.
（2）证明：不妨设，由（1）知：必有.
要证，即证，即证，
又，即证.
令，其中，
则，
令，则
在时恒成立，
所以在上单调递减，即在上单调递减，所以，
所以在上单调递增，所以，
即，所以；
接下来证明，
令，则，又，即，所以，
要证，即证，有，
不等式两边取对数，即证，
即证，即证，
令，，则，
令，其中，则，
所以，在上单调递增，则当时，，
故当时，
可得函数单调递增，可得，即，所以，
综上，.
【点睛】方法点睛：证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：
（1）证明（或）：
①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；
②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；
③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；
（2）证明（或）（、都为正数）：
①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；
②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；
③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；
（3）应用对数平均不等式证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
4．已知函数为其极小值点．
(1)求实数的值；
(2)若存在，使得，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据求出，再根据极小值点的定义加以验证即可；
（2）分类讨论和，转化为证明当，时，，继续转化为证明当时，，构造函数，利用导数判断单调性可证不等式成立.
【详解】（1）的定义域为，
，依题意得，得，
此时，
当时，，，，故，在内单调递减，
当时，，，，故，在内单调递增，
故在处取得极小值，符合题意.
综上所述：.
（2）由（1）知，，
不妨设，
当时，不等式显然成立；
当，时，不等式显然成立；
当，时，由（1）知在内单调递减，因为存在，使得，所以，
要证，只要证，
因为，所以，又在内单调递减，
所以只要证，又，所以只要证，
设，
则
，
令，则，
因为，所以，在上为减函数，所以，
即，
所以在上为减函数，
所以，即.
综上所述：.
【点睛】方法点睛：对于含双变量的不等式的证明一般采用以下两种方法：
①比值代换：设，将不等式化为关于的不等式，再构造函数，利用导数证明即可；
②构造函数，其中为极值点，利用导数判断单调性，根据单调性证明即可.
5．已知函数，
(1)若，求的单调区间；
(2)若，，是方程的两个实数根，证明：．
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用函数的单调性与导数正负的关系即可求解；
（2）根据已知条件构造，利用导数法研究函数的单调性和最值，进而得出，的范围，再构造函数，利用导数法研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可求解.
【详解】（1）由题可知的定义域为，
.
令，则的两根分别为，．
当或时，；
当时，；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，．
（2）原方程可化为，
设，则，．
令，得．∵在上，，在上，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，且当，趋向于0时，趋向于，
当趋向于时，趋向于．
则在和上分别有一个零点，，
不妨设，∵，∴，
设，则，
．
当时，，
∴在上单调递增，而，
∴当时，，，即．
∵，
∴．
∵在上单调递减，
∴，即．
【点睛】关键点睛：本题第二问关键是合理转化，将问题变成熟悉的极值点偏移问题，从而根据对称化构造方法及利用导数法研究函数的单调性即可.
6．已知函数，.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，存在满足，证明.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；
（2）由得，令，，后可转化为证，构造函数即可求证.
【详解】（1）依题意得，，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）时，，，
令，得，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
，，，
因为存在满足，不妨设，
则其一个必要条件是，
由得，即，
令，，
则，两边取对数得，即，
要证，只要证，
，
故只要证，即，
设，则，
故只要证，即，
令，则，
所以在上单调递增，所以，
即成立，从而原不等式得证.
【点睛】方法点睛：本题第二问关键是合理转化，将问题变为熟悉的极值点偏移问题，进而转化为证明对数均值不等式即可.
7．已知函数，.
(1)当时，讨论方程解的个数；
(2)当时，有两个极值点，，且，若，证明：
（i）；
（ii）.
【答案】(1)答案见解析；
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（1）方法1，由，可得，后令，利用导数知识可得其值域即可知解的情况；方法2，，利用导数知识可知时，的单调性与零点情况，又利用可知当时，，即可得解的情况；
（2）（i）由题可得，由结合单调性可得，后通过构造可证；
（ii）由（i）可知，后说明，即可证明结论.
【详解】（1）方法一：，.
设，则.
设，则，单调递减.
，当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减.
，
当时，方程有一解，当时，方程无解；
方法二：设，则.
设，则.单调递增
当时，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
，方程有一解.
当时，.
令,
令，则在上单调递增，又
，则在上单调递减，
在上单调递增，则.
即，
无解，即方程无解.
综上，当时，方程有一解，当时，方程无解．
（2）（i）当时，，则，
，是方程的两根.
设，则，
令，解得，在上单调递减，在上单调递增.
，，当时，，，.
由.
令，，，.
等价于.
设，，
则，
单调递增，，
，即，，
综上，；
（ii）由（i）知，，.
.
由（i）知，，
设，，则.
单调递减，，即.
.
设，，
则.
单调递增，又，当时，.
，，即命题得证.
【点睛】关键点睛：本题涉及讨论函数零点及极值点偏移问题.对于零点问题，常利用分离参数法和研究函数单调性解决，还可以利用数形结合思想转化为函数图象与直线的交点问题；对于极值点偏移问题，关键是将多变量转变为单变量，常利用引入参数或不等关系构造新函数证明结论.
2.加法含参型
8．已知函数（）．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若方程有两个不相等的实数根，证明：．
【答案】(1)见解析.
(2)见解析.
【分析】（1）求出的导数，通过讨论的范围，判断的符号，得到函数的单调区间即可.
（2）根据不单调，令，令，，求出的单调性，得到，从而证出结论.
【详解】（1）函数的定义域为：
当时，，的单调递增区间为
当时，当时，，的单调递增区间为；
当时，，的单调递减区间为；
综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）因为方程存在两个不同的实数解，
因此不为单调函数，所以，
令，则的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值，
，令，，
，
在上单调递增，且，
当时，，
，，
，
的单调递增区间为，、
，.
9．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）函数求导，分类讨论通过判断导函数符号，确定函数单调性.
（2）对分类讨论，求得有两个零点时的范围，及的范围，构造函数，研究在上的单调性，可得，又，及的单调性可得结论.
【详解】（1）函数的定义域为，
时，恒成立，所以在上单调递减；
时，令得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：时，由（1）知至多有一个零点.
时，由（1）知当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，即，故没有零点；
③当时，即，
又，
由（1）知在上有一个零点.
又，
由（1）知在有一个零点，
所以在上有两个零点，的取值范围为
不妨设，则，且，
令
，
则，
由于（且仅当等号成立，
所以当时，在单调递减，又，
所以，即，
又，所以，
又由于，且在上单调递增，
所以即.
【点睛】极值点偏移问题是根据极值点的偏移情况，即极值点两侧函数增长速度的差异构造关于其中一个极值点的一元差函数（或比函数），然后通过探究该函数的单调性解决问题。
10．已知函数，.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)设，是的两个不同零点，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）当时，求出、，代入直线的点斜式方程可得答案；
（2）令，，设函数与相切于，可得，，，根据、的图象可得时有两个不同的交点，有两个零点，得的取值范围为，求出，即证，不妨设，由，则，构造函数，利用导数判断出，再由在上的单调性可得答案.
【详解】（1）当时，，
，，，
曲线在处的切线方程为，即；
（2）令，可得，
令，，设函数与相切于，
由、、可得，，，
，的大致图象如下，
当时，与有两个不同的交点，
即有两个零点，所以的取值范围为，
，当时，，在上递增，
当时，，在上递减，
要证，只要证，
不妨设，由，则，
构造函数，
，
∵，∴，∴在是递增，
又，∴，∴，
∴，又，∴，
而，，在上递减，∴，即，
∴.
【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键点一是利用函数图象的交点得到函数零点的个数，二是
构造函数，利用函数的单调性证明不等式，考查了学生分析问题、解决问题以及运算能力.
11．已知函数（）．
(1)试讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个零点，（），求证：．
【答案】(1)当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
(2)证明见解析
【分析】（1）求导后，根据的不同取值范围，对的符号进行讨论即可；
（2）由已知及（1）中单调性，可知，且，故只需证明，再借助不等式性质和放缩，即可证出.
【详解】（1）由已知，的定义域为，，
①当时，，恒成立，
∴此时在区间上单调递增；
②当时，令，解得，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
综上所述，当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（2）若函数有两个零点，（），
则由（1）知，，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
且，，，
当时，，当时，，（*）
∵，∴，∴，
又∵，∴，
∴只需证明，即有.
下面证明，
设
，，
设，则，
令，解得，
当时，，在区间单调递减，
当时，，在区间单调递增，
∴，在区间上单调递增，
又∵，∴，
即，
∴由（*）知，，∴，即.
又∵，，
∴，原命题得证.
【点睛】本题第（2）问为极值点偏移的变式，首先需要通过和，确认只需证，再通过构造关于其中一个零点的一元差函数，利用导数研究该函数的单调性，证出，最后使用不等式性质和放缩得到.
12．已知函数.
(1)若有唯一零点，设满足条件的值为与证明：①与互为相反数；②；
(2)设.若存在两个不同的极值点、，证明.
参考数据：，
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）求出函数的导数，根据仅有一个零点结合函数的单调性可得零点满足，通过构建新函数可判断该方程有两个根且它们互为导数，从而可得与互为相反数，结合其中一个根的范围可证.
（2）利用零点满足的方程可得，结合对数不等式可得.
【详解】（1）若，则，此时无零点，舍.
故，，
令，因为，故在上有且只有一个零点，
若，则，这与矛盾，故.
且时，，当，，
故在上为减函数，在上为增函数，
下证：当时，有.
证明：当时，成立，
设，则，
故在上为减函数，故即，
故，故当时且.
当时，若，则恒成立，
而当时，有，
设，则，，
故当时，即：
当时，有即.
当时，，由时的讨论可得：
若时，有，故成立.
而即时，有成立.
因为仅有一个零点，故，
所以且，
故，整理得到，
化简得到：，
令，则，其中.
设，则，
故在上均为增函数，
而，
，
故在上有且只有一个零点，
而，
故在上有且只有一个零点，
故在有且只有两个零点，且它们互为倒数，
故在有且只有两个零点，
且即，其中即.
设函数零点为时对应的参数值为，函数零点为时对应的参数值为，
则，且，故，
故即，但，故，
故，故互为相反数.
又，其中，而在为减函数，
故，同理，故.
（2），
设，故为的两个不同的零点，
故，
故，
故，
不妨设，则，
若，则，故为上的增函数，
故至多一个零点，与题设矛盾，故.
设，则，
故在上为增函数，故，
即任意，恒成立，故对任意的恒成立，
而，故，故.
【点睛】思路点睛：函数的零点问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，同时结合零点存在定理来判断，讨论单调性时，导数的零点不易求得，则可以虚设零点，利用零点满足的方程来求解，当函数值的符号不易判断时，可以利用放缩法来处理符号问题.
13．已知函数f(x)＝lnx+1，是f(x)的导函数．
(1)令函数，求g(x)的最小值；
(2)若关于x的方程恰有两个不同的实根x1，x2．
①写出实数a的取值范围（不需要证明）；
②证明：|x2﹣x1|＞﹣1．
【答案】(1)2
(2)①0＜a＜1；②证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；
（2）①根据函数的单调性得到方程有两个不同的实根，时，必有0＜a＜1，②根据的单调性及零点，则，从而证出结论．
(1)
因为，所以g(x)＝lnx+1+，
则，令，则x＝1，
故当0＜x＜1时，，g(x)单调递减；当x＞1时，，g(x)单调递增；
所以当x＝1时，g(x)取最小值，则g(x)min＝g(1)＝2；
(2)
①0＜a＜1，
②因为，则恰有两个不同的实根，，
令，则，解得x＝1，
所以h(x)在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，即h(x)在x＝1处取得极大值；又当h(x)＝0时，，则在上h(x)＜0，在（，+∞）上h(x)＞0，
所以，方程h(x)＝a有两个不同的实根x1，x2时，必有0＜a＜1，不妨令x1＜x2
由，所以
由h(x)在（1，+∞）上单调递减可知，
所以，即满足：．
3.乘积不含参型
14．已知函数.
(1)证明：.
(2)若函数，若存在使，证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）构造，求导后判断函数最大值，得到，即得证；
（2）根据题意判断，，将原题转化为证明，构造函数后求导证明即可.
【详解】（1）令，，，
令，解得：；令，解得：，
∴在递增，在递减，则，
∴恒成立，即.
（2）∵，，∴，
令，解得：；令，解得：；
∴在递增，在递减.
又∵，，，，且，.
要证，即证.
∵，∴，
又∵，∴只证即可.
令，，
恒成立，
∴在单调递增.
又∵，∴，∴，
即，∴.
【点睛】极值点偏移的题目常用的手法就是对称构造，本题可先判断，，再转化为证明，根据的单调性可以将其转化为证明，构造函数后利用导数证明不等式即可.
15．已知函数
(1)求函数单调区间；
(2)设函数，若是函数的两个零点，
①求的取值范围；
②求证：．
【答案】(1)单调递增区间为；单调递减区间为
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）求导后，根据正负即可得到的单调区间；
（2）①将问题转化为与在上有两个不同的交点，采用数形结合的方式可求得结果；
②由①可得，设，利用导数可求得，进而得到，即，根据的范围和单调性可得结论.
【详解】（1）定义域为，，
当时，；当时，；
的单调递增区间为；单调递减区间为.
（2）①若是的两个不同零点，则与在上有两个不同交点；
由（1）知：，又，
在的图象如下图所示，
由图象可知：，，即的取值范围为.
②不妨设，由①知：，
，，
在上单调递增，在上单调递减；
设，则，
在上单调递减，，，
又，，又，；
，，在上单调递增，
，则.
【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于（）的问题的基本步骤如下：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导后可得恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.
16．已知函数，直线与曲线相切．
(1)求实数的值；
(2)若曲线与直线有两个公共点，其横坐标分别为．
①求实数的取值范围；
②证明：．
【答案】(1)
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义，即可求解；
（2）①问题转化为有2个实数根，转化为与有2个交点，利用导数分析函数，即可求解的取值范围；
②构造函数，，利用导数判断函数的单调性，再结合极值点偏移问题的解决方法，即可证明.
【详解】（1）设切点，，
得，，所以，代入直线方程得；
（2）①由（1）知，若曲线与直线有两个公共点，则等价于有2个实数根，，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，当趋向于正无穷大时，趋向于0，当趋向于负无穷大时，趋向于负无穷大，
则；
②，即，等价于，
令，，
，
因为，所以，故，
所以在上单调递增，故,
不妨设，故，即，
由已知，所以，
由①知，当时，单调递增，
故，所以，
所以.
【点睛】极值点偏移问题中（极值点为），证明或的方法：
①构造，
②确定的单调性，
③结合特殊值得到或，再利用，得到与的大小关系，
④利用的单调性即可得到或.
17．（ 2022春·广东深圳·高二统考期末）设函数，已知直线是曲线的一条切线.
(1)求的值，并讨论函数的单调性；
(2)若，其中，证明：.
【答案】(1)；在上单调递减，在上单调递增
(2)证明见解析.
【分析】（1）设切点为，利用导数几何意义和切线方程可构造方程组得到；设，利用导数可确定有唯一零点，由此可得；代入后，根据的正负可得单调区间；
（2）根据单调性和的正负可确定，将所证不等式转化为对任意恒成立；令，利用导数可求得单调递增，得到，由此可得结论.
(1)
设直线与曲线相切于点，
，；
又，，即；
设，则，在上单调递增，
又，有唯一零点，，，解得：；
，，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增.
(2)
由（1）知：；
当时，；当时，，；
要证，只需证；
在上单调递减，只需证，
又，则只需证对任意恒成立；
设，
；
设，则，
在上单调递减，，
又当时，，，
在上单调递增，，
即在时恒成立，又，
，原不等式得证.
【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于（满足）的问题的基本步骤如下：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导后可得恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.
18．已知函数．
(1)当，和有相同的最小值，求的值；
(2)若有两个零点，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分别求出和的最小值，列方程即可求出结果；
（1）问题转化为有两个零点，证明，进而只需要证明只需要证明，也即是，从而令，构造函数求出最值即可证出结论．
【详解】（1）由．
所以．
所以．
令，则为上的增函数，且．
所以在上单调递减，上单调递增．
所以．
又．
所以．令，则
所以为上的增函数．
又．
令，因为在上单调递增，且，而，因此函数与直线有唯一交点，
故方程在上有唯一解，
所以存在唯一，使得．
即，故，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以．
所以．
故而．
（2）由题意有两个零点．
所以，即．
所以等价于：有两个零点，证明.
不妨令．
由．
要证，只需要证明．
即只需证明：．
只需证明：，即．
令．
只需证明：．
令．
则，即在上为增函数．
又．
所以．
综上所述，原不等式成立．
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
19．已知函数.
(1)求在上的最小值.
(2)设，若有两个零点，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导后，令，利用导数可知当时，，由此可知，得到单调性，由最值定义可求得结果；
（2）求导后，根据正负可确定单调性，从而确定的取值范围；采用分析法可知要证，只需证得；令，利用导数可证得，结合（1）中结论可证得，由此可得结论.
【详解】（1），
令，，
则当时，恒成立，在上单调递增，；
又当时，，，在上单调递增，
.
（2）由题意得：，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
有两个零点，，；
要证，只需证，
又，，在上单调递减，只需证，
又，只需证，
即证：；
设，则，
在上单调递增，，
；
由（1）知：，成立，
综上所述：.
【点睛】思路点睛：本题考查利用导数求解函数的最值、证明不等式的问题；本题证明不等式的关键是利用极值点偏移的思想进行分析，将所证不等式转化为的证明，通过构造函数，结合导数知识证得成立.
20．已知是实数，函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个相异的零点且，求证：．
【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)证明过程见解析.
【分析】（1）求定义域，求导，对进行分类讨论，求出单调性；（2）先结合第一问得到，且得到，将不等式变形为，故构造函数，，进行证明.
【详解】（1）的定义域为，，当时，恒成立，故在上单调递减；
当时，令得：，令得：，故在上单调递增，在上单调递减；
综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）由（1）可知，要想有两个相异的零点，则，不妨设，因为，所以，所以，要证，即证，等价于，而，所以等价于证明，即，
令，则，于是等价于证明成立，
设，
，所以在上单调递增，
故，即成立，
所以，结论得证.
4.乘积含参型
21．已知函数有两个不同的零点.
(1)求的最值；
(2)证明：.
【答案】(1)，无最小值
(2)见解析
【分析】（1）求出导函数，由函数有两个不同的零点，则在内必不单调，得，进而得到函数的单调性，即可求出函数的最值．
（2）由题意转化为证明，不妨设，令，只需证明，设，根据函数的单调性，即可作出证明．
（1）
，有两个不同的零点，
∴在内必不单调，故，
令，解得，
∴在上单增，上单减，
∴，无最小值．
（2）
由题知两式相减得，即，
故要证，即证，即证，
不妨设，令，则只需证，
设，则，
设，则，∴在上单减，
∴，∴在上单增，
∴，即在时恒成立，原不等式得证．
【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的证明，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用．
22．已知．
(1)当时，讨论函数的极值点个数；
(2)若存在，，使，求证：．
【答案】(1)函数的极值点有且仅有一个
(2)证明见解析
【分析】（1）对函数进行求导，然后分和两种情况对函数的单调性进行研究，即可得到答案；
（2）由可得（*），通过证明单调递增，（*）转化为，接着证明成立，即可求解
【详解】（1）当时，，则，
当时，，
故在上单调递增，不存在极值点；
当时，令，则总成立，
故函数即在上单调递增，
且，，所以存在，使得，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；
故在上存在唯一极值点，
综上，当时，函数的极值点有且仅有一个．
（2）由知，
整理得，（*），
不妨令，则，故在上单调递增，
当时，有，即，
那么，
因此，（*）即转化为，
接下来证明，等价于证明，
不妨令（），
建构新函数，，则在上单调递减，
所以，故即得证，
由不等式的传递性知，即．
【点睛】思路点睛：应用对数平均不等式证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
23．已知函数，．
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)若存在，且当时，，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导后，分别在和的情况下，根据导函数正负确定单调区间和极值；
（2）设，由导数可确定单调递增，推导可得；令，利用导数可求得，利用推导可得，由此可知，进而证得结论.
【详解】（1），且定义域为；
当时，，的单调递增区间为，无单调递减区间和极值；
当时，令，解得：，
当时，；当时，；
的单调递减区间为；单调递增区间为；
的极小值为，无极大值；
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间和极值；当时，的单调递减区间为；单调递增区间为；极小值为，无极大值.
（2）不妨设，由得：；
设，则，
在上单调递增，，
即，
，
；
设，则，
在上单调递减，，
，，，
，，
即，.
24．已知函数，.
(1)求证：，；
(2)若存在、，且当时，使得成立，求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，可得出，即可证得结论成立；
（2）先证明对数平均不等式，其中，分析可知，不妨设，由已知条件推导出，再结合对数平均不等式可证得结论成立.
【详解】（1）证明：构造函数，其中，
则
，
因为，则，，
即当时，，所以，函数在上单调递减，
故当时，，即.
（2）证明：先证明对数平均不等式，其中，
即证，
令，即证，
令，其中，则，
所以，函数在上为减函数，当时，，
所以，当时，，
本题中，若，则，
此时函数在上单调递减，不合乎题意，所以，，
由（1）可知，函数在上单调递减，不妨设，则，
则，即，
所以，，
因为，则，
所以，，
所以，，
所以，，所以，，
由对数平均不等式可得，可得，所以，.
【点睛】方法点睛：应用对数平均不等式证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
25．已知函数，
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在上有两个不相等的零点，求证：.
【答案】(1)当时，单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)证明见解析
【分析】（1）先求定义域，再求导，对进行分类讨论，利用导函数的正负，求出函数的单调性；（2）对要证明的不等式进行变形，然后构造函数进行证明.
【详解】（1），.
①当时，恒成立，单调递增；
②当时，由得，，单调递增，
由得，，单调递减.
综上：当时，单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）∵在上有两个不相等的零点，，不妨设，
∴在上有两个不相等的实根，
令，，∴，
由得，，单调递减，由得，，单调递增，
，，，，
∴
要证，即证，又∵，
只要证，即证，
∵，即证
即证，即证，即证
令，，∴，
令，，则，当时，恒成立，所以在上单调递增，又，∴，∴，∴
∴在上递增，∴，∴
∴.
5.平方型
26．已知函数，.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）求得的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得切线的方程；
（2）求得的导数，判断不成立，设，，求得导数，判断的单调性，得到，的不等式，再运用分析法，结合构造函数法，求得导数，判断单调性，即可得证．
【详解】（1）当时，，导数为，
可得切线的斜率为，且，
所以切线的方程为，
即为；
（2）证明：由题意可得，
若，则，所以在递增，
因此不存在，使得，所以；
设，，则，
令，，
所以在递减，又，所以在恒成立，
从而在递减，从而.①
又由，可得，
所以.②
由①②可得.
又因为，所以，
因此要证，
只需证明，
即证，③
设，，则，
所以在上为增函数，
又因为，所以，即③式成立.
所以获证.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
27．已知函数
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若，且，证明: .
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，分，两种情况，分别研究的正负，即可得到的单调性；（2）将已知的方程两边同时取对数，得到，由进行分析，利用（1）中的结论，不妨令，分或两种情况求解，构造函数，利用导数研究其性质，结合不等式的性质及基本不等式，即可证明.
【详解】（1）
当时，， ， 所以单调递增；， ， 所以单调递减；
当时，， 所以单调递减；， 所以单调递增；
（2）证明：
， ∴ ，
即当时，
由（1）可知，此时是的极大值点，因此不妨令
要证，即证：
①当时，成立；
②当时
先证
此时
要证，即证：，即，即
即： ①
令 ，
∴
∴在区间上单调递增
∴，∴①式得证.
∴
∵，
∴ ∴ ∴
28．已知函数，．
(1)若，求的取值范围；
(2)证明：若存在，，使得，则．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数后可得函数的单调性，结合单调性可求最大值，从而可求参数的取值范围.
（2）利用极值点偏移可证，结合不等式放缩可证.
【详解】（1），，令，解得，
所以当时，，在上单调递增；
当时，，在单调递减，
所以，要使，则有，而，故，
所以的取值范围为．
（2）证明：当时，由（1）知，当时，单调递增；
当时，单调递减，
设，所以，，
①若，则，成立；
②若，先证，此时，
要证，即证，即，，
令，，
，
所以在(1,2)上单调递增，所以，
即，，所以，
因为，，所以，
即．
1．已知函数的图像在点处的切线方程为.
(1)求实数，的值及函数的单调区间；
(2)当时，比较与（为自然对数的底数）的大小.
【答案】(1)，，函数的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）根据导数几何意义即可求出，的值，根据导数和函数的单调性的关系即可求出；
（2）当时，，设，当时，显然成立，当时，构造函数，根据函数的单调性即可证明.
（1）
解：因为，所以，
函数图象在点处的切线方程为，
，
，定义域为，
时，当时，
的单调递增区间是，单调递减区间是；
（2）
解：当时，，
下面证明结论，
当时，，由（1）可知的单调递增区间是，单调递减区间是，
又，
若，则，都大于1，且必有一个小于，一个大于，
设，
当时，显然，
当时，
，
设，，
，
，
，
，
在上单调递增，
，
，
，
，
在上单调递增，
，
，
综上所述，当时，
2．已知函数， ，是曲线上两个不同的点.
(1)求的单调区间，并写出实数的取值范围；
(2)证明：.
【答案】(1)的取值范围是；
(2)见解析.
【分析】（1）令，利用导数求出的单调性，结合零点存在定理可求参数的取值范围.
（2）根据函数的单调性原不等式等价于，即是，根据导数研究函数的单调性，可证明，原式可得证.
（1）
由题设可得有两个不同的解，则有两个不同的零点.
而，
由得，；由得，，
所以的单调增区间为，单调减区间为.
因为有两个不同的零点，故即，故.
若，则当时，恒成立，
故此时在上没有零点，在上至多1个零点，矛盾.
当时，，
下证：当时，，
证明：设，则，
所以在上为增函数，故，
故.
所以当时，，
故当时，有，
由零点存在定理及的单调性可得在上有两个不同的零点.
故的取值范围是.
（2）
不妨设，
由(1)知，，要证，只需证
因为，所以只需证，
只需证，只需证()，
令，则，
设，则，
故在上为减函数，故即，
所以在上单调递增，所以，
所以在上恒成立，
故.
3．已知（为常数）.
(1)求的极值；
(2)设，记，已知为函数的两个零点，求证：.
【答案】(1)的极大值为，无极小值
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，判断单调性得极值即可；
（2）用导数判断出的单调区间，构造函数,转化为与图象两交点的横坐标为，,，构造函数和比较大小，再在上利用函数单调性得.
（1）
,由得，
且时，，时，，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，函数的极大值为，无极小值；
（2）
由，
，当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
由条件知，即,
构造函数,知与图象两交点的横坐标为，,
，由得，时，时，
易知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
欲证，只需证，不妨设，，
考虑到在上递增，只需证,
由知，只需证,
令，
则，
即单调增，注意到，
结合知，即成立，
即成立.
【点睛】方法点睛:本题考查的是函数的极值问题和极值点偏移问题.求极值时要注意判断在导数为的点两侧的符号，异号时为极值点，要记得判断是极大值还是极小值 ，否则不是极值点;在第二问极值点偏移中，要解决两个问题，一是在上构造函数和比较大小，二是在上利用函数单调性.
4．设.
(1)令，求的单调区间；
(2)当时，直线与的图像有两个交点，且，求证：.
【答案】(1)当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)证明见解析
【分析】（1）先求得的表达式，对求导，讨论与0的大小关系，即可求出函数的单调区间；
（2） 由（1）知，，根据单调性可知函数在处取得极小值也是最小值.构造函数，利用导数求得，即有，根据单调性有，即有.
（1）
由,
可得,
则.
当时, 时，，函数单调递增；
当时，时，，函数单调递增；时，，函数单调递减；
所以，当时，函数单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）
由（1）知，.
当时, 是增函数，
所以当时，，故单调递减；
当时，，故单调递增.
所以在处取得极小值，且，
所以.
.
令，则，
于是在上单调递减，故，
由此得即.
因为，在单调递增，
所以，
即.
【点睛】本题主要考查导数的应用.解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．
5．设，函数．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若无零点，求实数的取值范围；
（3）若有两个相异零点，求证：．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析.
【分析】（1）求函数的导数，当时，点斜式写出切线方程即可；
（2）当时，由可知函数有零点，不符合题意；当时，函数有唯一零点有唯一零点，不符合题意；当时，由单调性可知函数有最大值，由函数的最大值小于零列出不等式，解之即可；
（3）设的两个相异零点为，，设，则，，两式作差可得，即，由可得即，，设上式转化为，构造函数，证（1）即可．
【详解】解：（1）函数的定义域为，，
当时，，则切线方程为，即．
（2）①若时，则，是区间上的增函数，
∵，，
∴，函数在区间有唯一零点；
②若，有唯一零点；
③若，令，得，
在区间上，，函数是增函数；
在区间上，，函数是减函数；
故在区间上，的极大值为，
由于无零点，须使，解得，
故所求实数的取值范围是．
（3）证明：设的两个相异零点为，，设，
∵，，∴，，
∴，，
∵，故，故，
即，即，
设上式转化为（），
设，
∴，
∴在上单调递增，
∴，∴，
∴．
【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查分类讨论思想方法和构造函数法，以及转化思想的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题．
6．已知函数.
（1）求的最小值；
（2）若方程有两个根，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）先求得定义域为，求导得，利用导数判断函数的单调性，再求函数的最小值；
（2）首先转化为，即.要证，需证，再换元，，构造函数，构造函数求最小值，即可证明.
【详解】（1），
所以在上单调递减，在上单调递增，故的最小值为.
（2）若方程有两个根，
则，即.
要证，需证，即证，
设，则等价于.
令，则，
所以在上单调递增，，即，故.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，求极值和最值，构造函数证明不等式.第一问是一个常见的求导后求单调区间、极值和最值的题目，求解过程注意定义域必须先求出来.第二问是极点偏移问题.先用分析法分析，然后构造函数后，利用导数求得函数是一个增函数，然后根据单调性就可以证明原不等式成立.
7．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数的两个零点为，证明：.
【答案】（1）单调性见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）对函数求导，根据参数的符号确定导函数的符号，求出单调性；
（2）构造对称函数，利用函数的单调性证明即可.
【详解】（1），
当时，，在上单调递增；
当时，，得，在上单调递增；，得，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增；在上单调递减；
（2）若函数的两个零点为，由（1）可得，
令，
则，
所以在上单调递减，，即.
令，则，所以，
由（1）可得在上单调递增，所以，故.
【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，构造函数证明不等式.第一问是一个常见的求导后对参数进行分类讨论的题，求导通分后分子是一个一次函数，则只需要分成两类，结合图象来讨论即可.第二问是极点偏移问题.构造函数后，利用导数求得函数是一个减函数，然后根据单调性就可以证明原不等式成立.
8．已知函数在（为自然对数的底）时取得极值且有两个零点．
（1）求实数的取值范围；
（2）记函数的两个零点为，，证明：．
【答案】（1）（2）详见解析
【分析】（1）由题意得可求，再根据导函数零点确定函数单调性变化规律：函数在上递增，在上递减，结合函数在端点处变化趋势，确定函数有两个零点的条件：，（2）本题实质为极值点偏移，先转化不等式：为，由，再转化为，由解得，从而转化为，即．令，转化为，然后构造函数，只需证明其最小值大于零．利用导数可得在单调递增，因此
【详解】（1），
由，且当时，，当时，，
所以在时取得极值，所以，
所以，，，函数在上递增，在上递减，，
时；时，，有两个零点，，
故，；
（2）不妨设，由题意知，
则，，
欲证，只需证明：，只需证明：，
即证：，
即证，设，则只需证明：，
也就是证明：．
记，，∴，
∴在单调递增，
∴，所以原不等式成立，故得证．
9．已知函数.
（1）证明：曲线在点处的切线恒过定点；
（2）若有两个零点，，且，证明：.
【答案】（1）恒过定点，证明见解析；
（2）证明见解析.
【分析】（1）利用导数求出曲线在点处的切线方程，进而可证得结论；
（2）令，可得，构造，用导数可证得在上单调递增，则，即，故.
【详解】（1）函数的定义域为，由，得，则，又，则曲线在点处的切线的方程为，即，显然恒过定点.
（2）若有两个零点，，则，，得.
因为，令，则，
得，则，
所以.
令，则，
令，则，
则在上单调递增，所以.
所以，则在上单调递增，
所以，即，故.
【点睛】关键点点睛：本题第（2）问的关键点是：构造，用导数证得在上单调递增，进而得到.
10．已知．
（1）求的单调区间；
（2）当时，若关于x的方程存在两个正实数根，证明：且．
【答案】（1）减区间为：，增区间为：；（2）证明见解析．
【分析】（1）对函数求导，根据导数与0的关系，判断函数单调区间；
（2）方法一：由条件，分离参数，令，利用导数研究函数单调区间及最值情况，利用数形结合将问题转化为图像交点问题，从而证得参数a的取值范围；令，将证明的结论等价转化为，从而，令，通过导数研究其最大值情况，从而证明结论；
方法二：令，通过导数求得单调区间，若,有两个零点，只需最小值小于0，从而求得参数a取值范围；令，则，变形整理，要证，则只需证，即只要证，结合对数函数的图象可知，只需要证两点连线的斜率要比两点连线的斜率小即可．
【详解】（1）解：的定义域为，
又由得，
当时，，
当时，，
的减区间为：，增区间为：，
（2）证明：方法一：由存在两个正实数根，
整理得方程存在两个正实数根．
由，知，
令，则，
当时，减函数；当时，增函数．
所以．
因为．所以的值域为，
问题等价于直线和有两个不同的交点．
，且，
所以，从而．
令，则，解得，
，而，
下面证明时，，
令，
则，
令，则，
在为减函数，，
在为减函数，，
在为减函数，，即．
方法二：由存在两个正实数根，
整理得方程存在两个正实数根．
由，知，
令，则，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减．
所以．
因为有两个零点，即，得．
因为实数是的两个根，
所以，从而．
令，则，变形整理，
要证，则只需证，即只要证，
结合对数函数的图象可知，只需要证两点连线的斜率要比两点连线的斜率小即可．
因为，所以只要证，整理得．
令，则，
所以在上单调递减，即，
所以成立，故成立．
【点睛】方法点睛：通过导数研究函数的单调区间，最值情况以及交点，零点情况；带参数时，可以分离参数或者带参分类讨论这两种方法来求得参数取值范围；对于双变量问题的证明，一般需要找到两个变量间的关系，利用另一个变量来表示这两个变量，从而转化为函数问题，借助导数证得结论.
11．已知定义在上的函数．
（1）若为定义域上的增函数，求实数的取值范围；
（2）若，，，为的极小值，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）由单调性可知在上恒成立，分离变量可得；利用导数可求得的最大值，由此可得的范围；
（2）利用导数，结合零点存在定理可确定，在上单调递减，在上单调递增；构造函数，利用导数可求得单调性，得到，从而得到，根据自变量的范围，结合在上的单调性可证得结论.
【详解】（1）由得：．
为上的增函数，在上恒成立，
即，
令，则，
在上单调递减，，即，
，即实数的取值范围为.
（2）当时，，则，
，在上单调递增，
又，，
，使得，且当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，则为的极小值.
设，，，，
设，
，．
，，又，，
在上单调递增，
，
，在上单调递增，
，
，，，
又在上单调递减，，即.
【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于（为的两根）的问题的基本步骤如下：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导后可得恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.
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