专题突破卷10 导数与不等式证明-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

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1.简单不等式的证明
1．证明：当时，．
2．证明以下不等式：
(1)；
(2)；
(3).
3．求证：．
4．证明：.
5．（多选）下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（多选）下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2.直接法
7．已知函数，，函数与函数的图象在交点处有公共切线.
（1）求、的值；
（2）证明：.
8．已知函数.
(1)求的图象在点处的切线方程；
(2)求证：当时，.
9．已知函数，
(1)若在区间上恰有一个极值点，求实数的取值范围；
(2)求的零点个数；
(3)若，求证：对于任意，恒有．
10．已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，当时，证明：.
11．设函数f(x)＝alnx＋，a∈R.
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）当a＝1且x1时，证明：x2－x＋3f(x).
12．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，证明：当时，．
3.构造函数
13．已知函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)求在的最大值和最小值，并说明函数零点个数；
(3)求证：曲线在抛物线的上方．
14．已知函数，，证明：．
15．已知函数有两个零点．
(1)求a的取值范围；
(2)设，是的两个零点，证明：．
16．已知函数，且恒成立．
(1)求实数的值；
(2)证明：．
4.隐零点代换
17．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，证明：.
18．（ 2023秋·山东枣庄·高三统考期末）已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)当时，求证在上存在极值点，且.
19．已知．
(1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
(2)若函数有两个极值点，证明：．
20．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数有两个极值点，，证明：．
21．已知函数，其中．
(1)求的单调区间；
(2)若，函数，证明：的极小值恒大于．
22．已知函数．
(1)若的最小值为，求a的值；
(2)若，证明：函数存在两个零点，，且．
5.同构法
23．已知．
(1)若的图象在x＝0处的切线过点，求a的值；
(2)若，，求证：．
24．设实数，若对任意的，关于x的不等式恒成立，证明的最小值为．
25．已知，（n为正整数，）．
(1)当时，设函数，，证明：有且仅有1个零点；
(2)当时，证明：．
26．已知函数．
(1)证明：当时，；当时，；
(2)若关于x的方程有两解，证明：
①；
②．
27．已知函数，．
(1)求证：存在唯一零点；
(2)设，若存在，使得，求证：．
28．已知函数，当时，证明：．
6.巧用放缩法
29．已知函数，．
(1)设，求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：当时，．
30．已知函数f(x)＝xex－a(x＋ln x)．
(1)讨论f(x)极值点的个数；
(2)若x0是f(x)的一个极小值点，且f(x0)>0，证明：f(x0)>2(x0－)．
31．已知函数.
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)当时，求证：.
32．已知函数，曲线在点（1，f(1)）处的切线的斜率为2
(1)设，若函数在[m，＋∞）上的最小值为0，求m的值；
(2)证明：．
33．设函数．已知当时，存在，使得．
(1)讨论的导函数的零点个数；
(2)证明：当时，．
34．设函数，.
(1)求曲线在点（2，g（2））处的切线方程；
(2)设，求h（x）的最小值；
(3)证明：.
7.数列不等式
35．已知各项均为正数的数列，满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，试比较与9的大小，并加以证明．
36．已知.
(1)证明：；
(2)证明：时，.
37．已知函数.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)当时，证明：.
38．已知函数，其中为常数.
(1)若，求函数在其定义域内的单调区间；
(2)证明：对任意，都有：；
(3)证明：对任意，都有：.
39．已知函数，
(1)若，求的图象在处的切线方程；
(2)若对任意的恒成立，求整数a的最小值；
(3)求证，
40．已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：；
(3)证明：对任意的且，都有：.
1．已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求的取值范围；
(3)已知函数，对任意的，求证：.
2．已知函数.
(1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
(2)求证：当时，.
3．已知函数．
(1)证明；
(2)关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
4．已知函数.
(1)若，讨论函数的单调性和极值情况；
(2)若，求证：当时，；
(3)若，求证：当时，.
5．已知函数.
(1)若在上单调递减，求实数的取值范围；
(2)若时，存在两个极值点、，证明：.
6．已知函数.
(1)若方程有3个零点，求实数的取值范围；
(2)若有两个零点，求证：，且.
7．已知函数．
(1)当时，求在区间上的最值；
(2)若有两个不同的零点，，求的取值范围，并证明：．
8．已知函数的图象在处的切线与直线垂直.
(1)求的值
(2)已知函数.求证
9．已知函数，．
(1)若曲线在点处的切线方程为，求的值；
(2)设函数，证明：的图象在的图象的上方．
10．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个零点，，且，求证:(其中是自然对数的底数).
11．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
12．设函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)曲线与直线交于，两点，求证：.
13．已知函数，．当，时，求证：．