专题突破卷12 解三角形中的最值范围问题-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

这是一份专题突破卷12 解三角形中的最值范围问题-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用），文件包含专题突破卷12解三角形中的最值范围问题原卷版docx、专题突破卷12解三角形中的最值范围问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。

1.角与对边型（基本不等式法）
1．在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在横线上，回答下面问题.
在中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若___________.
(1)求A的值；
(2)若边长，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解，
（2）由余弦定理结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）若选①：由及正弦定理有：
，
由于，所以，
由于，
即所以所以；
若选②：，
由正弦定理得，
即，
，
又，所以；
若选③：，
由正弦定理得，即，
，，
由于，所以；
（2）由余弦定理得：，即，
，当且仅当时等号成立，
则，
则面积的最大值为
2．的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)求周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用正弦定理结合条件求解即得；
（2）运用余弦定理和基本不等式求解.
【详解】（1）由正弦定理，可知，
整理得，
因为，所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以，
又，所以；
（2）由余弦定理，得，
所以，
则，所以，当且仅当“”时取得等号，
所以周长的最大值为；
综上，，周长的最大值为.
3．在中，角的对边分别为，.
(1)若，求的面积；
(2)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理把边化为角，结合三角变换与同角基本关系可求得，结合已知与面积公式即可求解；
（2）用正弦定理把边化角，结合三角恒等变换化简，利用三角函数的值域求解，即可得到答案.
【详解】（1）因为，
由正弦定理，可得，
又由，可得，
所以，
所以，
即，
因为，可得，所以，即，
又因为，所以，
所以的面积为.
（2）由（1）可知，
由正弦定理得，所以，
所以
，
因为，
所以，所以，
所以，
故周长的取值范围为.
4．在中，角，，所对的边分别为，，，且，.
(1)求外接圆的半径；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，最后由正弦定理求出外接圆的半径；
（2）由余弦定理及基本不等式求出的最大值，再由三边关系求出的范围.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
且，
所以，
因为，所以，
所以，又，所以，
又，所以，
即外接圆的半径为.
（2）由余弦定理得，
因为，当且仅当时取等号，
所以，
即，，所以，当且仅当时取等号，
且，
所以.
5．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.
(1)求角A；
(2)若，求△ABC的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理进行边化角即可得到答案；
（2）利用余弦定理和基本不等式即可求出的最大值，最后利用三角形面积公式即可.
【详解】（1）在中，由条件及正弦定理得，
，，，
.
（2），由余弦定理得，
，当且仅当时等号成立，
，
所以的面积的最大值为.
6．在中，分别为内角所对的边，若，．
(1)求的面积；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理结合题干条件可推出，然后由三角形的面积公式求解；
（2）结合（1）中推出的条件和基本不等式进行求解.
【详解】（1）由余弦定理，，结合可得，
整理可得，根据三角形的面积公式，.
（2）由（1）知，根据基本不等式，，
当时，的最小值是.
2.角与对边型（三角函数法）
7．在中，内角，，所对的边分别，，，，，若有且仅有一个解，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据正弦定理可得，据此可求的取值范围.
【详解】由正弦定理可得
因此有且仅有一个解，
故直线与在上的图象有且仅有一个交点，
当时，，而在为增函数，
故在上为增函数，
因，，故，
故答案为：.
8．三内角，，所对边分别是，，.若，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知及余弦定理可得，再应用正弦定理有，，将目标式转化为且，利用正弦型函数性质求最大值即可.
【详解】因为，由余弦定理，又，故，
由正弦定理知：，则，，
所以，而，
则
，且，
又，当时的最大值为.
故选：C
9．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用诱导公式及正弦定理化边为角，再结合两角和的正弦公式化简即可得解；
（2）先利用正弦定理求出，再根据三角恒等变换结合正弦函数的性质即可得解.
【详解】（1）由，即，
得，
由正弦定理可得，
即，
所以，
所以，因为，所以，
所以，又，所以；
（2）由正弦定理，
所以
，
因为为锐角三角形，且，
所以，解得，
所以，
所以，，
所以的取值范围为.
10．已知函数.
(1)若，求函数的值域；
(2)设三角形中，内角、、所对边分别为、、，已知，且锐角满足，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，由可求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得函数的值域；
（2）由已知条件可得出，结合角的取值范围可得出角的值，利用余弦定理结合基本不等式可得出的最大值，再结合三角形三边关系即可得出的取值范围.
【详解】（1）解：
，
当时，，则，故，
当时，函数的值域为.
（2）解：因为，可得，
因为，则，所以，，解得，
因为，由余弦定理可得
，
可得，当且仅当时，等号成立，
又因为，故，故的取值范围是.
11．已知函数．
(1)求的最小正周期和对称中心；
(2)已知锐角的三个角的对边分别为，若，求周长的最大值．
【答案】(1)的最小正周期为，对称中心为.
(2)
【分析】（1）化简，根据正弦函数的最小正周期公式和对称中心可求出结果；
（2）由，为锐角得，根据的范围求出的最大值后可得周长的最大值.
【详解】（1）
.
的最小正周期为，
令，，得，，
所以的对称中心为.
（2）由，得，因为为锐角三角形，，
所以，所以，.
因为，，所以，同理得，
所以
，
因为，且，所以，
所以，
所以当，即时，取得最大值为，
从而取得最大值为.
即周长的最大值为.
12．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，的角平分线AD交BC于点D．
(1)若，，求AD的长度；
(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方法一：由关系，结合面积公式列方程求解；
方法二：由角平分线性质和三角形面积公式证明，再由向量线性运算可得，两边平方结合数量积的性质可求AD的长度；
（2）由正弦定理化边为角，结合三角恒等变换化简求，结合正弦定理利用角表示，结合正弦型函数的性质求的范围，由此可得结论.
【详解】（1）方法一：
因为为的角平分线，，
所以，
因为
所以，
所以.
法二：设三角形的边上的高为，
因为为的角平分线
所以，
所以， 所以，
所以.
因为，，
所以，
所以.
（2）在中，由正弦定理得，
所以，
又，则，
又
所以，又，则.
在中，由正弦定理得，，
所以
因为是锐角三角形，所以，于是，
所以，
所以，从而，
所以三角形周长的取值范围为.
3.有角无边型（三角函数法）
13．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由正弦定理边化角得到，由锐角三角形求出，然后将的取值范围转化为函数的值域问题求解即可.
【详解】因为，所以由正弦定理得：,
即，所以，即，又，所以.
因为锐角三角形ABC，所以，即，解得.
.
令，因为，所以，
则在单调递减，
所以.
故选：C.
14．在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用正余弦定理进行边角互化，从而可得，进而求得，再把化为，结合即可求解.
【详解】 ，,
即 ，
，，
，，
，
.
故选：A.
15．在锐角三角形中，其内角所对的边分别为，且满足.
(1)求证：；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先利用倍角公式得到，再利用正弦定理与余弦定理的边角变换得到，再利用锐角三角形排除即可得证；
（2）结合（1）中结论得到，从而将问题转化为，进而利用角的取值范围与对勾函数的单调性即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
由正弦定理与余弦定理得，
所以，整理得，
若，即，则，所以，即，
故，与是锐角三角形矛盾，故，
所以.
（2）因为，所以，
又，所以，故，
又因为，
所以，
∵，，∴，∴，
因为对勾函数在上单调递增，
，，
∴，∴的取值范围为．
16．在中，内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)若，求，；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再结合两角差的正弦公式、二倍角公式得到，即可得到，结合三角形内角和求出，；
（2）由（1）可得，即可求出的取值范围，由正弦定理将边化角，由三角恒等变换公式化简转化为的三角函数，结合函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
所以，
所以，
所以，
所以，
又，则，所以或，
若，又且，解得，，
若，则，显然不符合题意，故舍去，
所以，.
（2）由（1）可知，又，所以，
所以，
由正弦定理可得
，
令，则，令，，
显然在上单调递增，又，，
所以，即的取值范围为.
17．在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用正弦定理边化角，即可得到，从而得到，再由正弦定理将转化为关于的三角函数，结合的取值范围及余弦函数、二次函数的性质计算可得.
【详解】因为，所以，
由正弦定理可得，
，
，，
，
，即，
，
由为锐角三角形得，解得．
，
因为，所以，
所以当时，取得最大值．
故答案为：
18．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】由正弦定理将边角互化，结合余弦定理及两角和差的正弦公式得到，根据为锐角三角形可得，以及，再由正弦定理可得，利用两角和的正弦展开式和的范围可得答案.
【详解】因为，由正弦定理可得，
由余弦定理，所以，即，
由正弦定理可得，
所以，
即，
所以，
因为，，所以，
所以，即，所以，
由为锐角三角形，所以，，可得，
所以，，
由正弦定理得
，
即的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题关键是通过边角互化得到，从而得到，最后由正弦定理将式子转化为角的三角函数，结合余弦函数的性质计算可得.
4.角与邻边型（三角函数法）
19．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则c的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据锐角可确定角B的范围，结合正弦定理表示出c，结合正弦函数性质即可求得答案.
【详解】在锐角中， ，,
故，则，则
由正弦定理可得，
故选：C
【点睛】关键点睛：本题难度并不大，解答的关键是根据三角形为锐角三角形要确定角B的范围，结合正弦定理表示出c，即可求得答案.
20．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求A；
(2)若，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）正弦定理化边为角，结合三角恒等变换求得角A；
（2）由正弦定理结合三角恒等变换把用表示，代入可得，进而可得，结合三角函数性质可得结论．
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
且，则，
则，整理得，
且，则，
所以，解得.
（2）设的外接圆半径为，
因为，可得，
又因为
，
可得，
所以，
又因为，则，可得，
则，
所以a的取值范围.
21．已知为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且满足.
(1)求角A的大小；
(2)若，求周长的范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式以及同角的三角函数关系结合正弦定理边化角化简，求值可得答案；
（2）由正弦定理表示出，利用三角恒等变换化简可得，求出角B范围，结合正切函数性质，即可求得答案.
【详解】（1）在中，，
∴由，得，
则，
∵，∴，∴，
又∵，∴.
（2）由正弦定理结合得，,
即,
则
，
因为为锐角三角形，故，
故，而，
即，
故，
故，即周长的范围为.
22．已知锐角的内角所对的边分别为，向量，，且.
(1)求角的值；
(2)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量垂直的坐标形式结合三角变换可得，故可求.
（2）利用正弦定理结合三角变换公式可得，据此可求周长的取值范围.
【详解】（1）因为，故，
整理得到：，
故，而，故，
所以，而，故.
（2）
,
因为为锐角三角形，故，故，
所以，故，所以，
故周长的取值范围为.
23．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理结合得到，利用辅助角公式得到，结合角的范围得到；
（2）法一：由（1）中，结合三角形面积公式得到，由正弦定理求出，得到面积的取值范围；
法二：由余弦定理得到，结合三角形为锐角三角形得到，从而求出，求出面积的取值范围.
【详解】（1）由正弦定理可得：，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以，
因为，
所以，即；
（2）法一：由及（1）知的面积.
由正弦定理得.
由于为锐角三角形，故，.
由（1）知，
所以，
因为在上单调递增，
故，故，
故，
从而.
因此面积的取值范围是；
法二：因为，，
由余弦定理得，即，故，
为锐角三角形，则，即，
由①得，解得，
由②得，解得或（舍去），
综上，
所以.
24．已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．请从条件①、条件②中选择一个条件作为已知，求：
(1)A的度数：
(2)若c＝1，求△ABC面积的取值范围．
条件①：；
条件②：△ABC的面积．
【答案】(1)选①②均为
(2)
【分析】（1）选①，利用正弦定理和，辅助角公式得到，由的范围求出答案；选②，由面积公式和余弦定理得到，结合的范围求出答案；
（2）由正弦定理和面积公式可得，因为为锐角三角形，从而得到，求出答案.
【详解】（1）选择条件①：由正弦定理得，
，
所以，
因为sinC＞0，所以，所以，
又，所以，
选择条件②：由面积公式得，
由余弦定理得，所以，
所以，
又，所以.
（2）由正弦定理得，
由面积公式可得
，
因为为锐角三角形，故，得，
所以，，
所以的取值范围为.
1．已知锐角中角，，所对边的长分别为，，，且，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据已知边化角求得，然后根据已知得出.根据两角差的余弦公式以及两角差的正弦公式，化简得出，进而根据三角函数的范围，即可得出答案.
【详解】由边化角可得，.
因为，所以.
因为为锐角三角形，所以，
所以，，
由可得，.
因为，
又，
所以，，
所以，.
故选：C.
【点睛】思路点睛：通过已知求出，然后消去，化简得出关于的三角函数，化简根据三角函数的范围，即可得出答案.
2．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，且，则的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理边化角可得，然后代入消去角A，利用正弦函数的性质可得.
【详解】因为，，
所以
由正弦定理可得：，即，
因为为锐角三角形，所以，
所以，即，
，
因为，所以，，
所以，所以，
即.
故选：B
3．在中，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理边角化及三角形的内角和定理，结合两角的正弦公式及两角和的余弦公式，再利用余弦函数的性质即可求解.
【详解】由及正弦定理，得，
，
又,
,
.
又，
，
，
,
的取值范围为.
故选：A.
4．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求C的大小;
(2)若，且，求周长的最小值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简得，可得C的大小；
（2）由余弦定理把b，c边用a表示，利用基本不等式求周长的最小值.
【详解】（1）因为，由正弦定理.
由，得，所以，即.
又，所以.
（2）由（1）知，则.
因为，所以，则.
的周长为.
因为，所以，当且仅当时，等号成立.
故周长的最小值为.
5．在中，角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若的面积，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角形性质可得答案；
（2）根据面积公式得出，结合基本不等式可求答案.
【详解】（1）由正弦定理可得，
因为，所以.
又因为，，
所以,
因为，所以，
又，故.
（2）因为，所以，所以，
由余弦定理得
，
当且仅当时取等号，所以，
因为，所以的取值范围是.
6．在△ABC中，．
(1)求C的大小；
(2)已知，求△ABC的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先把题给条件化为，再利用余弦定理即可求解C的值．
（2）先用基本不等式求出ab的最大值，再代入三角形的面积公式即可求得△ABC的面积的最大值．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，∴，
∴，
又∵C∈（0，π），∴C．
（2）∵（当且仅当时取等号），∴，
∴的最大值为．
7．在中，内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边角变换与三角函数的和差公式求解即可；
（2）法一：利用正弦定理边角变换与三角函数的和差公式，结合三角函数的性质即可得解；
法二：利用余弦定理与基本不等式即可得解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
又，
所以，
又，所以，
而，所以.
（2）法一：
因为
，
所以，
因为，所以当，即时，的最大值为1，
故的最小值为.
法二：
因为，，
所以，
又因为，所以，
所以，当且仅当时取等号，则，
故的最小值为.
8．在平面四边形中，点在直线的两侧，，，四个内角分别用表示，.
(1)求；
(2)求与的面积之和的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理可求得，结合勾股定理可得结果；
（2）设，利用可表示出，结合三角恒等变换知识化简得到，由正弦函数最值求法可求得结果.
【详解】（1）在中，由余弦定理得：，解得：，
，即，.
（2）设，则，
，，四点共圆，且为该圆的直径，
，，
，，
在中，，，
.
，，，
，当，即时，，
故与的面积和的最大值为.

9．的内角的对边分别为，已知.
(1)证明：；
(2)若是锐角三角形，，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合两角和差公式，得到，即可得证；
（2）利用正弦定理及题设条件，求得，结合为锐角三角形，求得的范围，即可求解.
【详解】（1）证明：由正弦定理及，可得，
因为，可得，
所以,
所以或，
因为，所以，即.
（2）解：由正弦定理且，，可得，
因为为锐角三角形，所以，解得，所以，
所以的取值范围是.
10．在锐角中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且有，在下列条件中选择一个条件完成该题目：①；②；③.
(1)求A的大小；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①，利用正弦定理化边为角，再结合二倍角得正弦公式即可得解；
选②，利用余弦定理即可得解；
选③，利用正弦定理化边为角，再根据商数关系化切为弦及两角和得正弦公式即可得解；
（2）先利用正弦定理求出，再根据三角恒等变换结合三角函数即可得解.
【详解】（1）选①，
因为，
由正弦定理得，
又，所以，
因为，所以；
选②，
因为，
所以，
又，所以；
选③，
因为，
由正弦定理得，即，
则，
则，
又，所以，
因为，所以；
（2）由（1）得，
因为，
所以，
则，
因为为锐角三角形，
所以，所以，
所以，
所以，
即的取值范围为.
11．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若．
(1)求角B的大小；
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知得，然后利用两角和与差的正弦公式化简可求得结果；
（2）由正弦定理表示出，则可得，再将代入化简变形可得，，由为锐角三角形求出得，然后利用正切函数的性质求得结果.
【详解】（1）由得：
所以，
所以，
因为，所以，
又因为，所以；
（2）在中，由正弦定理，得，
同理得，
所以可得：
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，所以，
因为，
所以，
得
所以的取值范围为.
12．已知中，．
(1)求A的大小；
(2)若D是边AB的中点，且，求的取值范围，
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理得到，即可求出；
（2）设，利用正弦定理表示出，，设，利用辅助角公式化简，最后结合正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）在中，由正弦定理有，
，
，即，
在中，由余弦定理，有，
，则，即，
，∴.
（2）如图，设，则，，
在中,根据正弦定理，有，
，，
设
，
又，所以在上单调递增，
所以，即，
所以的取值范围为．
13．在中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)求角；
(2)若外接圆的半径为，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）先根据展开，结合正弦和差化积公式进行化简，可得出，进而得出角的值.
（2）根据题意和正弦定理可得出边长a的值，再由第一问和余弦定理得出b和c的关系，结合基本不等式即可求出面积的最大值.
【详解】（1）由得，，
所以，又，所以，
所以，因为，所以；
（2）由外接圆的半径为，则得，
由余弦定理得，，即，
所以，解得.
所以，故面积的最大值为.
14．在中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)若，求的值.
(2)求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式对已知式子化简可得，再结合可求出的值；
（2）由（1）可知，再利用余弦定理可得，从而可求出的最大值.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
所以，
所以，
所以，所以，
所以由正弦定理得，
因为，所以，
因为，所以，
（2）由（1）可知，则，
由余弦定理得
，
当且仅当时取等号，
因为，所以，
所以的最大值为.
15．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求A；
(2)若D为延长线上一点，且，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换化简求值即可；
（2）分别在和中利用正弦定理表示出，进而表示出，根据为锐角三角形求出，从而求出的取值范围.
【详解】（1）角A，B，C是的内角，故.
在锐角中,由正弦定理得，，
即，
所以，即，故，又，所以.
（2）在中，，
在中，，
所以
故.
因为为锐角三角形，,所以，解得，
所以，所以，
从而.
故的取值范围为.