单元提升卷08 数列-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．数列中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据递推关系式可证得数列是以为周期的周期数列，由可求得结果.
【详解】由，，知：；
由得：，，即，
，即数列是以为周期的周期数列，.
故选：B.
2．已知公差不为零的等差数列的前项和为，，则（ ）
A．17B．34C．48D．51
【答案】D
【分析】设公差为，则由已知条件可得，然后求解，再代入中化简可得答案.
【详解】设公差为，则，，
，，
则.
故选：D.
3．已知数列的前项和为，且，，则（ ）
A．210B．110C．50D．55
【答案】A
【分析】写出时，，与已知式相减得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为2，再由求得，然后再利用等差数列的求和公式即可求得本题答案.
【详解】因为，所以当时，，两式相减得，
由，可得，进而，
所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为2，
又，而，所以，
故选：A
4．已知等差数列的前n项和为，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件求出的通项公式，再运用裂项相消法求和.
【详解】设等差数列的公差为d，因为，所以…①，
又，即 ， ，代入①，解得，，
则，
所以
；
故选：A.
5．赣南脐橙果大形正，橙红鲜艳，光洁美观，已被列为全国十一大优势农产品之一，荣获“中华名果”等称号.某脐橙种植户为成立一个果园注入了启动资金800万元，已知每年可获利，但由于竞争激烈，每年年底需要从利润中取出100万元进行技术改造和广告投入，方能保持原有的利润率，则至少经过（ ）年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标？
（参考数据：，，）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【分析】首先根据条件找到关于果园资金的递推公式，再根据递推公式求通项公式，再根据，结合对数不等式，即可求解.
【详解】设经过年之后，该果园的资金为万元，
由题意知，，
又，，
可知，数列为首项为，公比为的等比数列，
，
即，
令，可得，，
，
.
故选：D.
6．已如公比不为1的等比数列中，存在，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由等比数列的通项公式可得，从而可知，所求式子即可变形为，结合基本不等式即可求出最小值.
【详解】设等比数列的公比为，因为，可得，即，
可得，且，
由，
因为，所以，，则，得到，
当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为，
故选：B.
7．已知是等比数列的前项和，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由与的关系求出数列的通项公式，推导出数列为等比数列，确定其首项和公比，结合等比数列求和公式可求得所求代数式的值.
【详解】因为，所以，，
，
又是等比数列，所以，即，解得，所以．
当时，，又满足，
所以，，故数列是公比为，首项为的等比数列，
所以．
故选：A.
8．已知，，，．设，为数列的前项和，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】在等式两边同时除以得，推导出，，结合放缩法可判断B选项；利用的值可判断AD选项；利用的值可判断C选项.
【详解】由以及，可知，，，，
以此类推可知，对任意的，，
在等式两边同除得，即，则，
因为，则，
所以当时，，，所以，B对，
因为以及，，则，
，，
，所以，，，，
所以，不满足AD选项，，
不满足C选项，
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知等差数列的公差为d，前项和为，且，，则（ ）
A．B．
C．D．当或2时，取得最小值
【答案】ABD
【分析】对于A：根据题意列式求解可得，即可得结果；对于B：根据等差数列的通项公式分析判断；对于C：根据通项公式运算求解；对于D：先根据等差数列的求和公式求出，再结合二次函数的对称性分析判断.
【详解】由题意可得，解得，故A正确；
所以，故B正确；
所以，故C错误；
所以．
因为，所以当或时，取得最小值，故D正确．
故选：ABD．
10．已知数列为等比数列，为数列的前n项和，则（ ）
A．为等比数列B．为等比数列
C．为等比数列D．不为等比数列
【答案】BCD
【分析】根据等比数列的定义，验证各选项中的数列是否正确.
【详解】设等比数列的公比为q，
当时，，不是等比数列，故A错误；
因为，故是公比为的等比数列，故B正确；
，故是公比为的等比数列，故C正确；
若为等比数列，则有，即，化简得，不合题意，所以不为等比数列，故D正确.
故选：BCD
11．提丢斯-波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一个经验公式来表示，即数列：，表示的是太阳系第颗行星与太阳的平均距离（以天文单位为单位）.现将数列的各项乘以10后再减4，得到数列，可以发现数列从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（ ）
A．数列的通项公式为
B．数列的第20项为
C．数列的前10项和为157.3
D．数列的前项和
【答案】CD
【分析】由题意先求出，即可判断选项A；由和的关系，求出，求出，即可判断选项B；由的通项公式，由分组求和结合等差数列和等比数列的求和公式求解，从而判断选项C，利用错位相减法求出，即可判断选项D．
【详解】数列各项乘以10后再减4得到数列，
故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以，故A错误；
从而，所以，故B错误；
数列的前10项和为
，C正确；
因为，
所以当时，，
当时，，
，
所以
，
所以，又当时，也满足上式，
所以，故D正确.
故选：CD.
12．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，，记是数列的前项和，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】利用递推公式逐项计算可得的值，可判断A；推导出，分别令取偶数，奇数和正整数，结合累加法求解，可判断BCD．
【详解】，，，，，故A正确；
对任意的，，则，
当取偶数时，得，
相加得
则，又，
则，故B正确；
对任意的，，则，
当取奇数时，得，
相加得
则，故C错误；
对任意的，，则，
，故D正确.
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．等比数列满足，，数列满足，时，，则数列的通项公式为 .
【答案】
【分析】由题意列方程组可求得，继而可得时，，利用累加法以及等比数列的前n项和公式，即可求得答案.
【详解】根据题意得，解得，故，
故时，，
故
，
显然n=1时也满足上式.
故答案为：
14．已知公差不为零的等差数列满足，、、成等比数列，为数列的前项和，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据条件可求出，，从而得出，然后即可求出的最小值．
【详解】设等差数列的公差为，，，，成等比数列，
，解得，，
，
或15时，取最小值．
故答案为：．
15．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，现有下列4个命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则中最大；
④若，则使的的最大值为11．
其中所有真命题的序号是 ．
【答案】②③④
【分析】①由题意可以推出，不能推出，判断①错误；②由题意可得，判断出②正确；③由题意可得，判断出③正确；④由题意可得，进而，判断出④正确．
【详解】若，则，不能推出，即不能推出，故①错误；
若，则，即，则，故②正确；
若，则，
所以，则中最大，故③正确；
若，则，
即，
因为首项为正数，则公差小于0，则，
则，，
则使的的最大值为11，故④正确．
故答案为：②③④．
16．设数列的前n项和为，若存在实数A，使得对于任意的，都有，则称数列为“T数列”．则以下为“T数列”的是 ．
①数列是等差数列，且，公差；
②数列是等比数列，且公比q满足；
③；
④若，．
【答案】②③
【分析】对于①②③④中的数列，分别求前项和，判断是否存在实数，使得对任意的，都有，即可判断该数列是否为“数列”，即可得正确答案.
【详解】对于①：是等差数列，且，公差，由等差数列的前项和公式可得：，当无限大时，也无限大，所以数列不是 “数列”，故①不正确；
对于②：若是等比数列，且公比满足；所以，满足“数列”的定义，故②正确；
对于③：，
所以
，
则数列是“数列”，故③正确；
对于④：在数列中，，，
当是奇数时，，数列中的奇数项构成常数列，且各项都是，
当是偶数时，，即任意两个连续偶数和为，
当时，，所以不是“数列”，
综上所述为“数列”的是：②③，
故答案为：②③
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．在等差数列中，前n项和为Sn，，.
(1)求d的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列通项之间的关系即可求公差d的值；
（2）利用等差数列的求和公式直接计算即可.
【详解】（1）为等差数列，公差为
因为，
所以.
解得
（2）
18．设等差数列的前n项和为，已知，是公差为的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，可求出，则可出公差，从而可求出的通项公式；
（2）由（1）得，然后利用裂项相消求和法可求得结果.
【详解】（1）因为是公差为的等差数列，所以.
又因为，所以.
设的公差为d，则.
故.
（2）因为，
所以.
19．已知数列为正项等差数列，数列为递增的正项等比数列，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前2n项的和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，然后根据已知条件列方程组可求出，从而可求出数列，的通项公式；
（2）由（1）得，然后利用分组求和法可求得结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
因为，，
所以得，解得或，
因为数列为正项数列，为正项递增数列，
所以解得，，
所以，
（2）由（1）得，
所以数列的前2项和为

.
20．已知正项数列满足，且，.
(1)已知，求的通项公式；
(2)求数列的前2023项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由可得，从而得到，进而得到是以为首项，公比为的等比数列，再根据等比数列的通项公式即可求解；
（2）由可得，从而有，得到数列偶数项具有周期性，最后根据分组求和即可.
【详解】（1），，
，，
即，，即，
是以为首项，公比为的等比数列，
.
（2），
又，
，，
，即，
，即数列偶数项具有周期性，
，
所以·
21．已知数列满足以下三个条件，从中任选一个.
条件①：为数列的前项和，，且；
条件②：数列是首项为1的等比数列，且成等差数列；数列的各项均为正数，为其前项和，且，数列满足；
条件③：数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）若选条件①，则由，得，两式相减化简可得数列的奇数项、偶数项分别是以1，2为首项，2为公差的等差数列，从而可求出，进而可求出，若选条件②，则由已知条件列方程可求出公比，则可求出，再由，得，两式相减化简可得为等差数列，从而可求出，进而可求出，若选条件③，则可得，令，再利用累加法可得，再利用累加法得，进而可求出，
（2）由（1）得，利用错位相减法可求出，然后通过判断的单调性可证得结论.
【详解】（1）若选条件①：因为，所以，
两式相减，得.
因为，所以.
又，所以，
所以数列的奇数项、偶数项分别是以1，2为首项，2为公差的等差数列.
当时，；当时，.
综上所述，.所以.
若选条件②：设数列的公比为，
因为是首项为1的等比数列，且满足成等差数列，
所以，且，即，解得，所以.
因为数列的各项均为正数，为其前项和，且满足，
所以当时，，则，
因为，所以，
两式相减得，即.
因为，故，所以.
所以数列为等差数列，故.
所以.
若选条件③：由，得.
令，则.
当时，，
又满足上式，所以，即.
所以当时，.
又满足上式，所以，所以.
（2）证明：由（1）知，
则①，
所以②.
①-②可得：
.
所以.
因为，所以.
又，所以是递增数列.
所以，故.
22．设是等差数列，其前项和为（），为等比数列，公比大于1．已知，，，．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求的前项和；
(3)设，求证：．
【答案】(1)，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意得到方程组，求出、，即可得解；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得；
（3）由（1）可得，即可得到，利用放缩法及等边数列求和公式计算可得.
【详解】（1）依题意设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，，
又，，所以，解得或（舍去），
所以，.
（2）由（1）可得，
设的前项和为，
所以
.
（3）因为，所以，
所以，
所以
.