阶段性检测2.1（易）（范围：集合至复数）-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解一元二次不等式求集合A，应用集合的交运算求集合即可.
【详解】由，，
所以.
故选：D
2．的值等于（ ）
A．-2B．0C．8D．10
【答案】A
【分析】应用指数运算和对数运算计算求解即可.
【详解】.
故选：A.
3．若是纯虚数，则（ ）
A．B．1C．D．9
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算化简，根据纯虚数的概念即可求得答案.
【详解】由于，
故由是纯虚数可得且，
故，
故选：B
4．下列说法正确的有（ ）
A．已知，，若与共线，则
B．若，，则
C．若，，为锐角，则实数的范围是
D．若，则一定不与共线
【答案】C
【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；取可判断B选项；分析可知，且与不共线，求出实数的取值范围，可判断C选项；取，，可判断D选项.
【详解】对于A，，，与共线，则，解得，A错误；
对于B，当时，满足，，而向量与可以不共线，B错误；
对于C，，，为锐角，
则，且与不共线，
即且，解得，C正确；
对于D，若，，满足，而与共线，D错误.
故选：C.
5．的内角的对边分别为，若 ，， 的面积为 ，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据余弦定理以及三角形面积公式即可求解.
【详解】由余弦定理得,又，所以，
又，故，
故选：C
6．快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物分拣中心.假定每月的土地租金成本与分拣中心到货运枢纽的距离成反比，每月的货物运输成本与分拣中心到货运枢纽的距离成正比.经测算，如果在距离货运枢纽处配建分拣中心，则每月的土地租金成本和货物运输成本分别为2万元和8万元.要使得两项成本之和最小，分拣中心和货运枢纽的距离应设置为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】设土地租金成本和运输成本分别为万元和万元，分拣中心和货运枢纽相距，
则，，将代入可得，
所以，，故，当且仅当时取等号.
故选:A.
7．已知函数，.若有个零点，则实数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数零点的定义，利用数形结合思想进行求解即可,
【详解】令可得，当时，，
当时，的图象与关于轴对称，所以作出函数与函数的图象如图所示：
由图可知，当时，函数与函数的图象有2个交点，
此时，函数有2个零点.
因此，实数的取值范围是.即实数的最小值为1.
故选：D
【点睛】关键点睛：利用转化法，把函数零点问题转化为两个函数图象交点问题，再利用数形结合思想进行求解是解题的关键.
8．若函数在R上可导，且，则当时，下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】构造函数、，利用导数判断单调性再比较大小可得答案.
【详解】令，则，
由于的正负不确定，所以的正负不确定，不能判断的单调性，故AC错误；
令，由，则，所以为R上的单调递减函数，
因为，所以，即，故B错误D正确；
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．向量在向量上的投影向量可表示为
B．若，则与的夹角θ的范围是
C．若，，则
D．已知，，则
【答案】AB
【分析】根据投影向量的概念可知，A正确；由，得，再根据平面向量夹角的范围可知B正确；举例，可知C不正确；求出，可知D不正确.
【详解】对于A，向量在向量上的投影为，投影向量为，故A正确；
对于B，若，则，则，
因为，所以，故B正确；
对于C，若，则满足，，但不一定共线，故C不正确；
对于D，已知，，则，故D不正确.
故选：AB.
10．已知是虚数单位，是复数，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．若复数，则为纯虚数的充要条件是
C．是关于的方程的一个根
D．若，则在复平面内对应的点的集合确定的图形面积为
【答案】AC
【分析】A选项，设，计算出；B选项，根据纯虚数的概念得到且；C选项，代入计算即可；D选项，由得到，得到对应的点的集合确定的图形是单位圆及其内部，求出面积.
【详解】A选项，设，于是，
，
，
，
故，A选项正确；
B选项，根据复数的概念，复数，
则为纯虚数的充要条件是且，B选项错误；
C选项，，
故是关于的方程的一个根，C选项正确，
D选项，若，设，，
则在复平面内对应的点的集合确定的图形是单位圆及其内部，面积为，D选项错误；
故选：AC
11．设，函数在区间上有零点，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】化简得到，根据得到，从而得到，求出答案.
【详解】，
因为，，所以，
要想区间上有零点，
则，解得，
故的值可以是，；
故选：BD
12．下列命题正确的是（ ）
A．已知幂函数在上单调递增，则
B．函数有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个必要不充分条件是
C．已知函数，若，则的取值范围为
D．已知函数满足，，且与的图象的交点坐标依次为，则
【答案】AD
【分析】直接利用幂函数的定义，二次函数的性质，函数的定义域和值域的关系，函数的图象的对称性判断A、B、C、D的结论．
【详解】对于A，幂函数在上单调递增，则且，求得，故A正确；
对于B：若，可得函数满足，可得的零点一个大于0，一个小于0，
若函数有两个零点，一个大于0，一个小于0，
则，即，不能推出，
故是函数有两个零点，一个大于0，一个小于0的充分不必要条件，故B错误；
对于C：由得：，则函数的定义域为，
故，至少满足，即，故C错误；
对于D：函数满足，函数的图象关于对称，
函数的图象关于对称，
所以，，
则，故D正确．
故选：AD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数．若存在，使得成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意可得，利用基本不等式求出，然后解不等式可求出的取值范围.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，
因为存在，使得成立，
所以只要，即，得或，
所以的取值范围为.
14．已知函数，其导函数的图象经过点，，如图所示，则下列说法中正确结论的序号为 ．

①当时函数取得极小值；
②有两个极值点；
③当时函数取得极小值；
④当时函数取得极大值．
【答案】②③④
【分析】由导函数的图象判断出函数的单调性，从而得到极值的情况，即可得到正确答案.
【详解】由图象可知，当时，；当时，；当时，.
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数有两个极值点，当时函数取得极大值，当时函数取得极小值，
故①错误，②③④正确.
故答案为：②③④
15．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】或
【分析】根据两个函数与的图象只有一个交点，结合函数的奇偶性即可求解.
【详解】由于有两个零点，即在有两个实数根，
是定义在上的奇函数，是定义在上的奇函数,
所以在有唯一的实数根，即在有唯一的实数根，
记，，开口向下，对称轴为，
作出的图象如下:
由图可知：当或时，与的图象只有一个交点，
故或
故答案为：或

16．在锐角中，角所对的边为，若，且，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用正弦定理边化角可求得，得到；利用正弦定理和余弦定理角化边可求得；利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可将所求式子化为，结合的范围，由正弦型函数值域求法可求得结果.
【详解】由得：，
，又，，，
又，，
则由得：，
，解得：；
由正弦定理得：，
；
，，，，
，即的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．已知和均为实数，其中是虚数单位.
(1)求复数z；
(2)若对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）计算出，，根据两者均为实数列出方程组，求出，得到答案；
（2）化简得到，从而根据所在象限得到不等式组，求出实数m的取值范围.
【详解】（1），
，
，
由题意，，可得，则
（2），
由题意，，解得或.
实数的取值范围是.
18．已知函数．
(1)求；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，求在上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把代入直接计算即可；
（2）先化简为，再根据平移可得，由可得，结合余弦函数的性质即可求解.
【详解】（1）；
（2）
，
图象向左平移个单位长度，得到的图象，
，
，，
的值域为.
19．如图，在平行四边形中，，，，点是的中点，连接，记它们的交点为点，设，．

(1)用表示；
(2)求的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的加法法则容易得出，然后求出的比值即可；（2）根据与夹角公式进行求解.
【详解】（1）不难得出是一对相似三角形，且，故，即，
根据向量的加法法则，∴
（2）由，，
于是，∴
又，
∴
20．某蔬菜基地种黄瓜，从历年市场行情可知，从二月一日起的天内，黄瓜市场售价（单位：元/千克）与上市时间（第天）的关系可用如图所示的一条折线表示，黄瓜的种植成本（单位：元/千克）与上市时间的关系可用如图所示的抛物线表示．

(1)写出图表示的市场售价与上市时间的函数关系式及图表示的种植成本与上市时间的函数关系式；
(2)若认定市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市能使黄瓜纯收益最大？
【答案】(1)，
(2)从二月一日开始的第天上市，能使黄瓜纯收益最大
【分析】（1）采用待定系数法假设一次函数和二次函数解析式，代入已知点即可求得结果；
（2）收益为，结合二次函数最值可求得结果.
【详解】（1）当时，设，则，解得：，；
当时，设，则，解得：，；
综上所述：；
设，
，解得：，.
（2）设从二月一日起的第天的纯收益为，由题意知：，
即
当时，，
当时，在区间上取得最大值；
当时，，
当时，在区间上取得最大值；
综上可知：当时，取得最大值，最大值为，
即从二月一日开始的第天上市，能使黄瓜纯收益最大．
21．记的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若是上一点，为角的平分线，求．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由正弦定理边化角，可得，化简整理可得，即有，根据的范围，即可得出答案；
（2）根据余弦定理求出a，再根据，以及三角形的面积公式，列出方程，求出即可.
【详解】（1）由题意结合正弦定理，可得，
所以，
即，
整理，可得.
因为，所以，
所以，所以.
（2）由题可得在中，，，，，
所以，解得，则，

又因为为角的平分线，，
所以，
即，
所以.
22．已知函数.
(1)若在恒成立，求a的取值范围；
(2)若，求证：函数的图象在函数图象的下方.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分离参数，构造函数，利用导数求出函数最小值即可求解；
（2）构造，利用导数法求出函数的最小值大于零，即可得证.
【详解】（1）当时，，因为在恒成立，
所以在恒成立，记，则，
，令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以时，函数取得最小值，所以，即；
（2）当时，，定义域为，
令，
则，
令，则，当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以时，函数取得最小值，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
所以函数的图象在函数图象的下方，得证.