专题4.6 阿氏圆（隐圆压轴三）（题型专练）-2023-2024学年九年级数学上册期末复习《重难点题型》（人教版）

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阿氏圆问题
问题：求解“”类加权线段和最小值
方法：①定：定系数，并确定是半径和哪条线段的比值
②造：根据线段比，构造母子型相似
③算：根据母子型结论，计算定点位置
④转：“”转化为“”问题
关键：①可解性：半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数
②系数小于1：内部构造母子型
③系数大于1：外部构造母子型
【典例1】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．
阿氏圆基本解法：构造三角形相似．
【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．
阿氏圆的关键解题步骤：
第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；
第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．
下面是该题的解答过程（部分）：
解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，
又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．
任务：
（1）将以上解答过程补充完整．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．
【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝9，⊙B的半径为3，点P是⊙B上一点，连接AP，CP，则AP+CP的最小值为 ．
【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+BP的最小值为（ ）
A．B．6C．2 D．4
【变式1-3】如图，在正方形ABCD中．AB＝8，点P是正方形ABCD内部的一点，且满足BP＝4，则PD+PC的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【变式1-4】如图，已知抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（A在点B的左侧），与y轴交于点C，⊙O与x轴交于点E（2，0），点P是⊙O上一点，连接CP，BP，求BP+CP的最小值．
【变式1-5】如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值为 ．
【变式1-6】如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠B＝60°，圆B的半径为4，点P是圆B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为 ．
【变式1-7】【新知探究】新定义：平面内两定点A，B，所有满足＝k（k为定值）的P点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”
【问题解决】如图，在△ABC中，CB＝4，AB＝2AC，则△ABC面积的最大值为 ．
【变式1-8】如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是上一动点，则PC+PD的最小值为 ．
【变式1-9】如图所示的平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），P是第一象限内一动点，OP＝2，连接AP、BP，则BP+的最小值是 ．
【变式1-10】如图所示，在平面直角坐标系中，A（16，0），B（0，12），点C是第一象限的动点且OC＝6，线段OC绕点O在第一象限转动；
（1）在转动过程中，求点C到AB的最近距离＝ ；
（2）试求的最小值＝ ．
【变式1-11】如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．
（1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；
（2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；
（3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ．当AB＝6，AD＝4，tan∠ABC＝2时，求CQ+BQ的最小值．
【典例2】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，C，D分别为OA，OB的中点，点P是上一点，则2PC+PD的最小值为 ．
【变式2-1】如图，在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝3，点A是OC中点，OB＝2，点P是为CD上一点，则PB+2PA的最小值为 ．
【变式2-2】（梁溪区校级期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 ．
【变式2-3】（溧阳市一模）如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，点C在OA上，且OC＝2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为 ．
【变式2-4】如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为 ．