专题08 几何图形初步中求线段长度重难点题型分类-2023-2024学年七年级数学上册重难点题型分类高分必刷题（人教版）

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的线段长度、按比例分配的线段长度、点在直线上的分情况讨论求线段长度、用方程方法求线段长度、线
段长度中的动点问题，适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。
题型一：简单利用线段的和差求线段长度
1．（雅礼）如图，线段AB＝8cm，点C在BA的延长线上，AC＝2cm，M是BC中点，则AM的长是 cm．
【解答】解：∵AB＝8cm，AC＝2cm，∴BC＝AB+AC＝8cm+2cm＝10cm，∵M是BC的中点，
∴CM＝BC＝×10cm＝5cm，∴AM＝CM﹣AC＝5﹣2＝3（cm），故答案为：3．
2．（北雅）已知点C，D在线段AB上，且AC＝BD＝1.5，若AB＝7，则CD的长为 ．
【解答】解：如图：∵AC＝BD＝1.5，AB＝7，∴CD＝AB﹣AC﹣BD＝4，
故答案为：4．
3.（长梅）如图，已知M是线段AB的中点，N在AB上，，若，求AB的长.
【解答】解：∵MN＝AM，MN＝2m，∴AM＝5cm，∵M是线段AB的中点，∴AB＝2AM＝10cm，
即AB的长是10cm
4．（雅礼）已知线段AB如图所示，延长AB至C，使BC＝AB，反向延长AB至D，使AD＝BC，点E是线段CD的中点．
（1）依题意补全图形；
（2）若AB的长为4，求BE的长．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）∵AB＝BC＝4，AD＝AB＝2，∴CD＝AD+AB+BC＝10，∴DE＝EC＝CD＝5，
∴EB＝EC﹣BC＝5﹣4＝1．
题型二：双中点问题中的线段长度
两中点间线段长度=“大一半+小一半”或“大一半-小一半”
5．（长郡）如图，C为线段AB的中点，D是线段BC的中点，BD＝4cm，AB＝ cm．
【解答】解：∵点D是线段BC的中点，BD＝4cm，∴BC＝2BD＝2×4＝8（cm），∵点C是线段AB的中点，∴AB＝2BC＝16（cm），故答案为：16．
6．（青竹湖）如图，已知点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点，且AB＝8cm，则MN的长度为 cm．
【解答】解：∵点C在线段AB上，点M、N分别为AC和BC的中点，
∴MC＝AC，NC＝BC，∴MN＝MC+NC＝（AC+CB）＝AB＝×8＝4（cm），故答案为：4．
7．（长郡）如图，已知线段AB＝16cm，M是AB的中点，P是线段MB上一点，N为PB的中点，NB＝3cm，则线段MP＝ cm．
【解答】解：∵M是AB的中点，AB＝16cm，∴AM＝BM＝8cm，∵N为PB的中点，NB＝3cm，
∴PB＝2NB＝6cm，∴MP＝BM﹣PB＝8﹣6＝2（cm）．故答案为：2．
8．（北雅）线段AB＝1，C1是AB的中点，C2是C1B的中点，C3是C2B的中点，C4是C3B的中点，依此类推……，线段AC2022的长为 ．
【解答】解：因为线段AB＝1，C1是AB的中点，
所以C1B＝AB＝×1＝；
因为C2是C1B的中点，
所以C2B＝C1B＝×＝；
因为C3是C2B的中点，
所以C3B＝C2B＝×＝；
...，
所以C2022B＝，
所以AC2022＝AB﹣C2022B＝1﹣，
故答案为：1﹣．
9．（一中双语）如图，已知C点为线段AB的中点，D点为BC的中点，AB＝10cm，求AD的长度．
【解答】解：∵C点为线段AB的中点，D点为BC的中点，AB＝10cm，
∴AC＝CB＝AB＝5cm，CD＝BC＝2.5cm，∴AD＝AC+CD＝5+2.5＝7.5cm．
10.（青竹湖）如图，已知点为上一点，，，、分别是、的中点，求的长.
【解答】解：∵AC＝18cm，CB＝AC，∴BC＝×18＝12cm，则AB＝AC+BC＝30cm，
∵D、E分别为AC、AB的中点，∴AD＝AC＝9cm，AE＝AB＝15cm，
∴DE＝AE﹣AD＝15﹣9＝6cm，答：DE的长是6cm．
11．（明德）如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的一点，点D为线段AE的中点．
（1）若线段AB＝m，CE＝n，|m﹣10|+|n﹣3|＝0，求m，n的值；
（2）在（1）的条件下，求线段DC的长．
【解答】解：（1）|m﹣10|+（n﹣3）2＝0，∴m﹣10＝0，n﹣3＝0，∴m＝10，n＝3；
（2）∵点C为线段AB的中点，AB＝10，∴AC＝BC＝AB＝5，∵CE＝3，
∴AE＝AC+CE＝5+3＝8，∵点D为线段AE的中点，∴AD＝AE＝4，∴CD＝AC﹣AD＝5﹣4＝1．
12．（广益）如图，C是线段AB上一点，线段AB＝25cm，，D是AC的中点，E是AB的中点．
（1）求线段CE的长；
（2）求线段DE的长．
【解答】解：（1）∵AB＝25cm，BC＝AC，∴BC＝AB＝×25＝10（cm），∵E是AB的中点，
∴BE＝AB＝12.5cm，∴EC＝12.5﹣10＝2.5（cm）；
（2）由（1）得，AC＝AB﹣CB＝25﹣10＝15（cm），∵点D、E分别是AC、AB的中点，
∴AE＝AB＝＝12.5（cm），AD＝AC＝＝7.5（cm），∴DE＝AE﹣AD＝12.5﹣7.5
＝5（cm）．
13．（雅礼）如图，已知线段AC＝12cm，点B在线段AC上，满足BC＝AB．
（1）求AB的长；
（2）若D是AB的中点，E是AC的中点，求DE的长．
【解答】解：（1）∵BC＝AB，AC＝12cm，∴BC＝AC＝4cm，∴AB＝AC﹣CB＝12﹣4＝8（cm）；
（2）∵D是AB的中点，AB＝8cm，∴AD＝AB＝4cm，∵E是AC的中点，AC＝12cm，
∴AE＝AC＝6cm，∴DE＝AE﹣AD＝6﹣4＝2（cm）．
14.（青竹湖）如图，已知线段上有两点C、D，且，M、N分别是线段AC、AD的中点，若，，且a、b满足.
(1)求AB，AC的长度；
(2)求线段MN的长度.
【解答】解：（1）由题意可知：（a﹣10）2+|b﹣6|＝0，∴a＝10，b＝6，
∴AB＝10cm，AC＝6cm；
（2）∵BD＝AC＝6cm，∴AD＝AB﹣BD＝4cm，又∵M、N是AC、AD的中点，
∴AM＝3cm，AN＝2cm．∴MN＝AM﹣AN＝1cm．
15.（青竹湖）如图，已知，点是线段的中点，点为线段上的一点，点为线段的中点，。
（1）求线段的长；
（2）求线段的长。
【解答】解：（1）∵点E为线段DB的中点，EB＝6．∴DE＝EB＝6；
（2）∵AB＝40，C是AB的中点，∴BC＝AB＝20，又∵E为BD的中点，EB＝6，
∴BD＝2EB＝12，∴CD＝BC﹣BD＝20﹣12＝8．
16.（周南）如图，、是线段上两点，已知，、分别为、的中点，且，
（1）求线段的长；
（2）求线段的长．
【解答】解：（1）∵AC：CD：DB＝1：2：3,AC+CD+DB＝AB＝12cm，∴CD＝AB＝4cm；
（2）解：∵AC：CD：DB＝1：2：3，AB＝12cm，∴AC＝2cm，CD＝4cm，DB＝6cm，
∵M、N分别为AC、DB的中点，∴MC＝AC＝1cm，DN＝BD＝3cm，
∴MN＝MC+CD+DN＝8cm．
17．（雅礼）如图，已知线段AB＝12，点O在线段AB上，点C，D分别是AO，BO的中点．
（1）AO＝ CO；BO＝ DO；
（2）求线段CD的长度；
（3）小南在反思过程中突发奇想：若点O在线段AB的延长线上，点C，D分别是AO，BO的中点，请帮小南画出图形分析，并求线段CD的长度．
【解答】解：（1）∵点C、D分别是AO、BO的中点，∴AO＝2CO；BO＝2DO；故答案为：2，2；
（2）∵点C、D分别是AO、BO的中点，∴CO＝AO，DO＝BO，
∴CD＝CO+DO＝AO+BO＝AB＝6；
（3）仍然成立，如图：
理由：∵点C、D分别是AO、BO的中点，∴CO＝AO，DO＝BO，
∴CD＝CO﹣DO＝AO﹣BO＝（AO﹣BO）＝AB＝×12＝6．
题型三：按比例分配的线段长度
18.(郡维)已知：如图，两点把线段分成三部分，是的中点，若，求：线段的长；
【解答】解：∵B、C两点把线段AD分成2：4：3的三部分，2+4+3＝9，∴AB＝AD，BC＝AD，CD＝AD，又∵CD＝6，∴AD＝18，∵M是AD的中点，∴MD＝AD＝9，
∴MC＝MD﹣CD＝9﹣6＝3．
19．（北雅）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，且AB：BC：CD＝2：3：5，线段BC＝6．
（1）求线段AB、CD的长；
（2）若在直线上存在一点M使得AM＝2，求线段DM的长．
【解答】解（1）∵AB：BC：CD＝2：3：5，且BC＝6；∴AB＝4，CD＝10；
（2）∵AB＝4，CD＝10，BC＝6，∴AD＝20，若点M在点A左侧，则DM＝AM+AD＝22，
若点M在点A左侧，则DM＝AD﹣AM＝18，综上所述，线段DM的长为22或18．
20．（长郡）如图，点C，E是线段AB上两点，点D为线段AB的中点，AB＝6，CD＝1．
（1）求BC的长；
（2）若AE：EC＝1：3，求EC的长．
【解答】解：（1）∵点D为线段AB的中点，AB＝6，∴BD＝AB＝3，∵CD＝1，∴BC＝BD﹣CD
＝3﹣1＝2；
（2）∵点D为线段AB的中点，AB＝6，∴AD＝AB＝3，∵CD＝1，∴AC＝AD+CD＝4，
∵AE：EC＝1：3，∴EC＝×4＝3．
题型四：点在直线上的分情况讨论求线段长度
21．（一中）点A，B，C在直线l上．若AB＝4，AB＝2AC，则BC的长度为 ．
【解答】解：如图，若点C在AB之间，则BC＝AB﹣AC＝4﹣2＝2；
如图，若点C在BA的延长线上，则BC＝AB+AC＝4+2＝6；
故答案为：2或6．
22．（3分）已知线段AB＝8cm，在直线AB上有一点C，且BC＝2cm，点M为线段AC的中点，则线段AM的长是 cm．
【解答】解：①当点C在线段AB的延长线上时，此时AC＝AB+BC＝10cm，∵M是线段AC的中点，
则AM＝AC＝5（cm）；
②当点C在线段AB上时，AC＝AB﹣BC＝6cm，∵M是线段AC的中点，则AM＝AC＝3（cm）．
故答案为：5或3．
23.（雅礼）在直线l上取 A，B两点，使AB=10厘米，再在l上取一点C，使AC=2厘米，M，N分别是AB，AC中点．求MN的长度。
【解答】解：∵AB＝10厘米，AC＝2厘米，点M、点N分别是AB、AC中点，∴AM＝×10＝5厘米，
AN＝×2＝1厘米，
①点C在线段AB上时，MN＝AM﹣AN＝5﹣1＝4厘米，
②点C不在线段AB上时，MN＝AM+AN＝5+1＝6厘米，
综上所述，MN的长度为4厘米或6厘米．
24．（长郡）如图，点C为线段AB上一点，点D为BC的中点，且AB＝12，AC＝4CD．
（1）求AC的长；
（2）若点E在直线AB上，且AE＝3，求DE的长．
【解答】解：（1）由点D为BC的中点，得BC＝2CD＝2BD，由线段的和差，得AB＝AC+BC＝4CD+2CD＝12，解得：CD＝2，∴AC＝4CD＝4×2＝8；
（2）①当点E在线段AB上时，
由线段的和差，得DE＝AB﹣AE﹣DB＝12﹣3﹣2＝7，
②当点E在线段BA的延长线上，
由线段的和差，得DE＝AB+AE﹣BD＝12+3﹣2＝13．
综上所述：DE的长为7或13．
题型五：用方程方法求线段长度
25．（一中）如图，已知线段AB的长为x，延长线段AB至点C，使BC＝AB．
（1）用含x的代数式表示线段BC的长和AC的长；
（2）取线段AC的中点D，若DB＝3，求x的值．
【解答】解：（1）∵AB＝x，BC＝AB，∴BC＝x，∵AC＝AB+BC，∴AC＝x+x＝x．
（2）∵AD＝DC＝AC，AC＝x，∴DC＝x，∵DB＝3，BC＝x，∵DB＝DC﹣BC，
∴3＝x﹣x，∴x＝12．
26.（长郡）如图，点，在线段上，且满足．点，分别为线段，的中点，如果，求线段的长度．
【解答】解：∵CD＝AD＝BC，∴AD＝4CD，BC＝6CD，
设CD为，则AD＝4，BC＝6，∵点E、F分别为线段AC，BD的中点，
∴EC＝AC＝，DF＝BD＝；∵EF＝5cm，∴EF＝EC+CD+DF＝++＝10，
∴＝2，∴AB＝9CD＝9×2＝18（cm）．
27.（广益）如图，已知线段AB的长度是x cm，线段BC的长度比线段AB的长度的2倍多1cm，线段AD的长度比线段BC长度的2倍少1cm，若图形中所有线段之和为50cm，求线段BC，AD和CD的长.
【解答】解：根据题意得，BC＝（2x+1）cm，AD＝2BC﹣1＝2（2x+1）﹣1＝（4x+1）cm，
CD＝DA+AB+BC＝（4x+1）+x+（2x+1）＝（7x+2）cm，
∵图形中所有线段之和为50cm，
∴AD+BD+CD+AB+AC+BC＝AD+AD+AB+CD+AB+AB+BC+BC＝2AD+3AB+2BC+CD＝2（4x+1）+3x+2（2x+1）+7x+2＝50，解得：x＝2，
∴BC＝5，AD＝9，CD＝16．
题型六：线段长度中的动点问题
28．（明德）如图①，已知线段MN＝24cm，线段AB在线段MN上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是AM，BN的中点．
（1）若AM＝8cm，AB＝2cm，求CD的长度；
（2）若AB＝2acm，线段AB运动时，试判断线段CD的长度是否发生变化？如果不变，请求出CD的长度，如果变化，请说明理由．
【解答】解：（1）∵MN＝24cm，AB＝2cm，AM＝8cm，∴BN＝MN﹣AB﹣AM＝14（cm），
∵点C和点D分别是AM，BN的中点，∴AC＝AM＝4cm，BD＝BN＝7cm．
∴AC+BD＝11（cm）．∴CD＝AC+AB+BD＝11+2＝13（cm）．即CD的长为14cm．
（2）不变，理由如下：∵点C和点D分别是AM，BN的中点，∴AC＝AM，BD＝BN，
∴AC+BD＝AM+BN＝（AM+BN）．又∵MN＝24cm，AB＝2acm，∴AM+BN＝MN﹣AB＝24﹣2a（cm）．
∴AC+BD＝（AM+BN）＝12﹣a（cm）．∴CD＝AC+AB+BD＝12﹣a+2a＝12+a（cm）．
29．（长郡）我们将数轴上点P表示的数记为xP．对于数轴上不同的三个点M，N，T，若有xN﹣xT＝k（xM﹣xT），其中k为有理数，则称点N是点M关于点T的“k星点”．已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为xA＝﹣2，xB＝3．
（1）若点B是点A关于原点O的“k星点”，则k＝ ；若点C是点A关于点B的“2星点”，则xC＝ ；
（2）若线段AB在数轴上沿正方向运动，每秒运动1个单位长度，取线段AB的中点D．是否存在某一时刻，使得点D是点A关于点O的“﹣2星点”？若存在，求出线段AB的运动时间；若不存在，请说明理由；
（3）点Q在数轴上运动（点Q不与A，B两点重合），作点A关于点Q的“3星点”，记为A'，作点B关于点Q的“3星点”，记为B'．当点Q运动时，QA'+QB'是否存在最小值？若存在，求出最小值及相应点Q的位置；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵点B是点A关于原点O的“k星点”，∴3﹣0＝k（﹣2﹣0），解得：k＝﹣，
∵点C是点A关于点B的“2星点”，∴xC﹣3＝2×（﹣2﹣3），∴xC＝﹣7，故答案为：﹣，﹣7；
（2）设点表示的数为a，点B表示的数a+5，则线段AB的中点D表示的数为，
∵点D是点A关于点O的“﹣2星点”，∴﹣0＝﹣2×（a﹣0），∴a＝﹣，∴t＝＝，
∴当t＝，使得点D是点A关于点O的“﹣2星点”；
（3）当点Q在线段AB（点Q不与A，B两点重合）上时，QA'+QB'存在最小值，理由如下：
设点Q表示的数为y，∵点A'是点A关于点Q的“3星点”，∴点A'表示的数为﹣6﹣2y，
∵点B'是点B关于点Q的“3星点”，∴点B'表示的数是9﹣2y，∴QA'+QB'＝|﹣6﹣2y﹣y|+|9﹣2y﹣y
|＝|﹣6﹣3y|+|9﹣3y|，
当y＜﹣2时，QA'+QB'＝3﹣6y＞15，当﹣2＜y＜3时，QA'+QB'＝15，当y＞3时，QA'+QB'＝6y﹣3＞15，
∴当点Q在线段AB（点Q不与A，B两点重合）上时，QA'+QB'存在最小值，最小值为15．
30．（雅礼）我们定义：如果线段上的一个点将这条线段分成长度分别是a，b的两部分，并且满足3a＝4b，那么这个点叫做这条线段的“三高四新点”．
（1）如图1，点C是线段AB的“三高四新点”，AC＝3且AC＜BC，则AB＝ ；
（2）若点D也是（1）中线段AB的“三高四新点”（不同于C点），求AC与DB的数量关系；
（3）如图2，点O是数轴原点，点D对应的数是3，点E对应的数是12，在点E处有一挡板．小球P从点O出发以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，小球Q从点D同时出发，以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，碰到挡板后立即以每秒3个单位长度的速度向左运动．Q追上P时，两小球同时停止运动．设运动时间为t秒，当P、D、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“三高四新点”时，请求出t的值．
【解答】解：（1）∵点C是线段AB的“三高四新点”，∴4AC＝3BC，∵AC＝3，∴BC＝，
∴AB＝AC+BC＝7；故答案为：7；
（2）∵点D也是线段AB的“三高四新点”（不同于C点），∴3AD＝4BD，即AD＝，∵AB＝AD+BD＝7，∴，∴BD＝3，∵AC＝3，∴AC＝BD；
（3）①当0＜t≤3时，点Q向右运动，点D时线段PQ的“三高四新点”，此时点P表示的数为﹣t，点Q表示的数为3+3t，∴DP＝3+t，DQ＝3t，
当3DP＝4DQ时，得3（3+t）＝4×3t，解得：t＝1，
当3DQ＝4DP时，得3×3t＝4（3+t），解得：t＝；
②当3＜t≤6时，点Q向左运动，并且在点D的右边，此时点P表示的数为﹣t，点Q表示的数为
21﹣3t，∴DP＝3+t，DQ＝18﹣3t，
当3DP＝4DQ时，得3（3+t）＝4×（18﹣3t），解得：，
当3DQ＝4DP时，得3×（18﹣3t）＝4（3+t），解得：t＝；
③当6＜t≤时，点Q向左运动，并且在点D的左边，此时点P表示的数为﹣t，点Q表示的数为
21﹣3t，∴DQ＝3t﹣18，PQ＝21﹣2t，
当3PQ＝4DQ时，得3（21﹣2t）＝4（3t﹣18），解得：t＝，
当3DQ＝4PQ时，得3（3t﹣18）＝4（21﹣2t），解得：t＝；
综上，当P、D、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“三高四新点”时，t的值为1，，，，或．
31．（广益）如图1，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，O为原点，AB表示点A和点B之间的距离，且a，b满足|a+5|+（b+2a）2＝0．
（1）若T为线段AB上靠近点B的三等分点，求线段OT的长度；
（2）如图2，若Q为线段AB上一点，C、D两点分别从Q、B出发以个单位/s，个单位/s的速度沿直线BA向左运动（C在线段AQ上，D在线段BQ上），运动的时间为ts．若C、D运动到任意时刻时，总有QD＝2AC，请求出AQ的长；
（3）如图3，E、F为线段OB上的两点，且满足BF＝2EF，OE＝4，动点M从A点、动点N从F点同时出发，分别以3个单位/s，1个单位/s的速度沿直线AB向右运动，是否存在某个时刻使得EM+BN＝AE成立？若存在，求此时MN的长度；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵|a+5|+（b+2a）2＝0，∴a＝﹣5，b＝﹣2a＝10，∴AB＝15，
∵T为线段AB上靠近点B的三等分点，∴BT＝5，∴OT＝OB﹣BT＝5；
（2）∵C、D两点分别从Q、B出发以个单位/s，个单位/s的速度沿直线BA向左运动，
∴CQ＝t，DB＝t，∴AC＝AQ﹣t，DQ＝BQ﹣t＝15﹣AQ﹣t，
∵QD＝2AC，∴15﹣AQ﹣t＝2（AQ﹣t），∴AQ＝5；
（3）存在，∵BF＝2EF，OE＝4，∴EF＝2，BF＝4，若EM+BN＝AE，
∴|3t﹣9|+|4﹣t|＝9，∴t＝1或，
当t＝1时，AM＝3，NF＝1，∴MN＝AE+EN﹣AM＝9+2+1﹣3＝9，
当t＝时，AM＝，NF＝，∴MN＝AE+EN﹣AM＝9+2+﹣＝0，
综上所述：当t＝1s或s时，EM+BN＝AE．此时MN＝9或0．