北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 双曲线及其标准方程一课一练

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 双曲线及其标准方程一课一练，共6页。

1．双曲线eq \f(x2,10)－eq \f(y2,2)＝1的焦距为( )
A．2eq \r(2) B．3eq \r(2)
C．4eq \r(2) D．4eq \r(3)
2．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(3,0)，则k＝( )
A．1 B．－1
C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
3．在双曲线中，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),2)，且双曲线与椭圆4x2＋9y2＝36有公共焦点，则双曲线的方程是( )
A.eq \f(y2,4)－x2＝1 B.eq \f(x2,4)－y2＝1
C．x2－eq \f(y2,4)＝1 D．y2－eq \f(x2,4)＝1
4．若双曲线E：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,160)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝15，则|PF2|＝( )
A．9 B．21
C．9或21 D．18
5．已知双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为( )
A．2a＋2m B．4a＋2m
C．a＋m D．2a＋4m
6．[多选题]若方程eq \f(x2,5－t)＋eq \f(y2,t－1)＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是( )
A．若1B．若t<1，则C为双曲线
C．若C为双曲线，则焦距为4
D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则37．以椭圆eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,5)＝1长轴的两端点为焦点，且经过点(3，eq \r(10))的双曲线的标准方程为________．
8．与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1共焦点，且过点(3eq \r(2)，2)的双曲线方程．
9．已知双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,3m)＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆eq \f(y2,n)－eq \f(x2,m)＝1的焦距等于4，则n＝________.
10．一动圆与⊙A：(x＋5)2＋y2＝49和⊙B：(x－5)2＋y2＝1都外切，求动圆圆心P的轨迹方程．
[提能力]
11．[多选题]已知方程mx2＋ny2＝1，其中m2＋n2≠0，则( )
A．mn>0时，方程表示椭圆
B．当m>0，n<0时，方程表示焦点在x轴上的双曲线
C．当m<0，n>0时，方程表示焦点在y轴上的双曲线
D．当n>m>0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆
12．已知双曲线的两个焦点为F1(－eq \r(5)，0)，F2(eq \r(5)，0)，P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1||PF2|＝2，则该双曲线的方程是( )
A.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)－y2＝1 D．x2－eq \f(y2,4)＝1
13．若方程eq \f(y2,4)－eq \f(x2,m＋1)＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是____________；若表示椭圆，则m的取值范围是____________．
14．设双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．
15．如图，若F1，F2是双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
[培优生]
16．已知△ABC的顶点A(－p,0)，B(p,0)，其内心在直线x＝q上，且p>q>0，则顶点C的轨迹方程为______________．
课时作业(十五)
1．解析：由c2＝a2＋b2＝10＋2＝12
∴c＝2eq \r(3)，∴焦距2c＝4eq \r(3)，故选D.
答案：D
2．解析：依题意，知双曲线的焦点在x轴上，且c＝3，方程可化为eq \f(x2,\f(1,k))－eq \f(y2,\f(8,k))＝1，则k>0，且a2＝eq \f(1,k)，b2＝eq \f(8,k)，所以eq \f(1,k)＋eq \f(8,k)＝9，
解得k＝1，故选A.
答案：A
3．解析：椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，故焦点坐标为(±eq \r(5)，0)，∴c＝eq \r(5).由eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),2)，得a＝2，又双曲线中c2＝a2＋b2，则b2＝1.故双曲线方程为eq \f(x2,4)－y2＝1.
答案：B
4．解析：由于|PF1|＝15答案：B
5．解析：由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|AF1|－|AF2|＝2a，,|BF1|－|BF2|＝2a，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|AF1|＝2a＋|AF2|，,|BF1|＝2a＋|BF2|，))
且|AF2|＋|BF2|＝|AB|＝m，
所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2m.故选B.
答案：B
6．解析：由题意，若方程eq \f(x2,5－t)＋eq \f(y2,t－1)＝1表示椭圆，则满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5－t>0，,t－1>0，,5－t≠t－1，))解得10，,t－1>0，,5－t0，t－1<0，此时表示焦点在x轴上的双曲线，所以是正确的；对于C，当t＝0时，原方程为eq \f(x2,5)－y2＝1，此时双曲线的焦距为2eq \r(6)，所以不正确．
答案：BD
7．解析：由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2eq \r(2).
设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则有a2＋b2＝c2＝8，eq \f(9,a2)－eq \f(10,b2)＝1，解得a2＝3，b2＝5.
故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,5)＝1.
答案：eq \f(x2,3)－eq \f(y2,5)＝1
8．解析：由于所求的双曲线与已知的双曲线共焦点，从而可设所求的双曲线方程为eq \f(x2,16－k)－eq \f(y2,4＋k)＝1.
由于点(3eq \r(2)，2)在所求的双曲线上，
从而有eq \f(18,16－k)－eq \f(4,4＋k)＝1.
整理，得k2＋10k－56＝0，
∴k＝4或k＝－14.
又16－k>0，4＋k>0，∴－4从而得k＝4.
故所求双曲线的方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,8)＝1.
答案：eq \f(x2,12)－eq \f(y2,8)＝1
9．解析：因为双曲线的焦点是(0，2)，所以双曲线的标准方程是eq \f(y2,－3m)－eq \f(x2,－m)＝1，
即a2＝－3m，b2＝－m，c2＝－4m＝4，即m＝－1，
故椭圆方程为：eq \f(y2,n)＋x2＝1，
∴椭圆焦距2c＝2eq \r(n－1)＝4或2c＝2eq \r(1－n)＝4，
解得n＝5或n＝－3(此时方程不表示椭圆，舍去).
答案：5
10．解析：设动圆的半径为r，
依题意得|PA|＝r＋7，|PB|＝1＋r，如图，
∴|PA|－|PB|＝6.而A，B为定点，且|AB|＝10，由双曲线的定义知P点的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支．
又A(－5，0)，B(5，0)，∴|AB|＝10＝2c.∴c＝5.
又2a＝6，∴a＝3，∴b2＝c2－a2＝16.
故其轨迹方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1(x≥3).
11．解析：当m<0，n<0，则mx2＋ny2＝1不表示椭圆，A错误；
当m>0，n<0时，则eq \f(x2,\f(1,m))－eq \f(y2,－\f(1,n))＝1表示焦点在x轴上的双曲线，B正确；当m<0，n>0时，则eq \f(y2,\f(1,n))－eq \f(x2,－\f(1,m))＝1表示焦点在y轴上的双曲线，C正确；当n>m>0时，0故选BCD.
答案：BCD
12．解析：由题意知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2eq \r(5))2＝20.
又|PF1||PF2|＝2，
由双曲线定义，得||PF1|－|PF2||＝2a，
∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|＝20，
即4a2＋2×2＝20，∴a2＝4.∴b2＝c2－a2＝1.
∴双曲线的方程是eq \f(x2,4)－y2＝1.
答案：C
13．解析：若表示双曲线，则必有m＋1>0，即m>－1，
若表示椭圆，则必有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋1<0,m＋1≠－4))，解得m<－1且m≠－5.
答案：(－1，＋∞) (－∞，－5)∪(－5，－1)
14．解析：由已知得F1(－2，0)，F2(2，0).
设P(x，y)是双曲线右支上任一点，则1由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|PF1|＝\r(（x＋2）2＋y2)，,|PF2|＝\r(（x－2）2＋y2)，,x2－\f(y2,3)＝1，)) 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|PF1|＝2x＋1，,|PF2|＝2x－1，))
又△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|2＋|PF2|2>|F1F2|2，
即(2x＋1)2＋(2x－1)2>42，得x>eq \f(\r(7),2)，
故eq \f(\r(7),2)答案：(2eq \r(7)，8)
15．解析：(1)由双曲线的定义得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(|MF1|－|MF2|))＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
由于c－a＝5－3＝2，10>2，22>2，
故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)
＝eq \f(100－100,2|PF1|·|PF2|)＝0，
∴∠F1PF2＝90°，
∴S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×32＝16.
16.
解析：设△ABC的内心为G，过点G作AB，BC，AC的垂线，分别交AB，BC，AC于点D，E，F，如图，则CE＝CF，AD＝AF，BD＝BE.
由题意可知D(q，0)，则AD＝p＋q，BD＝p－q，
所以AC－BC＝AD－BD＝2q，AB＝2p，
所以点C的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支(除去与x轴的交点).
因为OA＝p，
所以顶点C的轨迹方程为eq \f(x2,q2)－eq \f(y2,p2－q2)＝1(x>q).
答案：eq \f(x2,q2)－eq \f(y2,p2－q2)＝1(x>q)