高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 随机变量课时练习

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 随机变量课时练习，共6页。

1．[多选题]下列关于随机变量与离散型随机变量说法正确的是( )
A．抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量
B．一天内的温度X是离散型随机变量
C．离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1
D．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的
2．抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X>4”表示的试验结果是( )
A．第一枚6点，第二枚2点
B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚1点，第二枚6点
D．第一枚6点，第二枚1点
3．袋中装有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，且不放回，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( )
A．1,2，…，6 B．1,2，…，7
C．1,2，…，11 D．1,2,3，…，8
4．已知随机变量ξ的分布列如下，则p的值是( )
A.0 B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,6)
5．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝eq \f(i,2a)(i＝1,2,3)，则P(X≥2)＝( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(5,6)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
6．[多选题]已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：
则下列计算结果正确的是( )
A．a＝0.1 B．P(X≥2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3
7．某同学在某考试中需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________________．
8．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝eq \f(1,2k)，k＝1,2,3，…，n，则P(2<ξ≤4)＝________.
9．随机变量η的分布列如下：
则x＝________，P(η≤3)＝________.
10．设随机变量X的分布列为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝\f(k,5)))＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求常数a的值；
(2)求Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X≥\f(3,5)))的值；
(3)求Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)[提能力]
11．随机变量ξ的分布列如下：
其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(5,6)
12．已知随机变量X的概率分布为P(X＝n)＝eq \f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则Peq \f(1,2)＜X＜eq \f(5,2)＝( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(5,6)
13．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为
则P(ξ≤0)＝________.
14．一批产品分为四级，其中抽到一级产品的概率是二级产品概率的两倍，抽到三级产品的概率是二级产品概率的一半，抽到四级产品的概率与三级产品的概率相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量ξ，则P(ξ>1)＝________.
15．从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢．
(1)以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列；
(2)求出赢钱(即X＞0时)的概率．
[培优生]
16．一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cs x，f6(x)＝2.
(1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到一个新的函数，求所得函数是奇函数的概率；
(2)现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列．
课时作业(四十六)
1．解析：对于选项A：抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数可能是0，也可能是1，故是随机变量，故选项A正确；对于选项B：不能一一列出，故错误；对于选项C：离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和一定等于1，故错误；对于选项D：由互斥事件的定义可知正确．
答案：AD
2．解析：连续抛掷两枚骰子，第一枚骰子和第二枚骰子点数之差是一个随机变量X，则“X>4”表示的试验结果只能是X＝5，即第一枚6点，第二枚1点，故选D.
答案：D
3．解析：第一次取到白球，符合题意，终止取球；第一次取到红球，第二次取到白球，符合题意，终止取球；……；前六次取到红球，第七次取到白球，符合题意，终止取球．而袋中只有6个红球，所以最多取7次．故选B.
答案：B
4．解析：根据随机变量的分布列的性质可知，eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋p＝1，解得p＝eq \f(1,6)，故选D.
答案：D
5．解析：由概率和为1可知，eq \f(1,2a)＋eq \f(2,2a)＋eq \f(3,2a)＝1，解得a＝3，则P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq \f(2,6)＋eq \f(3,6)＝eq \f(5,6)，故选B.
答案：B
6．解析：由分布列的性质可得a＝0.1，则P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.4＋0.2＋0.1＝0.7，
P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.2＋0.1＝0.3，
P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.1＋0.2＝0.3，
故A、B、D正确，C错误．
答案：ABD
7．解析：都回答不正确得－300分；答对1个问题得－100分；答对2个问题得100分；问题全答对得300分．故答案为－300，－100，100，300.
答案：－300，－100，100，300
8．解析：P(2<ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝eq \f(1,8)＋eq \f(1,16)＝eq \f(3,16).
答案：eq \f(3,16)
9．解析：由0.2＋x＋0.25＋0.1＋0.15＋0.2＝1得x＝0.1，
P(η≤3)＝P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.2＋0.1＋0.25＝0.55
答案：0.1 0.55
10．解析：(1)由分布列的性质可知，a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝eq \f(1,15).
(2)∵Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝\f(k,5)))＝eq \f(1,15)k(k＝1，2，3，4，5)，
∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X≥\f(3,5)))＝Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝\f(3,5)))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝\f(4,5)))＋P(X＝1)＝eq \f(3,15)＋eq \f(4,15)＋eq \f(5,15)＝eq \f(4,5).
(3)当eq \f(1,10)11．解析：由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2b＝a＋c，,a＋b＋c＝1，))解得b＝eq \f(1,3).
∵f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，
∴Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，∴P(ξ＝1)＝eq \f(1,3).故选B.
答案：B
12．解析：根据分布列的性质，得P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝a(eq \f(1,1×2)＋eq \f(1,2×3)＋eq \f(1,3×4)＋eq \f(1,4×5))＝1，解得a＝eq \f(5,4).由eq \f(1,2)＜X＜eq \f(5,2)，知X＝1，2，所以P(eq \f(1,2)＜X＜eq \f(5,2))＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq \f(5,4)×eq \f(1,1×2)＋eq \f(5,4)×eq \f(1,2×3)＝eq \f(5,6).
答案：D
13．解析：由离散型随机变量的分布列的性质，得1－2q≥0，eq \f(1,2)＋(1－2q)＋q2＝1，
解得q＝1－eq \f(\r(2),2)或q＝1＋eq \f(\r(2),2)(舍去).
所以P(ξ≤0)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＝eq \f(1,2)＋1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(2),2)))＝eq \r(2)－eq \f(1,2).
答案：eq \r(2)－eq \f(1,2)
14．解析：依题意，P(ξ＝1)＝2P(ξ＝2)，P(ξ＝3)＝eq \f(1,2)P(ξ＝2)，P(ξ＝3)＝P(ξ＝4)，由分布列的性质得，1＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)，∴4P(ξ＝2)＝1，解得P(ξ＝2)＝eq \f(1,4)，∴P(ξ＝3)＝eq \f(1,8)，P(ξ＝4)＝eq \f(1,8).∴P(ξ>1)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
15．解析：(1)从箱中取两个球的情形有以下6种；{2个白球}，{1个白球，1个黄球}，{1个白球，1个黑球}，{2个黄球}，{1个黑球，1个黄球}，{2个黑球}．当取到2个白球时，随机变量X＝－2；当取到1个白球，1个黄球时，随机变量X＝－1；当取到1个白球，1个黑球时，随机变量X＝1；当取到2个黄球时，随机变量X＝0；当取到1个黑球，1个黄球时，随机变量X＝2；当取到2个黑球时，随机变量X＝4；所以随机变量X的可能取值为－2，－1，0，1，2，4.
P(X＝－2)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(12)) )＝eq \f(5,22)，
P(X＝－1)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(12)) )＝eq \f(2,11)，
P(X＝0)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(12)) )＝eq \f(1,66)，
P(X＝1)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(12)) )＝eq \f(4,11)，
P(X＝2)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(12)) )＝eq \f(4,33)，
P(X＝4)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(12)) )＝eq \f(1,11).
所以X的概率分布列如表：
(2)P(X＞0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝4)＝eq \f(4,11)＋eq \f(4,33)＋eq \f(1,11)＝eq \f(19,33).
16．解析：(1)记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知，P(A)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) )＝eq \f(1,5).
(2)由题意知，ξ的所有可能取值为1，2，3，4.
P(ξ＝1)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) )＝eq \f(1,2)，
P(ξ＝2)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) )·eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) )＝eq \f(3,10)，
P(ξ＝3)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) )·eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) )·eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) )＝eq \f(3,20)，
P(ξ＝4)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) )·eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) )·eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(1)) ,C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) )·eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) )＝eq \f(1,20).
故ξ的分布列为
ξ
－1
0
1
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,3)
p
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.4
0.2
a
η
1
2
3
4
5
6
P
0.2
x
0.25
0.1
0.15
0.2
ξ
0
1
2
P
a
b
c
ξ
－1
0
1
P
eq \f(1,2)
1－2q
q2
X
－2
－1
0
1
2
4
P
eq \f(5,22)
eq \f(2,11)
eq \f(1,66)
eq \f(4,11)
eq \f(4,33)
eq \f(1,11)
ξ
1
2
3
4
P
eq \f(1,2)
eq \f(3,10)
eq \f(3,20)
eq \f(1,20)