数学选择性必修 第一册1.4 两条直线的平行与垂直达标测试

这是一份数学选择性必修 第一册1.4 两条直线的平行与垂直达标测试，共5页。
1．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
2．若平面α的一个法向量为n1＝(4,3,0)，平面β的一个法向量为n2＝(0，－3,4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为( )
A．－eq \f(9,25) B.eq \f(9,25)
C.eq \f(7,25) D．以上都不对
3．已知平面α内有一个以AB为直径的圆，PA⊥α，点C在圆周上(异于点A，B)，点D、E分别是点A在PC、PB上的射影，则( )
A．∠ADE是二面角A­PC­B的平面角
B．∠AED是二面角A­PB­C的平面角
C．∠DAE是二面角B­PA­C的平面角
D．∠ACB是二面角A­PC­B的平面角
4．正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A­BD­C的正弦值为( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(\r(6),3)
5．如图所示，已知四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角C­BF­D的正切值为( )
A.eq \f(\r(3),6) B.eq \f(\r(3),4)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(2\r(3),3)
6．[多选题]若直线a的方向向量为a，平面α，β的法向量分别为n，m，则下列命题为真命题的是( )
A．若a⊥n，则直线a∥平面α
B．若a∥n，则直线a⊥平面α
C．若cs〈a，n〉＝eq \f(1,2)，则直线a与平面α所成角的大小为eq \f(π,6)
D．若cs〈m，n〉＝eq \f(1,2)，则平面α，β的夹角为eq \f(π,3)
7．在空间中，已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a>0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________.
8．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝eq \r(6)，那么二面角P­BC­A的大小为________．
9．如图，已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD的夹角的正弦值为________．
10．如图所示，在几何体S­ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．
[提能力]
11．[多选题]正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为CC1、BC、CD、BB1的中点，则下列结论正确的是( )
A．B1G⊥BC
B．平面AEF∩平面AA1D1D＝AD1
C．A1H∥平面AEF
D．二面角E­AF­C的大小为eq \f(π,4)
12．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC与BD交于O，PO⊥底面ABCD，PO＝2，AB＝2eq \r(2)，E，F分别是AB，AP的中点．则平面FOE与平面OEA夹角的余弦值为( )
A．－eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(3),3)
C．－eq \f(\r(6),3) D.eq \f(\r(6),3)
13．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD的夹角为eq \f(π,3)，则平面FBE与平面DBE夹角的余弦值是________．
14．如图，在底面边长均为2，高为1的长方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别为BC、C1D1的中点，则异面直线A1E、CF所成角的大小为____________；平面A1EF与平面A1B1C1D1所成锐二面角的余弦值为____________．
15．如图，在直三棱柱中A1B1C1­ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．
[培优生]
16．在底面为锐角三角形的直三棱柱ABC­A1B1C1中，D是棱BC的中点，记直线B1D与直线AC所成角为θ1，直线B1D与平面A1B1C1所成角为θ2，二面角C1­A1B1­D的平面角为θ3，则( )
A．θ2θ3
课时作业(三十三)
1．解析：∵cs〈m，n〉＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，∴二面角的大小为45°或135°.故选C.
答案：C
2．解析：∵cs〈n1，n2〉＝eq \f(n1·n2,|n1||n2|)＝－eq \f(9,25)，∴平面α与平面β夹角的余弦值为eq \f(9,25).故选B.
答案：B
3．解析：由二面角定义及三垂线定理知选B.
答案：B
4．答案：C
5．解析：
如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O­xyz.
设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝eq \r(3)，所以O(0，0，0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，0，0))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，0))，eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，0))，易知eq \(OC,\s\up6(→))为平面BDF的一个法向量，由eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，eq \(FB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，0，－\f(1,2)))，可得平面BCF的一个法向量为n＝(1，eq \r(3)，eq \r(3)).所以cs〈n，eq \(OC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\r(21),7)，sin〈n，eq \(OC,\s\up6(→))〉＝eq \f(2\r(7),7)，
所以tan〈n，eq \(OC,\s\up6(→))〉＝eq \f(2\r(3),3).故二面角C­BF­D的正切值为eq \f(2\r(3),3).故选D.
答案：D
6．解析：若a⊥n，则直线a与平面α平行或在平面α内，所以A是假命题；
若a∥n，则a也是平面α的法向量，所以直线a⊥平面α，所以B是真命题；
直线与平面的夹角的正弦值等于直线与平面法向量所成的锐角的余弦值，所以C是真命题；
两个平面的夹角与它们的法向量所成的不大于90°的角相等，所以D是真命题，故选BCD.
答案：BCD
7．解析：平面xOy的一个法向量为n＝(0，0，1)，设平面α的一个法向量为m＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3x＋4y＝0，,－3x＋az＝0，))
即3x＝4y＝az，取z＝1，则x＝eq \f(a,3)，y＝eq \f(a,4)，∴m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,3)，\f(a,4)，1)).由题意得|cs〈n，m〉|＝eq \f(1,\r(\f(a2,9)＋\f(a2,16)＋1))＝eq \f(\r(2),2).
又因为a>0，所以a＝eq \f(12,5).
答案：eq \f(12,5)
8．解析：取BC的中点D，连接AD，PD，由二面角的定义知∠PDA为二面角的平面角，AD＝PD＝eq \r(3)，PA＝eq \r(6)，∠PDA＝90°.
答案：90°
9．答案：eq \f(\r(5),3)
10．略
11.答案：BC
12．答案：B
13．答案：eq \f(\r(13),13)
14．答案：eq \f(π,6) eq \f(3\r(14),14)
15．略
16．答案：A