2023年江苏省南通市通州区等2地中考一模数学试题（解析版）

这是一份2023年江苏省南通市通州区等2地中考一模数学试题（解析版），共27页。
考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置．
3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．）
1. 计算（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据有理数的除法法则计算即可．
【详解】解：，
故选：B
【点睛】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2. 下列计算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则，幂的乘方法则，即可得到答案．
【详解】解：A．，故该选项不符合题意；
B．，故该选项不符合题意；
C．，故该选项不符合题意；更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 D．，故该选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则，幂的乘方法则，熟练掌握上述运算法则，是解题的关键．
3. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁牧的一首诗《苔》．已知苔花的花粉直径约为，将用科学记数法表示（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法表示方法表示即可；
【详解】解：科学记数法表示为：，
∴用科学记数法表示：；
故选：C．
【点睛】本题主要考查用科学记数法表示数，理解科学记数法的表示方法是解题的关键．
4. 某几何体的俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看去，一共两列，左边有2竖列，右边是1竖列，结合四个选项选出答案.
【详解】解：从正面看去，一共两列，左边有2竖列，右边是1竖列.
故选B.
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是具有几何体的三视图及空间想象能力.
5. 一副直角三角板(，)按如图所示的位置摆放，如果，那么的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出，根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，设交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
6. 如图，AB、BC为的两条弦，连接OA、OC，点D为AB的延长线上一点，若，则的度数为（ ）

A. 100°B. 118°C. 124°D. 130°
【答案】C
【解析】
【分析】根据∠CBD的度数可先求出弧AC所对应的圆周角的度数，进而可得答案．
【详解】解：如图，在优弧AC上取点P，连接PA，PC
∵
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质与圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
7. 某人在甲、乙、丙、丁四个超市购买某品牌商品的总价和购买数量如图所示，按平均单价计算，购买该品牌商品最划算的超市是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象，分别求得各超市的平均单价，比较即可得到答案．
【详解】解：由图象知，甲超市的平均单价为（元/千克），
乙超市的平均单价为（元/千克），
丙超市的平均单价为（元/千克），
丁超市的平均单价为（元/千克），
∵，
∴购买该品牌商品最划算的是丙超市，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形，有理数的除法运算，有理数的大小比较，掌握有理数的除法运算法则是解题的关键．
8. 如果一个函数同时满足条件：①图象经过点；②图象经过第四象限；③当时，y随x的增大而减小，那么这个函数解析式可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质判断即可；
【详解】解：①图象经过点；②图象经过第四象限；可排除B；
③当时，y随x的增大而减小，可直接排除A；
对于，其对称轴为：，
∴在，y随x的增大而增大，故排除C；
对于，其对称轴为：，
∴当时，y随x的增大而减小，故D都符合；
故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，掌握相关函数的性质是解本题的关键．
9. 如图，中，，，，点在折线上运动，过点作垂线，垂足为．设，，则关于的函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分点在上，分别求得与的函数关系式，进而根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵中，，，，
∴，
∴，
∵
∴
∵，
∴，
当点在上时，即时，
∵，，
∴，
当点在上时，即时，
如图所示，连接，
∵，
∴
∴,
综上所述，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下，
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解直角三角形，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键．
10. 如图，将矩形纸片沿对角线所在直线折叠，点落在点处．过的中点作交于点．若 ，，则的长为( )
A. B. 4C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】设交于点，，交于点，证明，得出，，进而证明，得出，，设，则，，在中，，勾股定理求得，进而根据，求得，即可求解．
【详解】解：如图所示，设交于点，，交于点，
∵，四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，，
∵折叠，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
设，则，，
中，，
即，
解得：，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，正切的定义，矩形与折叠问题，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，11∼12题每小题3分，13∼18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11. 因式分解：m2﹣mn=_____．
【答案】m（m﹣n）
【解析】
【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式m即可：m2﹣mn=m（m﹣n）．
12. 计算的结果是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先把各二次根式化为最减二次根式，再合并同类项即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
13. 二元一次方程组的解是_______．
【答案】##
【解析】
【分析】用加减消元法先消去x，把二元转化为一元，即可解得方程组．
【详解】解：，
由得：
得：
解得：，
把代入②得：
，
解得：，
∴此方程组解为：．
故答案为：
【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法，把“二元“转化为“一元“．
14. 如图，D，E两点分别在上，，要使，只需添加一个条件，则这个条件可以是_______．
【答案】或或（这三个条件中一个均可）
【解析】
【分析】要使，已知，，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．
【详解】解：∵，，
添加：，
∴．
故答案为：或或（这三个条件中一个均可）．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：．添加时注意：不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
15. 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水筒的运行轨迹是以为圆心的一个圆，可简化为图2．若被水面所截的弦长米，的半径为米，则筒车最低点距水面____________米．
【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，并延长与相交于点，连接，可得点为筒车最低点，筒车最低点距水面的距离为的长，再根据垂径定理，得出米，再根据勾股定理，得出米，再根据线段之间的数量关系，计算即可得出答案．
【详解】解：过点作于点，并延长与相交于点，连接，
∴点为筒车最低点，筒车最低点距水面的距离为的长，
∵米，，
∴米，
又∵的半径为米，即米，
∴米，
又∵米，
∴米，
∴筒车最低点距水面米．
故答案为：
【点睛】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，解本题的关键在熟练掌握垂径定理、勾股定理．
16. 如图，学校有一旗杆．为了测量旗杆高度，小明采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为，从与点C相距的E处测得旗杆顶B的仰角为．若，则旗杆AB的高度为_______米．（结果保留小数点后一位，，）．
【答案】
【解析】
【分析】延长交于点G，由题意易得，，然后代入求解即可．
详解】解：如图：延长交于点G，
由题意可知，即，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键．
17. 如图，点是函数图象上一点，连接并延长，交函数的图象于点，作轴，垂足为，连接，则的面积为_______(用含的式子表示)．
【答案】
【解析】
【分析】过点作轴于点，根据的几何意义得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，
过点作轴于点，
∵点是函数图象上一点，连接并延长，交函数的图象于点，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴，
∵
∴的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，得出是解题的关键．
18. 如图，等边三角形中，P，Q两点分别在边上，，D是的中点．若，则的最小值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】建立直角坐标系，过点Q作轴，设，则，分别求得，，再求出，从而得出点D在直线上运动，当直线时，最小，据此求解即可．
【详解】解：建立如图的直角坐标系，过点Q作轴，
设，则，
∵等边三角形中，，
∴
∴，
∴，
∵D是的中点．
∴，
令
∴，
即点D在直线上运动，
当直线时，最小，此时
故答案：
【点睛】本题考查了等边三角形的性质及图形运动中的最值问题，解决本题的关键是会用建系法解决图形运动中的最值问题．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据分式的混合运算进行计算即可求解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）
；
（2），
解不等式①得：，
不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，熟练掌握分式的运算法则以及求不等式组解集的步骤是解题的关键．
20. 如图是三个可以自由转动的转盘，甲、乙两人中甲转动转盘，乙记录转盘停下时指针所指的数字．当三个数字中有数字相同时，就算甲赢，否则就算乙赢．请判断这个游戏是否公平，并用概率知识说明理由．
【答案】不公平，见解析
【解析】
【分析】利用树状图法，求出含有相同数字的概率，进行判断即可．
【详解】解：不公平，理由如下：
画树状图如下：
由图可知：共有8种结果，且是等可能的，其中含有相同数字的结果有6种．
则甲获胜的概率，乙获胜的概率，
因为，
所以这个游戏不公平．
【点睛】本题考查利用概率解决游戏公平性问题．熟练掌握树状图法求概率，是解题的关键．
21. 【阅读材料】
老师的问题：
已知：如图，中，，是斜边上的中线，求作：菱形
小明的作法：
（1）取的中点，
（2）连接并延长到，使，
（3）连接，，四边形就是所求作的菱形；
【解答问题】
请根据材料中的信息，证明四边形是菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，根据作图可得是的中点，则是的中位线，得出，，即可得出结论．
【详解】证明：∵中，，是斜边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，菱形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22. 某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取甲、乙两个班（每个班均为人）的学生进行测试，并对成绩进行整理（成绩为整数，满分分）．
a．甲班成绩统计表：
b．乙班良好这一组学生的成绩
70，71，73，73，73，
74，76，77，78，79．
c．乙班成绩统计图：
（1）已知甲班没有3人的成绩相同，成绩是76分的学生，在______班的名次更好些；
（2）从两个不同的角度推断哪个班的整体成绩更好．
【答案】（1）乙 （2）甲班
【解析】
【分析】（1）根据中位数的定义求解即可；
（2）根据中位数与优秀率的意义进行解答即可（答案不唯一）
【小问1详解】
成绩是76分的学生，在乙班的名次更好些，理由如下：
甲班成绩的中位数是76分，而且没有3人的成绩相同，所以成绩是76分的学生在甲班位于第20或第21名；
乙班优秀学生有（人），根据班良好学生的成绩可知成绩是76分的学生在乙班位于第16名，
所以成绩是76分的学生，在乙班的名次更好
故答案为：乙
【小问2详解】
甲班的整体成绩更好理由如下：
甲班成绩的中位数是76分，乙班成绩的中位数 （分）
甲班成绩的优秀率是，乙班成绩的优秀率是
甲班成绩的中位数、优秀率均高于乙班，所以甲班的整体成绩更好
【点睛】本题考查了统计的应用，中位数、众数、优秀率的意义，掌握中位数的定义及其意义是解决问题的关键
23. 如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为．
（1）求证：平分；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，可证明，推出，由，可得，即可证明，即平分；
（2）过点作于点，则，在中，勾股定理求得，进而求得，根据扇形面积公式求得，然后根据即可求解．
【小问1详解】
证明：如图1，连接，
∵为切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即平分；
【小问2详解】
解：如图所示，过点作于点，则，
∵，平分；
∴，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，求扇形面积，熟练掌握切线的性质，扇形面积公式是解题的关键．
24. 某商场销售一种成本为元的商品，市场调研反映：在某个月的第天（）的销售价格为（）元，日销售量（）与的函数关系如图所示．
（1）求与的函数解析式；
（2）销售该商品第几天时，日销售利润最大？
（3）结合函数图象回答，在当月有多少天日销售利润大于元？
【答案】（1）与的函数解析式为；
（2）销售该商品第天时，日销售利润最大
（3）当月有天的日销售利润大于元
【解析】
【分析】（1）待定系数求一次函数解析式即可求解；
（2）设日销售利润为，根据题意得，，根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据题意，解不等式，根据二次函数图象的性质求得的取值范围，即可求解．
【小问1详解】
解：设与的函数解析式为，
将点代入解析式，得，
，
解得：，
∴与的函数解析式为；
【小问2详解】
解：设日销售利润为，根据题意得，
∵，
当时，取得最大值，
即销售该商品第天时，日销售利润最大；
【小问3详解】
解：当时，，
解得：，
∵，抛物线开口向上，
∴当时，或，
∵，
∴，
答：当月有天的日销售利润大于元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25. 如图，等边三角形中，是边上的一个动点（不与，点重合），连接，将绕点顺时针旋转至，过点作，交的延长线于点．
（1）探究的形状；
（2）求证：；
（3）若延长交于点，，求的正切值．
【答案】（1）等边三角形
（2）见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形及旋转的性质即可判断；
（2）可证四边形是平行四边形，从而可证，进而可得证；
（3）过作，交于，设，可证，从而可求，，即可求解．
【小问1详解】
解：是等边三角形．
理由：是等边三角形，
，
由旋转得：，，
是等边三角形．
【小问2详解】
证明：和是等边三角形，
，
，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
即：，
在和中
，
（）
【小问3详解】
解：如图，过作，交于，
设，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
在中：
，
，
在中：
，
，
，
，，
．
故的正切值为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质，平行四边形的判定及性质，特殊角的三角函数值，求角的三角函数值等，掌握相关判定方法及性质是解题的关键．
26. 定义：若函数的图象上至少存在一个点，该点关于x轴的对称点落在函数的图象上，则称函数，为关联函数，这两个点称为函数，的一对关联点．例如，函数与函数为关联函数，点和点是这两个函数的一对关联点．
（1）判断函数与函数是否为关联函数？若是，请直接写出一对关联点；若不是，请简要说明理由；
（2）若对于任意实数，函数与始终为关联函数，求的值；
（3）若函数与函数(，为常数)为关联函数，且只存在一对关联点，求的取值范围．
【答案】（1）函数与函数是关联函数，和或和是这两个函数的一对关联点
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据新定义，设和是这两个函数的一对关联点，分别代入解析式，列出方程组，解方程组即可求解．
（2）跟将新定义得出，根据与值无关得出，即可求解；
（3）设和是这对函数的关联点，只存在一对关联点，根据题意得出，则关于的方程，有两个相等的实数根，得出，代入代数式，根据二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：函数与函数是关联函数
依题意，设和是与函数这两个函数的一对关联点，
∴，
解得：或，
∴和或和是这两个函数的一对关联点；
【小问2详解】
解：∵对于任意实数，函数与始终为关联函数，
∴，
，
即，
∴，，
∴；
【小问3详解】
解：与函数(，为常数)为关联函数，且只存在一对关联点，
设和是这对函数的关联点，
∴，
即关于的方程，有两个相等的实数根，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了新定义，反比例函数与一次函数交点问题，轴对称的性质，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．平均数
众数
中位数
优秀率
79
84
76
说明：
①成绩等级分为：80分及以上为优秀，70∼79分为良好，60∼69分为合格，60以下为不合格；
②统计图中每小组包含最小值，不包含最大值．