第9章 中心对称图形（填空题中考经典常考题）-江苏省2023-2024学年下学期八年级数学单元培优专题练习（苏科版）

这是一份第9章 中心对称图形（填空题中考经典常考题）-江苏省2023-2024学年下学期八年级数学单元培优专题练习（苏科版），共21页。

二．三角形中位线定理（共3小题）
2．（2023•盐城）在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，BC＝10cm，则DE的长为 cm．
3．（2022•镇江）如图，在△ABC和△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，若DE＝1，则FG＝ ．
4．（2021•扬州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，连接CD，若CD＝5，BC＝8，则DE＝ ．
三．平行四边形的性质（共5小题）
5．（2022•苏州）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为 ．
6．（2022•淮安）如图，在▱ABCD中，CA⊥AB，若∠B＝50°，则∠CAD的度数是 ．
7．（2022•南京）如图，▱ABCD的顶点A，C分别在直线l1，l2上，l1∥l2，若∠1＝33°，∠B＝65°，则∠2＝ °．
8．（2021•扬州）如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则▱ABCD的面积为 ．
9．（2021•常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上．若BC＝3，则点A的坐标是 ．
四．菱形的性质（共2小题）
10．（2021•连云港）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E，AC＝8，BD＝6，则OE的长为 ．
11．（2021•苏州）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若DF＝，则对角线BD的长为 .（结果保留根号）
五．矩形的性质（共1小题）
12．（2021•徐州）如图，四边形ABCD与AEGF均为矩形，点E、F分别在线段AB、AD上．若BE＝FD＝2cm，矩形AEGF的周长为20cm，则图中阴影部分的面积为 cm2．
六．正方形的性质（共2小题）
13．（2022•无锡）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝ ．
14．（2022•南京）在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图所示，点A的坐标是（﹣1，0），点D的坐标是（﹣2，4），则点C的坐标是 ．
七．旋转的性质（共3小题）
15．（2023•泰州）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜75°），与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A′CD处，射线CA′与射线AB相交于点E．若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为 ．
16．（2022•无锡）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC＝20°，则∠BAF＝ °；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 ．
17．（2021•苏州）如图，射线OM，ON互相垂直，OA＝8，点B位于射线OM的上方，且在线段OA的垂直平分线l上，连接AB，AB＝5．将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，若点B′恰好落在射线ON上，则点A′到射线ON的距离d＝ ．
八．中心对称图形（共1小题）
18．（2022•无锡）数学中很多图形拥有对称之美，请你在所学习的几何图形中，写出一个既是中心对称图形又是轴对称图形的图形： ．
第9章 中心对称图形（填空题中考经典常考题）-江苏省2023-2024学年下学期八年级数学单元培优专题练习（苏科版）
参考答案与试题解析
一．直角三角形斜边上的中线（共1小题）
1．（2021•盐城）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，若CD＝2，则AB＝ 4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD为△ABC斜边AB上的中线，
∴CD＝AB，
∵CD＝2，
∴AB＝2CD＝4，
故答案为：4．
二．三角形中位线定理（共3小题）
2．（2023•盐城）在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，BC＝10cm，则DE的长为 5 cm．
【答案】5．
【解答】解：∵D，E分别为边AB，AC的中点，BC＝10cm，
∴DE＝BC＝5cm，
故答案为：5．
3．（2022•镇江）如图，在△ABC和△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，若DE＝1，则FG＝ 1 ．
【答案】1．
【解答】解：∵∠ADB＝90°，E是AB的中点，
∴AB＝2DE＝2，
∵F、G分别为AC、BC的中点，
∴FG是△ACB的中位线，
∴FG＝AB＝1，
故答案为：1．
4．（2021•扬州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，连接CD，若CD＝5，BC＝8，则DE＝ 3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，
∴DE∥AC，
∵点D是AB的中点，
∴E是BC的中点，AB＝2CD＝10，
∴AC＝2DE，
∵BC＝8，
∴AC＝＝＝6，
∴DE＝3．
故答案为3．
三．平行四边形的性质（共5小题）
5．（2022•苏州）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为 10 ．
【答案】10．
【解答】解：∵AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴EC＝EA，AF＝CF，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠B+∠ACB＝∠BAE+∠CAE＝90°，
∴∠B＝∠BAE，
∴AE＝BE，
∴AE＝CE＝BC＝2.5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，∠ACD＝∠BAC＝90°，
同理证得AF＝CF＝2.5，
∴四边形AECF的周长＝EC+EA+AF+CF＝10，
故答案为：10．
6．（2022•淮安）如图，在▱ABCD中，CA⊥AB，若∠B＝50°，则∠CAD的度数是 40° ．
【答案】40°．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，
∵CA⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∵∠B＝50°，
∴∠ACB＝90°﹣∠B＝40°，
∴∠CAD＝∠ACB＝40°，
故答案为：40°．
7．（2022•南京）如图，▱ABCD的顶点A，C分别在直线l1，l2上，l1∥l2，若∠1＝33°，∠B＝65°，则∠2＝ 32 °．
【答案】32．
【解答】解：过D作DE∥直线l1，
∴∠ADE＝∠1＝33°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠B＝65°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝65°﹣33°＝62°，
∵l1∥l2，
∴DE∥l2，
∴∠2＝∠CDE＝32°，
故答案为：32．
8．（2021•扬州）如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则▱ABCD的面积为 50 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，
∵∠EBC＝30°，BE＝10，
∴EF＝BE＝5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
又EC平分∠BED，即∠BEC＝∠DEC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴BE＝BC＝10，
∴平行四边形ABCD的面积＝BC×EF＝10×5＝50，
故答案为：50．
9．（2021•常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上．若BC＝3，则点A的坐标是 （3，0） ．
【答案】（3，0）．
【解答】解：∵四边形OABC是平行四边形，BC＝3，
∴OA＝BC＝3，
∵点A在x轴上，
∴点A的坐标为（3，0），
故答案为：（3，0）．
四．菱形的性质（共2小题）
10．（2021•连云港）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E，AC＝8，BD＝6，则OE的长为 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，
∵AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，DO＝3，
∴AD＝＝＝5，
又∵OE⊥AD，
∴，
∴，
解得OE＝，
故答案为：．
11．（2021•苏州）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若DF＝，则对角线BD的长为 .（结果保留根号）
【答案】2．
【解答】解：如图，连接AC交BD于点H，
由菱形的性质得∠BDC＝35°，∠DCE＝70°，
又∵∠MCE＝15°，
∴∠DCF＝55°，
∵DF⊥CM，
∴∠CDF＝35°，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠HDC＝35°，
在△CDH和△CDF中，
，
∴△CDH≌△CDF（AAS），
∴DF＝DH＝，
∴DB＝2，
故答案为2．
五．矩形的性质（共1小题）
12．（2021•徐州）如图，四边形ABCD与AEGF均为矩形，点E、F分别在线段AB、AD上．若BE＝FD＝2cm，矩形AEGF的周长为20cm，则图中阴影部分的面积为 24 cm2．
【答案】24．
【解答】解：∵矩形AEGF的周长为20cm，
∴AF+AE＝10cm，
∵AB＝AE+BE，AD＝AF+DF，BE＝FD＝2cm，
∴阴影部分的面积＝AB×AD﹣AE×AF＝（AE+2）（AF+2）﹣AE×AF＝24（cm2），
故答案为：24．
六．正方形的性质（共2小题）
13．（2022•无锡）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝ 1 ．
【答案】1．
【解答】解：连接AG，EG，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE＝4，
设CG＝x，则BG＝8﹣x，
在Rt△ABG和Rt△GCE中，根据勾股定理，得
AB2+BG2＝CE2+CG2，
即82+（8﹣x）2＝42+x2，
解得x＝7，
∴BG＝BC﹣CG＝8﹣7＝1．
故答案为：1．
14．（2022•南京）在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图所示，点A的坐标是（﹣1，0），点D的坐标是（﹣2，4），则点C的坐标是 （2，5） ．
【答案】（2，5）．
【解答】解：如图，作CE⊥y轴，DF⊥x轴于点F，CE与FD交于点E，
∵点A的坐标是（﹣1，0），点D的坐标是（﹣2，4），
∴OF＝2，AF＝2﹣1＝1，DF＝4，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD，∠ADC＝90°，
∵∠DEC＝∠AFD＝90°，
∴∠ADF+∠DAF＝90°＝∠ADF+∠CDE，
∴∠CDE＝∠DAF，
在△CDE和△DAF中，
，
∴△CDE≌△DAF（AAS），
∴CE＝DF＝4，DE＝AF＝1，
∴EF＝1+4＝5，
∴点C（2，5）．
故答案为：（2，5）．
七．旋转的性质（共3小题）
15．（2023•泰州）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜75°），与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A′CD处，射线CA′与射线AB相交于点E．若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为 22.5°或67.5°或45° ．
【答案】22.5°或67.5°或45°．
【解答】解：由折叠得：∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACA′，∠A＝∠DA′C＝30°，
分三种情况：
当A′D＝A′E时，如图：
∴∠A′DE＝∠A′ED＝（180°﹣∠A′）＝75°，
∵∠A′ED是△ACE的一个外角，
∴∠ACE＝∠A′ED﹣∠A＝45°，
∴∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACE＝22.5°；
当A′D＝A′E时，当△ADC和△A′DC位于射线AB的同侧时，如图：
∴∠A′DE＝∠A′ED＝∠CA′D＝15°，
∴∠ACA′＝180°﹣∠A﹣∠A′EA＝135°，
∴∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACA′＝67.5°；
当DA′＝DE时，
∴∠A′＝∠DEA′＝30°，
∵∠DEA′是△ACE的一个外角，
∴∠DEA′＞30°，
∴此种情况不成立；
当ED＝EA′时，如图：
∴∠EDA′＝∠A′＝30°，
∴∠DEA′＝180°﹣∠EDA′﹣∠A′＝120°，
∵∠A′ED是△ACE的一个外角，
∴∠ACE＝∠A′ED﹣∠A＝90°，
∴∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACE＝45°；
综上所述：若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为22.5°或67.5°或45°，
故答案为：22.5°或67.5°或45°．
16．（2022•无锡）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC＝20°，则∠BAF＝ 80 °；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 4﹣ ．
【答案】80，4﹣．
【解答】解：∵△ACB，△DEC都是等边三角形，
∴AC＝CB，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠DBC＝∠EAC＝20°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝80°．
如图1中，设BF交AC于点T．
同法可证△BCD≌△ACE，
∴∠CBD＝∠CAF，
∵∠BTC＝∠ATF，
∴∠BCT＝∠AFT＝60°，
∴点F在△ABC的外接圆上运动，当∠ABF最小时，AF的值最小，此时CD⊥BD，
∴BD＝＝＝4，
∴AE＝BD＝4，∠BDC＝∠AEC＝90°，
∵CD＝CE，CF＝CF，
∴Rt△CFD≌Rt△CFE（HL），
∴∠DCF＝∠ECF＝30°，
∴EF＝CE•tan30°＝，
∴AF的最小值＝AE﹣EF＝4﹣，
故答案为：80，4﹣．
17．（2021•苏州）如图，射线OM，ON互相垂直，OA＝8，点B位于射线OM的上方，且在线段OA的垂直平分线l上，连接AB，AB＝5．将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，若点B′恰好落在射线ON上，则点A′到射线ON的距离d＝ ．
【答案】．
【解答】解：设OA的垂直平分线与OA交于C，将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，C随之旋转到C'，
过A'作A'H⊥ON于H，过C'作C'D⊥ON于D，过A'作A'E⊥DC'于E，如图：
∵OA＝8，AB＝5，BC是OA的垂直平分线，
∴OB＝5，OC＝AC＝4，BC＝3，cs∠BOC＝＝，sin∠BOC＝＝，
∵线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，C随之旋转到C'，
∴B'C'＝BC＝3，A'C'＝AC＝4，∠BOC＝∠B'OC'，
∵∠B'C'D＝∠B'C'O﹣∠DC'O＝90°﹣∠DC'O＝∠B'OC'，
∴cs∠B'C'D＝，
Rt△B'C'D中，＝，即＝，
∴C'D＝，
∵AE∥ON，
∴∠B'OC'＝∠C'A'E，
∴sin∠C'AE＝sin∠B'OC'＝sin∠BOC＝，
Rt△A'C'E中，＝，即＝，
∴C'E＝，
∴DE＝C'D+C'E＝，
而A'H⊥ON，C'D⊥ON，A'E⊥DC'，
∴四边形A'EDH是矩形，
∴A'H＝DE，即A'到ON的距离是．
故答案为：．
方法二：过A作AC⊥OB于C，如图：
由旋转可知：点A′到射线ON的距离d＝AC，
∵OB•AC＝OA•BD，
∴AC＝＝．
八．中心对称图形（共1小题）
18．（2022•无锡）数学中很多图形拥有对称之美，请你在所学习的几何图形中，写出一个既是中心对称图形又是轴对称图形的图形： 正方形，矩形，菱形，圆（答案不唯一，写出一个即可）． ．
【答案】正方形，矩形，菱形，圆（答案不唯一，写出一个即可）．
【解答】解：既是中心对称图形又是轴对称图形的图形较多，比例：正方形，矩形，菱形，圆；
故答案为：正方形，矩形，菱形，圆（答案不唯一，写出一个即可）．
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