2024年中考数学压轴题之二次函数面积类问题（基础二）（解析）

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1．如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求△BCD的面积．
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点为A（1，4），
∴设抛物线的解析式y＝a（x﹣1）2+4，
把点B（0，3）代入得：a+4＝3，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）解：由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
令y＝0，则0＝﹣（x﹣1）2+4，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴C（﹣1，0），D（3，0）；
∴CD＝4，
∴S△BCD＝12CD×|yB|＝12×4×3＝6．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）已知顶点和抛物线上另一点，可代入解析式的顶点式即可求取；
（2）根据图象提示，三角形的高已知，三角形的底需要通过抛物线与x轴的交点求得，因此y=0求对应的两个x值，根据三角形的面积公式即可求取。
2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．请你求出四边形ABEC面积最大时，点E的坐标；
【答案】（1）解：∵OA＝2，OC＝6，
∴A（-2，0），C（0，-6），
将A、C点坐标代入y＝x2+bx+c，
∴c=−64−2b+c=0，
解得c=−6b=−1
∴抛物线的解析式为y＝x2-x-6
（2）解：连接BC，过点E作EF∥y轴交BC于点F，
当y＝0时，x2-x-6＝0，
解得x＝3或x＝-2，
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx-6，
∴3k-6＝0，
解得k＝2，
∴直线BC的解析式为y＝2x-6，
设E（t，t2-t-6），则F（t，2t-6），
∴EF＝2t-6-（t2-t-6）＝-t2+3t，
∴S△BCE＝12×3×（-t2+3t）＝-32t2+92t，
∵AB＝5，CO＝6，
∴S△ABC＝12×5×6＝15，
∴S四边形ABEC＝15-32t2+92t＝-32（t-32）2+1478，
当t＝32时，四边形ABEC面积最大，最大值为1478，
此时E（32，-214）；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据 A（-2，0），C（0，-6）的坐标，利用待定系数法，即可求得抛物线的解析式；
（2） 连接BC，过点E作EF∥y轴交BC于点F，设E（t，t2-t-6），则F（t，2t-6），S四边形ABEC＝S△ABC + S△BCE =- 32（t-32）2+1478， 进一步求得点E的坐标即可；
3． 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴负半轴交于点A（﹣3，0），与y轴正半轴交于点B（0，4）．
（1）求3a﹣b+c的值；
（2）若点C（5，4）在该抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②若直线y＝kx﹣2k（k≠0）一定经过点D，请判断四边形ABCD的形状， 并说明理由．
【答案】（1）解：把A（3，0）B(0，4)分别代入y＝ax2+bx+c得9a−3b+c=0c=4，
∴9a﹣3b＝﹣4，
∴3a﹣b＝﹣43，
∴3a﹣b+c＝﹣43+4＝83；
（2）解：①∵抛物线经过点B（0，4），C（5，4），
∴抛物线的对称轴为直线x＝52，
∵抛物线与x的一个交点A的坐标为（﹣3，0），
∴抛物线与x的另一个交点的坐标为（8，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣8），
把B（0，4）代入得4＝a×3×（﹣8），
解得a＝﹣16，
∴抛物线解析式为y＝﹣16（x+3）（x﹣8），
即y＝﹣16x2+56x+4；
②四边形ABCD为菱形．
理由如下：
∵y＝kx﹣2k，
∴（x﹣2）k＝y，
∵k为不等于0的任意数，
∴x﹣2＝0，y＝0，
解得x＝2，y＝0，
∴点D的坐标为（2，0），
∵DA＝2﹣（﹣3）＝5，BC＝5，
∴BC＝AD，
∵BC∥AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AB＝32+42＝5，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD为菱形．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据题意，把A（3，0）B(0，4)分别代入y＝ax2+bx+c得到方程组，解得3a-b与c的值，进而求解3a﹣b+c 的值；
（2） ① 利用点B和点C的坐标特征和抛物线的对称性求得对称轴为直线 x＝52， 进一步求得抛物线与x轴的另一个交点为 （8，0），设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣8）， 把点B坐标代入即可求解a的值； ② 先解方程得到点 D的坐标为（2，0）， 进一步得到 BC＝AD=5，结合已知条件可证明四边形ABCD为平行四边形，再利用勾股定理求得AB=5，得到AB＝AD，从而得到四边形ABCD为菱形．
4．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，顶点为D．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求△ABD的面积．
【答案】（1）解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，
0=0−b+c0=9+3b+c
解得：b=−2c=−3
∴y=x2-2x-3，
∴此二次函数的解析式为y=x2-2x-3．
（2）解：∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴点D的坐标为（1，-4），
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∴S△ABD=12×4×4=8
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将 A（-1，0）、B（3，0）两点 带入函数解析式，得到二次函数的一般式。
（2）将二次函数的解析式化为顶点式，得到顶点B的坐标，然后可求出 △ABD的面积。
5．如图，二次函数y＝ax2-4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（-4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP＝6，试求出点P的坐标．
【答案】（1）解：（1）把(0， 0)与(−4， 0)代入解析式 y＝ax2-4x+c，
得：c=016a+16=0，
解得：a=−1，c=0，
则抛物线解析式为y=−x2−4x.
（2）解：∵AO=4，S△AOP=6，
∴|yP纵坐标|=3，即yP纵坐标=3或yP纵坐标=−3，
把y=3代入抛物线解析式得：−x2−4x=3，
解得：x=−1或−3，此时P坐标为(−1， 3)，(−3， 3)；
把y=−3代入抛物线解析式得：−x2−4x=−3，
解得：x=−2+7或−2−7，此时P坐标为(−2+7， −3)，(−2−7， −3)．
综上所述：点P坐标为(−1， 3)，(−3， 3)或(−2+7， −3)，(−2−7， −3)．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）把(0， 0)与(−4， 0)代入解析式 y＝ax2-4x+c，计算求解即可；
（2）由AO=4，S△AOP=6，利用面积公式求出 |yP纵坐标|=3，即P纵坐标为3或-3，把y=3或y=-3代入抛物线解析式求出x的值，即可确定出P坐标．
6．抛物线的部分图象如图所示，抛物线图象顶点A(1，4)，与y轴、x轴分别交于点B和点C(3，0)，连接AB、AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=a(x−1)2+4，
把点C(3，0)代入得a(3−1)2+4=0，
解得a=−1，所以抛物线解析式为y=−(x−1)2+4；
（2）解：当x=0时，y=−(x−1)2+4=3，则点B的坐标为(0，3)，
作AD⊥y轴于点D，如图，
∵AD=1，OC=3，OD=4，OB=3，
∴S△ABC=S梯形ADOC−S△ABD−S△OBC
=12×(1+3)×4−12×1×1−12×3×3
=3．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为y=a(x−1)2+4，将点C的坐标代入即可求出a的值，进而即可求解；
（2）作AD⊥y轴于点D，根据已知信息求出点B的坐标，并得到AD、OC、OD和OB的长度，最后利用割补法得到：S△ABC=S梯形ADOC−S△ABD−S△OBC，即可求解.
7．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(−1，0)，B(3，0)两点，顶点为D．
（1）求此二次函数的解析式．
（2） 求△ABD的面积．
【答案】（1）解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(−1，0)，B(3，0)两点，
∴y=(x+1)(x−3)=x2−2x−3，
∴此二次函数的解析式为y=x2−2x−3．
（2）解：∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴点D的坐标为(1，−4)，
∴点D到AB的距离为4，
∵A(−1，0)，B(3，0)，
∴AB=4，
∴S△ABD=12×4×4=8．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据因式分解法求解二次函数的解析式，将点A和B的坐标代入函数，因式分解即可求出解析式；
（2）将二次函数化为顶点式，即可得顶点的坐标；根据两点的距离公式，可得AB的长；根据三角形的面积公式，可得三角形的面积.
8．如图所示，抛物线 y=ax2+bx+c与x轴交于A(-2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C.直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为(4，3).
（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；
（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA，PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值.
【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于 A(-2，0)，B(6，0)两点，
∴设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-6).
∵点D(4，3)在抛物线上，
∴3=a(4+2)×(4-6)，
解得a=-14.
∴抛物线的解析式为
y=-14(x+2)(x-6)=-14x2+x+3.
∵直线l经过A(-2，0)，D(4，3)，
设直线l的解析式为y=kx+m(k≠0)，
则−2k+m=0，4k+m=3，
解得k=12，m=1，
∴直线l的解析式为y=12x+1.
（2）解：如图所示，过点P作 PK∥y轴交AD于点K.
设P(m，-14m2+m+3)，则K(m，12m+1).
∵S△PAD=12·(xD-xA)·PK=3PK，
∴当PK的值最大时，△PAD的面积最大.
PK=-14m2+m+3-12m-1
=-14m2+12m+2
=-14(m-1)2+94，
∵-14