安徽省六安市金安区2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

这是一份安徽省六安市金安区2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y=3x−2B．y=1x2
C．y=x2+1D．y=(x−1)2−x2
2．sin30°的值为（ ）
A．12B．32C．33D．14
3．在双曲线y= k−7x 的每一支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k>0B．k>7C．k<7D．k<0
4．二次函数 y=4x2−x+1 的图象与 x 轴的交点个数是（ ）
A．1个B．2个C．0个D．无法确定
5．下列各组线段中，成比例的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm，5cmB．2cm，4cm，6cm，8cm
C．3cm，6cm，8cm，12cmD．1cm，3cm，5cm，15cm
6．在 Rt△ABC 中， ∠C=90°，BC=3，AC=2 ，则 sinA 的值为（ ）
A．32B．23C．21313D．31313
7．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中共有相似三角形（ ）
A．4对B．5对C．6对D．7对
8．如图，传送带和地面所成斜坡 AB 的坡度为1∶2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为（ ）
A．5米B．5 米C．25 米D．45 米
9．如图，直线 l1//l2//l3 ，直线 AC 分别交 l1 ， l1 ， l3 于点 A ， B ， C ；直线 DF 分别交 l1 ， l1 ， l3 于点 D ， E ， F ．若 BCAB=23 ，则 DEDF 的值为（ ）
A．32B．23C．35D．25
10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→C向点C运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C向点C运动，直到它们都到达点C为止．若△APQ的面积为S（cm2），点P的运动时间为t（s），则S与t的函数图象是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
11．抛物线 y=−3(x−2)2−2 的顶点坐标为 .
12．已知：点P是线段MN的黄金分割点，(PM>PN),MN=4cm,则MP= .
13．如图， AB//DE ， AE 与 BD 相交于点 C ．若 AC＝4 ， BC＝2 ， CD＝1 ，则 CE 的长为 ．
14．如图，在矩形ABCD中，AC是矩形ABCD的对角线，并且AC平分∠DAE，AC＝12cm，AD＝9cm，动点P从点E出发，沿EA方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜6），则当t＝ 时，△PQA为等腰三角形．
三、解答题
15．计算： (12)−2−(π−2020)0−|12−3|+2cs30° ．
16．已知抛物线 y=−3x2+12x−8 ．
（1）用配方法求出它的对称轴和顶点坐标；
（2）求出它与y轴的交点坐标．
17．如图，在 ΔABC 与 ΔADE 中， ABAD=ACAE ，且 ∠EAC=∠DAB .
求证： ΔABC∼ΔADE .
18．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点．
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）若点C的坐标为（2，4），则点A′的坐标为（ ， ），点C′的坐标为（ ， ），S△A′B′C′：S△ABC= ．
19．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾xm，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，求出x的最小值．
20．图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长 AB=25cm ， AB与墙壁 DD' 的夹角 ∠D'AB=37° ，喷出的水流BC与AB形成的夹角 ∠ABC=72° ，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使 DE=50cm, CE=130cm. 问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？
（参考数据： sin37°≈0.60, cs37°≈0.80, tan37°≈0.75, sin72°≈0.95, cs72°≈0.31, tan72°≈3.08, sin35°≈0.57, cs35°≈0.82, tan35°≈0.70 ）．
21．如图，抛物线 y=ax2+bx+4 与x轴交于 A(−1,0) 和点 B(4,0) ．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）以AB为边向上作矩形ABCD，边CD与抛物线交于点M，N，若 MN=2 ，求矩形ABCD的周长．
22． 2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度.某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系式为 p=25x+4(0（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？
（销售额=销售量×销售价格）
23．如图
（1）如图1，在 △ABC 中，D为AB上一点， ∠ACD=∠B ．求证： AC2=AD⋅AB ；
（2）如图2，在□ABCD 中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点， ∠BFE=∠A ．若 BF=5 ， BE=4 ，求AD的长．
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是 △ABC 内一点， EF//AC ， AC=2EF ， ∠EDF=12∠BAD ， AE=2 ， AD=5 ，求DF的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】A. y=3x−2 是一次函数，故A不符合题意；
B. y=1x2=x−2 不是二次函数，故B不符合题意；
C. y=x2+1 是二次函数，故C符合题意；
D. y=(x−1)2−x2=−2x+1 是一次函数，故D不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的概念即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：sin30°＝ 12 ，
故答案为：A．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值写出答案即可.
3．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数每一支图象上，y随x的增大而减小
∴k-7＞0
∴k＞7
故答案为：B.
【分析】根据题意，由反比例函数图象和性质，即可得到k-7的值大于0，求出k即可。
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵△=b2-4ac=（-1）2-4×4×1=-15＜0，
∴方程 4x2−x+1=0 无解，
∴二次函数 y=4x2−x+1 的图象与 x 轴无交点，即0个交点，
故答案为：C．
【分析】要判断二次函数4x2−x+1的图象与x轴的交点个数，只需要判定方程4x2−x+1=0的根的情况即可。
5．【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、∵2×5≠3×4，∴选项A不成比例；
B、∵2×8≠4×6，∴选项B不成比例；
C、∵3×12≠6×8，∴选项C不成比例；
D、∵1×15＝3×5，∴选项D成比例.
故答案为：D
【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论.
6．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】在 Rt△ABC 中，由勾股定理可得，
AB=AC2+BC2=13 ，
∴sinA=BCAB=313=31313 ；
故答案为：D．
【分析】画出Rt△ABC，利用勾股定理求出斜边AB的长，再根据正弦值等于斜边求出A的正弦值。
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AE∥DF
∴△ABG∽△ECG，△ECG∽△BFH，△FBH∽△DCH，
△DCH∽△CEG，△ABG∽△FBH，△ABG∽△DCH．
∴共6对
故答案为：C.
【分析】根据平行于三角形的一边与另两边相交成的三角形与原三角形相似，则图中△BFH、△ABG、△ECG、△DCH任意两个三角形都相似。
8．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】作 BC⊥ 底面于点C，
设 BC=x ，
∵传送带和底面所成斜坡AB的坡度为1∶2，
∴AC=2x ，
由勾股定理得： AC2+BC2=AB2 ，即 (2x)2+x2=102 ，
解得： x=25 ，
即 BC=25 ．
故答案为：C．
【分析】作 BC⊥ 底面于点C，根据坡度的概念，勾股定理列式计算即可。
9．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1//l2//l3 ，∴EFDE=BCAB=23 ，
∴EF+DEDE=2+33 ，
∴DFDE=53 ，
∴DEDF=35 ．
故答案为：C．
【分析】先根据平行线分线段成比例定理得出EFDE=BCAB=23在利用比例的性质由EF+DEDE=2+33，从而得出DEDF 的值。
10．【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：①当 0⩽t⩽52 时，点 Q 在 AB 上，
∴AQ=2t ， AP=t ，
过 Q 作 QD⊥AC 交 AC 于点 D ，
∵RtΔABC 中， ∠C=90° ， AB=5cm ， AC=4cm ，
∴BC=3cm ，
∴ QDBC=AQBC ，
∴QD=65t ，
SΔAPQ=12×AP×QD=12×t×65t=35t2 ，
②当 52SΔAPQ=SΔABC−SΔCPQ−SΔABQ=12×3×4−12×(4−t)×(8−2t)−12×4×(2t−5)=−t2+4t=−(t−2)2+4 ，
综上所述，正确的图象是 D ．
故答案为：D．
【分析】分两种情况：①当 0⩽t⩽52 时，过 Q 作 QD⊥AC 交 AC 于点 D ，SΔAPQ=12×AP×QD ，②当 5211．【答案】（2，-2）
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵y=−3(x−2)2−2 ，
∴抛物线顶点坐标为（2，-2）.
故答案为：（2，-2）.
【分析】抛物线y=a(x−ℎ)2+k(a≠0)的顶点坐标为（h,k），据此解答即可.
12．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】设PM=x,
x4=4−xx ,
解得，x= −2±25 ,x取正，
∴ x= 25−2 .
【分析】根据黄金分割的性质：线段上的一点将线段分割成的较短线段与较长线段的比等于较长线段与整个线段的比即可列出方程，求解并检验即可。
13．【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】 ∵AB∥DE， ，
∴△ABC∽△EDC ，
∴ACCE=CBCD ，即 4CE=21 ，
∴CE=2 ．
故答案为：2．
【分析】先证明△ABC∽△EDC ，在利用相似比计算CE的长即可。
14．【答案】4或5
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AC＝12cm，AD＝9cm，
∴AD＝BC＝12cm，AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴AB＝ AC2−BC2=37 ，
∵AC平分∠DAE，
∴∠DAC＝∠CAE，
∵AD∥BC，
∴∠ACE＝∠DAC＝∠CAE．
∴EA＝EC，
设EA＝EC＝xcm，则BE＝9﹣x（cm），
∵AE2＝BE2＝AB2，
∴x2−(9−x)2=(37)2 ，
解得，x＝8，
∴AE＝EC＝8cm，
由题意知，PE＝tcm，CQ＝2tcm，则AP＝8﹣t（cm），AQ＝12﹣2t（cm），
当AP＝AQ时，有8﹣t＝12﹣2t，解得t＝4；
当PA＝PQ时，∠PAQ＝∠AQP＝∠ACB，
∴PQ∥CE，
∴APAE=AQAC ，即 8−t8=12−2t12 ，
解得，t＝0（舍去）；
当QP＝QA时，∠QPA＝∠QAP＝∠ECA，
∵∠PAQ＝∠CAE，
∴△APQ∽△ACE，
∴APAC=AQAE ，即 8−t12=12−2t8 ，
解得，t＝5．
综上，当t＝4秒或5秒时，△PQA为等腰三角形．
故答案为：4或5．
【分析】先证明EA＝EC，设EA＝EC＝xcm，则BE＝9﹣x（cm），由勾股定理列出x的方程，求得x，再分三种情况：当AP＝AQ时，当PA＝PQ时，当QP＝QA时，借助比例线段列出t的方程，求得t即可。
15．【答案】解： (12)−2−(π−2020)0−|12−3|+2cs30°
=4-1-2 3 +3+ 3
=6- 3 ．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先利用负指数幂和零指数幂以及特殊角的三角函数值化简，再去绝对值，最后利用实数的加减法计算即可。
16．【答案】（1）解：∵y=−3x2+12x−8=−3(x2−4x)−8=−3(x−2)2+12−8=−3(x−2)2+4 ．
∴函数 y=−3x2+12x−8 的对称轴为直线 x=2 ，顶点坐标为 (2，4) ；
（2）解：令 x=0 ，则 y=−8 ，
∴函数 y=−3x2+12x−8 与y轴的交点坐标为 (0，−8) ；
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）利用配方法将一般式化为顶点式，根据顶点式的特征即可求出对称轴及顶点坐标；
（2）将x=0代入抛物线解析式即可求出与y轴的交点坐标。
17．【答案】证明：∵∠EAC=∠DAB ，
∴∠EAC+∠BAE=∠DAB+∠BAE ，
即 ∠DAE=∠BAC ，
又 ABAD=ACAE ，
∴ΔABC∼ΔADE ．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先证得 ∠DAE=∠BAC ，利用有两条对应边的比相等，且其夹角相等，即可判定两个三角形相似．
18．【答案】（1）解：由图可得A(-2，0)，B(4，0)，C(2，4)，则A’(-1，0)，B’(2，0)，C’(1，2)，
如图所示：△A′B′C′即为所求；
（2）﹣1；0；1；2；1：4
【知识点】点的坐标；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（2）A′（﹣1，0），C′（1，2），
S△A′B′C′：S△ABC=1：4．
故答案为﹣1，0；1，2；1：4．
【分析】（1）利用△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2，进而将对应点坐标乘以二分之一即可得出答案；
（2）利用所花的图形得出对应点坐标进而利用相似三角形的性质得出面积比。
19．【答案】解：如图，由题可得CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴ODOB ＝ CDAB ，即 x20+10+x ＝ 0.83.2 ，
解得x＝10，
∴x的最小值为10．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】先证明△OCD∽△OAB，再根据相似三角形的性质得到 ODOB ＝ CDAB ，从而求得x的最小值．
20．【答案】解：过点B作 BG⊥D'D 于点G，延长EC、GB交于点F，
∵AB=25 ， DE=50 ，
∴sin37°=GBAB ， cs37°=GAAB ，
∴GB≈25×0.60=15 ， GA≈25×0.80=20 ，
∴BF=50−15=35 ，
∵∠ABC=72° ， ∠D'AB=37° ，
∴∠GBA=53° ，
∴∠CBF=55° ，
∴∠BCF=35° ，
∵tan35°=BFCF ，
∴CF≈350.70=50 ，
∴FE=50+130=180 ，
∴GD=FE=180 ，
∴AD=180−20=160 ，
∴安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】根据解直角三角形，可利用三角函数，求出AC的大小。
21．【答案】（1）解：抛物线 y=ax2+bx+4 与x轴交于 A(−1,0) 和点 B(4,0) ，
∴a−b+4=016a+4b+4=0 ，
解得： a=−1b=3 ，
∴y=−x2+3x+4 ．
（2）解：∵抛物线的对称轴为：直线 x=−1+42=32
又 MN=2 ，∴xM=12 ，
将 xM=12 代入抛物线的表达式 y=−x2+3x+4 ，得： yM=214 ，
∴M点坐标为 (12,214) ，D点坐标为 (−1,214) ，
∴ DM=214
又∵AB=5 ，
∴矩形ABCD的周长为 CABCD=2×(5+214)=412 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标代入函数解析式，建立关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，即可得到函数解析式。
（2）利用函数解析式求出抛物线的对称轴，根据MN的长，可求出点M，D的坐标，可得到DM，CN的长，由此可求出AB的长；然后利用矩形的面积公式可求解。
22．【答案】（1）解：当 0b1=8020k1+b1=40 解得： k1=−2b1=80
∴y=−2x+80(0当 2020k2+b2=4030k2+b2=80 解得： k2=4b2=−40
∴y=4x−40(20综上， y=−2x+80(0（2）解：设当月该农产品的销售额为w元，则 w=yp .
当 0w=(−2x+80)(25x+4)=−45x2+24x+320=−45(x−15)2+500
∵−45<0 ，由二次函数的性质可知：
∴当 x=15 时， w最大=500
当 20w=(4x−40)(−15x+12)=−45x2+56x−480=−45(x−35)2+500
∵−45<0,20当 x=30 时， w最大=−45(30−35)2+500=480
∵500>480
∴当 x=15 时，w取得最大值，该最大值为500.
答：当月第15天，该产品的销售额最大，最大销售额是500元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）分为 023．【答案】（1）证明：∵∠ACD=∠B ， ∠A=∠A ，
∴△ADC∼△ACB ，
∴ADAC=ACAB ，
∴AC2=AD⋅AB ．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC， ∠A=∠C ，
又∵∠FBE=∠A ，
∴∠BFE=∠C ，
又∵∠FBE=∠CBF ，
∴△BFE∼△BCF ，
∴BFBC=BEBF ，
∴BF2=BE·BC ，
∴BC=BF2BE=524=254 ，
∴AD=254 ；
（3）解：延长EF交DC延长线于G，
∵AC∥EF，
∴AC∥EG，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DG， ∠DAC=∠CAE ，
∴四边形AEGC是平行四边形，
∴AE=CG=2 ， AC=EG ，AC∥EG， ∠CAE=∠EGC ，
∵∠EDF=12∠BAD=∠DAC=∠CAB ，
∴∠EDF=∠EGC ，
又∵∠DEF=∠DEG ，
∴△DEF∼△DEG ，
∴DEEG=EFDE=DFDG ，
∴DE2=EG·EF ，
又∵DC=AD=5 ， AE=CG=2 ，
∴DG=7 ，
令 AC=EG=5a ，
又∵EF=12AC ，
∴EF=FG=52a ，
∵DE2=EG·EF ，
∴DE2=5a×52a=252a2 ，
∴DE=522a ，
又∵DEEG=DFDG ，
即 522a5a=DF7 ，
∴DF=722 ．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）证明△ADC∼△ACB ，得出ADAC=ACAB ，则可得出结论；
（2）证明△BFE∼△BCF ，得出比例线段BFBC=BEBF ，则BF2=BE·BC ，求出BC，则可求出AD；
（3）延长EF交DC延长线于G，证得四边形AEGC是平行四边形，得出 AE=CG=2 ， AC=EG ，AC∥EG， ∠CAE=∠EGC ，证明△DEF∼△DEG ，得出比例线段DEEG=DFDG ，即可得出DF的值。