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压轴题01一次函数大题提升训练（八大类型）-2023年中考数学压轴题专项训练（全国通用）（解析版）
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这是一份压轴题01一次函数大题提升训练（八大类型）-2023年中考数学压轴题专项训练（全国通用）（解析版），共64页。试卷主要包含了已知一次函数y=x+m+1；，之间的函数图象如图所示，之间的关系如图所示等内容，欢迎下载使用。
题型一：一次函数性质推理计算问题
例1．（2022·浙江杭州·校考一模）已知一次函数y=(1−2m)x+m+1；
(1)若一次函数图象经过点P(2，0)，求m的值；
(2)若一次函数的图象经过第一、二、三象限；
①求m的取值范围；
②若点M(a−1,y1),N(a，y2)，在该一次函数的图象上，比较y1和y2大小．
【答案】(1)1
(2)①−1【分析】（1）根据一次函数y=(1−2m)x+m+1图象经过点P(2，0)，可以求得m的值；
（2）①根据一次函数y=(1−2m)x+m+1的图象经过第一、二、三象限，得到关于m的不等式组，从而求得m的取值范围；②根据一次函数y=(1−2m)x+m+1的图象经过第一、二、三象限得出1−2m>0，再根据一次函数的性质，可以判断y1和y2的大小关系．
【详解】（1）解：∵一次函数y=(1−2m)x+m+1的图象经过点P(2，0)，
∴0=(1−2m)×2+m+1，
解得，m=1，
即m的值是1；
（2）①∵一次函数y=(1−2m)x+m+1的图象经过第一、二、三象限，
∴1−2m>0m+1>0，
解得：−1②∵一次函数y=(1−2m)x+m+1的图象经过第一、二、三象限，
∴1−2m>0，
∴该函数y随x的增大而增大，
∵点M(a−1,y1),N(a，y2)在该一次函数的图象上，a−1∴y1【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的增减性，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
题型二：一次函数的应用——行程问题
例2．（2023·吉林长春·统考一模）甲乙两人相约一起去登山，登山过程中，甲先爬了100米、乙才开始追赶甲．甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）x≥0之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题：
(1)甲登山的速度是每分钟______米；
(2)若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，请求出乙提速后距离地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系，并写出相应自变量取值范围；
(3)直接写出甲乙相遇后，甲再经过多长时间与乙相距30米？
【答案】(1)10
(2)y=30x−30，2≤x≤11
(3)1.5分钟或10.5分钟
【分析】（1）根据图象可得：甲从100米到300米用时20分钟，代入速度公式即可求得；
（2）根据甲的速度求出乙的速度，设出函数表达式，并将点A坐标代入即可求得；
（3）分类讨论：①都未到达终点时，用乙的表达式减去甲的表达式，并令函数值为30，解方程即可，②乙到达终点后，甲距离终点30米，令表达式y=270，解方程即可．
【详解】（1）解：由图象可得：甲从100米到300米用时20分钟，
所以，甲的速度=300−10020=10米/分钟．
（2）解：由（1）得：甲的速度为10米/分钟，
∴乙的速度为30米/分钟，
设函数表达式为：y=30x+b，
将A2,30代入表达式可得：b=−30，
∴ y=30x−30，
当y=300时，解得x=11，
∴ 2≤x≤11．
（3）解：由图象可得：甲的表达式为：y=10x+100，
联立y=30x−30y=10x+100
解得：x=6.5
①甲乙相遇后，乙在前，甲在后，
∴ s=30x−30−10x+100=20x−130，
令s=30，解得：x=8，
8−6.5=1.5
故再经过1.5分钟与乙相距30米．
②当乙到达终点，甲距离目的地还有30米时，
即：10x+100=270，
解得x=17，
17−6.5=10.5，
故再经过10.5分钟与乙相距30米．
综上，故再经过1.5分钟或10.5分钟与乙相距30米．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，从图象中准确提取数据是解题关键．
题型三: 一次函数的应用——最大利润问题
例3．（2023·广西玉林·统考一模）随着网络的高速发展，世界各国在线教育用户规模不断增大，网络教师小李抓住时机，开始组建团队，制作面向A、B两个不同需求学生群体的微课视频．已知制作2个A类微课和3个B类微课需要2900元成本，制作3个A类微课和4个B类微课需要4100元成本．李老师又把做好的微课出售给某视频播放网站，每个A类微课售价1500元，每个B类微课售价1000元，该团队每天可以制作1个A类微课或者1．5个B类微课，且团队每月制作的B类微课数不少于A类微课数的2倍（注：每月制作的A、B两类微课的个数均为整数）．假设团队每月有22天制作微课，其中制作A类微课a天，制作A、B两类微课的月利润为w元．
(1)求团队制作一个A类微课和一个B类微课的成本分别是多少元？
(2)求w与a之间的函数关系式，并写出a的取值范围，并求当每月制作A类微课多少个时，该团队月利润w最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)团队制作一个A类微课和一个B类微课的成本分别是700元、500元；
(2)w=50a+165000【分析】（1）设团队制作一个A类微课的成本为x元，制作一个B类微课的成本为y元，由题意得2x+3y=29003x+4y=4100，然后求解即可；
（2）由（1）及题意可直接进行求得w与a之间的函数关系式，结合一次函数的性质可直接进行求解．
【详解】（1）解：设团队制作一个A类微课的成本为x元，制作一个B类微课的成本为y元，
由题意得：2x+3y=29003x+4y=4100，
解得：x=700y=500；
答：团队制作一个A类微课和一个B类微课的成本分别是700元、500元；
（2）解：由题意得制作B类微课22−a天，则有：
w=1500−700a+1.5×1000−50022−a=50a+16500，
∵团队每月制作的B类微课数不少于A类微课数的2倍，
∴1.522−a≥2a，且a>0，
解得：0∴w=50a+165000∵50>0，
∴w随a的增大而增大，
∵每月制作的A、B两类微课的个数均为整数，
∴22−a为偶数，
∴当a=8时，w取最大，最大值为W=50×8+16500=16900；
答：w=50a+165000【点睛】本题主要考查一次函数、一元一次不等式及二元一次方程组的应用，熟练掌握一次函数、一元一次不等式及二元一次方程组的应用是解题的关键．
题型四：一次函数的应用——方案设计问题
例4．（2023·河南许昌·统考一模）为弘扬爱国精神，传承民族文化，某校组织了“诗词里的中国”主题比赛，计划去某超市购买A，B两种奖品共300个，A种奖品每个20元，B种奖品每个15元，该超市对同时购买这两种奖品的顾客有两种销售方案（只能选择其中一种）．
方案一：A种奖品每个打九折，B种奖品每个打六折．
方案二：A，B两种奖品均打八折．
设购买A种奖品x个，选择方案一的购买费用为y1元，选择方案二的购买费用为y2元．
(1)请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式．
(2)请你计算该校选择哪种方案支付的费用较少．
【答案】(1)y1=9x+2700，y2=4x+3600
(2)购买A种奖品超过180个时，方案二支付费用少；购买A种奖品180个时，方案一和方案二支付费用一样多；购买A种奖品少于180个时，方案一支付费用少
【分析】（1）根据总费用=A，B两种奖品费用之和列出y1、y2关于x的函数关系式；
（2）根据（1）中关系式分三种情况讨论即可．
【详解】（1）由题意得：y1=20×0.9x+15×0.6×(300−x)=9x+2700；
y2=20×0.8x+15×0.8×(300−x)=4x+3600，
∴y1与x之间的函数关系式为y1=9x+2700，y2与x之间的函数关系式为y2=4x+3600；
（2）当y1>y2时，9x+2700>4x+3600，
解得x>180，
∴购买A种奖品超过180个时，方案二支付费用少；
当y1=y2时，9x+2700=4x+3600，
解得x=180，
∴购买A种奖品180个时，方案一和方案二支付费用一样多；
当y1解得x<180，
∴购买A种奖品少于180个时，方案一支付费用少．
【点睛】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出函数解析式．
题型五: 一次函数的应用——分段讨论问题
例5．（2023·陕西西安·校考一模）甲网店对某款水果推出试吃活动：5千克及以内为试吃价，超出5千克的部分恢复原价．邮费都为20元，总价y（单位：元）与购买水果质量x（单位：千克）之间的函数图象如图所示．线下乙店的同款水果售价为每千克8元．
(1)求总价y与购买水果质量x之间的函数表达式；
(2)购买该款水果的质量在什么范围时，在甲店购买比在乙店购买省钱?
【答案】(1)甲网店总价y与购买水果质量x之间的函数关系式为y=2x+200≤x≤510x−20x>5；线下乙店的总价y与购买水果质量x之间的函数关系式为y=8x
(2)当103【分析】（1）根据图象求解即可；
（2）分两种情况进行讨论，当0≤x≤5时，当x>5时，根据甲网店比乙网店更省钱列一元一次不等式，求解即可．
【详解】（1）根据图象可知，甲网店水果的试吃价为每千克30−20÷5=2元，
甲网店水果原价为每千克60−30÷8−5=10元，
∴甲网店总价y与购买水果质量x之间的函数关系式为y=2x+200≤x≤510x−20x>5；
线下乙店的总价y与购买水果质量x之间的函数关系式为y=8x；
（2）当0≤x≤5时，2x+20<8x，
解得x>103，
∴103当x>5时，10x−20<8x，
解得x<10，
∴5综上，当103【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意建立函数关系是解题的关键．
题型六：一次函数与几何综合问题
例6．（2023·河北唐山·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线l1过点A6,0，点B2,4，直线l2：y=kx−1与x轴交于点C．
(1)求直线l1的函数表达式．
(2)若直线l2过点B．
①求S△ABC的值．
②若点Pm,12m+1在△ABC内部，求m的取值范围．
(3)直线x=5与直线l1和直线l2分别交于点M、N，当线段MN的长不大于4时，求k的取值范围．
【答案】(1)y=−x+6
(2)①565；②1(3)−25≤k≤65
【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）①把点B坐标代入y=kx−1，求得k的值，得l2的解析式，再求出点C坐标，最后根据三角形面积公式可求解；②求得点P在直线y=12x+1上，再分别与直线l1和直线l2联立，求出方程组的解即可确定m的取值；
（3）分点N在点M的上方和下方两种情况求出k的最大值和最小值即可得出k的取值范围．
【详解】（1）设直线l1的函数表达式为y=ax+b．
∵直线l1经过点A6,0和点B2,4，
∴0=6a+b4=2a+b，解得a=−1b=6，
∴直线l1的函数表达式为y=−x+6．
（2）①∵直线l2经过点B2,4，
∴4=2k−1，
∴k=52．
∴直线l2的表达式为y=52x−1．
当y=0时，0=52x−1，x=25，
∴C25,0．
∴S△ABC=12AC⋅yB=12×6−25×4=565．
②∵点Pm,12m+1，
∴点P在直线y=12x+1上．
∴y=−x+6y=12x+1，
解得x=103y=83；
y=52x−1y=12x+1，
解得x=1y=32．
∵点P在△ABC的内部，
∴1（3）①点N在点M的上方，
∵点M在直线l1上，
∴M5,1，MN=4，
∴N5,5．
又∵点N在直线l2上，
∴5=5k−1，
∴k=65．
②点N在点M的下方，N5,−3．
∵点N在直线l2上，
∴−3=5k−1，
∴k=−25．
∴−25≤k≤65
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次方程（组）的解法，考查了分类讨论思想．第（3）题题要注意分类讨论的目的性．
题型七: 一次函数与几何动点问题
例7．（2023·天津西青·统考一模）在平面直角坐标系中，O为原点，△DOE是等腰直角三角形，∠ODE=90°，DO=DE=3，点D在x轴的负半轴上，点E在第二象限，矩形ABCO的顶点B4,2，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上．将△DOE沿x轴向右平移，得到△D'O'E'，点D，O，E的对应点分别为D'，O'，E'．
(1)如图1，当E'O'经过点A时，求点E'的坐标；
(2)设OO'=t，△D'O'E'与矩形ABCO重叠部分的面积为S；
①如图②，当△D'O'E'与矩形ABCO重叠部分为五边形时，D'E'与AB相交于点M，E'O'分别与AB，BC交于点N，P，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②请直接写出满足S=72的所有t的值．
【答案】(1)E'−1,3
(2)①S=−12t2+4t−44【分析】（1）先求出直线OE的解析式，利用平移后O'E'过点A，求出O'E'的解析式，进而求出O'的坐标，得到平移距离，即可求解；
（2）①用S=S矩形OABC−S矩形OD'MA−S△BPN进行求解即可，当O'与点C重合，再移动直至直线O'E'过点B之前时，重叠部分为五边形，求出t的范围即可；②分0【详解】（1）解：∵△DOE是等腰直角三角形，∠ODE=90°，DO=DE=3，
∴D−3,0，E−3,3，
矩形ABCO的顶点B4,2，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，
∴A0,2,C4,0，
设直线OE的解析式为：y=kx，
则：3=−3k，
∴k=−1，
∴y=−x，
设平移后O'E'的解析式为：y=−x+b，
∵直线O'E'过点A，
∴b=2，
∴y=−x+2，
当x=0时，y=2，
∴O'2,0，
∴OO'=2，
∴△DOE沿x轴向右平移了2个单位，
∴E'−1,3；
（2）解：①由题意，得：DD'=OO'=t，O'D'=OD=3，AB=OC=4，AO=BC=2，∠D'O'E'=45°
∴OD'=t−3，CP=CO'=OO'−OC=t−4, ∠BPN=45°，BP=BN=BC−CP=2−t−4=6−t，
∴S=S矩形OABC−S矩形OD'MA−S△BPN
=4×2−2t−3−126−t2
=−12t2+4t−4；
如图，当O'与点C重合，再移动直至直线O'E'过点B之前时，重叠部分为五边形，
∴当O'与点C重合时，t=4，
∵直线O'E'的解析式为：y=−x+b，当直线O'E'过点B4,2时，
∴2=−4+b，
∴b=6，
∴y=−x+6，
当y=0时，x=6，此时O'6,0，
∴t=OO'=6，
∴4②当0∴S=12O'O2=12t2，
当S=72时，12t2=72，解得：t=±7，
∵0当2∵∠OO'H=45°，∠HOO'=90°，
∴OH=OO'=t，
∵AG∥OO'，
∴∠AGH=∠OO'H=45°，
∴AG=AH=OH−OA=t−2，
∴S=S△OO'H−S△AGH=12t2−12t−22=2t−2，
当S=72时，2t−2=72，解得：t=114；
当3此时：HE'=HG=D'E'−D'H=3−2=1，
∴S=S△DO'E'−S△E'GH=12×3×3−12×1×1=4≠72；
当4当S=72时，−12t2+4t−4=72，解得：t=4±31（不符合题意，舍去）；
当6≤t<7时，重叠部分为矩形D'CBH，如图：
D'C=OC−O'D=OC−OO'−O'D'=4−t−3=7−t，
∴S=27−t=14−2t，
当S=72时，14−2t=72，解得：t=214（不合题意，舍掉）；
综上，t=114．
【点睛】本题考查坐标与平移，一次函数的综合应用，等腰三角形性质，矩形的性质．属于中考压轴题，确定动点的位置，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
题型八：一次函数与新定义问题
例8．（2023·北京·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点Ma,b，对于点Px,y给出如下定义：将点P向右（a>0）或向左（a<0）平移a个单位长度，再向上（b>0）或向下（b<0）平移b个单位长度，得到点P'，点P'与点M的中点为Q，称点Q为点P的关于点M的“平移中点”．【已知Ax1,y1，Bx2,y2，则AB中点坐标为x1+x22,y1+y22】
(1)①若A3,2，B1,0，则AB中点坐标为______；
②若M2,1，P2,4，则点Q的坐标为______
(2)已知M1,1，点P在直线l：y=3x上．当点Q在第一象限时，点P横坐标t取值范围是______
(3)已知正方形ABCD的边长为2，各边与x轴平行或者垂直，其中心为5,5，点Px,y为正方形ABCD上的动点
①当a=b=0时，在点P运动过程中，点Q形成的图形的面积是______
②当点Ma,b在直线：y=3x上，在点P运动过程中，若存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部，则a的取值范围是______．
【答案】(1)① 2,1 ② 3,3
(2)t>−1
(3)①1 ② 56≤a≤76
【分析】（1）①根据中点坐标公式即可求解；②根据定义可求P'的坐标，再由中点坐标公式求出Q的坐标．
（2）根据题意可得P't+1,2t+1，再根据“平移中点”的定义，可得Q1+t2,t+1，再由点Q在第一象限，可得到关于t的不等式组，即可求解．
（3）①根据“平移中点”的定义，可得Qx2,y2，从而得到Q点形成的正方形边长为1，即可求解；②根据题意可得Qa+x2,3a+y2，从而得到3≤x≤5，3≤y≤5，再求出临界值，即可求解．
【详解】（1）解：①解： ∵ A3,2,B1，0
∴ AB中点坐标公式为3+12，2+02，即2，1
故答案为：2，1
②解：∵ P2，4向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到P'4，5
∴ P'4，5与M2，1的中点坐标为Q4+22，1+52，即3，3
故答案为：3，3
（2）解：∵点P在直线l：y=3x上，M1,1，
∴P't+1,2t+1，
∴Q1+t2,t+1，
∵点Q在第一象限，
∴1+t2>0t+1>0，
∴t>−1
（3）解：①：当a=b=0时，M0,0
∵ Px,y
∴ P'x,y
∴Qx2,y2
∵ P点在正方形ABCD上
∴Q点的运动形成的图形也是正方形
∵正方形ABCD的边长为2
∴Q点形成的正方形边长为1
∴点Q形成的图形的面积是1
故答案为：1
②解：∵点Ma，b在直线：y=3x上
∴ Ma,3a
∵点Px，y
∴ P'x+a,y+3a
∴Qa+x2,3a+y2
∵正方形的中心是5,5，边长为2
∴3≤x≤5，3≤y≤5，
当a+x2=3时，x=6−2a，
∴3≤6−2a≤5，
∴−1≤a≤32时，存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部；
当3a+y2=5时，y=10−6a，
∴3≤10−6a≤5，
∴56≤a≤76时，存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部；
综上所述：56≤a≤76时，存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部．
【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，熟练掌握一次函数的图像及性质，理解定义，灵活应用中点坐标公式，数形结合解题是关键．
一．解答题（共24小题）
1．（2023•韩城市一模）韩城地处陕西省东部黄河西岸，关中盆地东北隅，其饮食风格充满浓郁的关中风味和西北风味特点，有很多独特的美食小吃，有羊肉饸饹、羊肉胡悖、红甜面、韩城馄饨、油酥角、石子馍、武家手工面等等，某韩城特产专卖店同时购进石子馍和油酥角两种商品共300盒，其进价和售价如表，设购进石子馍x盒，销售完这300盒商品的总利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该专卖店计划最多投入4000元用于购进这两种商品，购进多少盒石子馍，专卖店售完这两种商品可获得最大利润？获得的最大利润是多少元？
【答案】（1）y＝﹣10x+6000；
（2）购进100盒石子馍，专卖店售完这两种商品可获得最大利润，获得的最大利润是5000元．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以写出y与x之间的函数关系式；
（2）根据题意，可以写出利润关于x的函数关系式，然后根据该专卖店计划最多投入4000元用于购进这两种商品，可以列出相应的不等式，求出x的取值范围，然后根据一次函数的性质求最值．
【详解】解：（1）由题意可得，
y＝（25﹣10）x+（35﹣15）（300﹣x）＝﹣10x+6000，
即y与x之间的函数关系式是y＝﹣10x+6000；
（2）由（1）知：y＝﹣10x+6000，
∴y随x的增大而减小，
∵该专卖店计划最多投入4000元用于购进这两种商品，
∴10x+15（300﹣x）≤4000，
解得x≥100，
∴当x＝100时，y取得最大值，此时y＝5000，
答：购进100盒石子馍，专卖店售完这两种商品可获得最大利润，获得的最大利润是5000元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
2．（2023•碑林区校级模拟）某公司准备把30吨货物全部运往甲、乙两地，运往甲，乙两地的费用如表：
设运往甲地的货物为x吨，全部运出的总费用为y元．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若该公司运出货物的总费用不超过4800元，求该公司运往甲地至少多少吨货物？
【答案】（1）y与x间的函数表达式为y＝﹣80x+6000；
（2）该公司运往甲地至少15吨货物．
【分析】（1）根据总费用＝运往甲地和乙地的费用之和列出函数解析式；
（2）令y≤4800，解不等式即可．
【详解】解：（1）设运往甲地为x吨，则运往乙地（30﹣x）吨，
根据题意得：y＝120x+200（30﹣x）＝﹣80x+6000，
∴y与x间的函数表达式为y＝﹣80x+6000；
（2）∵该公司运出货物的总费用不超过4800元，
∴﹣80x+6000≤4800，
解得x≥15，
答：该公司运往甲地至少15吨货物．
【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
3．（2023•雁塔区校级模拟）平板电脑专卖店的老板计划用不超过16万元的资金购进A，B两种型号的平板电脑100台．其中，A型平板电脑的进价是1200元/台，B型平板电脑的进价是2000元/台．为了让利于顾客、老板在网上做了市场调研，结合其他成本，决定将A型平板电脑的售价定为1560元/台无优惠，B型平板电脑标价3350元/台后打8折销售．设购进A型平板电脑x台，销售这100台平板电脑的总利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）求这家专卖店销售这100台平板电脑的最大利润．
【答案】（1）y＝﹣320x+68000；
（2）52000元．
【分析】（1）根据x台A型平板电脑的利润加上（100﹣x）台B型平板电脑的利润＝总利润，列出函数关系式即可；
（2）根据平板电脑专卖店的老板计划用不超过16万元的资金购进A，B两种型号的平板电脑100台，列一元一次不等式，求出x取值范围，再根据一次函数的性质即可确定最大利润．
【详解】解：（1）y＝（1560﹣1200）x+（3350×0.8﹣2000）（100﹣x）＝﹣320x+68000；
（2）根据题意，得1200x+2000（100﹣x）≤160000，
解得x≥50，
在y＝﹣320x+68000中，k＝﹣320＜0，
∴y随着x增大而减小，
当x＝50时，y取得最大值，最大值为﹣320×50+68000＝52000（元），
答：这家专卖店销售这100台平板电脑的最大利润为52000元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键．
4．（2023•许昌一模）据悉，河南省中招体育考试成绩将于2024年起，由现在的满分70分提高到100 分计入总分．某中学为了满足体育课的需要，计划购买A，B两个品牌的篮球若干个，市场调研得知，购买5个A品牌和购买10个B品牌的篮球共需1300元；购买10个A品牌和购买5个B品牌的篮球共需1400元．
（1）求A，B两种品牌篮球的单价；
（2）学校在选定的超市实际购买时，发现有两种购买方案：
方案一：购买A品牌篮球的数量如果不超过10个，按原价销售；如果超过10个，超过部分按八折优惠；B品牌篮球一律按原价销售．
方案二：购买A品牌和B品牌篮球都按八五折优惠．
该中学计划购买A品牌篮球x个，B品牌篮球10个．
①请分别写出这两种方案所需的费用y（单位：元）与x的函数关系式；
②已知x＞10，则该校选择哪种方案购买更合算？请说明理由．
【答案】（1）A品牌篮球的单价为100元，B品牌篮球的单价为80元；
（2）①方案一：当0＜x≤10时，y＝100x+800；当x＞10时，y＝80x+1000；
方案二：y＝85x+680；
②当10＜x＜64时，选择方案二合算；当x＝64时，两种方案费用相同；当x＞64时，选择方案一合算，理由见解析．
【分析】（1）设A品牌篮球的单价为m元，B品牌篮球的单价为n元，根据购买5个A品牌和购买10个B品牌的篮球共需1300元；购买10个A品牌和购买5个B品牌的篮球共需1400元，列二元一次方程组，求解即可；
（2）①根据给定的购买方案分别列出函数关系式即可；
②当80x+1000＞85x+680时，当80x+1000＝85x+680时，当80x+1000＜85x+680时，分别求解即可确定哪种合算．
【详解】解：（1）设A品牌篮球的单价为m元，B品牌篮球的单价为n元，
根据题意，得5m+10n=130010m+5n=1400，
解得m=100n=80，
答：A品牌篮球的单价为100元，B品牌篮球的单价为80元；
（2）①方案一：当0＜x≤10时，y＝100x+10×80＝100x+800，
当x＞10时，y＝100×10+100×0.8（x﹣10）+80×10＝80x+1000，
方案二：y＝100×0.85x+80×0.85×10＝85x+680，
∴方案一：当0＜x≤10时，y＝100x+800；当x＞10时，y＝80x+1000；
方案二：y＝85x+680；
②当10＜x＜64时，选择方案二合算；当x＝64时，两种方案费用相同；当x＞64时，选择方案一合算，理由如下：
∵x＞10，
当80x+1000＞85x+680时，x＜64，此时方案二合算；
当80x+1000＝85x+680时，x＝64，此时两种方案费用相同；
当80x+1000＜85x+680时，x＞64，此时方案一合算，
∴当10＜x＜64时，选择方案二合算；当x＝64时，两种方案费用相同；当x＞64时，选择方案一合算．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立函数关系式是解题的关键．
5．（2023•绿园区一模）甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息解答下列问题：
（1）甲队在开挖后6小时内，每小时挖 10 m．
（2）当2≤x≤6时，求y乙与x的之间的函数关系式．
（3）直接写出开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差5m．
【答案】（1）10；
（2）当2≤x≤6时，y乙与x的之间的函数关系式为y乙＝5x+20；
（3）当两队所挖的河渠长度之差为5m时，x的值为1h或3h或5h．
【分析】（1）结合图象，用甲6小时挖的长度÷时间，即可得出结论；
（2）根据图中的信息利用待定系数法即可确定函数关系式；
（3）先用待定系数法求出y甲与x的之间的函数关系式以及当0≤x≤2时y乙与x的函数解析式，然后根据他们所挖河渠长度差为5米，列出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）根据图象可知，甲队在开挖后6小时内，每小时挖606=10（米），
故答案为：10；
（2）设乙队在2≤x≤6的时段内y乙与x之间的函数关系式为y乙＝kx+b（k≠0），
由图可知，函数图象过点（2，30）、（6，50），
∴2k+b=306k+b=50，
解得k=5b=20，
∴当2≤x≤6时，y乙与x的之间的函数关系式为y乙＝5x+20；
（3）当0≤x≤2时，设y乙与x的函数解析式为y乙＝mx，
可得2m＝30，
解得m＝15，
即y乙＝15x；
设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式y甲＝k1x，
由图可知，函数图象过点（6，60），
∴6k1＝60，
解得k1＝10，
∴y甲＝10x；
当0≤x≤2时，15x﹣10x＝5，
解得x＝1；
当2＜x≤6时，|5x+20﹣10x|＝5，
解得x＝3或x＝5．
答：当两队所挖的河渠长度之差为5m时，x的值为1h或3h或5h．
【点睛】此题主要考查学生对函数图象掌握情况及利用待定系数法求一次函数关系式，理解题意是解题的关键．
6．（2023•河北区一模）快递站、药店和客户家依次在同一直线上，快递站距药店、客户家的距离分别为600m和1800m，快递员小李从快递站出发去往客户家送快递，他先匀速骑行了10min后，接到该客户电话，又用相同的速度骑行了6min返回刚才路过的药店帮该客户买药，小李在药店停留了4min后，继续去往客户家，为了赶时间他加快速度，匀速骑行了6min到达客户家准时投递，下面的图象反映了这个过程中小李离快递站的距离y（m）与离开快递站的时间x（min）之间的对应关系．
请解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
（Ⅱ）填空：
①药店到客户家的距离是 1200 m；
②小李从快递站出发时的速度为 150 m/min；
③小李从药店取完药到客户家的骑行速度为 200 m/min；
④小李离快递站的距离为1200m时，他离开快递站的时间为 8或12或23 min；
（Ⅲ）当10≤x≤26时，请直接写出y关于x的函数解析式．
【答案】（Ⅰ）1200；600；1800；
（Ⅱ）①1200；②150；③200；④8或12或23；
（Ⅲ）y关于x的函数解析式为y=−150x+3000(10≤x≤16)600(16＜x≤20)200x−3400(20＜x≤26)．
【分析】（Ⅰ）由图象可求出小李在16分钟之前的速度，从而可以求出x＝8时小李离快递站的距离，然后从图象中直接得出x＝18，26时y的值；
（Ⅱ）①根据速度＝路程÷时间即可得出结论；
②由（Ⅰ）可得结论；
③根据速度＝路程÷时间即可得出结论；
④根据图象分别求出小李离快递站的距离为1200m时的时间；
（Ⅲ）分段由待定系数法求函数解析式．
【详解】解：（Ⅰ）由图象知，当小李离开快递站匀速骑行了10min，骑行了1500m，
速度为：150010=150（m/min），
∴当x＝8时，小李离快递站的距离为150×8＝1200（m）；
当x＝18时，小李在药店买药，
∴小李离快递站的距离为600m；
当x＝26时，小李到达客户家，
∴小李离快递站的距离为1800m；
故答案为：1200；600；1800；
（Ⅱ）①由图象知，药店到客户家的距离是1800﹣600＝1200（m）；
②由（Ⅰ）知，小李从快递站出发时的速度为150m/min；
③小李从药店取完药到客户家的骑行速度为1800−60026−20=200（m/min）；
④小李第一次离快递站1200m时，所需时间为1200150=8（min）；
小李第二次离快递站1200m时，所需时间为8+2（10﹣8）＝12（min）；
小李第二次离快递站1200m时，所需时间20+1200−600200=20+3＝23（min），
故答案为：①1200；②150；③200；④8或12或23；
（Ⅲ）当10≤x≤16时，设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，
则10k+b=150016k+b=600，
解得k=−150b=3000，
∴y＝﹣150x+3000；
当16＜x≤20时，y＝600；
当20＜20≤26时，设y关于x的函数解析式为y＝mx+n，
则20m+n=60026m+n=1800，
解得m=200n=−3400，
∴y＝200x﹣3400；
综上所述，y关于x的函数解析式为y=−150x+3000(10≤x≤16)600(16＜x≤20)200x−3400(20＜x≤26)．
【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是读取图形中的信息，逐一讨论．
7．（2023•红桥区一模）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知小明家、体育馆、图书馆依次在同一条直线上．小明从家出发，匀速骑行0.5h到达体育馆；在体育馆停留一段时间后，匀速步行0.4h到达图书馆；在图书馆停留一段时间后，匀速骑行返回家中，给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离ykm与离开家的时间xh之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
（Ⅱ）填空：
①体育馆与图书馆之间的距离为 2 km；
②小明从体育馆到图书馆的步行速度为 5 km/h；
③当小明离开家的距离为4km时，他离开家的时间为 13或3.75 h．
（Ⅲ）当2≤x≤4时，请直接写出y关于x的函数解析式．
【答案】（Ⅰ）3.6，7，8；
（Ⅱ）13或3.75；
（Ⅲ）当2≤x≤4时，y关于x的函数解析式是y=5x−4(2≤x≤2.4)8(2.4＜x≤3.5)−16x+64(3.5＜x≤4)．
【分析】（Ⅰ）根据题意和函数图象，可以将表格补充完整；
（Ⅱ）①根据函数图象中的数据，可以得到体育馆与图书馆之间的距离；
②根据速度＝路程÷时间计算即可；
③根据图象可知，分两种情况，然后计算即可；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的结果和函数图象中的数据，可以写出当2≤x≤4时，y关于x的函数解析式．
【详解】解：（Ⅰ）由图象可得，
在前0.5h的速度为6÷0.5＝12（km/h），
故当x＝0.3时，小明离开家的距离为0.3×12＝3.6（km），
当2＜x≤2.4时，速度为8−62.4−2=5（km/h），
∴当x＝2.2时，y＝6+5×0.2＝7，
在2.4＜x≤3.5时，距离不变，都是8km，故当x＝2.2时，小明离开家的距离为8km，
故答案为：3.6，7，8；
（Ⅱ）由图象可得，
①体育馆与图书馆之间的距离为2km，
故答案为：2；
②小明从体育馆到图书馆的步行速度为：（8﹣6）÷（2.4﹣2）＝5（km/h），
故答案为：5；
③当0≤x≤0.5时，
小明离家的距离为4km时，小明离开家的时间为4÷12=13（h），
当3.5≤x≤4时，
小明离家的距离为4km时，小明离开家的时间为3.5+4÷[8÷（4﹣3.5）]＝3.75（h），
故答案为：13或3.75；
（Ⅲ）由图象可得，
①当2≤x≤2.4时，设y＝kx+b，
2k+b=62.4k+b=8，
解得k=5b=−4，
∴y＝5x﹣4；
②当2.4＜x≤3.5时，y＝8，
③当3.5＜x≤4时，设y＝mx+n，
则3.5m+n=84m+n=0，
解得m=−16n=64，
∴y＝﹣16x+64；
由上可得，当2≤x≤4时，y关于x的函数解析式是y=5x−4(2≤x≤2.4)8(2.4＜x≤3.5)−16x+64(3.5＜x≤4)．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（2023•长春一模）甲乙两人相约一起去登山，登山过程中，甲先爬了100米、乙才开始追赶甲．甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）（x≥0）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山的速度是每分钟 10 米；
（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，请求出乙提速后距离地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系，并写出相应自变量取值范围；
（3）直接写出甲乙相遇后，甲再经过多长时间与乙相距30米？
【答案】（1）10；
（2）乙提速后距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝30x﹣30（2＜x≤11）；
（3）甲乙相遇后，甲再经过1.5分或10.5分与乙相距30米．
【分析】（1）根据速度＝高度÷时间即可算出甲登山上升的速度；
（2）当x＞2时，根据高度＝初始高度+速度×时间即可得出y关于x的函数关系；
（3）先求出甲、乙相遇时所用时间，在路程之间的关系列出方程求解即可．
【详解】解：（1）由图象可知，甲登山的速度为（300﹣100）÷20＝10（米/分钟），
故答案为：10；
（2）当x＞2时，y＝30+10×3（x﹣2）＝30x﹣30，
当y＝30x﹣30＝300时，x＝11，
∴乙提速后距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝30x﹣30（2＜x≤11）；
（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝10x+100（0≤x≤11），
当10x+100＝30x﹣30时，
解得：x＝6.5；
∴30（x﹣6.5）﹣10（x﹣6.5）＝30，
解得x＝8，
∴x﹣6.5＝1.5；
当甲距离山顶30米时，
此时20﹣3﹣6.5＝10.5（分），
答：甲乙相遇后，甲再经过1.5分或10.5分与乙相距30米．
【点睛】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是根据数量关系列出函数解析式．
9．（2023春•城阳区期中）已知小明家到学校总路程为3600米，一天，小明放学后，以75米/分的速度从学校往家走，走到离学校1500米时，正好遇到一个同学，停下又交流了35分钟练习册中数学题，之后加快速度以120米/分的速度跑步回了家．小明回家过程中，离家的路程S（米）与所用时间t（分）之间的关系如图所示．
（1）求a的值；
（2）b＝ 2100 ，c＝ 55 ．
（3）小明从学校到家一共用了分钟．
【答案】（1）20；
（2）2100；55；
（3）小明从学校到家一共用了72.5分．
【分析】（1）根据时间等于路程除以速度可得a的值；
（2）根据学校到小明家总路程为3000米、走到离学校1500米可得b的值，然后根据正好遇到一个同学，停下交流了35分钟练习册中数学题，可得c的值；
（3）求出小明跑步回家的时间，再+a+c即可．
【详解】解：（1）由题意得：a＝1500÷75＝20，
故答案为：20；
（2）b＝3600﹣1500＝2100，
c＝a+35＝20+35＝55，
故答案为：3100，55；
（3）小明跑步回家所用时间为：2100120=17.5（分），
20+35+17.5＝72.5（分），
∴小明从学校到家一共用了72.5分．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键．
10．（2023春•城阳区期中）某校组织学生“探寻红色印记，传承红色基因”为主题的研学旅行，全程导游讲解使学生增长见识，参加旅行的人数估计为30至50人（包含30人和50人），甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人1000元，经过协商，甲旅行社表示可给予每人八折优惠，且导游讲解免费；乙旅行社表示可给予每人七五折优惠，但需支付导游讲解费用共2000元，设该校有x人参加这次研学旅行，选择甲旅行社所需费用为y1元，选择乙旅行社所需费用为y2元．
（1）求出y1与x之间的函数关系式，y2与x之间的函数关系式．
（2）若该校共有50人要参加此次旅游，则选择哪家旅行社可以使总费用较低？请说明理由．
（3）计算说明人数在什么范围内，选乙旅行社合算．
【答案】（1）y1与x之间的函数关系式为y1＝800x；y2与x之间的函数关系式为y2＝750x+2000；
（2）选择乙旅行社可以使总费用较低；
（3）人数在40到50（包括50不包括40）范围内，选乙旅行社合算．
【分析】（1）甲旅行社需要的费用为：0.8×1000x；乙旅行社的收费为：0.75×1000x+2000；
（2）将x＝50分别代入（1）求得的函数解析式，计算即可求解；
（3）令y2＜y1，解不等式即可．
【详解】解：（1）根据题意得：y1＝1000×0.8x＝800x；
y2＝1000×0.75x+2000＝750x+2000；
∴y1与x之间的函数关系式为y1＝800x；y2与x之间的函数关系式为y2＝750x+2000；
（2）当x＝50时，y1＝800×50＝40000；
y2＝750×50+2000＝37500+2000＝39500，
∵39500＜40000，
∴选择乙旅行社可以使总费用较低；
（3）当y2＜y1时，即750x+2000＜800x，
解得x＞40，
∵30≤x≤50，
∴40＜x≤50，
∴人数在40到50（包括50不包括40）范围内，选乙旅行社合算．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，得出相应的函数解析式．
11．（2023•杏花岭区校级模拟）在2022年卡塔尔世界杯期间，某商店分两次购入某款纪念册和某款吉祥物两种商品进行销售，若两次进价相同，第一次购入25件纪念册和20件吉祥物共花费5250元，第二次购入20件纪念册和25件吉祥物共花费6000元．
（1）分别求每件纪念册和每件吉祥物的进价．
（2）为满足市场需求，商店准备第三次购入纪念册和吉祥物共500件，且购入吉祥物的数量不超过纪念册数量的2倍．若进价不变，每件纪念册与每件吉祥物的售价分别为65元、220元，求购入纪念册和吉祥物分别多少件时，商店获得利润最高．
【答案】（1）每件纪念册的进价为50元，每件吉祥物的进价为200元；
（2）购入纪念册167件，吉祥物333件时，商店获得利润最高．
【分析】（1）设每件纪念册的进价为x元，每件吉祥物的进价为y元，根据“购入25件纪念册和20件吉祥物共花费5250元，购入20件纪念册和25件吉祥物共花费6000元”列出方程组，解方程组即可；
（2）设商店购入纪念册m件，则购进吉祥物（500﹣m）件，利润为w元，根据总利润＝两种利润之和列出函数解析式，由函数的性质求出函数的最值，并求出此时m得值．
【详解】解：（1）设每件纪念册的进价为x元，每件吉祥物的进价为y元，
根据题意得25x+20y=525020x+25y=6000，
解得x=50y=200，
答：每件纪念册的进价为50元，每件吉祥物的进价为200元；
（2）设商店购入纪念册m件，则购进吉祥物（500﹣m）件，利润为w元，
根据题意得：w＝（65﹣50）m+（220﹣200）（500﹣m）＝15m+20（500﹣m）＝﹣5m+10000，
∵购入吉祥物的数量不超过纪念册数量的2倍，
∴500﹣m≤2m，
解得m≥5003，
∵m为正整数，
∴m的最小值为167，
∵﹣5＜0，
∴当m＝167时，w有最大值，
此时，500﹣m＝500﹣167＝333，
购入纪念册167件，吉祥物333件时，商店获得利润最高．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组和一次函数，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
12．（2023春•鄂城区期中）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．
请解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为 300 米/分钟，乙的速度为 800 米/分钟；
（2）求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？
【答案】（1）300；800；
（2）y＝800x﹣2400（3≤x≤6）；
（3）出发611分钟或185分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．
【分析】（1）利用速度＝路程÷时间，找准甲乙的路程和时间即可得出结论；
（2）根据（1）中的计算可得出点G的坐标，设直线FG的解析式为：y＝kx+b，将F，G的坐标代入，求解方程组即可；
（3）根据题意可知存在三种情况，然后分别计算即可．
【详解】解：（1）根据题意可知D（1，800），E（2，800），
∴乙的速度为：800÷1＝800（米/分钟），
∴乙从B地到C地用时：2400÷800＝3（分钟），
∴G（6，2400）．
∴H（8，2400）．
∴甲的速度为2400÷8＝300（米/分钟），
故答案为：300；800；
（2）设直线FG的解析式为：y＝kx+b（k≠0），且由图象可知F（3，0），
由（1）知G（6，2400）．
∴3k+b=06k+b=2400，
解得，k=800b=−2400．
∴直线FG的解析式为：y＝800x﹣2400（3≤x≤6）．
（3）由题意可知，AB相距800米，BC相距2400米．
∵O（0，0），H（8，2400），
∴直线OH的解析式为：y＝300x，
∵D（1，800），
∴直线OD的解析式为：y＝800x，
当0≤x≤1时，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，即甲乙朝相反方向走，
∴令800x+300x＝600，解得x=611．
∵当2≤x≤3时，甲从B继续往C地走，乙从A地往B地走，
∴300x+800﹣800（x﹣2）＝600解得x=185（不合题意，舍去）
∵当x＞3时，甲从B继续往C地走，乙从B地往C地走，
∴300x+800﹣800（x﹣2）＝600或800（x﹣2）﹣（300x+800）＝600，
解得x=185或x＝6．
综上，出发611分钟或185分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．
【点睛】本题考查一次函数的应用、路程＝速度×时间的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，将图象中的信息转化为实际行程问题，属于中考常考题型．
13．（2023春•雨花区期中）约定：如果函数的图象经过点（m，n），我们就把此函数称作“（m，n）族函数”．比如：正比例函数y＝2x的图象经过点（1，2），所以正比例函数y＝2x就是“（1，2）族函数”．
（1）①以下数量关系中，y不是x的函数的是 BE （填选项）
②以下是“（﹣1，1）族函数”的是 AEF （填选项）
A.y=−1x
B．|y|＝x
C．y＝x2+2x﹣4
D．y＝|x|+1
E．y2＝﹣x
F．y＝2x+3
（2）已知一次函数y＝kx﹣k+1（k为常数，k≠0）．
①若该函数是“（−12，4）族函数”，求k的值．
②无论k取何值，该函数必经过一定点，请写出该定点的坐标．
（3）已知一次函数y＝2x+4和y＝﹣x+1都是“（m，n）族函数”．当m≤x≤1时，一次函数y＝kx+b的函数值y恰好有12n≤1y≤−12m，求该一次函数的解析式．
【答案】（1）①BE；
②AEF；
（2）①k＝﹣2；
②无论k取何值，该函数必经过一定点（1，1）；
（3）该一次函数的解析式为y＝x+3或y＝﹣x+3．
【分析】（1）①根据函数的定义即可求解；
②将点（﹣1，1）代入各选项函数解析式中即可解答；
（2）①将点（−12，4）代入一次函数y＝kx﹣k+1中，即可求解；
②函数解析式可变形为y＝k（x﹣1）+1，令x﹣1＝0即可求解；
（3）由题意可知一次函数y＝2x+4的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象的交点为（m，n），联立两函数解析式，求得交点为（﹣1，2），即m＝﹣1，n＝2，进而得到当﹣1≤x≤1时，一次函数y＝kx+b的函数值y恰好有2≤y≤4，再分k＞0或k＜0两种情况，当k＞0时，此时一次函数过点（﹣1，2），（1，4）；当k＜0时，此时一次函数过点（﹣1，4），（1，2）；再分别根据待定系数法即可求解．
【详解】解：（1）①对于B选项，|y|＝x，则x与y不是唯一对应关系，不符合函数定义，即y不是x的函数，
对于E选项，y2＝﹣x，则x与y不是唯一对应关系，不符合函数定义，即y不是x的函数，
故答案为：BE；
②A．∵1=−1−1，∴y=−1x是“（﹣1，1）族函数”，
B．∵1≠﹣1，∴|y|＝x不是“（﹣1，1）族函数”，
C．∵1≠1﹣2﹣4，∴y＝x2+2x﹣4不是“（﹣1，1）族函数”，
D.1≠1+1，∴y＝|x|+1不是“（﹣1，1）族函数”，
E.1＝﹣（﹣1），∴y2＝﹣x是“（﹣1，1）族函数”，
F.1＝﹣2+3，∴y＝2x+3是“（﹣1，1）族函数”，
故答案为：AEF；
（2）①∵一次函数y＝kx﹣k+1（k为常数，k≠0）是“（−12，4）族函数”，
∴4=−12k−k+1，
解得：k＝﹣2；
②∵y＝kx﹣k+1＝k（x﹣1）+1，
令x﹣1＝0，则x＝1，y＝1，
∴无论k取何值，该函数必经过一定点（1，1）；
（3）∵一次函数y＝2x+4和y＝﹣x+1都是“（m，n）族函数”，
∴一次函数y＝2x+4的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象的交点为（m，n），
联立得：y=2x+4y=−x+1，
解得：x=−1y=2，
∴交点为（﹣1，2），
∴m＝﹣1，n＝2，
∵当m≤x≤1时，一次函数y＝kx+b的函数值y恰好有12n≤1y≤−12m，
∴当﹣1≤x≤1时，一次函数y＝kx+b的函数值y恰好有2≤y≤4，
①当k＞0时，
此时一次函数过点（﹣1，2），（1，4），
∴2=−k+b4=k+b，
解得：k=1b=3，
∴y＝x+3；
②当k＜0时，
此时一次函数过点（﹣1，4），（1，2），
∴4=−k+b2=k+b，
解得：k=−1b=3，
∴y＝﹣x+3；
综上，该一次函数的解析式为y＝x+3或y＝﹣x+3．
【点睛】本题主要考查函数的定义、新定义、用待定系数法求函数解析式、一次函数的性质，理解新定义，并学会利用分类讨论思想解决问题是解题关键．
14．（2023•佳木斯一模）如图，将矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为坐标原点．点A在y轴上，点C在x轴上，OA，OB的长是x2﹣16x+60＝0的两个根，P是边AB上的一点，将△OAP沿OP折叠，使点A落在OB上的点Q处．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线PQ的解析式；
（3）点M在直线OP上，点N在直线PQ上，是否存在点M，N，使以A，C．M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）B（8，6）；
（2）直线PQ解析式为y=−43x+10；
（3）存在点M，N，使以A，C．M，N为顶点的四边形是平行四边形，N的坐标为（6，2）或（−185，745）或（485，−145）．
【分析】（1）由x2﹣16x+60＝0得OA＝6，OB＝10，在Rt△AOB中，AB=OB2−OA2=8，故B（8，6）；
（2）过Q作QG⊥AB于G，交OC于H，根据将△OAP沿OP折叠，使点A落在OB上的点Q处，可得BQ＝OB﹣OQ＝4，设AP＝QP＝x，有x2+42＝（8﹣x）2，解得AP＝PQ＝3，BP＝8﹣x＝5，知P（3，6），用面积法可得QG=PQ⋅BQBP=125，用勾股定理得PG=PQ2−QG2=95，即可得Q（245，185），再用待定系数法即得直线PQ解析式为y=−43x+10；
（3）由P（3，6）得直线OP解析式为y＝2x，设M（m，2m），N（n，−43n+10），分三种情况：①若MN，AC为对角线，则MN，AC的中点重合，m+n=0+82m−43n+10=6+0，②若MA，NC为对角线，则MA，NC的中点重合，m+0=n+82m+6=−43n+10+0，③若MC，NA为对角线，则MC，NA的中点重合，m+8=n+02m+0=−43n+10+6，分别解方程组可得答案．
【详解】解：（1）由x2﹣16x+60＝0得x＝6或x＝10，
∵OA＜OB，
∴OA＝6，OB＝10，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAB＝90°，
在Rt△AOB中，AB=OB2−OA2=102−62=8，
∴B（8，6）；
（2）过Q作QG⊥AB于G，交OC于H，如图：
∵将△OAP沿OP折叠，使点A落在OB上的点Q处，
∴∠OQP＝∠OAP＝90°＝∠BQP，AP＝QP，OQ＝OA＝6，
∴BQ＝OB﹣OQ＝10﹣6＝4，
设AP＝QP＝x，则BP＝AB﹣AP＝8﹣x，
在Rt△BPQ中，PQ2+BQ2＝BP2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴AP＝PQ＝3，BP＝8﹣x＝5，
∴P（3，6），
∵2S△BPQ＝BP•QG＝PQ•BQ，
∴QG=PQ⋅BQBP=3×45=125，
∴PG=PQ2−QG2=32−(125)2=95，
∴AG＝AP+PG=245，
∵∠HGB＝∠ABC＝∠BCO＝90°，
∴四边形GBCH是矩形，
∴GH＝BC＝OA＝6，∠GHC＝90°，
∴QH＝GH﹣QG＝6−125=185，
∴Q（245，185），
设直线PQ解析式为y＝kx+b，把P（3，6），Q（245，185）代入得：
3k+b=6245k+b=185，
解得k=−43b=10，
∴直线PQ解析式为y=−43x+10；
（3）存在点M，N，使以A，C．M，N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由（2）得P（3，6），直线PQ解析式为y=−43x+10，
∴直线OP解析式为y＝2x，
设M（m，2m），N（n，−43n+10），
又A（0，6），C（8，0），
①若MN，AC为对角线，则MN，AC的中点重合，
∴m+n=0+82m−43n+10=6+0，
解得m=2n=6，
∴N（6，2）；
②若MA，NC为对角线，则MA，NC的中点重合，
∴m+0=n+82m+6=−43n+10+0，
解得m=225n=−185；
∴N（−185，745）；
③若MC，NA为对角线，则MC，NA的中点重合，
∴m+8=n+02m+0=−43n+10+6，
解得m=85n=485，
∴N（485，−145）；
综上所述，N的坐标为（6，2）或（−185，745）或（485，−145）．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，一元二次方程，平行四边形等知识，解题的关键是分类讨论思想和方程思想的应用．
15．（2023春•北碚区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线CD：y＝kx+b（k≠0）交于点P，OC＝OD＝4OA．
（1）求直线CD的解析式；
（2）连接OP、BC，若直线AB上存在一点Q，使得S△PQC＝S四边形OBCP，求点Q的坐标；
（3）将直线CD向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E，点N为直线l上的一点，在平面直角坐标系中，是否存在点M，使以点O，E，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x+4；
（2）(−23，−103)或(143，223)；
（3）（3，3）或(32，−32)．
【分析】（1）先求出OA，然后求出点C和点D的坐标，利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）先求出点B和点P的坐标，然后求出四边形OBCP的面积，然后分类讨论：当点Q在点B的下方时；当点Q在点P的上方时；分别求出三角形PQC的面积，即可求出点Q的坐标；
（3）先求出直线l为y＝﹣x+3，然后得到OE＝3，然后分情况进行分析：当OE＝3作为矩形OEMN的边时；当OE＝3作为矩形OEMN的对角线时；分别求出两种情况的点M的坐标即可．
【详解】解：（1）∵直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别交于点A、点B，
∴令y＝0，则x＝1，
∴点A为（1，0），
∴OA＝1，
∵OC＝OD＝4OA＝4，
∴点C为（4，0），点D为（0，4），
设直线CD的解析式为y＝kx+b；
∴4k+b=0b=4，
∴k=−1b=4，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+4；
（2）解：在y＝2x﹣2中，令x＝0，则y＝﹣2，
∴点B为（0，﹣2），
∵y=2x−2y=−x+4，
解得x=2y=2，
∴点P的坐标为（2，2）；
∴S四边形OBCP=12OC×|yP|+12OC×OB=12×4×2+12×4×2=8；
∵点Q在直线AB上，则设点Q为（x，2x﹣2），则
当点Q在点B的下方时，如图：
∵AC＝3，点P的坐标为（2，2），
∴S△PQC=12AC×|yP|+12AC×|yQ|=12×3×2+12×3×|2x−2|=3+32×|2x−2|，
∵S△PQC＝S四边形OBCP，
∴3+32×|2x−2|=8，
∴32×(2−2x)=5，
解得：x=−23，
∴2x−2=2×(−23)−2=−103，
∴点Q的坐标为(−23，−103)；
当点Q在点P的上方时，如图：
S△PQC=12AC×|yQ|−12AC×|yP|=12×3×|2x−2|−12×3×2=32×|2x−2|−3，
∴32×|2x−2|−3=8，
∴32×(2x−2)=11
解得：x=143，
∴2x−2=2×143−2=223，
∴点Q的坐标为(143，223)；
综合上述，点Q的坐标为(−23，−103)或(143，223)；
（3）解：∵直线CD向下平移1个单位长度得到直线l，
∴直线l为y＝﹣x+3，
令y＝0，则x＝3，
∴点E的坐标为（3，0），
即OE＝3；
当OE＝3作为矩形OEMN的边时，如图：
∴点N的坐标为（0，3），
∴点M的坐标为（3，3）；
当OE＝3作为矩形OEMN的对角线时，如图：
∴点F的坐标为(32，0)，
∵tan∠OEN＝|﹣1|＝1，
∴∠OEN＝45°，
∵ON⊥NE，
∴△ONE是等腰直角三角形，
∴ON＝NE，
∴四边形ONEM是正方形，
∴MN⊥OE，MN＝OE，
∴OF=FE=FN=FM=32，
∴点M的坐标为(32，−32)；
综合上述，则点M的坐标为（3，3）或(32，−32)；
【点睛】本题考查了矩形的性质，一次函数的图象和性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出图形，从而运用分类讨论的思想进行解题．
16．（2023春•雨花区期中）如图，已知直线y=−43x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M是线段AB的中点，点P为x轴负半轴上一动点，点P的横坐标记作m，过点A作AQ∥BP交PM的延长线于Q，PM交y轴于点C，连接OM．
（1）线段OM的长；
（2）①证明：四边形AQBP是平行四边形；
②当m取何值时，四边形AQBP是菱形；
（3）若点M坐标为（3，4），当﹣3≤m≤﹣2时，记s=8mOC（其中OC示线段OC的长度），求s的最大值．
【答案】（1）OM＝5；
（2）①证明见解析；
②当m=−73时，四边形AQBP是菱形；
（3）s的最大值为﹣10．
【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，然后依据点M是线段AB的中点得出点M的坐标，即可求解；
（2）①证明△AMQ≌△BMP（ASA），根据全等三角形的性质得AQ＝BP，根据平行四边形的判定即可得出结论；
②根据菱形的判定和性质即可求解；
（3）利用待定系数法求出直线PM的解析式为y=43−mx+4mm−3，可得C （0，4mm−3），则OC=4mm−3，s=8mOC=8m4mm−3=2m﹣6，根据一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵y=−43x+8，当x＝0时，y＝8，
当y＝0时，−43x+8＝0，
解得x＝6，
∴A（0，8），B（6，0），
∵点M是线段AB的中点，
∴点M（3，4），
∴OM=32+42=5；
（2）①证明：∵AQ∥BP，
∴∠AQM＝BPM，
∵点M是线段AB的中点，
∴AM＝BM，
∵∠AMQ＝∠BMP，
∴△AMQ≌△BMP（ASA），
∴AQ＝BP，
∵AQ∥BP，
∴四边形AQBP是平行四边形；
②解：当AP＝BP时，平行四边形AQBP是菱形，
∵点P为x轴负半轴上一动点，点P的横坐标记作m，
∴P（m，0）（m＜0），
∵A（0，8），B（6，0），
∴BP=OP2+OB2=m2+82，AP＝6﹣m，
∴m2+82=6﹣m，解得m=−73，
∴当m=−73时，四边形AQBP是菱形；
（3）解：设直线PM的解析式为y＝kx+b，
∵M（3，4），P（m，0）（﹣3≤m≤﹣2），
∴3k+b=4mk+b=0，解得k=43−mb=4mm−3，
∴直线PM的解析式为y=43−mx+4mm−3，
当x＝0时，y=4mm−3，
∴C （0，4mm−3），
∴OC=4mm−3，
∴s=8mOC=8m4mm−3=2m﹣6，
∵2＞0，
∴s随m的增大而增大，
∵﹣3≤m≤﹣2，
∴当m＝﹣2时，s的最大值为2×（﹣2）﹣6＝﹣10．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式等，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
17．（2023春•工业园区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B分别在x轴与y轴上，直线AB的解析式为y=−34x+3，以线段AB、BC为边作平行四边形ABCD．
（1）如图1，若点C的坐标为（3，7），判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，P为CD边上的动点，点C关于直线BP的对称点是Q，连接PQ，BQ．
①当∠CBP＝ 30 °时，点Q位于线段AD的垂直平分线上；
②连接AQ，DQ，设CP＝x，设PQ的延长线交AD边于点E，当∠AQD＝90°时，求证：QE＝DE，并求出此时x的值．
【答案】（1）四边形ABCD是正方形，理由见解答过程；
（2）①30；
②证明QE＝DE见解答过程，x的值是53．
【分析】（1）过C作CH⊥y轴于H，在y=−34x+3中，可得A（4，0），B（0，3），即有OA＝4，OB＝3，AB＝5，而C（3，7），故OB＝CH＝3，OA＝BH＝4，可证△AOB≌△BHC（SAS），得AB＝BC，∠ABO＝∠BCH，从而可得∠ABC＝90°，根据四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∠ABC＝90°，即知四边形ABCD是正方形；
（2）①过Q作QK⊥AD于K，连接CQ，由Q在AD的垂直平分线上，可得BQ＝CQ，而C关于直线BP的对称点是Q，有BC＝BQ，故△BCQ是等边三角形，∠CBQ＝60°，即可得∠CBP＝∠QBP=12∠CBQ＝30°；
②由∠AQD＝90°，C关于直线BP的对称点是Q，四边形ABCD是正方形，可得∠DQE＝∠BQA，∠QDE＝∠BAQ，而AB＝BQ，有∠BQA＝∠BAQ，故∠DQE＝∠QDE，即得QE＝DE，从而可得DE＝QE＝AE=52，设CP＝PQ＝x，在Rt△PDE中有（5﹣x）2+（52）2＝（x+52）2，从而可解得x的值是53．
【详解】解：（1）四边形ABCD是正方形，理由如下：
过C作CH⊥y轴于H，如图：
在y=−34x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝4，
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，AB=42+32=5，
∵C（3，7），
∴BH＝OH﹣BO＝4，CH＝3，
∴OB＝CH＝3，OA＝BH＝4，
在△AOB和△BHC中，
OB=CH∠AOB=∠BHCOA=BH，
∴△AOB≌△BHC（SAS），
∴AB＝BC，∠ABO＝∠BCH，
∵∠BCH+∠HBC＝90°，
∴∠ABO+∠HBC＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）①过Q作QK⊥AD于K，连接CQ，如图：
∵Q在AD的垂直平分线上，
∴直线QK是正方形ABCD的对称轴，
∴QK是BC的垂直平分线，
∴BQ＝CQ，
∵C关于直线BP的对称点是Q，
∴BC＝BQ，
∴BC＝BQ＝CQ，
∴△BCQ是等边三角形，
∴∠CBQ＝60°，
∵C关于直线BP的对称点是Q，
∴∠CBP＝∠QBP=12∠CBQ＝30°，
故答案为：30；
②如图：
∵∠AQD＝90°，
∴∠DQE+∠EQA＝90°，∠QDE+∠DAQ＝90°，
∵C关于直线BP的对称点是Q，四边形ABCD是正方形，
∴∠BQP＝∠C＝90°，∠BAD＝90°，AB＝BC＝BQ，
∴∠BQE＝90°＝∠BQA+∠EQA，∠BAQ+∠DAQ＝90°，
∴∠DQE＝∠BQA，∠QDE＝∠BAQ，
∵AB＝BQ，
∴∠BQA＝∠BAQ，
∴∠DQE＝∠QDE，
∴QE＝DE，
∵∠EQA＝90°﹣∠DQE＝90°﹣∠QDE＝∠EAQ，
∴QE＝AE，
∴DE＝QE＝AE，
∴QE＝DE=12AD=12AB=52，
设CP＝PQ＝x，则PD＝CD﹣x＝5﹣x，PE＝PQ+QE＝x+52，
在Rt△PDE中，PD2+DE2＝PE2，
∴（5﹣x）2+（52）2＝（x+52）2，
解得x=53，
∴x的值是53．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及正方形的判定，等边三角形的判定，勾股定理及应用等知识，解题的关键是掌握对称的性质．
18．（2023春•福州期中）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B．当x＞3时，y＜0；当x＜3时，y＞0．
（1）求k，b的关系式（用含b的代数式表示k）；
（2）若∠ABO＝60°．
①求直线l1的解析式；
②若直线l2：y＝mx+m与直线l1相交，且两条直线所夹的锐角为45°，求m的值．
【答案】（1）k，b的关系式为k=−b3；
（2）①直线l1的解析式为y=−33x+3；
②两条直线所夹的锐角为45°，m的值为﹣2−3或2−3．
【分析】（1）根据当x＞3时，y＜0；当x＜3时，y＞0，可得当x＝3时，y＝0，即A（3，0），即可得k，b的关系式为k=−b3；
（2）①由A（3，0），∠ABO＝60°，可得B（0，3），用待定系数法即可得直线l1的解析式为y=−33x+3；②设直线l2与x轴交于D，连接BD，直线l1与直线l2交于C，分两种情况：当C在y轴左侧时，过C作CH⊥y轴于H，由y＝mx+m可得D（﹣1，0），即可得BD2+AB2＝AD2，故∠ABD＝90°＝∠DBC，从而△BCD是等腰直角三角形，由∠CBH＝∠ABO＝60°，可得C（−3，3+1），代入y＝mx+m得m＝﹣2−3；当C在y轴右侧时，过C作CK⊥x轴于K，由△BDC是等腰直角三角形，有AC＝AB﹣BC＝23−2，而∠ABO＝60°，即可得C（3，3−1），代入y＝mx+m得m＝2−3．
【详解】解：（1）∵当x＞3时，y＜0；当x＜3时，y＞0，
∴当x＝3时，y＝0，即A（3，0），
∴3k+b＝0，
∴k=−b3，
∴k，b的关系式为k=−b3；
（2）①如图：
由（1）知，A（3，0），
∵∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∴OB=OA3=33=3，
∴B（0，3），
把A（3，0），B（0，3）代入y＝kx+b得：
3k+b=0b=3，
解得k=−33b=3，
∴直线l1的解析式为y=−33x+3；
②设直线l2与x轴交于D，连接BD，直线l1与直线l2交于C，
当C在y轴左侧时，过C作CH⊥y轴于H，如图：
在y＝mx+m中，令y＝0得x＝﹣1，
∴D（﹣1，0），
∵A（3，0），B（0，3），
∴AD＝4，AB＝23，BD＝2，
∴BD2+AB2＝AD2，
∴∠ABD＝90°＝∠DBC，
∵∠ACD＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC＝BD＝2，
在Rt△BCH中，∠CBH＝∠ABO＝60°，
∴∠BCH＝30°，
∴BH=12BC＝1，CH=3BH=3，
∴C（−3，3+1），
把C（−3，3+1）代入y＝mx+m得：
−3m+m=3+1，
解得m＝﹣2−3；
当C在y轴右侧时，过C作CK⊥x轴于K，如图：
∵∠BCD＝45°，∠DBC＝90°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴BC＝BD＝2，
∵AB＝23，
∴AC＝AB﹣BC＝23−2，
∵∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝30°，
在Rt△ACK中，
CK=12AC=3−1，AK=3CK＝3−3，
∴OK＝OA﹣AK＝3﹣（3−3）=3，
∴C（3，3−1），
把C（3，3−1）代入y＝mx+m得：
3m+m=3−1，
解得m＝2−3，
综上所述，两条直线所夹的锐角为45°，m的值为﹣2−3或2−3．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的性质及应用，含30°角的直角三角形三边关系等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
19．（2023•沈阳一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点B（﹣5，0），与y轴交于点A，直线y=−43x+4过点A，与x轴交于点C，点P是x轴上方一个动点．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）若点P在线段AB上，且S△APC＝S△AOB，求点P的坐标；
（3）当 S△PBC＝S△AOB时，动点M从点B出发，先运动到点P，再从点P运动到点C后停止运动．点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为t（秒），请直接写出t的最小值．
【答案】（1）y=45x+4；
（2）（−258，32）；
（3）89．
【分析】（1）先根据直线y=−43x+4过点A，求出点A坐标，再利用待定系数法求直线AB的函数表达式即可；
（2）设点P坐标为（p，45p+4），先求出点C坐标，再求出△AOB的面积，表示出△APC的面积，根据S△APC＝S△AOB，列方程求解即可；
（3）根据S△PBC＝S△AOB，点P是x轴上方的一个动点，可知点P在直线y=52上运动，作点B关于直线y=52的对称点B′，连接CB′，交直线y=52于点P，连接BP，则BP+CP的最小值即为CB′的长，求出CB′的长度，进一步可得t的最小值．
【详解】解：（1）∵点A在y轴上，直线y=−43x+4过点A，
∴点A坐标为（0，4），
将点A（0，4）和点B（﹣5，0）代入直线y＝kx+b，
得b=4−5k+b=0，
解得k=45b=4，
∴直线AB的函数表达式为y=45x+4；
（2）设点P坐标为（p，45p+4），
令y=−43x+4=0，得x＝3，
∴点C坐标为（3，0），
∵点A（0，4），点B（﹣5，0），
∴OA＝4，OB＝5，BC＝8，
∴S△AOB=12OA⋅OB=12×4×5=10，
∵点P在线段AB上，
∴S△APC＝S△ABC﹣S△BPC=12×8×4−12×8×(45p+4)，
∵S△APC＝S△AOB，
∴12×8×4−12×8×(45p+4)=10，
解得p=−258，
∴点P坐标为（−258，32）；
（3）设点P纵坐标为Py，
∵S△PBC＝S△AOB，点P是x轴上方的一个动点，
∴12×8Py=10，
解得Py=52，
作点B关于直线y=52的对称点B′，连接CB′，交直线y=52于点P，连接BP，
则BP+CP的最小值即为CB′的长，
∵点B坐标为（﹣5，0），
∴点B′坐标为（﹣5，5），
∴CB′=(3+5)2+(0−5)2=89，
∵点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，
∴89÷1=89（s），
∴t的最小值为89．
【点睛】本题考查了一次函数的综合题，涉及待定系数法求解析式，轴对称的性质，三角形面积等，本题综合性较强，熟练三角形求面积的方法是解题的关键．
20．（2023春•鼓楼区期中）如图1，已知函数y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为83，求点M的坐标；
②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．
【答案】（1）直线BC的函数解析式为y=−12x+2；
（2）①M的坐标为（433，0）或（−433，0）；
②点P的坐标为（﹣1，32）或（1，52）．
【分析】（1）分别求出A、B、C三点坐标，用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）①设M（m，0），则P（m，12m+2），Q（m，−12m+2），求出PQ＝|m|，再由S△PQB=12×|m|×|m|=83，求出m的值后即可求M点坐标；
②分两种情况讨论：当点M在线段AO上时，利用角的关系推导出∠MBC＝90°，再由勾股定理得m2+4+20＝（4﹣m）2，求出m的值即可求点P的坐标；当点M在线段OC上时，同理可求P点的另一个坐标．
【详解】解：（1）在y=12x+2中，令x＝0得y＝2，
∴B（0，2），
令y＝0得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
∵点C与点A关于y轴对称，
∴C（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴b=24k+b=0，
解得k=−12b=2，
∴直线BC的函数解析式为y=−12x+2；
（2）①设M（m，0），
∵PQ⊥x轴，
∴P（m，12m+2），Q（m，−12m+2），
∴PQ＝|12m+2+12m﹣2|＝|m|，
∴S△PQB=12×|m|×|m|=83，
解得m＝±433，
∴M的坐标为（433，0）或（−433，0）；
②∵点M在线段AC上运动，
∴﹣4≤m≤4，
当点M在线段AO上时，如图：
∵点C与点A关于y轴对称，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BMP＝∠BAC，
∴∠BMP＝∠BCA，
∵∠BMP+∠BMC＝90°，
∴∠BMC+∠BCA＝90°，
∴∠MBC＝90°，
∴BM2+BC2＝MC2，
∴MC2＝（4﹣m）2，BM2＝m2+4，BC2＝20，
∴m2+4+20＝（4﹣m）2，
解得m＝﹣1，
∴P（﹣1，32）；
当点M在线段OC上时，如图：
同理可得P（1，52），
综上所述：点P的坐标为（﹣1，32）或（1，52）．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，勾股定理及应用等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
21．（2023•城关区一模）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个直角三角形的两个顶点，且该直角三角形的两条直角边分别与坐标轴垂直，则称该直角三角形为点P，Q的“坐标直角三角形”．图1为点P，Q的“坐标直角三角形”示意图．如图2，点A的坐标为（1，2）．
（1）若点B的坐标为（﹣2，1），求点A，B的“坐标直角三角形”的面积；
（2）点C在y轴上，若点A，C的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，直接写出直线AC的表达式；
（3）点D在直线y＝2x+4上，且点A，D的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，求点D的坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由三角形的面积即可求解；
（2）设点C的坐标为（0，m），点A，C的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，则|xA﹣xC|＝|yA﹣yC|，即|1﹣0|＝|m﹣2|，进而求解；
（3）点A，D的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，则|xA﹣xD|＝|yA﹣yD|，即|1﹣m|＝|2m+4﹣2|，进而求解．
【详解】解：（1）由题意得：xA﹣xB＝1+2＝3，yA﹣yB＝2﹣1＝1，
则点A，B的“坐标直角三角形”的面积=12（xA﹣xB）×（yA﹣yB）=12×3×1=32；
（2）设点C的坐标为（0，m），
∵点A，C的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，
则|xA﹣xC|＝|yA﹣yC|，即|1﹣0|＝|m﹣2|，
解得：m＝3或1，
则设直线AC的表达式为：y＝kx+m，
将点A的坐标代入上式得：2＝k+m，
则k＝2﹣m＝﹣1或1，
故直线AC的表达式为：y＝﹣x+3或y＝x+1；
（3）点D的坐标为：（m，2m+4），
∵点A，D的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，
∴|xA﹣xD|＝|yA﹣yD|，即|1﹣m|＝|2m+4﹣2|，
解得：x＝﹣3或−13，
故点D的坐标为：（﹣3，﹣2）或（−13，103）．
【点睛】本题为一次函数综合题，涉及到一次函数的基本性质、等腰直角三角形的性质、面积的计算，奇妙地利用绝对值和理解新定义是本题解题的关键．
22．（2023•虎林市校级一模）如图，矩形OABC的边OA在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，OA，OC的长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的实数根，且OA＜OC．过点B且垂直于直线OB的直线分别交x轴和y轴于点D，E，动点P以每秒5个单位长度的速度，从点O出发，沿射线OB的方向匀速运动，过点P作PM⊥x轴于点M，PQ∥x轴交直线DE于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．设四边形PQNM与△ABD重合部分的面积为S，点P运动的时间为t（0＜t＜259，且t≠1）．
（1）求点D的坐标；
（2）求在点P运动的过程中S与t之间的函数解析式；
（3）当t=12时，射线PB上是否存在点R，使△PQR是等腰三角形？若存在，请直接写出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）(253，0)；
（2）当0＜t＜1时，S=−643t2+643t；当1＜t＜259时，S=−278t2+754t−1238；
（3）（4，163）或（92，6）或（4312，439）．
【分析】（1）先求出OA和OC的长，再根据矩形的性质可证△BOA∽△DBA，根据相似三角形的性质可得DA的长，进一步求解即可；
（2）①当0＜t＜1时，先证明△PMO∽△BAO，根据相似三角形的性质可得OM和PM的长，再证明△QDN∽△BDA，根据相似三角形的性质可得ND的长度，进一步可得AN的长度，根据S＝AN•QN可得函数关系式；②当1＜t＜259时，同①可得OP＝5t，OM＝3t，PM＝4t，AM＝OM﹣OA＝3t﹣3，MD=OD−OM=253−3t，再证明△TDM∽△BDA，根据相似三角形的性质可得TM的长，根据S=12(TM+BA)⋅AM求解即可；
（3）当t=12时，由（2）可知OP＝5t=52，OM＝3t=32，PM＝4t＝2，求出P点和Q点坐标，待定系数法求出直线OB的解析式，设点R坐标为（m，43m），表示出PQ，PR和QR的长，△PQR是等腰三角形，分情况讨论：①PQ＝PR，②PQ＝QR，③PR＝QR，分别列方程求解即可．
【详解】解：（1）x2﹣7x+12＝0，
解得x1＝3，x2＝4，
∵OA＜OC，
∴OA＝3，OC＝4，
∵四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC＝4，∠BAO＝90°，
∴∠BOA+∠OBA＝90°．
∵DE⊥OB，
∴∠OBA+∠ABD＝90°，
∴∠BOA＝∠ABD，
∴△BOA∽△DBA，
∴OABA=BADA，
∴34=4DA，
解得DA=163，
∴OD=OA+AD=253，
∴点D的坐标为(253，0)；
（2）①当0＜t＜1时，如图所示：
OP＝5t，
∵∠PMO＝∠BAO＝90°，∠POM＝∠BOA，
∴△PMO∽△BAO，
∴OPOB=OMOA=PMBA，
∴5t5=OM3=PM4，
∴OM＝3t，PM＝4t，
∵∠QND＝∠BAD，∠QDN＝∠BDA，
∴△QDN∽△BDA，
∴QNBA=NDAD，
即QN4=ND163．
在矩形PMNQ中，QN＝PM＝4t，
∴ND=163t，
∴AN=AD−ND=163−163t，
∴S=AN⋅QN=(163−163t)⋅4t=−643t2+643t；
②当1＜t＜259时，
如图2，设PM与BD交于点T，
同①可得OP＝5t，OM＝3t，PM＝4t，AM＝OM﹣OA＝3t﹣3，MD=OD−OM=253−3t，
∵∠TMD＝∠BAD，∠TDM＝∠BDA，
∴△TDM∽△BDA，
∴TMBA=MDAD，
即TM4=253−3t163，
∴TM=25−9t4，
∴S=12(TM+BA)⋅AM=12(25−9t4+4)(3t−3)=−278t2+754t−1238，
综上所述，当0＜t＜1时，S=−643t2+643t；当1＜t＜259时，S=−278t2+754t−1238；
（3）存在，当t=12时，由（2）可知OP＝5t=52，OM＝3t=32，PM＝4t＝2，
∴点P坐标为（32，2），
∵ON=253−83=173，
∴点Q坐标为（173，2），
∵四边形OABC是矩形，OA＝3，OC＝4，
∴点B坐标为（3，4），
设直线OB的解析式为y＝kx（k≠0，k为常数），
代入点B（3，4），
得3k＝4，
∴k=43，
∴直线OB的解析式为y=43x，
设点R坐标为（m，43m），
∴PQ=173−32=256，
PR=(32−m)2+(2−43m)2=259m2−253m+254，
QR=(173−m)2+(2−43m)2=259m2−503m+3259，
△PQR是等腰三角形，分情况讨论：
①PQ＝PR，
可得259m2−253m+254=256，
解得m＝4或m＝﹣1（舍去），
∴点R坐标为（4，163）；
②PQ＝QR，
259m2−503m+3259=256，
解得m=92，
∴点R坐标为（92，6）；
③PR＝QR，
259m2−253m+254=259m2−503m+3259，
解得m=4312，
∴点R坐标为（4312，439），
综上所述，满足条件的点R坐标为（4，163）或（92，6）或（4312，439）．
【点睛】本题考查了一次函数的综合题，涉及一元二次方程，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的存在性问题等，本题综合性较强，难度较大．
23．（2023•金坛区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点A，记线段OA的中点为M．若点A，M，P，Q按逆时针方向排列构成菱形AMPQ，其中∠QAM＝α°（0＜α＜180），则把菱形AMPQ称为点A的“α°菱形”AMPQ，把菱形AMPQ边上所有点都称为点A的“α°菱点”．已知点A（0，4）．
（1）在图1中，用直尺和圆规作出点A的“60°菱形”AMPQ，并直接写出点P的坐标（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若点B（1，1）是点A的“α°菱点”，求α的值；
（3）若一次函数y=−33x+b的图象上存在点A的“α°菱点”，直接写出b的取值范围．
【答案】（1）作点A的“60°菱形”AMPQ见解答过程，点P的坐标是（3，1）；
（2）α的值是45°或30°；
（3）b的取值范围是0＜b≤4+433．
【分析】（1）分别以A，M，O为圆心，2为半径作圆，即可确定P，Q的位置，作出点A的“60°菱形”AMPQ，求出P到x轴，y轴的距离，结合M（0，2）可得点P的坐标是（3，1）；
（2）分两种情况：当点B在MP边上时，过点B作BH⊥y轴，垂足为H，由B（1，1），可得△BMH是等腰直角三角形，即得α＝45°；当点B在PQ边上时，过点P作PH'⊥y轴，垂足为H'，可得sin∠H'MP=H'PPM=12，故α＝30°；（3）设直线y=−33x+b与y轴交于K，与x轴交于T，过A作AR⊥KT于R，可得∠OKT＝60°，①当b最大时，Q与R重合，此时AR＝AM＝2，由sin60°=2AK，可求出b最大为4+433；②当直线y=−33x+b在M下方时，有2﹣OK＜2，即可得b＞0，从而得到答案．
【详解】解：（1）作出点A的“60°菱形”AMPQ，如图：
∵PM＝AM＝4﹣2＝2，且2×sin60°=3，2×cs60°＝1，
∴点P的坐标是（3，1）；
（2）当点B在MP边上时，过点B作BH⊥y轴，垂足为H，如图：
∵B（1，1），
∴BH＝OH＝1，
∵OM＝2，
∴MH＝1＝BH，
∴△BMH是等腰直角三角形，
∴∠HMB＝45°，
∴∠QAM＝45°，即α＝45°；
当点B在PQ边上时，过点P作PH'⊥y轴，垂足为H'，如图：
则PH＝1，
∵PM＝2，
∴sin∠H'MP=H'PPM=12，
∴∠QAM＝∠H'MP＝30°，即α＝30°；
综上所述，α的值是45°或30°；
（3）设直线y=−33x+b与y轴交于K，与x轴交于T，过A作AR⊥KT于R，如图：
在y=−33x+b中，令x＝0得y＝b，令y＝0得x=3b，
∴tan∠OKT=OTOK=3，
∴∠OKT＝60°，
①当b最大时，Q与R重合，此时AR＝AM＝2，
∴sin60°=2AK，
∴AK=433，
∴OK＝4+433，即b最大为4+433；
②当直线y=−33x+b在M下方时，如图：
∵MP＝AM＝OM＝2，
∴MK＜2，即2﹣OK＜2，
∴OK＞0，
∴b＞0，
综上所述，b的取值范围是0＜b≤4+433．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，锐角三角函数等知识，解题的关键是画出图形，应用数形结合思想解决问题．
24．（2023•西安校级三模）问题提出
（1）如图1，AD是△ABC的中线，则有S△ADC ＝ S△ADB．（填“＜”、“＞”或“＝”）
问题探究
（2）如图2，点M是矩形ABCD内一点，AB＝6，BC＝3，点A与坐标原点O重合，AB、AD分别位于x、y轴正半轴，M（32，1），是否存在直线l经过点M且将矩形ABCD分成面积相等的两部分，若存在，请求出直线l的解析式；如不存在，请说明理由．
问题解决
（3）如图3，长方形OABC是西安某学校在疫情期间为学生核酸检测围成的一个工作区域，顶点A、C在坐标轴上，记O为坐标原点，顶点B（20，12），原有的一个出入口D在边OC上，且CD＝4米，为使工作高效有序，现计划在边AB，OA，BC上依次再设出入口E，G，H，沿DE，GH拉两道警戒线将工作区域分成面积相等的四部分，请问，是否存在满足上述条件的点E，H，G，如存在，请求出点E的坐标及GH的函数表达式，如不存在，请说明理由．
【答案】（1）＝；
（2）y=13x+12；
（3）y＝0.36x+2.4．
【分析】（1）根据等底同高的三角形面积相等，即可求解；
（2）连接AC、BD交于点N，过M、N作直线l，则直线l即为所求，由待定系数法求出直线l的解析式即可；
（3）利用图形的设计，待定系数法求一次函数的解析式，即可解决问题．
【详解】解：（1）∵AD是△ABC的中线，
根据等底同高的三角形面积相等，则S△ADC＝S△ADB，
故答案为：＝；
（2）连接AC、BD交于点N，如下图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，D（0，3），B（6，0），BN＝DN，
∴N（3，32），
过M、N作直线l，则直线l即为所求，
设直线l的解析式为y＝kx+b，
由题意得：32k+b=13k+b=32，
解得：k=13b=12，
∴直线l的解析式为y=13x+12；
（3）如下图，在AB上取AE＝CD＝4，连接DE，则E（4，12），
取DE的中点M，AO的中点N，连接MN，
则MN是梯形AODE的中位线，
∴MN=202=10（米），
AN＝ON＝6（米），
∴点M的坐标为（10，6），
由于长方形被分成四块面积相等的部分，
∴每块面积为：14×20×12＝60（平方米），
又∵S梯形AEMN=12×（4+10）×6＝42（平方米），
在点的下方取一点G，使S△MNG＝60﹣42＝18（平方米），
由S=12NG•MN得：NG=2SMN=3610=3.6（米），
∴OG＝6﹣3.6＝2.4（米），
∴点G坐标为（0，2.4），
连接GM并延长交BC于H，
则D、E、G、H为所求作的点，
设GH的解析式为：y＝kx+b，
则b＝2.4，10k+b＝6，
解得：k＝0.36，b＝2.4，
∴y＝0.36x+2.4．
【点睛】本题为一次函数综合题，主要考查了图形的设计，待定系数法求一次函数的解析式，矩形的性质，面积的等分线，梯形的性质等知识，解题关键是利用面积确定点G的位置．
石子馍
油酥角
进价（元/盒）
10
15
售价（元/盒）
25
35
目的地
甲地
乙地
每吨费用（元）
120
200
小李离开快递站的时间/min
2
8
16
18
26
小李离快递站的距离/m
300
600
小明离开家的时间/h
0.1
0.3
1.5
2.2
3.3
小明离开家的距离/km1.2
1.2
3.6
6
7
8
题型一：一次函数性质推理计算问题
例1．（2022·浙江杭州·校考一模）已知一次函数y=(1−2m)x+m+1；
(1)若一次函数图象经过点P(2，0)，求m的值；
(2)若一次函数的图象经过第一、二、三象限；
①求m的取值范围；
②若点M(a−1,y1),N(a，y2)，在该一次函数的图象上，比较y1和y2大小．
【答案】(1)1
(2)①−1
（2）①根据一次函数y=(1−2m)x+m+1的图象经过第一、二、三象限，得到关于m的不等式组，从而求得m的取值范围；②根据一次函数y=(1−2m)x+m+1的图象经过第一、二、三象限得出1−2m>0，再根据一次函数的性质，可以判断y1和y2的大小关系．
【详解】（1）解：∵一次函数y=(1−2m)x+m+1的图象经过点P(2，0)，
∴0=(1−2m)×2+m+1，
解得，m=1，
即m的值是1；
（2）①∵一次函数y=(1−2m)x+m+1的图象经过第一、二、三象限，
∴1−2m>0m+1>0，
解得：−1
∴1−2m>0，
∴该函数y随x的增大而增大，
∵点M(a−1,y1),N(a，y2)在该一次函数的图象上，a−1
题型二：一次函数的应用——行程问题
例2．（2023·吉林长春·统考一模）甲乙两人相约一起去登山，登山过程中，甲先爬了100米、乙才开始追赶甲．甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）x≥0之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题：
(1)甲登山的速度是每分钟______米；
(2)若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，请求出乙提速后距离地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系，并写出相应自变量取值范围；
(3)直接写出甲乙相遇后，甲再经过多长时间与乙相距30米？
【答案】(1)10
(2)y=30x−30，2≤x≤11
(3)1.5分钟或10.5分钟
【分析】（1）根据图象可得：甲从100米到300米用时20分钟，代入速度公式即可求得；
（2）根据甲的速度求出乙的速度，设出函数表达式，并将点A坐标代入即可求得；
（3）分类讨论：①都未到达终点时，用乙的表达式减去甲的表达式，并令函数值为30，解方程即可，②乙到达终点后，甲距离终点30米，令表达式y=270，解方程即可．
【详解】（1）解：由图象可得：甲从100米到300米用时20分钟，
所以，甲的速度=300−10020=10米/分钟．
（2）解：由（1）得：甲的速度为10米/分钟，
∴乙的速度为30米/分钟，
设函数表达式为：y=30x+b，
将A2,30代入表达式可得：b=−30，
∴ y=30x−30，
当y=300时，解得x=11，
∴ 2≤x≤11．
（3）解：由图象可得：甲的表达式为：y=10x+100，
联立y=30x−30y=10x+100
解得：x=6.5
①甲乙相遇后，乙在前，甲在后，
∴ s=30x−30−10x+100=20x−130，
令s=30，解得：x=8，
8−6.5=1.5
故再经过1.5分钟与乙相距30米．
②当乙到达终点，甲距离目的地还有30米时，
即：10x+100=270，
解得x=17，
17−6.5=10.5，
故再经过10.5分钟与乙相距30米．
综上，故再经过1.5分钟或10.5分钟与乙相距30米．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，从图象中准确提取数据是解题关键．
题型三: 一次函数的应用——最大利润问题
例3．（2023·广西玉林·统考一模）随着网络的高速发展，世界各国在线教育用户规模不断增大，网络教师小李抓住时机，开始组建团队，制作面向A、B两个不同需求学生群体的微课视频．已知制作2个A类微课和3个B类微课需要2900元成本，制作3个A类微课和4个B类微课需要4100元成本．李老师又把做好的微课出售给某视频播放网站，每个A类微课售价1500元，每个B类微课售价1000元，该团队每天可以制作1个A类微课或者1．5个B类微课，且团队每月制作的B类微课数不少于A类微课数的2倍（注：每月制作的A、B两类微课的个数均为整数）．假设团队每月有22天制作微课，其中制作A类微课a天，制作A、B两类微课的月利润为w元．
(1)求团队制作一个A类微课和一个B类微课的成本分别是多少元？
(2)求w与a之间的函数关系式，并写出a的取值范围，并求当每月制作A类微课多少个时，该团队月利润w最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)团队制作一个A类微课和一个B类微课的成本分别是700元、500元；
(2)w=50a+165000
（2）由（1）及题意可直接进行求得w与a之间的函数关系式，结合一次函数的性质可直接进行求解．
【详解】（1）解：设团队制作一个A类微课的成本为x元，制作一个B类微课的成本为y元，
由题意得：2x+3y=29003x+4y=4100，
解得：x=700y=500；
答：团队制作一个A类微课和一个B类微课的成本分别是700元、500元；
（2）解：由题意得制作B类微课22−a天，则有：
w=1500−700a+1.5×1000−50022−a=50a+16500，
∵团队每月制作的B类微课数不少于A类微课数的2倍，
∴1.522−a≥2a，且a>0，
解得：0
∴w随a的增大而增大，
∵每月制作的A、B两类微课的个数均为整数，
∴22−a为偶数，
∴当a=8时，w取最大，最大值为W=50×8+16500=16900；
答：w=50a+165000
题型四：一次函数的应用——方案设计问题
例4．（2023·河南许昌·统考一模）为弘扬爱国精神，传承民族文化，某校组织了“诗词里的中国”主题比赛，计划去某超市购买A，B两种奖品共300个，A种奖品每个20元，B种奖品每个15元，该超市对同时购买这两种奖品的顾客有两种销售方案（只能选择其中一种）．
方案一：A种奖品每个打九折，B种奖品每个打六折．
方案二：A，B两种奖品均打八折．
设购买A种奖品x个，选择方案一的购买费用为y1元，选择方案二的购买费用为y2元．
(1)请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式．
(2)请你计算该校选择哪种方案支付的费用较少．
【答案】(1)y1=9x+2700，y2=4x+3600
(2)购买A种奖品超过180个时，方案二支付费用少；购买A种奖品180个时，方案一和方案二支付费用一样多；购买A种奖品少于180个时，方案一支付费用少
【分析】（1）根据总费用=A，B两种奖品费用之和列出y1、y2关于x的函数关系式；
（2）根据（1）中关系式分三种情况讨论即可．
【详解】（1）由题意得：y1=20×0.9x+15×0.6×(300−x)=9x+2700；
y2=20×0.8x+15×0.8×(300−x)=4x+3600，
∴y1与x之间的函数关系式为y1=9x+2700，y2与x之间的函数关系式为y2=4x+3600；
（2）当y1>y2时，9x+2700>4x+3600，
解得x>180，
∴购买A种奖品超过180个时，方案二支付费用少；
当y1=y2时，9x+2700=4x+3600，
解得x=180，
∴购买A种奖品180个时，方案一和方案二支付费用一样多；
当y1
∴购买A种奖品少于180个时，方案一支付费用少．
【点睛】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出函数解析式．
题型五: 一次函数的应用——分段讨论问题
例5．（2023·陕西西安·校考一模）甲网店对某款水果推出试吃活动：5千克及以内为试吃价，超出5千克的部分恢复原价．邮费都为20元，总价y（单位：元）与购买水果质量x（单位：千克）之间的函数图象如图所示．线下乙店的同款水果售价为每千克8元．
(1)求总价y与购买水果质量x之间的函数表达式；
(2)购买该款水果的质量在什么范围时，在甲店购买比在乙店购买省钱?
【答案】(1)甲网店总价y与购买水果质量x之间的函数关系式为y=2x+200≤x≤510x−20x>5；线下乙店的总价y与购买水果质量x之间的函数关系式为y=8x
(2)当103
（2）分两种情况进行讨论，当0≤x≤5时，当x>5时，根据甲网店比乙网店更省钱列一元一次不等式，求解即可．
【详解】（1）根据图象可知，甲网店水果的试吃价为每千克30−20÷5=2元，
甲网店水果原价为每千克60−30÷8−5=10元，
∴甲网店总价y与购买水果质量x之间的函数关系式为y=2x+200≤x≤510x−20x>5；
线下乙店的总价y与购买水果质量x之间的函数关系式为y=8x；
（2）当0≤x≤5时，2x+20<8x，
解得x>103，
∴103
解得x<10，
∴5
题型六：一次函数与几何综合问题
例6．（2023·河北唐山·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线l1过点A6,0，点B2,4，直线l2：y=kx−1与x轴交于点C．
(1)求直线l1的函数表达式．
(2)若直线l2过点B．
①求S△ABC的值．
②若点Pm,12m+1在△ABC内部，求m的取值范围．
(3)直线x=5与直线l1和直线l2分别交于点M、N，当线段MN的长不大于4时，求k的取值范围．
【答案】(1)y=−x+6
(2)①565；②1
【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）①把点B坐标代入y=kx−1，求得k的值，得l2的解析式，再求出点C坐标，最后根据三角形面积公式可求解；②求得点P在直线y=12x+1上，再分别与直线l1和直线l2联立，求出方程组的解即可确定m的取值；
（3）分点N在点M的上方和下方两种情况求出k的最大值和最小值即可得出k的取值范围．
【详解】（1）设直线l1的函数表达式为y=ax+b．
∵直线l1经过点A6,0和点B2,4，
∴0=6a+b4=2a+b，解得a=−1b=6，
∴直线l1的函数表达式为y=−x+6．
（2）①∵直线l2经过点B2,4，
∴4=2k−1，
∴k=52．
∴直线l2的表达式为y=52x−1．
当y=0时，0=52x−1，x=25，
∴C25,0．
∴S△ABC=12AC⋅yB=12×6−25×4=565．
②∵点Pm,12m+1，
∴点P在直线y=12x+1上．
∴y=−x+6y=12x+1，
解得x=103y=83；
y=52x−1y=12x+1，
解得x=1y=32．
∵点P在△ABC的内部，
∴1
∵点M在直线l1上，
∴M5,1，MN=4，
∴N5,5．
又∵点N在直线l2上，
∴5=5k−1，
∴k=65．
②点N在点M的下方，N5,−3．
∵点N在直线l2上，
∴−3=5k−1，
∴k=−25．
∴−25≤k≤65
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次方程（组）的解法，考查了分类讨论思想．第（3）题题要注意分类讨论的目的性．
题型七: 一次函数与几何动点问题
例7．（2023·天津西青·统考一模）在平面直角坐标系中，O为原点，△DOE是等腰直角三角形，∠ODE=90°，DO=DE=3，点D在x轴的负半轴上，点E在第二象限，矩形ABCO的顶点B4,2，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上．将△DOE沿x轴向右平移，得到△D'O'E'，点D，O，E的对应点分别为D'，O'，E'．
(1)如图1，当E'O'经过点A时，求点E'的坐标；
(2)设OO'=t，△D'O'E'与矩形ABCO重叠部分的面积为S；
①如图②，当△D'O'E'与矩形ABCO重叠部分为五边形时，D'E'与AB相交于点M，E'O'分别与AB，BC交于点N，P，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②请直接写出满足S=72的所有t的值．
【答案】(1)E'−1,3
(2)①S=−12t2+4t−44
（2）①用S=S矩形OABC−S矩形OD'MA−S△BPN进行求解即可，当O'与点C重合，再移动直至直线O'E'过点B之前时，重叠部分为五边形，求出t的范围即可；②分0
∴D−3,0，E−3,3，
矩形ABCO的顶点B4,2，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，
∴A0,2,C4,0，
设直线OE的解析式为：y=kx，
则：3=−3k，
∴k=−1，
∴y=−x，
设平移后O'E'的解析式为：y=−x+b，
∵直线O'E'过点A，
∴b=2，
∴y=−x+2，
当x=0时，y=2，
∴O'2,0，
∴OO'=2，
∴△DOE沿x轴向右平移了2个单位，
∴E'−1,3；
（2）解：①由题意，得：DD'=OO'=t，O'D'=OD=3，AB=OC=4，AO=BC=2，∠D'O'E'=45°
∴OD'=t−3，CP=CO'=OO'−OC=t−4, ∠BPN=45°，BP=BN=BC−CP=2−t−4=6−t，
∴S=S矩形OABC−S矩形OD'MA−S△BPN
=4×2−2t−3−126−t2
=−12t2+4t−4；
如图，当O'与点C重合，再移动直至直线O'E'过点B之前时，重叠部分为五边形，
∴当O'与点C重合时，t=4，
∵直线O'E'的解析式为：y=−x+b，当直线O'E'过点B4,2时，
∴2=−4+b，
∴b=6，
∴y=−x+6，
当y=0时，x=6，此时O'6,0，
∴t=OO'=6，
∴4
当S=72时，12t2=72，解得：t=±7，
∵0
∴OH=OO'=t，
∵AG∥OO'，
∴∠AGH=∠OO'H=45°，
∴AG=AH=OH−OA=t−2，
∴S=S△OO'H−S△AGH=12t2−12t−22=2t−2，
当S=72时，2t−2=72，解得：t=114；
当3
∴S=S△DO'E'−S△E'GH=12×3×3−12×1×1=4≠72；
当4
当6≤t<7时，重叠部分为矩形D'CBH，如图：
D'C=OC−O'D=OC−OO'−O'D'=4−t−3=7−t，
∴S=27−t=14−2t，
当S=72时，14−2t=72，解得：t=214（不合题意，舍掉）；
综上，t=114．
【点睛】本题考查坐标与平移，一次函数的综合应用，等腰三角形性质，矩形的性质．属于中考压轴题，确定动点的位置，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
题型八：一次函数与新定义问题
例8．（2023·北京·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点Ma,b，对于点Px,y给出如下定义：将点P向右（a>0）或向左（a<0）平移a个单位长度，再向上（b>0）或向下（b<0）平移b个单位长度，得到点P'，点P'与点M的中点为Q，称点Q为点P的关于点M的“平移中点”．【已知Ax1,y1，Bx2,y2，则AB中点坐标为x1+x22,y1+y22】
(1)①若A3,2，B1,0，则AB中点坐标为______；
②若M2,1，P2,4，则点Q的坐标为______
(2)已知M1,1，点P在直线l：y=3x上．当点Q在第一象限时，点P横坐标t取值范围是______
(3)已知正方形ABCD的边长为2，各边与x轴平行或者垂直，其中心为5,5，点Px,y为正方形ABCD上的动点
①当a=b=0时，在点P运动过程中，点Q形成的图形的面积是______
②当点Ma,b在直线：y=3x上，在点P运动过程中，若存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部，则a的取值范围是______．
【答案】(1)① 2,1 ② 3,3
(2)t>−1
(3)①1 ② 56≤a≤76
【分析】（1）①根据中点坐标公式即可求解；②根据定义可求P'的坐标，再由中点坐标公式求出Q的坐标．
（2）根据题意可得P't+1,2t+1，再根据“平移中点”的定义，可得Q1+t2,t+1，再由点Q在第一象限，可得到关于t的不等式组，即可求解．
（3）①根据“平移中点”的定义，可得Qx2,y2，从而得到Q点形成的正方形边长为1，即可求解；②根据题意可得Qa+x2,3a+y2，从而得到3≤x≤5，3≤y≤5，再求出临界值，即可求解．
【详解】（1）解：①解： ∵ A3,2,B1，0
∴ AB中点坐标公式为3+12，2+02，即2，1
故答案为：2，1
②解：∵ P2，4向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到P'4，5
∴ P'4，5与M2，1的中点坐标为Q4+22，1+52，即3，3
故答案为：3，3
（2）解：∵点P在直线l：y=3x上，M1,1，
∴P't+1,2t+1，
∴Q1+t2,t+1，
∵点Q在第一象限，
∴1+t2>0t+1>0，
∴t>−1
（3）解：①：当a=b=0时，M0,0
∵ Px,y
∴ P'x,y
∴Qx2,y2
∵ P点在正方形ABCD上
∴Q点的运动形成的图形也是正方形
∵正方形ABCD的边长为2
∴Q点形成的正方形边长为1
∴点Q形成的图形的面积是1
故答案为：1
②解：∵点Ma，b在直线：y=3x上
∴ Ma,3a
∵点Px，y
∴ P'x+a,y+3a
∴Qa+x2,3a+y2
∵正方形的中心是5,5，边长为2
∴3≤x≤5，3≤y≤5，
当a+x2=3时，x=6−2a，
∴3≤6−2a≤5，
∴−1≤a≤32时，存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部；
当3a+y2=5时，y=10−6a，
∴3≤10−6a≤5，
∴56≤a≤76时，存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部；
综上所述：56≤a≤76时，存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部．
【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，熟练掌握一次函数的图像及性质，理解定义，灵活应用中点坐标公式，数形结合解题是关键．
一．解答题（共24小题）
1．（2023•韩城市一模）韩城地处陕西省东部黄河西岸，关中盆地东北隅，其饮食风格充满浓郁的关中风味和西北风味特点，有很多独特的美食小吃，有羊肉饸饹、羊肉胡悖、红甜面、韩城馄饨、油酥角、石子馍、武家手工面等等，某韩城特产专卖店同时购进石子馍和油酥角两种商品共300盒，其进价和售价如表，设购进石子馍x盒，销售完这300盒商品的总利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该专卖店计划最多投入4000元用于购进这两种商品，购进多少盒石子馍，专卖店售完这两种商品可获得最大利润？获得的最大利润是多少元？
【答案】（1）y＝﹣10x+6000；
（2）购进100盒石子馍，专卖店售完这两种商品可获得最大利润，获得的最大利润是5000元．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以写出y与x之间的函数关系式；
（2）根据题意，可以写出利润关于x的函数关系式，然后根据该专卖店计划最多投入4000元用于购进这两种商品，可以列出相应的不等式，求出x的取值范围，然后根据一次函数的性质求最值．
【详解】解：（1）由题意可得，
y＝（25﹣10）x+（35﹣15）（300﹣x）＝﹣10x+6000，
即y与x之间的函数关系式是y＝﹣10x+6000；
（2）由（1）知：y＝﹣10x+6000，
∴y随x的增大而减小，
∵该专卖店计划最多投入4000元用于购进这两种商品，
∴10x+15（300﹣x）≤4000，
解得x≥100，
∴当x＝100时，y取得最大值，此时y＝5000，
答：购进100盒石子馍，专卖店售完这两种商品可获得最大利润，获得的最大利润是5000元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
2．（2023•碑林区校级模拟）某公司准备把30吨货物全部运往甲、乙两地，运往甲，乙两地的费用如表：
设运往甲地的货物为x吨，全部运出的总费用为y元．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若该公司运出货物的总费用不超过4800元，求该公司运往甲地至少多少吨货物？
【答案】（1）y与x间的函数表达式为y＝﹣80x+6000；
（2）该公司运往甲地至少15吨货物．
【分析】（1）根据总费用＝运往甲地和乙地的费用之和列出函数解析式；
（2）令y≤4800，解不等式即可．
【详解】解：（1）设运往甲地为x吨，则运往乙地（30﹣x）吨，
根据题意得：y＝120x+200（30﹣x）＝﹣80x+6000，
∴y与x间的函数表达式为y＝﹣80x+6000；
（2）∵该公司运出货物的总费用不超过4800元，
∴﹣80x+6000≤4800，
解得x≥15，
答：该公司运往甲地至少15吨货物．
【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
3．（2023•雁塔区校级模拟）平板电脑专卖店的老板计划用不超过16万元的资金购进A，B两种型号的平板电脑100台．其中，A型平板电脑的进价是1200元/台，B型平板电脑的进价是2000元/台．为了让利于顾客、老板在网上做了市场调研，结合其他成本，决定将A型平板电脑的售价定为1560元/台无优惠，B型平板电脑标价3350元/台后打8折销售．设购进A型平板电脑x台，销售这100台平板电脑的总利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）求这家专卖店销售这100台平板电脑的最大利润．
【答案】（1）y＝﹣320x+68000；
（2）52000元．
【分析】（1）根据x台A型平板电脑的利润加上（100﹣x）台B型平板电脑的利润＝总利润，列出函数关系式即可；
（2）根据平板电脑专卖店的老板计划用不超过16万元的资金购进A，B两种型号的平板电脑100台，列一元一次不等式，求出x取值范围，再根据一次函数的性质即可确定最大利润．
【详解】解：（1）y＝（1560﹣1200）x+（3350×0.8﹣2000）（100﹣x）＝﹣320x+68000；
（2）根据题意，得1200x+2000（100﹣x）≤160000，
解得x≥50，
在y＝﹣320x+68000中，k＝﹣320＜0，
∴y随着x增大而减小，
当x＝50时，y取得最大值，最大值为﹣320×50+68000＝52000（元），
答：这家专卖店销售这100台平板电脑的最大利润为52000元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键．
4．（2023•许昌一模）据悉，河南省中招体育考试成绩将于2024年起，由现在的满分70分提高到100 分计入总分．某中学为了满足体育课的需要，计划购买A，B两个品牌的篮球若干个，市场调研得知，购买5个A品牌和购买10个B品牌的篮球共需1300元；购买10个A品牌和购买5个B品牌的篮球共需1400元．
（1）求A，B两种品牌篮球的单价；
（2）学校在选定的超市实际购买时，发现有两种购买方案：
方案一：购买A品牌篮球的数量如果不超过10个，按原价销售；如果超过10个，超过部分按八折优惠；B品牌篮球一律按原价销售．
方案二：购买A品牌和B品牌篮球都按八五折优惠．
该中学计划购买A品牌篮球x个，B品牌篮球10个．
①请分别写出这两种方案所需的费用y（单位：元）与x的函数关系式；
②已知x＞10，则该校选择哪种方案购买更合算？请说明理由．
【答案】（1）A品牌篮球的单价为100元，B品牌篮球的单价为80元；
（2）①方案一：当0＜x≤10时，y＝100x+800；当x＞10时，y＝80x+1000；
方案二：y＝85x+680；
②当10＜x＜64时，选择方案二合算；当x＝64时，两种方案费用相同；当x＞64时，选择方案一合算，理由见解析．
【分析】（1）设A品牌篮球的单价为m元，B品牌篮球的单价为n元，根据购买5个A品牌和购买10个B品牌的篮球共需1300元；购买10个A品牌和购买5个B品牌的篮球共需1400元，列二元一次方程组，求解即可；
（2）①根据给定的购买方案分别列出函数关系式即可；
②当80x+1000＞85x+680时，当80x+1000＝85x+680时，当80x+1000＜85x+680时，分别求解即可确定哪种合算．
【详解】解：（1）设A品牌篮球的单价为m元，B品牌篮球的单价为n元，
根据题意，得5m+10n=130010m+5n=1400，
解得m=100n=80，
答：A品牌篮球的单价为100元，B品牌篮球的单价为80元；
（2）①方案一：当0＜x≤10时，y＝100x+10×80＝100x+800，
当x＞10时，y＝100×10+100×0.8（x﹣10）+80×10＝80x+1000，
方案二：y＝100×0.85x+80×0.85×10＝85x+680，
∴方案一：当0＜x≤10时，y＝100x+800；当x＞10时，y＝80x+1000；
方案二：y＝85x+680；
②当10＜x＜64时，选择方案二合算；当x＝64时，两种方案费用相同；当x＞64时，选择方案一合算，理由如下：
∵x＞10，
当80x+1000＞85x+680时，x＜64，此时方案二合算；
当80x+1000＝85x+680时，x＝64，此时两种方案费用相同；
当80x+1000＜85x+680时，x＞64，此时方案一合算，
∴当10＜x＜64时，选择方案二合算；当x＝64时，两种方案费用相同；当x＞64时，选择方案一合算．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立函数关系式是解题的关键．
5．（2023•绿园区一模）甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息解答下列问题：
（1）甲队在开挖后6小时内，每小时挖 10 m．
（2）当2≤x≤6时，求y乙与x的之间的函数关系式．
（3）直接写出开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差5m．
【答案】（1）10；
（2）当2≤x≤6时，y乙与x的之间的函数关系式为y乙＝5x+20；
（3）当两队所挖的河渠长度之差为5m时，x的值为1h或3h或5h．
【分析】（1）结合图象，用甲6小时挖的长度÷时间，即可得出结论；
（2）根据图中的信息利用待定系数法即可确定函数关系式；
（3）先用待定系数法求出y甲与x的之间的函数关系式以及当0≤x≤2时y乙与x的函数解析式，然后根据他们所挖河渠长度差为5米，列出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）根据图象可知，甲队在开挖后6小时内，每小时挖606=10（米），
故答案为：10；
（2）设乙队在2≤x≤6的时段内y乙与x之间的函数关系式为y乙＝kx+b（k≠0），
由图可知，函数图象过点（2，30）、（6，50），
∴2k+b=306k+b=50，
解得k=5b=20，
∴当2≤x≤6时，y乙与x的之间的函数关系式为y乙＝5x+20；
（3）当0≤x≤2时，设y乙与x的函数解析式为y乙＝mx，
可得2m＝30，
解得m＝15，
即y乙＝15x；
设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式y甲＝k1x，
由图可知，函数图象过点（6，60），
∴6k1＝60，
解得k1＝10，
∴y甲＝10x；
当0≤x≤2时，15x﹣10x＝5，
解得x＝1；
当2＜x≤6时，|5x+20﹣10x|＝5，
解得x＝3或x＝5．
答：当两队所挖的河渠长度之差为5m时，x的值为1h或3h或5h．
【点睛】此题主要考查学生对函数图象掌握情况及利用待定系数法求一次函数关系式，理解题意是解题的关键．
6．（2023•河北区一模）快递站、药店和客户家依次在同一直线上，快递站距药店、客户家的距离分别为600m和1800m，快递员小李从快递站出发去往客户家送快递，他先匀速骑行了10min后，接到该客户电话，又用相同的速度骑行了6min返回刚才路过的药店帮该客户买药，小李在药店停留了4min后，继续去往客户家，为了赶时间他加快速度，匀速骑行了6min到达客户家准时投递，下面的图象反映了这个过程中小李离快递站的距离y（m）与离开快递站的时间x（min）之间的对应关系．
请解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
（Ⅱ）填空：
①药店到客户家的距离是 1200 m；
②小李从快递站出发时的速度为 150 m/min；
③小李从药店取完药到客户家的骑行速度为 200 m/min；
④小李离快递站的距离为1200m时，他离开快递站的时间为 8或12或23 min；
（Ⅲ）当10≤x≤26时，请直接写出y关于x的函数解析式．
【答案】（Ⅰ）1200；600；1800；
（Ⅱ）①1200；②150；③200；④8或12或23；
（Ⅲ）y关于x的函数解析式为y=−150x+3000(10≤x≤16)600(16＜x≤20)200x−3400(20＜x≤26)．
【分析】（Ⅰ）由图象可求出小李在16分钟之前的速度，从而可以求出x＝8时小李离快递站的距离，然后从图象中直接得出x＝18，26时y的值；
（Ⅱ）①根据速度＝路程÷时间即可得出结论；
②由（Ⅰ）可得结论；
③根据速度＝路程÷时间即可得出结论；
④根据图象分别求出小李离快递站的距离为1200m时的时间；
（Ⅲ）分段由待定系数法求函数解析式．
【详解】解：（Ⅰ）由图象知，当小李离开快递站匀速骑行了10min，骑行了1500m，
速度为：150010=150（m/min），
∴当x＝8时，小李离快递站的距离为150×8＝1200（m）；
当x＝18时，小李在药店买药，
∴小李离快递站的距离为600m；
当x＝26时，小李到达客户家，
∴小李离快递站的距离为1800m；
故答案为：1200；600；1800；
（Ⅱ）①由图象知，药店到客户家的距离是1800﹣600＝1200（m）；
②由（Ⅰ）知，小李从快递站出发时的速度为150m/min；
③小李从药店取完药到客户家的骑行速度为1800−60026−20=200（m/min）；
④小李第一次离快递站1200m时，所需时间为1200150=8（min）；
小李第二次离快递站1200m时，所需时间为8+2（10﹣8）＝12（min）；
小李第二次离快递站1200m时，所需时间20+1200−600200=20+3＝23（min），
故答案为：①1200；②150；③200；④8或12或23；
（Ⅲ）当10≤x≤16时，设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，
则10k+b=150016k+b=600，
解得k=−150b=3000，
∴y＝﹣150x+3000；
当16＜x≤20时，y＝600；
当20＜20≤26时，设y关于x的函数解析式为y＝mx+n，
则20m+n=60026m+n=1800，
解得m=200n=−3400，
∴y＝200x﹣3400；
综上所述，y关于x的函数解析式为y=−150x+3000(10≤x≤16)600(16＜x≤20)200x−3400(20＜x≤26)．
【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是读取图形中的信息，逐一讨论．
7．（2023•红桥区一模）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知小明家、体育馆、图书馆依次在同一条直线上．小明从家出发，匀速骑行0.5h到达体育馆；在体育馆停留一段时间后，匀速步行0.4h到达图书馆；在图书馆停留一段时间后，匀速骑行返回家中，给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离ykm与离开家的时间xh之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
（Ⅱ）填空：
①体育馆与图书馆之间的距离为 2 km；
②小明从体育馆到图书馆的步行速度为 5 km/h；
③当小明离开家的距离为4km时，他离开家的时间为 13或3.75 h．
（Ⅲ）当2≤x≤4时，请直接写出y关于x的函数解析式．
【答案】（Ⅰ）3.6，7，8；
（Ⅱ）13或3.75；
（Ⅲ）当2≤x≤4时，y关于x的函数解析式是y=5x−4(2≤x≤2.4)8(2.4＜x≤3.5)−16x+64(3.5＜x≤4)．
【分析】（Ⅰ）根据题意和函数图象，可以将表格补充完整；
（Ⅱ）①根据函数图象中的数据，可以得到体育馆与图书馆之间的距离；
②根据速度＝路程÷时间计算即可；
③根据图象可知，分两种情况，然后计算即可；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的结果和函数图象中的数据，可以写出当2≤x≤4时，y关于x的函数解析式．
【详解】解：（Ⅰ）由图象可得，
在前0.5h的速度为6÷0.5＝12（km/h），
故当x＝0.3时，小明离开家的距离为0.3×12＝3.6（km），
当2＜x≤2.4时，速度为8−62.4−2=5（km/h），
∴当x＝2.2时，y＝6+5×0.2＝7，
在2.4＜x≤3.5时，距离不变，都是8km，故当x＝2.2时，小明离开家的距离为8km，
故答案为：3.6，7，8；
（Ⅱ）由图象可得，
①体育馆与图书馆之间的距离为2km，
故答案为：2；
②小明从体育馆到图书馆的步行速度为：（8﹣6）÷（2.4﹣2）＝5（km/h），
故答案为：5；
③当0≤x≤0.5时，
小明离家的距离为4km时，小明离开家的时间为4÷12=13（h），
当3.5≤x≤4时，
小明离家的距离为4km时，小明离开家的时间为3.5+4÷[8÷（4﹣3.5）]＝3.75（h），
故答案为：13或3.75；
（Ⅲ）由图象可得，
①当2≤x≤2.4时，设y＝kx+b，
2k+b=62.4k+b=8，
解得k=5b=−4，
∴y＝5x﹣4；
②当2.4＜x≤3.5时，y＝8，
③当3.5＜x≤4时，设y＝mx+n，
则3.5m+n=84m+n=0，
解得m=−16n=64，
∴y＝﹣16x+64；
由上可得，当2≤x≤4时，y关于x的函数解析式是y=5x−4(2≤x≤2.4)8(2.4＜x≤3.5)−16x+64(3.5＜x≤4)．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（2023•长春一模）甲乙两人相约一起去登山，登山过程中，甲先爬了100米、乙才开始追赶甲．甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）（x≥0）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山的速度是每分钟 10 米；
（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，请求出乙提速后距离地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系，并写出相应自变量取值范围；
（3）直接写出甲乙相遇后，甲再经过多长时间与乙相距30米？
【答案】（1）10；
（2）乙提速后距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝30x﹣30（2＜x≤11）；
（3）甲乙相遇后，甲再经过1.5分或10.5分与乙相距30米．
【分析】（1）根据速度＝高度÷时间即可算出甲登山上升的速度；
（2）当x＞2时，根据高度＝初始高度+速度×时间即可得出y关于x的函数关系；
（3）先求出甲、乙相遇时所用时间，在路程之间的关系列出方程求解即可．
【详解】解：（1）由图象可知，甲登山的速度为（300﹣100）÷20＝10（米/分钟），
故答案为：10；
（2）当x＞2时，y＝30+10×3（x﹣2）＝30x﹣30，
当y＝30x﹣30＝300时，x＝11，
∴乙提速后距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝30x﹣30（2＜x≤11）；
（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝10x+100（0≤x≤11），
当10x+100＝30x﹣30时，
解得：x＝6.5；
∴30（x﹣6.5）﹣10（x﹣6.5）＝30，
解得x＝8，
∴x﹣6.5＝1.5；
当甲距离山顶30米时，
此时20﹣3﹣6.5＝10.5（分），
答：甲乙相遇后，甲再经过1.5分或10.5分与乙相距30米．
【点睛】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是根据数量关系列出函数解析式．
9．（2023春•城阳区期中）已知小明家到学校总路程为3600米，一天，小明放学后，以75米/分的速度从学校往家走，走到离学校1500米时，正好遇到一个同学，停下又交流了35分钟练习册中数学题，之后加快速度以120米/分的速度跑步回了家．小明回家过程中，离家的路程S（米）与所用时间t（分）之间的关系如图所示．
（1）求a的值；
（2）b＝ 2100 ，c＝ 55 ．
（3）小明从学校到家一共用了分钟．
【答案】（1）20；
（2）2100；55；
（3）小明从学校到家一共用了72.5分．
【分析】（1）根据时间等于路程除以速度可得a的值；
（2）根据学校到小明家总路程为3000米、走到离学校1500米可得b的值，然后根据正好遇到一个同学，停下交流了35分钟练习册中数学题，可得c的值；
（3）求出小明跑步回家的时间，再+a+c即可．
【详解】解：（1）由题意得：a＝1500÷75＝20，
故答案为：20；
（2）b＝3600﹣1500＝2100，
c＝a+35＝20+35＝55，
故答案为：3100，55；
（3）小明跑步回家所用时间为：2100120=17.5（分），
20+35+17.5＝72.5（分），
∴小明从学校到家一共用了72.5分．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键．
10．（2023春•城阳区期中）某校组织学生“探寻红色印记，传承红色基因”为主题的研学旅行，全程导游讲解使学生增长见识，参加旅行的人数估计为30至50人（包含30人和50人），甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人1000元，经过协商，甲旅行社表示可给予每人八折优惠，且导游讲解免费；乙旅行社表示可给予每人七五折优惠，但需支付导游讲解费用共2000元，设该校有x人参加这次研学旅行，选择甲旅行社所需费用为y1元，选择乙旅行社所需费用为y2元．
（1）求出y1与x之间的函数关系式，y2与x之间的函数关系式．
（2）若该校共有50人要参加此次旅游，则选择哪家旅行社可以使总费用较低？请说明理由．
（3）计算说明人数在什么范围内，选乙旅行社合算．
【答案】（1）y1与x之间的函数关系式为y1＝800x；y2与x之间的函数关系式为y2＝750x+2000；
（2）选择乙旅行社可以使总费用较低；
（3）人数在40到50（包括50不包括40）范围内，选乙旅行社合算．
【分析】（1）甲旅行社需要的费用为：0.8×1000x；乙旅行社的收费为：0.75×1000x+2000；
（2）将x＝50分别代入（1）求得的函数解析式，计算即可求解；
（3）令y2＜y1，解不等式即可．
【详解】解：（1）根据题意得：y1＝1000×0.8x＝800x；
y2＝1000×0.75x+2000＝750x+2000；
∴y1与x之间的函数关系式为y1＝800x；y2与x之间的函数关系式为y2＝750x+2000；
（2）当x＝50时，y1＝800×50＝40000；
y2＝750×50+2000＝37500+2000＝39500，
∵39500＜40000，
∴选择乙旅行社可以使总费用较低；
（3）当y2＜y1时，即750x+2000＜800x，
解得x＞40，
∵30≤x≤50，
∴40＜x≤50，
∴人数在40到50（包括50不包括40）范围内，选乙旅行社合算．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，得出相应的函数解析式．
11．（2023•杏花岭区校级模拟）在2022年卡塔尔世界杯期间，某商店分两次购入某款纪念册和某款吉祥物两种商品进行销售，若两次进价相同，第一次购入25件纪念册和20件吉祥物共花费5250元，第二次购入20件纪念册和25件吉祥物共花费6000元．
（1）分别求每件纪念册和每件吉祥物的进价．
（2）为满足市场需求，商店准备第三次购入纪念册和吉祥物共500件，且购入吉祥物的数量不超过纪念册数量的2倍．若进价不变，每件纪念册与每件吉祥物的售价分别为65元、220元，求购入纪念册和吉祥物分别多少件时，商店获得利润最高．
【答案】（1）每件纪念册的进价为50元，每件吉祥物的进价为200元；
（2）购入纪念册167件，吉祥物333件时，商店获得利润最高．
【分析】（1）设每件纪念册的进价为x元，每件吉祥物的进价为y元，根据“购入25件纪念册和20件吉祥物共花费5250元，购入20件纪念册和25件吉祥物共花费6000元”列出方程组，解方程组即可；
（2）设商店购入纪念册m件，则购进吉祥物（500﹣m）件，利润为w元，根据总利润＝两种利润之和列出函数解析式，由函数的性质求出函数的最值，并求出此时m得值．
【详解】解：（1）设每件纪念册的进价为x元，每件吉祥物的进价为y元，
根据题意得25x+20y=525020x+25y=6000，
解得x=50y=200，
答：每件纪念册的进价为50元，每件吉祥物的进价为200元；
（2）设商店购入纪念册m件，则购进吉祥物（500﹣m）件，利润为w元，
根据题意得：w＝（65﹣50）m+（220﹣200）（500﹣m）＝15m+20（500﹣m）＝﹣5m+10000，
∵购入吉祥物的数量不超过纪念册数量的2倍，
∴500﹣m≤2m，
解得m≥5003，
∵m为正整数，
∴m的最小值为167，
∵﹣5＜0，
∴当m＝167时，w有最大值，
此时，500﹣m＝500﹣167＝333，
购入纪念册167件，吉祥物333件时，商店获得利润最高．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组和一次函数，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
12．（2023春•鄂城区期中）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．
请解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为 300 米/分钟，乙的速度为 800 米/分钟；
（2）求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？
【答案】（1）300；800；
（2）y＝800x﹣2400（3≤x≤6）；
（3）出发611分钟或185分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．
【分析】（1）利用速度＝路程÷时间，找准甲乙的路程和时间即可得出结论；
（2）根据（1）中的计算可得出点G的坐标，设直线FG的解析式为：y＝kx+b，将F，G的坐标代入，求解方程组即可；
（3）根据题意可知存在三种情况，然后分别计算即可．
【详解】解：（1）根据题意可知D（1，800），E（2，800），
∴乙的速度为：800÷1＝800（米/分钟），
∴乙从B地到C地用时：2400÷800＝3（分钟），
∴G（6，2400）．
∴H（8，2400）．
∴甲的速度为2400÷8＝300（米/分钟），
故答案为：300；800；
（2）设直线FG的解析式为：y＝kx+b（k≠0），且由图象可知F（3，0），
由（1）知G（6，2400）．
∴3k+b=06k+b=2400，
解得，k=800b=−2400．
∴直线FG的解析式为：y＝800x﹣2400（3≤x≤6）．
（3）由题意可知，AB相距800米，BC相距2400米．
∵O（0，0），H（8，2400），
∴直线OH的解析式为：y＝300x，
∵D（1，800），
∴直线OD的解析式为：y＝800x，
当0≤x≤1时，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，即甲乙朝相反方向走，
∴令800x+300x＝600，解得x=611．
∵当2≤x≤3时，甲从B继续往C地走，乙从A地往B地走，
∴300x+800﹣800（x﹣2）＝600解得x=185（不合题意，舍去）
∵当x＞3时，甲从B继续往C地走，乙从B地往C地走，
∴300x+800﹣800（x﹣2）＝600或800（x﹣2）﹣（300x+800）＝600，
解得x=185或x＝6．
综上，出发611分钟或185分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．
【点睛】本题考查一次函数的应用、路程＝速度×时间的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，将图象中的信息转化为实际行程问题，属于中考常考题型．
13．（2023春•雨花区期中）约定：如果函数的图象经过点（m，n），我们就把此函数称作“（m，n）族函数”．比如：正比例函数y＝2x的图象经过点（1，2），所以正比例函数y＝2x就是“（1，2）族函数”．
（1）①以下数量关系中，y不是x的函数的是 BE （填选项）
②以下是“（﹣1，1）族函数”的是 AEF （填选项）
A.y=−1x
B．|y|＝x
C．y＝x2+2x﹣4
D．y＝|x|+1
E．y2＝﹣x
F．y＝2x+3
（2）已知一次函数y＝kx﹣k+1（k为常数，k≠0）．
①若该函数是“（−12，4）族函数”，求k的值．
②无论k取何值，该函数必经过一定点，请写出该定点的坐标．
（3）已知一次函数y＝2x+4和y＝﹣x+1都是“（m，n）族函数”．当m≤x≤1时，一次函数y＝kx+b的函数值y恰好有12n≤1y≤−12m，求该一次函数的解析式．
【答案】（1）①BE；
②AEF；
（2）①k＝﹣2；
②无论k取何值，该函数必经过一定点（1，1）；
（3）该一次函数的解析式为y＝x+3或y＝﹣x+3．
【分析】（1）①根据函数的定义即可求解；
②将点（﹣1，1）代入各选项函数解析式中即可解答；
（2）①将点（−12，4）代入一次函数y＝kx﹣k+1中，即可求解；
②函数解析式可变形为y＝k（x﹣1）+1，令x﹣1＝0即可求解；
（3）由题意可知一次函数y＝2x+4的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象的交点为（m，n），联立两函数解析式，求得交点为（﹣1，2），即m＝﹣1，n＝2，进而得到当﹣1≤x≤1时，一次函数y＝kx+b的函数值y恰好有2≤y≤4，再分k＞0或k＜0两种情况，当k＞0时，此时一次函数过点（﹣1，2），（1，4）；当k＜0时，此时一次函数过点（﹣1，4），（1，2）；再分别根据待定系数法即可求解．
【详解】解：（1）①对于B选项，|y|＝x，则x与y不是唯一对应关系，不符合函数定义，即y不是x的函数，
对于E选项，y2＝﹣x，则x与y不是唯一对应关系，不符合函数定义，即y不是x的函数，
故答案为：BE；
②A．∵1=−1−1，∴y=−1x是“（﹣1，1）族函数”，
B．∵1≠﹣1，∴|y|＝x不是“（﹣1，1）族函数”，
C．∵1≠1﹣2﹣4，∴y＝x2+2x﹣4不是“（﹣1，1）族函数”，
D.1≠1+1，∴y＝|x|+1不是“（﹣1，1）族函数”，
E.1＝﹣（﹣1），∴y2＝﹣x是“（﹣1，1）族函数”，
F.1＝﹣2+3，∴y＝2x+3是“（﹣1，1）族函数”，
故答案为：AEF；
（2）①∵一次函数y＝kx﹣k+1（k为常数，k≠0）是“（−12，4）族函数”，
∴4=−12k−k+1，
解得：k＝﹣2；
②∵y＝kx﹣k+1＝k（x﹣1）+1，
令x﹣1＝0，则x＝1，y＝1，
∴无论k取何值，该函数必经过一定点（1，1）；
（3）∵一次函数y＝2x+4和y＝﹣x+1都是“（m，n）族函数”，
∴一次函数y＝2x+4的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象的交点为（m，n），
联立得：y=2x+4y=−x+1，
解得：x=−1y=2，
∴交点为（﹣1，2），
∴m＝﹣1，n＝2，
∵当m≤x≤1时，一次函数y＝kx+b的函数值y恰好有12n≤1y≤−12m，
∴当﹣1≤x≤1时，一次函数y＝kx+b的函数值y恰好有2≤y≤4，
①当k＞0时，
此时一次函数过点（﹣1，2），（1，4），
∴2=−k+b4=k+b，
解得：k=1b=3，
∴y＝x+3；
②当k＜0时，
此时一次函数过点（﹣1，4），（1，2），
∴4=−k+b2=k+b，
解得：k=−1b=3，
∴y＝﹣x+3；
综上，该一次函数的解析式为y＝x+3或y＝﹣x+3．
【点睛】本题主要考查函数的定义、新定义、用待定系数法求函数解析式、一次函数的性质，理解新定义，并学会利用分类讨论思想解决问题是解题关键．
14．（2023•佳木斯一模）如图，将矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为坐标原点．点A在y轴上，点C在x轴上，OA，OB的长是x2﹣16x+60＝0的两个根，P是边AB上的一点，将△OAP沿OP折叠，使点A落在OB上的点Q处．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线PQ的解析式；
（3）点M在直线OP上，点N在直线PQ上，是否存在点M，N，使以A，C．M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）B（8，6）；
（2）直线PQ解析式为y=−43x+10；
（3）存在点M，N，使以A，C．M，N为顶点的四边形是平行四边形，N的坐标为（6，2）或（−185，745）或（485，−145）．
【分析】（1）由x2﹣16x+60＝0得OA＝6，OB＝10，在Rt△AOB中，AB=OB2−OA2=8，故B（8，6）；
（2）过Q作QG⊥AB于G，交OC于H，根据将△OAP沿OP折叠，使点A落在OB上的点Q处，可得BQ＝OB﹣OQ＝4，设AP＝QP＝x，有x2+42＝（8﹣x）2，解得AP＝PQ＝3，BP＝8﹣x＝5，知P（3，6），用面积法可得QG=PQ⋅BQBP=125，用勾股定理得PG=PQ2−QG2=95，即可得Q（245，185），再用待定系数法即得直线PQ解析式为y=−43x+10；
（3）由P（3，6）得直线OP解析式为y＝2x，设M（m，2m），N（n，−43n+10），分三种情况：①若MN，AC为对角线，则MN，AC的中点重合，m+n=0+82m−43n+10=6+0，②若MA，NC为对角线，则MA，NC的中点重合，m+0=n+82m+6=−43n+10+0，③若MC，NA为对角线，则MC，NA的中点重合，m+8=n+02m+0=−43n+10+6，分别解方程组可得答案．
【详解】解：（1）由x2﹣16x+60＝0得x＝6或x＝10，
∵OA＜OB，
∴OA＝6，OB＝10，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAB＝90°，
在Rt△AOB中，AB=OB2−OA2=102−62=8，
∴B（8，6）；
（2）过Q作QG⊥AB于G，交OC于H，如图：
∵将△OAP沿OP折叠，使点A落在OB上的点Q处，
∴∠OQP＝∠OAP＝90°＝∠BQP，AP＝QP，OQ＝OA＝6，
∴BQ＝OB﹣OQ＝10﹣6＝4，
设AP＝QP＝x，则BP＝AB﹣AP＝8﹣x，
在Rt△BPQ中，PQ2+BQ2＝BP2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴AP＝PQ＝3，BP＝8﹣x＝5，
∴P（3，6），
∵2S△BPQ＝BP•QG＝PQ•BQ，
∴QG=PQ⋅BQBP=3×45=125，
∴PG=PQ2−QG2=32−(125)2=95，
∴AG＝AP+PG=245，
∵∠HGB＝∠ABC＝∠BCO＝90°，
∴四边形GBCH是矩形，
∴GH＝BC＝OA＝6，∠GHC＝90°，
∴QH＝GH﹣QG＝6−125=185，
∴Q（245，185），
设直线PQ解析式为y＝kx+b，把P（3，6），Q（245，185）代入得：
3k+b=6245k+b=185，
解得k=−43b=10，
∴直线PQ解析式为y=−43x+10；
（3）存在点M，N，使以A，C．M，N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由（2）得P（3，6），直线PQ解析式为y=−43x+10，
∴直线OP解析式为y＝2x，
设M（m，2m），N（n，−43n+10），
又A（0，6），C（8，0），
①若MN，AC为对角线，则MN，AC的中点重合，
∴m+n=0+82m−43n+10=6+0，
解得m=2n=6，
∴N（6，2）；
②若MA，NC为对角线，则MA，NC的中点重合，
∴m+0=n+82m+6=−43n+10+0，
解得m=225n=−185；
∴N（−185，745）；
③若MC，NA为对角线，则MC，NA的中点重合，
∴m+8=n+02m+0=−43n+10+6，
解得m=85n=485，
∴N（485，−145）；
综上所述，N的坐标为（6，2）或（−185，745）或（485，−145）．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，一元二次方程，平行四边形等知识，解题的关键是分类讨论思想和方程思想的应用．
15．（2023春•北碚区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线CD：y＝kx+b（k≠0）交于点P，OC＝OD＝4OA．
（1）求直线CD的解析式；
（2）连接OP、BC，若直线AB上存在一点Q，使得S△PQC＝S四边形OBCP，求点Q的坐标；
（3）将直线CD向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E，点N为直线l上的一点，在平面直角坐标系中，是否存在点M，使以点O，E，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x+4；
（2）(−23，−103)或(143，223)；
（3）（3，3）或(32，−32)．
【分析】（1）先求出OA，然后求出点C和点D的坐标，利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）先求出点B和点P的坐标，然后求出四边形OBCP的面积，然后分类讨论：当点Q在点B的下方时；当点Q在点P的上方时；分别求出三角形PQC的面积，即可求出点Q的坐标；
（3）先求出直线l为y＝﹣x+3，然后得到OE＝3，然后分情况进行分析：当OE＝3作为矩形OEMN的边时；当OE＝3作为矩形OEMN的对角线时；分别求出两种情况的点M的坐标即可．
【详解】解：（1）∵直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别交于点A、点B，
∴令y＝0，则x＝1，
∴点A为（1，0），
∴OA＝1，
∵OC＝OD＝4OA＝4，
∴点C为（4，0），点D为（0，4），
设直线CD的解析式为y＝kx+b；
∴4k+b=0b=4，
∴k=−1b=4，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+4；
（2）解：在y＝2x﹣2中，令x＝0，则y＝﹣2，
∴点B为（0，﹣2），
∵y=2x−2y=−x+4，
解得x=2y=2，
∴点P的坐标为（2，2）；
∴S四边形OBCP=12OC×|yP|+12OC×OB=12×4×2+12×4×2=8；
∵点Q在直线AB上，则设点Q为（x，2x﹣2），则
当点Q在点B的下方时，如图：
∵AC＝3，点P的坐标为（2，2），
∴S△PQC=12AC×|yP|+12AC×|yQ|=12×3×2+12×3×|2x−2|=3+32×|2x−2|，
∵S△PQC＝S四边形OBCP，
∴3+32×|2x−2|=8，
∴32×(2−2x)=5，
解得：x=−23，
∴2x−2=2×(−23)−2=−103，
∴点Q的坐标为(−23，−103)；
当点Q在点P的上方时，如图：
S△PQC=12AC×|yQ|−12AC×|yP|=12×3×|2x−2|−12×3×2=32×|2x−2|−3，
∴32×|2x−2|−3=8，
∴32×(2x−2)=11
解得：x=143，
∴2x−2=2×143−2=223，
∴点Q的坐标为(143，223)；
综合上述，点Q的坐标为(−23，−103)或(143，223)；
（3）解：∵直线CD向下平移1个单位长度得到直线l，
∴直线l为y＝﹣x+3，
令y＝0，则x＝3，
∴点E的坐标为（3，0），
即OE＝3；
当OE＝3作为矩形OEMN的边时，如图：
∴点N的坐标为（0，3），
∴点M的坐标为（3，3）；
当OE＝3作为矩形OEMN的对角线时，如图：
∴点F的坐标为(32，0)，
∵tan∠OEN＝|﹣1|＝1，
∴∠OEN＝45°，
∵ON⊥NE，
∴△ONE是等腰直角三角形，
∴ON＝NE，
∴四边形ONEM是正方形，
∴MN⊥OE，MN＝OE，
∴OF=FE=FN=FM=32，
∴点M的坐标为(32，−32)；
综合上述，则点M的坐标为（3，3）或(32，−32)；
【点睛】本题考查了矩形的性质，一次函数的图象和性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出图形，从而运用分类讨论的思想进行解题．
16．（2023春•雨花区期中）如图，已知直线y=−43x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M是线段AB的中点，点P为x轴负半轴上一动点，点P的横坐标记作m，过点A作AQ∥BP交PM的延长线于Q，PM交y轴于点C，连接OM．
（1）线段OM的长；
（2）①证明：四边形AQBP是平行四边形；
②当m取何值时，四边形AQBP是菱形；
（3）若点M坐标为（3，4），当﹣3≤m≤﹣2时，记s=8mOC（其中OC示线段OC的长度），求s的最大值．
【答案】（1）OM＝5；
（2）①证明见解析；
②当m=−73时，四边形AQBP是菱形；
（3）s的最大值为﹣10．
【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，然后依据点M是线段AB的中点得出点M的坐标，即可求解；
（2）①证明△AMQ≌△BMP（ASA），根据全等三角形的性质得AQ＝BP，根据平行四边形的判定即可得出结论；
②根据菱形的判定和性质即可求解；
（3）利用待定系数法求出直线PM的解析式为y=43−mx+4mm−3，可得C （0，4mm−3），则OC=4mm−3，s=8mOC=8m4mm−3=2m﹣6，根据一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵y=−43x+8，当x＝0时，y＝8，
当y＝0时，−43x+8＝0，
解得x＝6，
∴A（0，8），B（6，0），
∵点M是线段AB的中点，
∴点M（3，4），
∴OM=32+42=5；
（2）①证明：∵AQ∥BP，
∴∠AQM＝BPM，
∵点M是线段AB的中点，
∴AM＝BM，
∵∠AMQ＝∠BMP，
∴△AMQ≌△BMP（ASA），
∴AQ＝BP，
∵AQ∥BP，
∴四边形AQBP是平行四边形；
②解：当AP＝BP时，平行四边形AQBP是菱形，
∵点P为x轴负半轴上一动点，点P的横坐标记作m，
∴P（m，0）（m＜0），
∵A（0，8），B（6，0），
∴BP=OP2+OB2=m2+82，AP＝6﹣m，
∴m2+82=6﹣m，解得m=−73，
∴当m=−73时，四边形AQBP是菱形；
（3）解：设直线PM的解析式为y＝kx+b，
∵M（3，4），P（m，0）（﹣3≤m≤﹣2），
∴3k+b=4mk+b=0，解得k=43−mb=4mm−3，
∴直线PM的解析式为y=43−mx+4mm−3，
当x＝0时，y=4mm−3，
∴C （0，4mm−3），
∴OC=4mm−3，
∴s=8mOC=8m4mm−3=2m﹣6，
∵2＞0，
∴s随m的增大而增大，
∵﹣3≤m≤﹣2，
∴当m＝﹣2时，s的最大值为2×（﹣2）﹣6＝﹣10．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式等，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
17．（2023春•工业园区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B分别在x轴与y轴上，直线AB的解析式为y=−34x+3，以线段AB、BC为边作平行四边形ABCD．
（1）如图1，若点C的坐标为（3，7），判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，P为CD边上的动点，点C关于直线BP的对称点是Q，连接PQ，BQ．
①当∠CBP＝ 30 °时，点Q位于线段AD的垂直平分线上；
②连接AQ，DQ，设CP＝x，设PQ的延长线交AD边于点E，当∠AQD＝90°时，求证：QE＝DE，并求出此时x的值．
【答案】（1）四边形ABCD是正方形，理由见解答过程；
（2）①30；
②证明QE＝DE见解答过程，x的值是53．
【分析】（1）过C作CH⊥y轴于H，在y=−34x+3中，可得A（4，0），B（0，3），即有OA＝4，OB＝3，AB＝5，而C（3，7），故OB＝CH＝3，OA＝BH＝4，可证△AOB≌△BHC（SAS），得AB＝BC，∠ABO＝∠BCH，从而可得∠ABC＝90°，根据四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∠ABC＝90°，即知四边形ABCD是正方形；
（2）①过Q作QK⊥AD于K，连接CQ，由Q在AD的垂直平分线上，可得BQ＝CQ，而C关于直线BP的对称点是Q，有BC＝BQ，故△BCQ是等边三角形，∠CBQ＝60°，即可得∠CBP＝∠QBP=12∠CBQ＝30°；
②由∠AQD＝90°，C关于直线BP的对称点是Q，四边形ABCD是正方形，可得∠DQE＝∠BQA，∠QDE＝∠BAQ，而AB＝BQ，有∠BQA＝∠BAQ，故∠DQE＝∠QDE，即得QE＝DE，从而可得DE＝QE＝AE=52，设CP＝PQ＝x，在Rt△PDE中有（5﹣x）2+（52）2＝（x+52）2，从而可解得x的值是53．
【详解】解：（1）四边形ABCD是正方形，理由如下：
过C作CH⊥y轴于H，如图：
在y=−34x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝4，
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，AB=42+32=5，
∵C（3，7），
∴BH＝OH﹣BO＝4，CH＝3，
∴OB＝CH＝3，OA＝BH＝4，
在△AOB和△BHC中，
OB=CH∠AOB=∠BHCOA=BH，
∴△AOB≌△BHC（SAS），
∴AB＝BC，∠ABO＝∠BCH，
∵∠BCH+∠HBC＝90°，
∴∠ABO+∠HBC＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）①过Q作QK⊥AD于K，连接CQ，如图：
∵Q在AD的垂直平分线上，
∴直线QK是正方形ABCD的对称轴，
∴QK是BC的垂直平分线，
∴BQ＝CQ，
∵C关于直线BP的对称点是Q，
∴BC＝BQ，
∴BC＝BQ＝CQ，
∴△BCQ是等边三角形，
∴∠CBQ＝60°，
∵C关于直线BP的对称点是Q，
∴∠CBP＝∠QBP=12∠CBQ＝30°，
故答案为：30；
②如图：
∵∠AQD＝90°，
∴∠DQE+∠EQA＝90°，∠QDE+∠DAQ＝90°，
∵C关于直线BP的对称点是Q，四边形ABCD是正方形，
∴∠BQP＝∠C＝90°，∠BAD＝90°，AB＝BC＝BQ，
∴∠BQE＝90°＝∠BQA+∠EQA，∠BAQ+∠DAQ＝90°，
∴∠DQE＝∠BQA，∠QDE＝∠BAQ，
∵AB＝BQ，
∴∠BQA＝∠BAQ，
∴∠DQE＝∠QDE，
∴QE＝DE，
∵∠EQA＝90°﹣∠DQE＝90°﹣∠QDE＝∠EAQ，
∴QE＝AE，
∴DE＝QE＝AE，
∴QE＝DE=12AD=12AB=52，
设CP＝PQ＝x，则PD＝CD﹣x＝5﹣x，PE＝PQ+QE＝x+52，
在Rt△PDE中，PD2+DE2＝PE2，
∴（5﹣x）2+（52）2＝（x+52）2，
解得x=53，
∴x的值是53．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及正方形的判定，等边三角形的判定，勾股定理及应用等知识，解题的关键是掌握对称的性质．
18．（2023春•福州期中）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B．当x＞3时，y＜0；当x＜3时，y＞0．
（1）求k，b的关系式（用含b的代数式表示k）；
（2）若∠ABO＝60°．
①求直线l1的解析式；
②若直线l2：y＝mx+m与直线l1相交，且两条直线所夹的锐角为45°，求m的值．
【答案】（1）k，b的关系式为k=−b3；
（2）①直线l1的解析式为y=−33x+3；
②两条直线所夹的锐角为45°，m的值为﹣2−3或2−3．
【分析】（1）根据当x＞3时，y＜0；当x＜3时，y＞0，可得当x＝3时，y＝0，即A（3，0），即可得k，b的关系式为k=−b3；
（2）①由A（3，0），∠ABO＝60°，可得B（0，3），用待定系数法即可得直线l1的解析式为y=−33x+3；②设直线l2与x轴交于D，连接BD，直线l1与直线l2交于C，分两种情况：当C在y轴左侧时，过C作CH⊥y轴于H，由y＝mx+m可得D（﹣1，0），即可得BD2+AB2＝AD2，故∠ABD＝90°＝∠DBC，从而△BCD是等腰直角三角形，由∠CBH＝∠ABO＝60°，可得C（−3，3+1），代入y＝mx+m得m＝﹣2−3；当C在y轴右侧时，过C作CK⊥x轴于K，由△BDC是等腰直角三角形，有AC＝AB﹣BC＝23−2，而∠ABO＝60°，即可得C（3，3−1），代入y＝mx+m得m＝2−3．
【详解】解：（1）∵当x＞3时，y＜0；当x＜3时，y＞0，
∴当x＝3时，y＝0，即A（3，0），
∴3k+b＝0，
∴k=−b3，
∴k，b的关系式为k=−b3；
（2）①如图：
由（1）知，A（3，0），
∵∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∴OB=OA3=33=3，
∴B（0，3），
把A（3，0），B（0，3）代入y＝kx+b得：
3k+b=0b=3，
解得k=−33b=3，
∴直线l1的解析式为y=−33x+3；
②设直线l2与x轴交于D，连接BD，直线l1与直线l2交于C，
当C在y轴左侧时，过C作CH⊥y轴于H，如图：
在y＝mx+m中，令y＝0得x＝﹣1，
∴D（﹣1，0），
∵A（3，0），B（0，3），
∴AD＝4，AB＝23，BD＝2，
∴BD2+AB2＝AD2，
∴∠ABD＝90°＝∠DBC，
∵∠ACD＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC＝BD＝2，
在Rt△BCH中，∠CBH＝∠ABO＝60°，
∴∠BCH＝30°，
∴BH=12BC＝1，CH=3BH=3，
∴C（−3，3+1），
把C（−3，3+1）代入y＝mx+m得：
−3m+m=3+1，
解得m＝﹣2−3；
当C在y轴右侧时，过C作CK⊥x轴于K，如图：
∵∠BCD＝45°，∠DBC＝90°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴BC＝BD＝2，
∵AB＝23，
∴AC＝AB﹣BC＝23−2，
∵∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝30°，
在Rt△ACK中，
CK=12AC=3−1，AK=3CK＝3−3，
∴OK＝OA﹣AK＝3﹣（3−3）=3，
∴C（3，3−1），
把C（3，3−1）代入y＝mx+m得：
3m+m=3−1，
解得m＝2−3，
综上所述，两条直线所夹的锐角为45°，m的值为﹣2−3或2−3．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的性质及应用，含30°角的直角三角形三边关系等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
19．（2023•沈阳一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点B（﹣5，0），与y轴交于点A，直线y=−43x+4过点A，与x轴交于点C，点P是x轴上方一个动点．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）若点P在线段AB上，且S△APC＝S△AOB，求点P的坐标；
（3）当 S△PBC＝S△AOB时，动点M从点B出发，先运动到点P，再从点P运动到点C后停止运动．点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为t（秒），请直接写出t的最小值．
【答案】（1）y=45x+4；
（2）（−258，32）；
（3）89．
【分析】（1）先根据直线y=−43x+4过点A，求出点A坐标，再利用待定系数法求直线AB的函数表达式即可；
（2）设点P坐标为（p，45p+4），先求出点C坐标，再求出△AOB的面积，表示出△APC的面积，根据S△APC＝S△AOB，列方程求解即可；
（3）根据S△PBC＝S△AOB，点P是x轴上方的一个动点，可知点P在直线y=52上运动，作点B关于直线y=52的对称点B′，连接CB′，交直线y=52于点P，连接BP，则BP+CP的最小值即为CB′的长，求出CB′的长度，进一步可得t的最小值．
【详解】解：（1）∵点A在y轴上，直线y=−43x+4过点A，
∴点A坐标为（0，4），
将点A（0，4）和点B（﹣5，0）代入直线y＝kx+b，
得b=4−5k+b=0，
解得k=45b=4，
∴直线AB的函数表达式为y=45x+4；
（2）设点P坐标为（p，45p+4），
令y=−43x+4=0，得x＝3，
∴点C坐标为（3，0），
∵点A（0，4），点B（﹣5，0），
∴OA＝4，OB＝5，BC＝8，
∴S△AOB=12OA⋅OB=12×4×5=10，
∵点P在线段AB上，
∴S△APC＝S△ABC﹣S△BPC=12×8×4−12×8×(45p+4)，
∵S△APC＝S△AOB，
∴12×8×4−12×8×(45p+4)=10，
解得p=−258，
∴点P坐标为（−258，32）；
（3）设点P纵坐标为Py，
∵S△PBC＝S△AOB，点P是x轴上方的一个动点，
∴12×8Py=10，
解得Py=52，
作点B关于直线y=52的对称点B′，连接CB′，交直线y=52于点P，连接BP，
则BP+CP的最小值即为CB′的长，
∵点B坐标为（﹣5，0），
∴点B′坐标为（﹣5，5），
∴CB′=(3+5)2+(0−5)2=89，
∵点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，
∴89÷1=89（s），
∴t的最小值为89．
【点睛】本题考查了一次函数的综合题，涉及待定系数法求解析式，轴对称的性质，三角形面积等，本题综合性较强，熟练三角形求面积的方法是解题的关键．
20．（2023春•鼓楼区期中）如图1，已知函数y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为83，求点M的坐标；
②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．
【答案】（1）直线BC的函数解析式为y=−12x+2；
（2）①M的坐标为（433，0）或（−433，0）；
②点P的坐标为（﹣1，32）或（1，52）．
【分析】（1）分别求出A、B、C三点坐标，用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）①设M（m，0），则P（m，12m+2），Q（m，−12m+2），求出PQ＝|m|，再由S△PQB=12×|m|×|m|=83，求出m的值后即可求M点坐标；
②分两种情况讨论：当点M在线段AO上时，利用角的关系推导出∠MBC＝90°，再由勾股定理得m2+4+20＝（4﹣m）2，求出m的值即可求点P的坐标；当点M在线段OC上时，同理可求P点的另一个坐标．
【详解】解：（1）在y=12x+2中，令x＝0得y＝2，
∴B（0，2），
令y＝0得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
∵点C与点A关于y轴对称，
∴C（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴b=24k+b=0，
解得k=−12b=2，
∴直线BC的函数解析式为y=−12x+2；
（2）①设M（m，0），
∵PQ⊥x轴，
∴P（m，12m+2），Q（m，−12m+2），
∴PQ＝|12m+2+12m﹣2|＝|m|，
∴S△PQB=12×|m|×|m|=83，
解得m＝±433，
∴M的坐标为（433，0）或（−433，0）；
②∵点M在线段AC上运动，
∴﹣4≤m≤4，
当点M在线段AO上时，如图：
∵点C与点A关于y轴对称，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BMP＝∠BAC，
∴∠BMP＝∠BCA，
∵∠BMP+∠BMC＝90°，
∴∠BMC+∠BCA＝90°，
∴∠MBC＝90°，
∴BM2+BC2＝MC2，
∴MC2＝（4﹣m）2，BM2＝m2+4，BC2＝20，
∴m2+4+20＝（4﹣m）2，
解得m＝﹣1，
∴P（﹣1，32）；
当点M在线段OC上时，如图：
同理可得P（1，52），
综上所述：点P的坐标为（﹣1，32）或（1，52）．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，勾股定理及应用等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
21．（2023•城关区一模）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个直角三角形的两个顶点，且该直角三角形的两条直角边分别与坐标轴垂直，则称该直角三角形为点P，Q的“坐标直角三角形”．图1为点P，Q的“坐标直角三角形”示意图．如图2，点A的坐标为（1，2）．
（1）若点B的坐标为（﹣2，1），求点A，B的“坐标直角三角形”的面积；
（2）点C在y轴上，若点A，C的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，直接写出直线AC的表达式；
（3）点D在直线y＝2x+4上，且点A，D的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，求点D的坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由三角形的面积即可求解；
（2）设点C的坐标为（0，m），点A，C的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，则|xA﹣xC|＝|yA﹣yC|，即|1﹣0|＝|m﹣2|，进而求解；
（3）点A，D的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，则|xA﹣xD|＝|yA﹣yD|，即|1﹣m|＝|2m+4﹣2|，进而求解．
【详解】解：（1）由题意得：xA﹣xB＝1+2＝3，yA﹣yB＝2﹣1＝1，
则点A，B的“坐标直角三角形”的面积=12（xA﹣xB）×（yA﹣yB）=12×3×1=32；
（2）设点C的坐标为（0，m），
∵点A，C的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，
则|xA﹣xC|＝|yA﹣yC|，即|1﹣0|＝|m﹣2|，
解得：m＝3或1，
则设直线AC的表达式为：y＝kx+m，
将点A的坐标代入上式得：2＝k+m，
则k＝2﹣m＝﹣1或1，
故直线AC的表达式为：y＝﹣x+3或y＝x+1；
（3）点D的坐标为：（m，2m+4），
∵点A，D的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，
∴|xA﹣xD|＝|yA﹣yD|，即|1﹣m|＝|2m+4﹣2|，
解得：x＝﹣3或−13，
故点D的坐标为：（﹣3，﹣2）或（−13，103）．
【点睛】本题为一次函数综合题，涉及到一次函数的基本性质、等腰直角三角形的性质、面积的计算，奇妙地利用绝对值和理解新定义是本题解题的关键．
22．（2023•虎林市校级一模）如图，矩形OABC的边OA在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，OA，OC的长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的实数根，且OA＜OC．过点B且垂直于直线OB的直线分别交x轴和y轴于点D，E，动点P以每秒5个单位长度的速度，从点O出发，沿射线OB的方向匀速运动，过点P作PM⊥x轴于点M，PQ∥x轴交直线DE于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．设四边形PQNM与△ABD重合部分的面积为S，点P运动的时间为t（0＜t＜259，且t≠1）．
（1）求点D的坐标；
（2）求在点P运动的过程中S与t之间的函数解析式；
（3）当t=12时，射线PB上是否存在点R，使△PQR是等腰三角形？若存在，请直接写出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）(253，0)；
（2）当0＜t＜1时，S=−643t2+643t；当1＜t＜259时，S=−278t2+754t−1238；
（3）（4，163）或（92，6）或（4312，439）．
【分析】（1）先求出OA和OC的长，再根据矩形的性质可证△BOA∽△DBA，根据相似三角形的性质可得DA的长，进一步求解即可；
（2）①当0＜t＜1时，先证明△PMO∽△BAO，根据相似三角形的性质可得OM和PM的长，再证明△QDN∽△BDA，根据相似三角形的性质可得ND的长度，进一步可得AN的长度，根据S＝AN•QN可得函数关系式；②当1＜t＜259时，同①可得OP＝5t，OM＝3t，PM＝4t，AM＝OM﹣OA＝3t﹣3，MD=OD−OM=253−3t，再证明△TDM∽△BDA，根据相似三角形的性质可得TM的长，根据S=12(TM+BA)⋅AM求解即可；
（3）当t=12时，由（2）可知OP＝5t=52，OM＝3t=32，PM＝4t＝2，求出P点和Q点坐标，待定系数法求出直线OB的解析式，设点R坐标为（m，43m），表示出PQ，PR和QR的长，△PQR是等腰三角形，分情况讨论：①PQ＝PR，②PQ＝QR，③PR＝QR，分别列方程求解即可．
【详解】解：（1）x2﹣7x+12＝0，
解得x1＝3，x2＝4，
∵OA＜OC，
∴OA＝3，OC＝4，
∵四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC＝4，∠BAO＝90°，
∴∠BOA+∠OBA＝90°．
∵DE⊥OB，
∴∠OBA+∠ABD＝90°，
∴∠BOA＝∠ABD，
∴△BOA∽△DBA，
∴OABA=BADA，
∴34=4DA，
解得DA=163，
∴OD=OA+AD=253，
∴点D的坐标为(253，0)；
（2）①当0＜t＜1时，如图所示：
OP＝5t，
∵∠PMO＝∠BAO＝90°，∠POM＝∠BOA，
∴△PMO∽△BAO，
∴OPOB=OMOA=PMBA，
∴5t5=OM3=PM4，
∴OM＝3t，PM＝4t，
∵∠QND＝∠BAD，∠QDN＝∠BDA，
∴△QDN∽△BDA，
∴QNBA=NDAD，
即QN4=ND163．
在矩形PMNQ中，QN＝PM＝4t，
∴ND=163t，
∴AN=AD−ND=163−163t，
∴S=AN⋅QN=(163−163t)⋅4t=−643t2+643t；
②当1＜t＜259时，
如图2，设PM与BD交于点T，
同①可得OP＝5t，OM＝3t，PM＝4t，AM＝OM﹣OA＝3t﹣3，MD=OD−OM=253−3t，
∵∠TMD＝∠BAD，∠TDM＝∠BDA，
∴△TDM∽△BDA，
∴TMBA=MDAD，
即TM4=253−3t163，
∴TM=25−9t4，
∴S=12(TM+BA)⋅AM=12(25−9t4+4)(3t−3)=−278t2+754t−1238，
综上所述，当0＜t＜1时，S=−643t2+643t；当1＜t＜259时，S=−278t2+754t−1238；
（3）存在，当t=12时，由（2）可知OP＝5t=52，OM＝3t=32，PM＝4t＝2，
∴点P坐标为（32，2），
∵ON=253−83=173，
∴点Q坐标为（173，2），
∵四边形OABC是矩形，OA＝3，OC＝4，
∴点B坐标为（3，4），
设直线OB的解析式为y＝kx（k≠0，k为常数），
代入点B（3，4），
得3k＝4，
∴k=43，
∴直线OB的解析式为y=43x，
设点R坐标为（m，43m），
∴PQ=173−32=256，
PR=(32−m)2+(2−43m)2=259m2−253m+254，
QR=(173−m)2+(2−43m)2=259m2−503m+3259，
△PQR是等腰三角形，分情况讨论：
①PQ＝PR，
可得259m2−253m+254=256，
解得m＝4或m＝﹣1（舍去），
∴点R坐标为（4，163）；
②PQ＝QR，
259m2−503m+3259=256，
解得m=92，
∴点R坐标为（92，6）；
③PR＝QR，
259m2−253m+254=259m2−503m+3259，
解得m=4312，
∴点R坐标为（4312，439），
综上所述，满足条件的点R坐标为（4，163）或（92，6）或（4312，439）．
【点睛】本题考查了一次函数的综合题，涉及一元二次方程，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的存在性问题等，本题综合性较强，难度较大．
23．（2023•金坛区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点A，记线段OA的中点为M．若点A，M，P，Q按逆时针方向排列构成菱形AMPQ，其中∠QAM＝α°（0＜α＜180），则把菱形AMPQ称为点A的“α°菱形”AMPQ，把菱形AMPQ边上所有点都称为点A的“α°菱点”．已知点A（0，4）．
（1）在图1中，用直尺和圆规作出点A的“60°菱形”AMPQ，并直接写出点P的坐标（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若点B（1，1）是点A的“α°菱点”，求α的值；
（3）若一次函数y=−33x+b的图象上存在点A的“α°菱点”，直接写出b的取值范围．
【答案】（1）作点A的“60°菱形”AMPQ见解答过程，点P的坐标是（3，1）；
（2）α的值是45°或30°；
（3）b的取值范围是0＜b≤4+433．
【分析】（1）分别以A，M，O为圆心，2为半径作圆，即可确定P，Q的位置，作出点A的“60°菱形”AMPQ，求出P到x轴，y轴的距离，结合M（0，2）可得点P的坐标是（3，1）；
（2）分两种情况：当点B在MP边上时，过点B作BH⊥y轴，垂足为H，由B（1，1），可得△BMH是等腰直角三角形，即得α＝45°；当点B在PQ边上时，过点P作PH'⊥y轴，垂足为H'，可得sin∠H'MP=H'PPM=12，故α＝30°；（3）设直线y=−33x+b与y轴交于K，与x轴交于T，过A作AR⊥KT于R，可得∠OKT＝60°，①当b最大时，Q与R重合，此时AR＝AM＝2，由sin60°=2AK，可求出b最大为4+433；②当直线y=−33x+b在M下方时，有2﹣OK＜2，即可得b＞0，从而得到答案．
【详解】解：（1）作出点A的“60°菱形”AMPQ，如图：
∵PM＝AM＝4﹣2＝2，且2×sin60°=3，2×cs60°＝1，
∴点P的坐标是（3，1）；
（2）当点B在MP边上时，过点B作BH⊥y轴，垂足为H，如图：
∵B（1，1），
∴BH＝OH＝1，
∵OM＝2，
∴MH＝1＝BH，
∴△BMH是等腰直角三角形，
∴∠HMB＝45°，
∴∠QAM＝45°，即α＝45°；
当点B在PQ边上时，过点P作PH'⊥y轴，垂足为H'，如图：
则PH＝1，
∵PM＝2，
∴sin∠H'MP=H'PPM=12，
∴∠QAM＝∠H'MP＝30°，即α＝30°；
综上所述，α的值是45°或30°；
（3）设直线y=−33x+b与y轴交于K，与x轴交于T，过A作AR⊥KT于R，如图：
在y=−33x+b中，令x＝0得y＝b，令y＝0得x=3b，
∴tan∠OKT=OTOK=3，
∴∠OKT＝60°，
①当b最大时，Q与R重合，此时AR＝AM＝2，
∴sin60°=2AK，
∴AK=433，
∴OK＝4+433，即b最大为4+433；
②当直线y=−33x+b在M下方时，如图：
∵MP＝AM＝OM＝2，
∴MK＜2，即2﹣OK＜2，
∴OK＞0，
∴b＞0，
综上所述，b的取值范围是0＜b≤4+433．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，锐角三角函数等知识，解题的关键是画出图形，应用数形结合思想解决问题．
24．（2023•西安校级三模）问题提出
（1）如图1，AD是△ABC的中线，则有S△ADC ＝ S△ADB．（填“＜”、“＞”或“＝”）
问题探究
（2）如图2，点M是矩形ABCD内一点，AB＝6，BC＝3，点A与坐标原点O重合，AB、AD分别位于x、y轴正半轴，M（32，1），是否存在直线l经过点M且将矩形ABCD分成面积相等的两部分，若存在，请求出直线l的解析式；如不存在，请说明理由．
问题解决
（3）如图3，长方形OABC是西安某学校在疫情期间为学生核酸检测围成的一个工作区域，顶点A、C在坐标轴上，记O为坐标原点，顶点B（20，12），原有的一个出入口D在边OC上，且CD＝4米，为使工作高效有序，现计划在边AB，OA，BC上依次再设出入口E，G，H，沿DE，GH拉两道警戒线将工作区域分成面积相等的四部分，请问，是否存在满足上述条件的点E，H，G，如存在，请求出点E的坐标及GH的函数表达式，如不存在，请说明理由．
【答案】（1）＝；
（2）y=13x+12；
（3）y＝0.36x+2.4．
【分析】（1）根据等底同高的三角形面积相等，即可求解；
（2）连接AC、BD交于点N，过M、N作直线l，则直线l即为所求，由待定系数法求出直线l的解析式即可；
（3）利用图形的设计，待定系数法求一次函数的解析式，即可解决问题．
【详解】解：（1）∵AD是△ABC的中线，
根据等底同高的三角形面积相等，则S△ADC＝S△ADB，
故答案为：＝；
（2）连接AC、BD交于点N，如下图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，D（0，3），B（6，0），BN＝DN，
∴N（3，32），
过M、N作直线l，则直线l即为所求，
设直线l的解析式为y＝kx+b，
由题意得：32k+b=13k+b=32，
解得：k=13b=12，
∴直线l的解析式为y=13x+12；
（3）如下图，在AB上取AE＝CD＝4，连接DE，则E（4，12），
取DE的中点M，AO的中点N，连接MN，
则MN是梯形AODE的中位线，
∴MN=202=10（米），
AN＝ON＝6（米），
∴点M的坐标为（10，6），
由于长方形被分成四块面积相等的部分，
∴每块面积为：14×20×12＝60（平方米），
又∵S梯形AEMN=12×（4+10）×6＝42（平方米），
在点的下方取一点G，使S△MNG＝60﹣42＝18（平方米），
由S=12NG•MN得：NG=2SMN=3610=3.6（米），
∴OG＝6﹣3.6＝2.4（米），
∴点G坐标为（0，2.4），
连接GM并延长交BC于H，
则D、E、G、H为所求作的点，
设GH的解析式为：y＝kx+b，
则b＝2.4，10k+b＝6，
解得：k＝0.36，b＝2.4，
∴y＝0.36x+2.4．
【点睛】本题为一次函数综合题，主要考查了图形的设计，待定系数法求一次函数的解析式，矩形的性质，面积的等分线，梯形的性质等知识，解题关键是利用面积确定点G的位置．
石子馍
油酥角
进价（元/盒）
10
15
售价（元/盒）
25
35
目的地
甲地
乙地
每吨费用（元）
120
200
小李离开快递站的时间/min
2
8
16
18
26
小李离快递站的距离/m
300
600
小明离开家的时间/h
0.1
0.3
1.5
2.2
3.3
小明离开家的距离/km1.2
1.2
3.6
6
7
8
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