吉林省白城市镇赉县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份吉林省白城市镇赉县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题．，填空题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。

一、选择题．（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．射击运动员射击一次，命中靶心B．经过红绿灯路口，遇到绿灯
C．班里的两名同学，他们的生日是同一天D．从只装有8个白球的袋子中摸出红球
2．已知的半径为，若点A到圆心O的距离为，则点A（ ）
A．在内B．在上C．在外D．与的位置关系无法确定
3．抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列是北京大学、中国科学院大学、中国药科大学和中南大学的标志中的图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．边长为2的正六边形的半径是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，四边形内接于⊙O，，则为（ ）
A．B．C．D．
7．点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）
8．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠B＝66°，则∠OAC的度数为（ ）
A．24°B．29°C．33°D．132°
9．二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ）
A．开口向上B．当时，函数的最大值是
C．对称轴是直线D．抛物线与x轴有两个交点
10．如图，四边形是边长为2的正方形，点是射线上的动点（点不与点，点重合），点在线段的延长线上，且,连接,．设，的面积为，下列图象能正确反映出与的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题．（本题共8小题，每小题3分，24分．）
11．抛物线的顶点坐标为 ．
12．扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的面积为 ．
13．一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是 ．
14．将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线 ．
15．关于x的一元二次方程的一个根为2，则另一个根是 ．
16．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．则∠APB= 度；
17．，是的两条平行弦，的直径为，，，则，间的距离为 ．
18．如图所示，内接于，且圆心在外部，交于点．则以下结论中：①；②；③平分；④；所有正确结论的序号是 ．
三、解答题．（第19题10分，第20题12分，共22分．）
19．已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当为正整数时，求此时方程的根．
20．如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点为原点，点，的坐标分别是，．
(1)若将向下平移3个单位，则点B的对应点坐标为______；
(2)将绕点逆时针旋转后得到，请在图中作出，并求出这时点的坐标为______；
(3)求旋转过程中，线段扫过的图形的弧长．
四、解答题．（第21题12分，第22题12分，共24分．）
21．为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，某小区物业部门准备在已经接种疫苗的居民中招募2名志愿宣传者，现有2名男性2名女性共4名居民报名．
(1)从4人中抽取1人为男性的概率是______；
(2)请用列表或画树状图的方法，求要从这4人中随机挑选2人，恰好抽到一名男性和一名女性的概率．
22．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．求平均每次降价的百分率．
五、解答题．（满分12分）
23．如图，为的直径，点，为上两点，且，连接，，过点作交的延长线于点．
(1)求证：直线是的切线．
(2)连接，若，，求阴影部分的面积．
六、解答题．（满分12分）
24．“燃情冰雪，拼出未来”，北京冬奥会将于2022年2月4日如约而至．某商家已提前开始冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元．
(1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
(2)求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元；
(3)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？
七、解答题．（满分12分）
25．如图①，在中，，，点D，E分别在边，上，且．则．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为．如图②，连接，．
(1)如图②，请直接写出与的数量关系．
(2)将旋转至如图③所示位置时，请判断与的数量关系和位置关系，并加以证明．
(3)在旋转的过程中，当的面积最大时，______．（直接写出答案即可）
八、解答题．（满分14分）
26．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线上方的抛物线上时，求的最大面积，并直接写出此时P点坐标；
(3)若点M在抛物线的对称轴上，以B，C，P，M为顶点、为边的四边形能否是平行四边形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据不可能事件的意义，结合具体的问题情境进行判断即可．
【详解】解：A、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件；故A不符合题意；
B、经过红绿灯路口，遇到绿灯，是随机事件；故B不符合题意；
C、班里的两名同学，他们的生日是同一天，是随机事件；故C不符合题意；
D、从只装有8个白球的袋子中摸出红球，是不可能事件，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查随机事件，不可能事件，必然事件，理解随机事件，不可能事件，必然事件的意义是正确判断的前提．
2．A
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据题意得，即可得，掌握点与圆的三种位置关系是解题的关键．
【详解】解：∵的半径为，若点A到圆心O的距离为，，
∴点A在内，
故选：A．
3．A
【分析】令即可求得．
【详解】解：令，
则
=
∴抛物线与轴的交点坐标是（0，-3），
故选A．
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，解题的关键是令．
4．B
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不是中心对称图形，故选项A不合题意；
B．能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以是中心对称图形；是中心对称图形，故选项B符合题意；
C．不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项C不合题意；
D．不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项D不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
5．A
【分析】首先根据题意作出图形，然后可得△OBC是等边三角形，继而求得结论．
【详解】解：如图，连接OB，OC，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=×360°=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=OC=2，
∴它的半径为2，
故选：A
【点睛】本题考查了圆的内接正六边形的性质、正多边形的内角和、等边三角形的判定与性质等知识．注意掌握数形结合思想的应用
6．C
【分析】运用圆内接四边形对角互补计算即可．
【详解】解：四边形内接于，，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补．
7．A
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接写出答案．
【详解】解：点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（﹣2，1），
故选：A．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的特征，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
8．A
【分析】先计算∠AOC＝132°，再利用灯光要三角形的性质计算底角即可．
【详解】∵A，B，C是⊙O上的三个点，∠B＝66°，
∴∠AOC＝132°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=，
=，
=24°，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆心角定理是解题的关键．
9．B
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一分析判断即可．
【详解】解：∵，，
∴抛物线开口向下，故A错误；
∵当时，函数的最大值是，故B正确；
∵抛物线的对称轴是y轴，故C错误；
∵，
∴抛物线与x轴没有交点，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的系数的几何意义，是解题的关键．
10．B
【分析】分两种情况进行讨论，当点在之间时，即，，
当点在上方时，即，，根据图象的开口方向的类项即可判断．
【详解】解：当点在之间时，即，
，则，
，
图象是开口向下，对称为：的抛物线，
当点在上方时，即，
，则，
，
图象是开口向上的抛物线，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，解题的关键是求出函数的解析式．
11．
【分析】根据的抛物线的顶点式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
【详解】解：抛物线，
该抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12．
【分析】利用扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：根据扇形的面积公式可得：扇形的面积．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式的计算，解题的关键是正确理解公式．
13．
【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：观察这个图可知：黑砖（5块）的面积占总面积（9块）的．
∴小球最终停留在黑砖上的概率是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，掌握概率的求法是解题的关键．
14．
【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
【详解】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（-1，2）；
可设新抛物线的解析式为y=3（x-h）2+k，代入得：y=3（x+1）2+2．
故答案为：．
【点睛】考查了二次函数图象与几何变换，抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．上下平移抛物线时，顶点的横坐标不变，而纵坐标发生了改变，向上平移时，纵坐标增加，向下平移时纵坐标减小；左右平移抛物线时，顶点的纵坐标不变，而横坐标发生了改变，向右平移时，横坐标增加，向左平移时横坐标减小．
15．
【分析】关于的一元二次方程的一个根是2，设它的另一个根为，再根据根与系数的关系建立方程求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是2，设它的另一个根为，
∴，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，掌握“一元二次方程的两根之积等于”是解本题的关键．
16．60
【分析】先根据圆的切线的性质可得，从而可得，再根据切线长定理可得，然后根据等边三角形的判定与性质即可得．
【详解】解：是的切线，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：60．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、切线长定理等知识点，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．
17．1cm或7cm##7cm或1cm
【分析】过圆心作两条平行线的垂线，根据垂径定理得出cm，cm，分两种情况，当两条弦在圆心两侧时：当两条弦在圆心同侧时：分别在直角三角形中根据勾股定理计算即可．
【详解】解：过圆心O作MN⊥AB于N，交CD于M，连结OB，OD，
∵CD∥AB，
∴MN⊥CD，
如图，当两条弦在圆心两侧时：
AB、CD是⊙O的两条平行弦，
∵ON⊥AB，AB为弦，
则根据垂径定理可得：cm，
∵OM⊥CD，CD为弦，
则根据垂径定理可得：cm，
在中，cm；
在中，cm；
∴cm，
当两条弦位于圆心同侧时，
∵ON⊥AB，AB为弦，
则根据垂径定理可得：cm，
∵OM⊥CD，CD为弦，
则根据垂径定理可得：cm，
在中，cm；
在中，cm；
∴cm，
故答案为：7cm或1cm．
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理解直角三角形，熟练掌握垂径定理并仔细计算是解题关键．
18．①③##③①
【分析】根据在同一个圆中，同弦对应的圆周角相等，即可判断①；取交点为，得，得出，根据根据垂径定理可得：，即可判断
②；证明出，即可判断③；取的交点于，只能证明出即可判断出④．
【详解】解：根据在同一个圆中，同弦对应的圆周角相等，即，
，故①正确；
，取交点为，
即，
为的斜边，
，
根据垂径定理可得：，
，故②错误；
，
，
，
，
平分，故③正确；
如图，取的交点于，
由前面可得：，
，
不一定能推出，故④错误；
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了圆心角定理、三角形全等的判定及性质、三角形相似、角平分线，解题的关键是掌握圆心角定理．
19．(1)且
(2)，
【分析】（1）一元二次方程有实数根，则，建立关于m的不等式，求出的取值范围；
（2）由（1）知且，当m为正整数时，，根据题意可得方程为，因式分解法解方程即可求得方程的根．
【详解】（1）解：关于x的一元二次方程有实数根
∴
即：，解得：
又∵m为二次项系数，
∴m的取值范围是且
（2）由（1）知且，当m为正整数时，，
∴此时方程即为：，
∴，
解得：，
【点睛】本题考查了根的判别式，解一元一次不等式和解一元二次方程，能根据根的判别式和已知得出不等式是解此题的关键．
20．(1)
(2)图见解析，
(3)
【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出点B的对应点坐标即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A1、B1即可；
（3）先利用勾股定理计算出OA，然后根据弧长公式计算．
【详解】（1）解：∵
∴向下平移3个单位后，点B的对应点坐标为（1，0）
故答案为：（1，0）
（2）如图所示即为所求
点A1的坐标为
（3）由题可知：线段OA扫过的图形是以点O为圆心，以OA长为半径的扇形的弧长，，
∴
【点睛】本题考查了作图-旋转变换：旋转的性质，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换和弧长公式．
21．(1)
(2)
【分析】（1）找出从4人中抽取1人的等可能情况，再找出其中抽取1人为男性的情况，利用概率公式计算即可；
（2）列表或画树状图，列出所有等可能的结果，从中找出满足条件的等可能结果，再利用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：∵从4人中抽取1人的等可能情况有4种，其中抽取1人为男性的情况有2种，
∴从4人中抽取1人为男性的概率是,
故答案为；
（2）解：由题可列下表：
由表可知，共有12种等可能的结果，而两个人选中一名男性和一名女性的结果有8种，
∴．
【点睛】本题考查列举法求概率和列表或画树状图求概率，掌握列举法求概率的方法和列表或画树状图求概率方法与步骤，关键是从中找出满足条件的等可能结果，熟悉概率公式．
22．
【分析】设平均每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为，
由题意：，
即：，
解得：或（不合题意，舍去），
∴平均每次降价的百分率为．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理解增长率和减少率的基本模型，准确建立方程求解并取得合适的结果是解题关键．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据，求得，根据等腰三角形的性质得到，推出，根据平行线的性质得到，于是得到是的切线；
（2）过点O作于点F，连接OE，OC，根据，得出，由于，得出△COE是等边三角形，得出，在中，由勾股定理：，根据．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
OC是的半径，
∴CD是的切线；
（2）解：过点O作于点F，连接OE，OC，
∵，
∴，
又∵，
∴△COE是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在中：，
∴．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，等边三角形、垂径定理，扇形的面积的计算，解题的关键是正确的作出辅助线．
24．(1)
(2)每个纪念品的销售单价为50元时，商家每天获得2400元
(3)销售单价定为52元时，该超市每天的利润最大，最大利润是2640元
【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可；
（2）当，解出，（不符合题意，舍去），根据舍去不满足条件的即可；
（3）由题意，得，利用二次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，；
（2）解：根据题意可得：，
整理得： ，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：每个纪念品的销售单价为50元时，商家每天获得2400元．
（3）解：由题意，得，
，
，
∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，w随x的增大而增大．
∵，
∴当时，w有最大值，
此时，，
答：销售单价定为52元时，该超市每天的利润最大，最大利润是2640元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出相应的函数关系式．
25．(1)
(2)，，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用证明，可得结论；
（2）设与相交于点O，证明，即可得到，，进一步得到，即可得到结论．
（3）在中，边的长度为定值，当边上的高最大时，的面积最大，则当点D在的垂直平分线上时，的面积最大，进一步求解即可得到旋转角的度数．
【详解】（1），理由如下：
，
，
即，
在和中，
，
，
；
（2）且．理由如下：
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，，
设与相交于点O，
由可得：，
∴，
∴，
∴，
∴且；
（3）在中，边的长度为定值，当边上的高最大时，的面积最大，
∴当点D在的垂直平分线上时，的面积最大，
如图所示，
∵,，于点G，
∴，
∴，
即当的面积最大时，，
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质等知识，证明是解题的关键．
26．(1)
(2)的最大面积为，点P的坐标为（﹣，）
(3)能，点或
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）求出直线的解析式，过点P作轴交于Q，设，则，根据求出函数关系式，即可得到答案；
（3）先求出抛物线的对称轴，设出点P的坐标，再分两种情况，利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解，即可求出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1 ）知，抛物线的解析式为，
令，则，
∴，
设直线的解析式为，
∵点，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
过点P作轴交于Q，
设，
∴，
∴，
∴，
∴当时，的最大面积为，此时，点P的坐标为；
（3）能是平行四边形；
由(1)知，抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为，
设点，
假设存在以B，C，P，M为顶点、为边的四边形是平行四边形，
①当四边形是平行四边形时，
∵点，
∴，
得，
∴；
①当四边形是平行四边形时，
∵点，
∴，
∴，
∴，
即：满足条件的点或．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，坐标系中三角形面积的求法，平行四边形的性质，用方程的思想解决问题是解题的关键．