吉林省白山市临江市临江市外国语学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份吉林省白山市临江市临江市外国语学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了5 毫米黑色墨水签字等内容，欢迎下载使用。

考试注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考
生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．用配方法解方程时，所得的方程是（ ）
A．B．C．D．
2．某经济开发区，今年一月份工业产值达亿元，第一季度总产值为亿元，二月、三月平均每月的增长率是多少？若设平均每月的增长率为，根据题意，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，点A、B、C都在上，且点C在弦所对的优弧上，如果，那么的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至少有1个球是黑球
B．至少有1个球是白球
C．至少有2个球是黑球
D．至少有2个球是白球
6．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F．G，则弧FG对的圆周角∠FPG的大小为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．30°
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式 （写一个即可）．
8．如图，为的切线，为切点，是与的交点，若则的长为 （结果保留）．
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C，点A在边B′C上，则∠B′的大小为 ．
10．鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天时间，红光养鸡场于某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡 只．
11．如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F= ．
12．已知函数图像上两点，，其中，则与的大小关系是 （填“”、“”或“”）
13．如图，数轴上两点A，B，在线段AB上任取一点C，则点C到表示1的点的距离不大于2的概率是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点．以为斜边作，边上的中线的最小值是 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．已知﹣1是方程x2+ax﹣b=0的一个根，求a2﹣b2+2b的值．
16．已知抛物线L：y=ax2+bx+c（a≠0），经过A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3）三点．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求该抛物线顶点的坐标．
17．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，，点C是的中点，点D是的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为多少？
18．如图，在中，，，将绕点B按顺时针方向旋转30°得，交AC于点E，分别交、于点D、F．试判断四边形的形状，并说明理由．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．如图，网格中每个小正方形的边长均为1．在的左侧，分别以的三边为直径作三个半圆围成图中的阴影部分．
(1)图中是什么特殊三角形？
(2)求图中阴影部分的面积．
20．扎西的爷爷用一段长30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
21．如图，把带有指针的圆形转盘、分别分成等份、等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示）．小明、小乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为的倍数，则小明胜；否则，小乐胜．（若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘）
试用列表或画树状图的方法，求小明获胜的概率；
请问这个游戏规则对小明、小乐双方公平吗？做出判断并说明理由．
22．如图1、图2，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，
（1）在图1中，AC与BD相等吗？请说明理由；
（2）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图2的位置，请问AC与BD还相等吗？为什么？
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
24．如图，已知是的直径，与相切于点，连接，交于点，弦．
(1)求证：点是的中点；
(2)求证：是的切线．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．如图1，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BD⊥DE，AE⊥DE，垂足分别为D、E．（这几何模型具备“一线三直角”）如图1：
（1）①请你证明：△ACE≌△CBD；②若AE＝3，BD＝5，求DE的长；
（2）迁移：如图2：在等腰Rt△ABC中，且∠C＝90°，CD＝2，BD＝3，D、E分别是边BC，AC上的点，将DE绕点D顺时针旋转90°，点E刚好落在边AB上的点F处，则CE＝ ．（不要求写过程）

26．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD．
（1）点C的坐标是 ，线段AD的长等于 ；
（2）点M在CD上，且CM=OM，抛物线y=x2+bx+c经过点G，M，求抛物线的解析式；
（3）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在（2）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据配方法的解法步骤解答即可．
【详解】解：对于，
移项得：，
配方得：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的解法步骤是解答的关键．
2．B
【分析】本题考查的是一元二次方程的运用．增长率问题，一般用增长后的量增长前的量(增长率)增长次数，本题可先用表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
【详解】解：设平均每月的增长率为，
则二月份的产值为：，
三月份的产值为：，
故第一季度总产值为：．
故选B．
3．B
【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0），把点（0,0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（2,3），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．
【详解】∵函数y=x2的图象的顶点坐标为，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
∴平移后，新图象的顶点坐标是．
∴所得抛物线的表达式为．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
4．C
【分析】本题考查圆周角定理，熟知同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半是解答的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：C．
5．A
【详解】解：一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球是必然事件；至少有1个球是白球、至少有2个球是黑球和至少有2个球是白球都是随机事件．
故选A．
6．B
【详解】试题分析：首先求得正六边形OABCDE的内角的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案．
解：∵六边形OABCDE是正六边形，
∴∠AOE==120°，即∠FOG=120°，
∴∠FPG=∠FOG=60°．
故选B．
考点：圆周角定理；多边形内角与外角．
7．y＝x2+2x（答案不唯一）．
【分析】设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2），令a＝1即可．
【详解】∵抛物线过点（0，0），（﹣2，0），
∴可设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2），
把a＝1代入，得y＝x2+2x．
故答案为y＝x2+2x（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，此题属开放性题目，答案不唯一．
8．
【分析】根据切线的性质可知∠OAP=90°，因此可根据直角三角形的两内角互余可求得∠O=70°，然后根据弧长公式可求得的长．
【详解】解：∵PA切⊙O于A，
∴∠PAO=90°，
∵∠P=20°，
∴∠POA=70°，
，
故答案为：．
考点：切线的性质，直角三角形，弧长公式
9．42°
【详解】根据题意：Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C，即旋转角为48°，
则：∠ACA′=48°，根据直角三角形的两锐角互余求出∠B′=90°﹣48°=42°，
故答案为：42°．
【考点】旋转的性质；直角三角形的性质；两直角三角形的两锐角互余．
10．12
【分析】设每只病鸡传染健康鸡x只，则第一天有x只鸡被传染，第二天有x（x+1）只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：1+x+x（x+1）只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可．
【详解】解：设每只病鸡传染健康鸡x只，由题意得： x+1+x（x+1）=169，
整理，得，
解得（不符合题意舍去）．
答：设每只病鸡传染健康鸡12只．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于找出等量关系（经过两天感染患病的鸡一定）列出方程求解．
11．40°
【分析】先根据三角形外角性质计算出∠EBF=∠A+∠E=85°，再根据圆内接四边形的性质计算出∠BCD=180°﹣∠A=125°，然后再根据三角形外角性质求∠F．
【详解】解：∵∠A=55°，∠E=30°，
∴∠EBF=∠A+∠E=85°，
∵∠A+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°﹣55°=125°，
∵∠BCD=∠F+∠CBF，
∴∠F=125°﹣85°=40°．
故答案为40°．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质；三角形内角和定理，熟练掌握其性质是解题的关键．
12．
【分析】根据二次函数的图象与性质即可完成．
【详解】，且对称轴为直线，
当时，函数值随自变量的增大而减小；
∵，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是关键．
13．．
【分析】先求出AB两点间的距离，再根据距离的定义找出符合条件的点即可．
【详解】解：∵AB间距离为6，点C到表示1的点的距离不大于2的点是﹣1到3之间的点，
满足条件的点组成的线段的长是4，
∴其概率为=．
故答案为．
【点睛】本题考查了几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
14．
【分析】本题考查了二次函数的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，先由为中斜边边上的中线得到，再由抛物线得到抛物线的顶点坐标为，根据顶点为最低点可确定点位于顶点时，最短，即可求出的最小值，根据题意确定出点的位置是解题的关键．
【详解】解：∵为中斜边边上的中线，
∴，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴点到轴的最小距离为，
即垂线段的最小值为，
∴中线的最小值为，
故答案为：．
15．1
【分析】把x=-1代入方程,得a+b=1,再代入中即可.
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴．
∴．
∴



．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根一定满足该方程．
16．（1）y=﹣x2+2x+3．（2）（1，4）．
【详解】试题分析：（1）把三点直接代入函数解析式，组成方程组，求得a、b、c的数值，得出函数解析式即可；
（2）利用配方法化为顶点式求得顶点坐标即可．
解：（1）根据题意得，
解得：，
所以这条抛物线的表达式y=﹣x2+2x+3．
（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴该抛物线顶点的坐标为（1，4）．
考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
17．25m
【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理的应用，连接，根据垂径定理得到，，然后利用勾股定理求解即可．解题的关键是正确作出辅助线．
【详解】解：连接，则点O、C、D共线．
∵D是的中点，
∴，
∴．
设半径为r，得，，
解得，
答：这段弯路所在圆的半径为25m．
18．菱形，理由见解析
【分析】先根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和定理求出，再根据旋转角为得到，从而得到，然后根据内错角相等，两直线平行可得，同理，最后根据平行四边形的定义以及菱形的定义即可证明．
【详解】解：四边形是菱形．理由如下：
，，
，
由题意可知，
旋转角为
，
，
，
同理，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【点睛】本题考查了旋转变换的性质，等角对等边的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，等腰三角形的性质，经过角度的计算得到相等的角是解题的关键．
19．(1)等腰直角三角形
(2)16
【分析】本题主要考查勾股定理以及勾股定理的逆定理，求不规则图形的面积：
（1）根据勾股定理求出和的长度，再结合的长度，运用勾股定理的逆定理，判断是不是直角三角形；
（2）设以，，为直径的半圆面积分别为，，，则．
【详解】（1）解：由图可得，，
，
是等腰直角三角形；
（2）解：设以，，为直径的半圆面积分别为，，，
则
在中，由勾股定理知，，
．
20．当矩形的长为15m，宽为7.5m时，矩形菜园的面积最大，最大面积为112.5m2
【详解】试题分析：设菜园宽为x，则长为36-2x，由面积公式写出y与x的函数关系式，然后利用二次函数的最值的知识可得出菜园的最大面积，及取得最大面积时矩形的长和宽．
设长为x米，宽为(30-x)/2米-,面积为y米2
当x=15时，y最大=112.5
答：最大面积是112.5米2．
考点：本题主要考查二次函数的应用
点评：关键在于找出等量关系列出方程求解，另外应注意配方法求最大值在实际中的应用．
21．(1) ;(2)见解析.
【分析】（1）列举出所有情况，看指针所指两区域的数字之积为3的倍数的情况占总情况的多少，即可求得小明胜的概率；
（2）由（1）进而求得小乐胜的概率，比较两个概率即可得出游戏是否公平．
【详解】根据题意画图如下：
共有种情况，指针所指两区域的数字之积为的倍数的有种情况，则小明胜的概率是；
由得乐乐胜的概率为，两人获胜的概率不相同，所以游戏不公平．
【点睛】此题考查了概率的公平性，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
22．（1）相等；（2）相等
【分析】（1）根据等腰三角形的两腰相等进行解答．
（2）证明△DOB≌△COA，根据全等三角形的对应边相等进行说明．
【详解】解：（1）相等．
在图1中，∵△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴OA＝OB，OC＝OD，
∴0A﹣0C＝0B﹣OD，
∴AC＝BD；
（2）相等．
在图2中，∠AOB＝∠COD＝90°，
∵∠DOB＝∠COD﹣∠COB，∠COA＝∠AOB﹣∠COB，
∴∠DOB＝∠COA
在△DOB和△COA中，
，
∴△DOB≌△COA（SAS），
∴BD＝AC．
【点睛】本题考查旋转的性质, 全等三角形的判定与性质, 等腰直角三角形，熟练掌握性质是解题的关键.
23．（1）该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．
【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；
（2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数．
【详解】解：（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，
由题意，得10(1＋x)2＝12.1，
，
(不合题意，舍去)．
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；
（2）∵0.6×21＝12.6(万件)，12.1×(1＋0.1)＝13.31(万件)，
12.6万件＜13.31万件，
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务．
设需要增加y名业务员，
根据题意，得0.6(y＋21)≥13.31，
解得y≥≈1.183，
∵y为整数，
∴y≥2．
答：至少需要增加2名业务员．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，不等式的应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程及不等式，然后求解．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由是直径推出，再由得到，再由垂径定理可得，即点是的中点；
（2）先证明，从而，由与相切于点可知，从而得解．
【详解】（1）证明：连接，
是直径，
，
，
，
，(垂径定理)
即点是的中点；
（2）连接，
由（1）知，
∴，
，，，
，
与相切于点，
，
是的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定和垂径定理以及圆心角、弧、弦之间的关系，注：在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弧、弦中有一组量相等，其余各组量也相等或互补．
25．（1）①见解析；②DE=8；（2）CE=1．
【分析】（1）如图1，根据垂直的定义和同角的余角相等得到∠E=∠D=90°，∠1=∠2，则结合已知条件AC=BC由AAS证得：△ACE≌△CBD；
②如图2，同（1），证得△ACE≌△CBD，则根据全等三角形的对应边相等推知：CE=BD=4，AE=CD=2，故DE=CE﹣CD=4﹣2=2．
(2) 过F作FM⊥BC于M，求出BM=MF，求出∠C=∠FMD，∠CED=∠MDF，证△CED≌△MDF，推出DM=CE，CD=FM=2即可．
【详解】（1）∵BD⊥DE，AE⊥DE，
∴∠E=∠D=90°．
又∵∠ACB=90°，
∴∠1=∠2，
∴在△ACE与△CBD中，
，
∴△ACE≌△CBD（AAS）；
②如图2，同（1），证得△ACE≌△CBD，
∴CE=BD=5，AE=CD=3，
∴DE=CE+CD=5+3=8．
（2）过F作FM⊥BC于M，

则∠FMB=∠FMD=90°，
∵∠C=90∘，AC=BC，
∴∠B=∠A=45°，
∴∠MFB=∠B=45°，
∴BM=MF，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=∠FMD=∠C=90°，
∴∠CED+∠CDE=90∘,∠CDE+∠FDM=90°，
∴∠CED=∠FDM，
在△CED和△MDF中，
，
∴△CED≌△MDF(AAS)，
∵CD=2，BD=3，
∴DM=CE，CD=FM=2=BM，
∴CE=DM=3−2=1，
故答案为1．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及旋转的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
26．解：（1）（0，3）；4；（2）；（3）抛物线上存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形．
【分析】（1）首先求出图象与x轴交于点A，与y轴交于点B的坐标，进而得出C点坐标以及线段AD的长；
（2）首先得出点M是CD的中点，即可得出M点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；
（3）分别根据当点F在点C的左边时以及当点F在点C的右边时，分析四边形CFPE为菱形得出即可．
【详解】（1）∵与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴y=0时，x=﹣3，x=0时，y=1．
∴A点坐标为：（﹣3，0），B点坐标为：（0，1）．
∴OC=3，DO=1．
∴点C的坐标是（0，3），线段AD的长等于4．
（2）∵CM=OM，
∴∠OCM=∠COM．
∵∠OCM+∠ODM=∠COM+∠MOD=90°，
∴∠ODM=∠MOD．
∴OM=MD=CM．
∴点M是CD的中点，
∴点M的坐标为（，）．
∵抛物线y=x2+bx+c经过点C，M，
∴，解得：．
∴抛物线y=x2+bx+c的解析式为：．
（3）情形1：如图1，当点F在点C的左边时，四边形CFEP为菱形，
∴∠FCE=PCE．
由题意可知，OA=OC，
∴∠ACO=∠PCE=45°．
∴∠FCP=90°．
∴菱形CFEP为正方形．
过点P作PH⊥CE，垂足为H，
则Rt△CHP为等腰直角三角形．
∴CP=CH=PH．
设点P为（x，），则OH=，PH=x，
∵PH=CH=OC﹣OH，
∴，
解得：x1=， x2=0（舍去）．
∴CP=CH=．
∴菱形CFEP的周长l为：．
情形2：如图2，当点F在点C的右边时，四边形CFPE为菱形，
∴CF=PF，CE∥FP．
∵直线AC过点A（﹣3，0），点C（0，3），
∴直线AC的解析式为：y=x+3．
过点C作CM⊥PF，垂足为M，
则Rt△CMF为等腰直角三角形，CM=FM．
延长PF交x轴于点N，则PN⊥x轴，
∴PF=FN﹣PN．
设点P为（x，），则点F为（x，x+3），
∴．
∴，
解得：，x2=0（舍去）．
∴．
∴菱形CFEP的周长l为：）．
综上所述，这样的菱形存在，它的周长为或．
【点睛】此题主要考查了二次函数综合应用以及菱形的判定与性质等知识，根据已知进行分类讨论得出是解题关键．