2024年中考数学一轮复习专项练习：反比例函数与一次函数交点问题

这是一份2024年中考数学一轮复习专项练习：反比例函数与一次函数交点问题，共22页。试卷主要包含了如图，反比例函数y=kx等内容，欢迎下载使用。

1．若反比例函数y=kx与一次函数y=2x﹣4的图象都经过点A（a，2）
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当反比例函数y=kx的值大于一次函数y=2x﹣4的值时，求自变量x的取值范围．
2．已知双曲线y=kx和直线y=ax+b相交于A（﹣1，4）和B（2，m）两点，试确定双曲线和直线的函数关系式．
3．如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y= mx （x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．
4．如图，反比例函数y=kx（k＜0）的图象与矩形ABCD的边相交于E、F两点，且BE=2AE，E（﹣1，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接EF，求△BEF的面积．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+2与x，y轴分别相交于A，B，与反比例函数y=mx(x>0)的图象相交于点C，已知OA=1，点C的横坐标为2．
（1）求k，m的值；
（2）平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
6．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=﹣12x+3交AB，BC于点M，N，反比例函数y=kx的图象经过点M，N．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，﹣2），tan∠BOC=12．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式．
（2）求△BOC的面积．
（3）P是x轴上的点，且△PAC的面积与△BOC的面积相等，求P点的坐标．
8．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于A（x1，﹣3）、B（x2，y2）两点，已知x1、x2（x1＜x2）是方程x2﹣x﹣6=0的两个根．
（1）求点B的坐标；
（2）求一次函数y=ax+b的表达式．
9．如图，已知直线y=﹣x+4与反比例函数y=kx的图象相交于点A（﹣2，a），并且与x轴相交于点B．
（1）求a的值；
（2）求反比例函数的表达式；
（3）求△AOB的面积；
（4）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
10．如图，直线y=12x与反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象交于点A．将直线y=12x向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象交于点B，分别过点A，B作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，且OD=3OE．
（1）直线BC对应的函数解析式是多少；
（2）求k的值．
11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=kx（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，12），点C的坐标为（﹣4，0），且tan∠ACO=2．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）在x轴上求点E，使△ACE为直角三角形．（直接写出点E的坐标）
12．如图，在平面直角坐标系中.四边形 OABC 为矩形，点 C 、 A 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上，点 D 为 AB 的中点已知实数 k≠0 ，一次函数 y=−3x+k 的图象经过点 C 、 D ，反比例函数 y=kx(x>0) 的图象经过点 B ，求 k 的值.
13．如图，已知A（﹣2，﹣2）、B（n，4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=mx的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
14．如图，已知直线 y1=x+m 与 x 轴、 y 轴分别交于点A、B，与反比例函数 y2=kx （ x <0 ）的图象分别交于点C、 D，且C点的坐标为（ −1 ，2）.
⑴分别求出直线AB及反比例函数的表达式；
⑵求出点D的坐标；
⑶利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时， y1 > y2 .
15．一次函数 y=2x+b 与反比例函数 y=kx 的图象交于点 A(1,a) ，且与x轴交于点 B(−1,0) .
（1）求一次函数和反比例函数的解析式
（2）若点C在反比例函数的图象上，且在直线AB的下方，若四边形ABOC的面积为5，求点C的坐标；
16．如图，反比例函数y= kx 的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A（1，4）、点B（﹣4，n）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△OAB的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．
17．如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝ 8x （x＞0）的图象交于点A（a，4）.点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D.
（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式.
（2）若CD＝6，求△ACD的面积.
18．如图，已知一次函数y=x+b与反比例函数y= kx 的图象交于A、B两点，其中点A的坐标为（2，3）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）请根据图象直接写出不等式x+b＞ kx 的解集．
19．已知反比例函数 y1=kx 的图象与一次函数 y2=ax+b 的图象交于点A（1，4）和点B（m，-2）.
（1）求这两个函数的表达式；
（2）观察图象，当 >0时，直接写出 y1>y2 时自变量x的取值范围.
20．如图，反比例函数 y=kx 与一次函数 y=−x−(k+1) 的图象在第二象限的交点为 A ，在第四象限的交点为 C ，直线 AO （ O 为坐标原点）与函数 y=kx 的图象交于另一点 B ．过点 A 作 y 轴的平行线，过点 B 作 x 轴的平行线，两直线相交于点 E ， △AEB 的面积为6．
（1）求反比例函数 y=kx 的表达式；
（2）求点 A ， C 的坐标和 △AOC 的面积．
答案
1．解：（1）将A（a，2）代入一次函数y=2x﹣4中得：2=2a﹣4，即a=3，
∴A（3，2），
将x=3，y=2代入反比例解析式得：k=6，
则反比例解析式为y=6x；
（2）联立两函数解析式得：y=6xy=2x−4，
解得：x=3y=2或x=−1y=−6，
即两函数的两交点分别为（3，2），（﹣1，﹣6），作出两函数图象，如图所示：
2．解：把A（﹣1，4）代入y=kx得k=﹣1×4=﹣4，
所以反比例函数解析式为y=﹣4x，
把B（2，m）代入y=﹣4x得2m=﹣4，解得m=﹣2，
把A（﹣1，4），B（2，﹣2）代入y=ax+b得 −a+b=42a+b=−2，解得a=−2b=2，
所以一次函数解析式为y=﹣2x+2．
3．解：∵点B（2，n）、P（3n﹣4，1）在反比例函数y= mx （x＞0）的图象上，
∴2n=m3n−4=m ．
解得：m=8，n=4．
∴反比例函数的表达式为y= 8x ．
∵m=8，n=4，
∴点B（2，4），（8，1）．
过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长交AB与点P′．
在△BDP和△BDP′中，
∠PBD=∠P'BDBD=BD∠BDP=∠BDP'
∴△BDP≌△BDP′．
∴DP′=DP=6．
∴点P′（﹣4，1）．
将点P′（﹣4，1），B（2，4）代入直线的解析式得： 2k+b=4−4k+b=1 ，
解得： k=12b=3 ．
∴一次函数的表达式为y= 12 x+3
4．解：（1）∵反比例函数y=kx（k＜0）的图象过点E（﹣1，2），
∴k=﹣1×2=﹣2，
∴反比例函数的解析式为y=﹣2x；
（2）∵E（﹣1，2），
∴AE=1，OA=2，
∴BE=2AE=2，
∴AB=AE+BE=1+2=3，
∴B（﹣3，2）．
将x=﹣3代入y=﹣2x，得y=23，
∴CF=23，
∴BF=2﹣23=43，
∴△BEF的面积=12BE•BF=12×2×43=43．
5．（1）解：∵OA=1，∴点A的坐标为(−1，0)
则−k+2=0，解得：k=2
∴直线l的解析式为y=2x+2
∵点C在直线l上，点C的横坐标为2
∴点C的纵坐标为2×2+2=6
∴点C的坐标为(2，6)
∴m=2×6=12
（2）解：设点D的坐标为(n，2n+2)，则点E的坐标为(n，12n)
∴DE=|2n+2−12n|
∵OB∥DE，
∴当OB=DE时，以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形
∵直线y=2x+2与y轴交于点B，
∴OB=2，
∴|2n+2−12n|=2，
当2n+2−12n=2时，n1=6，n2=−6（舍去），
此时，点D的坐标为(6，26+2)，
当2n+2−12n=−2时，n1=7−1，n2=−7−1（舍去），
此时，点D的坐标为(7−1，27)，
综上所述：以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形时，
点D的坐标为(6，26+2)或(7−1，27)
6．解：（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，
∴OA=BC=2，
将y=2代入y=﹣12x+3得：x=2，
∴M（2，2），
把M的坐标代入y=kx得：k=4，
∴反比例函数的解析式是y=4x；
（2）把x=4代入y=4x得：y=1，即CN=1，
∵S四边形BMON=S矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON
=4×2﹣12×2×2﹣12×4×1=4，
由题意得：12|OP|×AO=4，
∵AO=2，
∴|OP|=4，
∴点P的坐标是（4，0）或（﹣4，0）．
7．解：（1）过B作x轴的垂线，垂足为D，
∵B的坐标为（n，﹣2），
∴BD=2，
∵tan∠BOC=12，
∴OD=4，
∴B的坐标为（﹣4，﹣2）
把B（﹣4，﹣2）代入y=kx得：k=8，
∴反比例函数为y=8X，
把A（2，m）代入y=8X得：m=4，
∴A（2，4），
把A（2，4）和B（﹣4，﹣2）代入y=ax+b得：2a+b=4−4a+b=−2
解得：a=1，b=2，
∴一次函数的解析式为：y=x+2；
（2）在y=x+2中，令y=0，得x=﹣2，
∴CO=2，
∴S△BOC=12CO•BD=12×2×2=2；
（3）设P点的坐标为P（a，0）
则由S△PAC=S△BOC得：12PC×4=2，
∴PC=1，
即||a+2|=1，
解得：a=﹣3或a=﹣1，
即P的坐标为（﹣3，0）或（﹣1，0）．
8．解：（1）∵x1、x2是方程x2﹣x﹣6=0的两个根，
∴（x﹣3）（x+2）=0，
解得x1=3，x2=﹣2；
∴点A坐标为（﹣2，﹣3），
代入y=kx得k=6．
∴反比例函数的解析式y=6x，
把x2=3代入反比例函数的解析式得y2=2，
∴点B坐标为（3，2）；
（2）把点A、B代入一次函数的解析式，得−2a+b=−33a+b=2，
解得a=1b=−1，
∴一次函数的表达式为y=x﹣1．
9．解：（1）∵点A（﹣2，a）在y=﹣x+4的图象上，
∴a=2+4=6；
（2）将A（﹣2，6）代入y=kx，得k=﹣12，
所以反比例函数的解析式为y=﹣12x；
（3）如图：过A点作AD⊥x轴于D，
∵A（﹣2，6），
∴AD=6，
在直线y=﹣x+4中，令y=0，得x=4，
∴B（4，0），
∴OB=4，
∴△AOB的面积S=12OB×AD=12×4×6=12．
△AOB的面积为12；
（4）设一次函数与反比例函数的另一个交点为C，
把y=﹣x+4代入y=﹣12x，
整理得x2﹣4x﹣12=0，
解得x=6或﹣2，
当x=6时，y=﹣6+4=﹣2，
所以C点坐标（6，﹣2），
由图象知，要使一次函数的值大于反比例函数的值，x的取值范围是：x＜﹣2或0＜x＜6．
10．解：（1）∵直线BC是直线y=12x向上平移4个单位得到，
∴直线BC解析式为y=12x+4，
故答案为：y=12x+4；
（2）设OE=x，则OD=3x，
∴B点坐标为（x，12x+4），A点坐标为（3x，32x），
又∵A、B两点都在反比例函数图象上，
∴x（12x+4）=3x×32x，解得x=0（舍去）或x=1，
∴A点坐标为（3，32），
∴k=3×32= 92．
11．解：（1）过点A作AD⊥x轴于D，∵C的坐标为（﹣4，0），A的坐标为（n，12），∴AD=12，CD=n+4，∵tan∠ACO=2，∴ADCD=12n+4=2，解得：n=2，∴A（2，12），把A（2，12）代入y=mx，得m=2×12=24，∴反比例函数表达式为：y=24x，又∵点A（2，12），C（﹣4，0）在直线y=kx+b上，∴2k+b=12，﹣4k+b=0，解得：k=2，b=8，∴一次函数的表达式为：y=2x+8；（2）由方程组 y=2x+8y=24x，解得： x1=2y1=12， x2=−6y2=−4，∵A（2，12），∴B（﹣6，﹣4）；（3）分两种情况：①当AE⊥x轴时，即点E与点D重合，此时E1（2，0）；②当EA⊥AC时，此时△ADE∽△CDA，则ADCD=DEAD，DE=1446=24，又∵D的坐标为（2，0），∴E2（26，0）．综上所述，所求点E的坐标为E1（2，0），E2（26，0）．
12．解：把 y=0 代入 y=−3x+k ，得 x=k3 .
∴C(k3，0) .
∵BC⊥x 轴，
∴点 B 横坐标为 k3 .
把 x=k3 代入 y=kx ，得 y=3 .
∴B(k3，3) .
∵点 D 为 AB 的中点，
∴AD=BD .
∴D(k6，3) .
∵点 D(k6，3) 在直线 y=−3x+k 上，
∴3=−3×k6+k .
∴k=6
13．解：（1）∵A（﹣2，﹣2）在y=mx上，∴m=4．∴反比例函数的解析式为y=4x．∵点B（n，4）在y=4x上，∴n=1．∴B（1，4）．∵y=kx+b经过A（﹣2，﹣2），B（1，4），∴−2k+b=−2k+b=4．解之得k=2b=2．∴一次函数的解析式为y=2x+2．（2）设C是直线AB与y轴的交点，∴当x=0时，y=2．∴点C（0，2）．∴OC=2．∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=12×2×2+12×2×1=3．
14．解：⑴将C点坐标（ −1 ，2）代入 y1=x+m ，得 m=3 ，所以 y1=x+3 ；将C点坐标（ −1 ，2）代入 y2=kx ，得 k=−2 .所以 y2=−2x .⑵由方程组 y=x+3y=−2x解得 x=−1y=2或x=−2y=1所以D点的坐标为（－2，1）.⑶当 y1 > y2 时，一次函数图象在反比例函数图象上方，此时x的取值范围是 −215．（1）解：∵一次函数y=2x+b的图象过点B（-1,0），
∴-2+b=0，解得b=2，
∴一次函数解析式为：y=2x+2.
∵点A（1，a）在直线y=2x+2上，
∴a=2×1+2=4.
∴a（1,4）.
∵反比例函数y=kx的图象交于点A（1,4）,
∴k=1×4=4，
∴反比例函数的解析式为：y=4x.
（2）解：设点C的坐标为（x，4x），则x＞1.
如图，连接OA，作AE⊥x轴于点E，CD⊥x轴于D，
则S△AOE=S△COD.
S△AOB=12OB·AE=12×1×4=2，
∵S四边形ABOC=S△AOB+S△AOC=5，
∴S△AOC=3.
∵S四边形AODC=S△AOE+S梯形ACDE=S△COD+S△AOC，
∴S△AOC=S梯形AEDC=3，
∴124x+4x−1=3，
解得x=2或−12，
x=−12不合题意，舍去，
∴x=2，
∴C的坐标为（2,2）.
16．（1）解：把A点（1，4）分别代入反比例函数y= kx ，一次函数y=x+b，
得k=1×4，1+b=4，
解得k=4，b=3，
所以反比例函数的解析式是y= 4x ，一次函数解析式是y=x+3
（2）解：如图，
设直线y=x+3与y轴的交点为C，
当x=﹣4时，y=﹣1，
∴B（﹣4，﹣1），
当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC= 12 ×3×1+ 12 ×3×4= 152
（3）解：∵B（﹣4，﹣1），A（1，4），
∴根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．
17．（1）解：把点 A 坐标代入反比例函数 y=8x 中，得 4=8 a ，
∴a=2 .
点 A 坐标为 (2，4) ，
再把 A(2，4) 代入正比例函数 y=kx 的表达式中，得 4=2k ，
∴k=2 ，
则正比例函数表达式为 y=2x
（2）解：设点 B 横坐标为 m(m>0) ，则点 C 坐标为 (m，8m) ，点 D 坐标为 (m，2m) .
∵CD=6 ，
即 2m−8m=6 ，解得： m1=4 ， m2=−1 （不合题意，舍去）.
即 m=4 ，
则点 A 到 CD 的距离为 4−2=2 ，
故 SΔACD=12×2×CD=6
18．（1）解：把点A的坐标（2，3）代入一次函数的解析式中，可得：3=2+b，解得：b=1，
所以一次函数的解析式为：y=x+1；
把点A的坐标（2，3）代入反比例函数的解析式中，可得：k=6，
所以反比例函数的解析式为：y= 6x ；
（2）解：把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，
可得： y=x+1y=6x ，
解得：x1=2，x2=﹣3，
所以点B的坐标为（﹣3，﹣2）；
（3）解：∵A（2，3），B（﹣3，﹣2），
∴使一次函数值大于反比例函数值的x的范围是：﹣3＜x＜0或x＞2
19．（1）解：∵反比例函数 y1=kx 的图象经过点A﹙1，4﹚，
∴k=1×4=4.
∴反比例函数的表达式为 y1=4x .
∵点B﹙m，-2﹚在反比例函数的图象上，
∴m= 4−2 = -2.
∴B的坐标为﹙-2，-2﹚.
∵一次函数的图象经过点A，B，将这两个点的坐标代入y2=ax+b，得
a+b=4−2a+b=−2 解得 a=2b=2 ，
∴所求一次函数的表达式为y2=2x+2.
（2）解：x的取值范围是：0＜x＜1.
20．（1）解：由题意得： y=kxy=−x−(k+1)
∴kx=−x−(k+1)，
∴x2+(k+1)x+k=0，
∴(x+k)(x+1)=0，
x1=−k，x2=−1，
当 x1=−k，y1=−1，
当 x2=−1，y2=−k，
经检验：符合题意．
∵k ＜ 0，
∴A(−1，−k)，C(−k，−1)，
∵ A，B 为 OA 与 y=kx 的交点，
∴B(1，k)，
∵AE//y 轴， BE//x 轴，
∴E(−1，k)，
∴AE=−k−k=−2k，BE=1−(−1)=2，
∵△AEB 的面积为6．
∴12AE•BE=6，
∴12×2×(−2k)=6，
∴k=−3，
∴ 反比例函数的解析式为： y=−3x.
（2）解： ∵A(−1，−k)，C(−k，−1)， k=−3，
∴A(−1，3)，C(3，−1)， 直线 AC 为 y=−x+2 ，
记 AC 与 x 轴的交点为 D ，
令 y=0， 则 −x+2=0，
∴x=2，
∴D(2，0)，
∴S△AOC=S△AOD+S△DOC
=12×2×3+12×2×1=4