江苏省常州市前黄高级中学2023-2024学年高三上学期期中适应性考试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省常州市前黄高级中学2023-2024学年高三上学期期中适应性考试数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则=( )
A.B.C.D.R
2．i是虚数单位,设复数z满足,则z的共轭复数对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．已知,则等于( )
A.B.C.D.
4．设,是两个单位向量,若在上的投影向量为,则( )
A.B.C.D.
5．为进一步在全市掀起全民健身热潮,兴义市于9月10日在万峰林举办半程马拉松比赛.已知本次比赛设有4个服务点,现将6名志愿者分配到4个服务点,要求每位志愿者都要到一个服务点服务,每个服务点都要安排志愿者,且最后一个服务点至少安排2名志愿者,有_______种分配方式( )
A.540B.660C.980D.1200
6．在中,“”是“为锐角三角形”的( )
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7．设实数,若不等式对恒成立,则t的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．水平桌面上放置了4个半径为2的小球,4个小球的球心构成正方形,且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球,则半球形容器内壁的半径的最小值为( )
A.4B.C.D.6
二、多项选择题
9．已知事件A，B满足，，则( )
A.若，则B.若A与B互斥，则
C.若A与B相互独立，则D.若，则A与B相互独立
10．如图,在正方体中,E,F,G分别为BC,,的中点,则( )
A.B.与所成角为
C.D.平面AEF
11．已知函数,则( )
A.是奇函数B.的最大值大于
C.,D.,
12．已知函数及其导函数的定义域均为R,记.若满足,的图象关于直线对称,且,则( )
A.B.是奇函数
C.D.
三、填空题
13．若两个正实数x,y满足,且不等式恒成立,则实数m的取值范围是______________.
14．在锐角三角形ABC中,,且,则AB边上的中线长为________.
15．已知函数,过点可作曲线的3条切线,则实数a的取值范围为________________.
16．已知是函数的一个零点,且,则的最小值为______________.
四、解答题
17．已知函数.
(1)求的最小正周期和单调增区间;
(2)若,求的值.
18．已知函数.
（1）若不等式在上有解,求k的取值范围;
（2）若方程有三个不同的实数解,求实数k的取值范围.
19．如图，平面五边形ABCDE中，是边长为2的等边三角形，，，，将沿AD翻折，使点E翻折到点P．
（1）证明：；
（2）若，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
20．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,边BC上有一动点D.
(1)当D为边BC中点时,若,求c的长度;
(2)当AD为的平分线时,若,求AD的最大值.
21．为了解某市区高中学生的阅读时间,从该市区随机抽取了800名学生进行调查,得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时）,并将样本数据分成九组,绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值;
(2)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况,从周平均阅读时间在,,三组内的学生中,采用分层抽样的方法抽取了10人,现从这10人中随机抽取3人,记周平均阅读时间在内的学生人数为X,求X的分布列和数学期望;
(3)以样本的频率估计概率,从该市区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生.这20名学生中,周平均阅读时间在内的学生最可能有多少名？
22．设,函数的图象与直线相切,其中e是自然对数的底数.
(1)求实数a的值;
(2)当时,恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：时,所以集合,
同理可得,故
故选：D.
2．答案：A
解析：因为,
所以,
所以,
所以z的共轭复数对应的点位于第一象限,
故选：A.
3．答案：B
解析：
,
故选：B.
4．答案：A
解析： 在上的投影向量为,
,
,又,是两个单位向量,即,
.
故选：A.
5．答案：B
解析：由题知可按照最后一个服务区有2名志愿者和3名志愿者进行分配,
①,有;
②,有,
共有（种）.
故选：B.
6．答案：C
解析：若为锐角三角形,则,即,
又,,则,所以,
则,所以;
若,则,即B,C均为锐角,所以,
即,所以,则,即,
所以为锐角三角形;
故“”是“为锐角三角形”的充要条件,
故选：C.
7．答案：B
解析：由题意,,,
设,则不等式为, , 在上是增函数, ,即,令,
则,
当时,递增,时,递减, , ,
故选：B.
8．答案：C
解析：要使半球形容器内壁的半径的最小,只需保证小球与球各面（含球面部分）都相切,
此时,如上图示,O为半球的球心,A为其中一个小球球心,则OA是棱长为2的正方体的体对角线,且该小球与半球球面上的切点与O,A共线,
所以半球形容器内壁的半径的最小值为小球半径与OA长度之和,即,
故选：C.
9．答案：BD
解析：对于A选项,因为,,,所以,故A错误;
对于B选项,因为A与B互斥,所以,故B正确;
对于C选项,因为,所以,所以,故C错误;
对于D选项,因为,即,所以,又因为,所以,所以A与B相互独立,故D正确.
故选BD.
10．答案：ABD
解析:以点D为坐标原点,DA,DC,所在直线分别为x,y,z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,
则,,,,,,,,,,,对于A选项,,,,故A选项正确;
对于B选项,,,
所以,向量与向量的夹角是,与所成角为,故B选项正确.
对于C选项,,,则,故C选项错误;
对于D选项,设平面AEF的法向量为,,,,,平面AEF,平面AEF,故D选项正确;
故选:ABD.
11．答案：BCD
解析：的定义域为R,,故选项A错误;
,故选项B正确;
,故选项C正确;
,
,,当时,,,而在上单调递增,
,
当时,,故选项D正确,
故选：BCD.
12．答案：ACD
解析：对于A：由,得,等式两边同时求导,得,即,故的图象关于点对称,故A正确;
对于B：由的图象关于直线对称,故的图象关于直线对称,
即为偶函数,则,所以应满足（C为常数）,当时,不是奇函数,故B错误;
对于C：由,,
则,得,令替换x得,则
则,故C正确;
对于D：由的图象关于点对称,的图象关于直线对称,且,,令得,
,,
在一个周期内,,
所以,故D正确.
故选：ACD.
13．答案：
解析：正实数x,y满足,
所以,即,
当且仅当时等号成立,
由恒成立,可得,
解得
故答案为：
14．答案：
解析:三角形中,由,可得,
再由正弦定理和余弦定理可得:
整理可得:,由余弦定理可得,可得
,
设AB边的中线CD,则
所以,
而,
所以.
故答案为:.
15．答案：
解析：设点为曲线上一点,则
又,则,
则曲线在点处的切线方程为,
又切线过点,
则,即
令,则,
则时,单调递减;
时,单调递增;
时,单调递减,
则时取得极小值,时取得极大值,
又,
当时,恒成立,时,,
又由题意得方程有3个根,
则与图像有3个交点,则.
则曲线有三条过点的切线时实数a的取值范围为.

故答案为：.
16．答案：
解析：由已知可得,.
不妨设直线,则点是直线l上的一点,
原点O到直线l的距离,
则,
设,,
在上递减,在递增
可得,
所以的最小值为.
故答案为：.
17．答案：(1),增区间为,
(2)
解析：（1）
故周期为,
令,
,
所以的增区间为,.
（2）,
,,,
故
.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）原式,
令,则,
令,
因为对称轴,所以二次函数在区间上单调递减,所以
有解,,
.
（2）原式可化为,
令,原式可化为
因为方程有三个不同的实数根,所以由的图像知,
方程有两个根,且或,
令
则或
.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）在平面图形中取AD中点O，连接OC，OE，
是边长为2的等边三角形，
，，故翻折后有，
又，则，，，
所以，即，则，
由，OP、平面POC，故平面POC，
，则，
平面POC，又平面POC，
∴．
（2）在面POC内作，交PC于M，由平面POC，OM,平面POC，
所以，故AD,OM,OC两两垂直，
以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OM为z轴，建立空间直角坐标系，
由（1）得，四边形OABC为矩形，
在中，，由余弦定理得，故，
所以，，，，，
所以，，，
设平面PCD的一个法向量，则，令，则，
设直线PB与平面PCD所成角为，则．
20．答案：(1)
(2)
解析：（1）因为,
所以,即.
由正弦定理,得.
因为,所以.
因为,所以.
又因为,所以,所以.
因为D为边BC中点,所以,
则.
又,,
所以,即,即,
所以.
（2）在中,由余弦定理,得.
又,所以,
所以,当且仅当时取等号,
所以,所以.
因为平分,
所以,
所以,
所以.
令,则,.
因为在上单调递增,
所以当即时,y取得最大值为,
所以AD的最大值为.
21．答案：(1)
(2)分布列见解析,
(3)最可能有6名或7名
解析：（1）由可得.
（2）由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在,,三组的频率之比为,
10人中,周平均阅读时间在的人数为人,在的人数为人,在的人数为人.
则X所有可能的取值为0,1,2,3,
,
,
,
.
X的分布列为：
数学期望.
（3）用频率估计概率,从该地区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生,周平均阅读时间在内的概率,
设周平均阅读时间在内的学生有k名,
则,
所以.
令,解得,
所以当或,最大.
所以,周平均阅读时间在内的学生最可能有6名或7名.
22．答案：(1)
(2)
解析：（1）由,得,
设切点为,
则,
消去a得,
令,,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以在上单调递减,在上单调递增,
且,
当时,,
所以若,则,
所以;
（2）由（1）得,,
且,
所以函数在单调递增,
所以,
对于当时,恒成立,
当时,,所以恒成立;
若当时,恒成立,
则在恒成立,
,,
当时,,,
所以在上单调递增,所以,成立;
当时,设,,
在上恒成立,
所以在上单调递增,
因为,,
所以,使,
所以时,,单调递减,时,,单调递增,
所以当时,,即,与题设矛盾,
综上所述：.
X
0
1
2
3
P