专题01 集合与常用逻辑用语（人教A版必修第一册）

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集合的含义与表示
1．（2023上·湖北孝感·高一校联考期末）下列有关元素与集合关系写法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】根据元素和集合的关系，集合间的关系可知，只有C正确.
故选：C.
2．（2023上·天津·高一校考阶段练习）下列五个写法：①；②；③；④；⑤.其中错误写法的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】集合与集合的关系是包含与不包含关系，①错误；空集是任何集合的子集，②正确；
，③正确；空集中没有元素，④错误；
0是元素，是集合，元素与集合之间不能进行交集运算，⑤错误，
所以错误写法的个数为3.
故选：C
3．（2023上·宁夏银川·高三银川唐徕回民中学校考期末）设，，，是4个正整数，从中任取个数求和所得的集合为，则这个数中最小的数为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【详解】从个正整数中任取个数求和后可得个和，则个和值之和为，必为的倍数，
又，，，
所以这个和为、、、，
则，
所以，，，
即这个数分别为、、、，
故这个数中最小的数为.
故选：C
4．（2023上·天津·高一校考阶段练习）若，用列举法表示集合 .
【答案】
【详解】由题意可知，是方程的一个根，则，
代入方程，即，解得或，
所以，
故答案为：
集合间的基本关系
1．（2023上·湖北孝感·高一校联考期末）已知集合，其中，则实数（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【详解】∵集合，
当且时，结合，解得，
经检验，不符合元素的互异性，舍去；
当且时，结合，解得，经检验，符合题意，
故.
故选：C.
2．（2023上·广西南宁·高一南宁三中校联考阶段练习）集合，这样的集合M的个数为（ ）
A．7B．8C．3D．4
【答案】B
【详解】依题意，集合，
则集合可以为：，共8个.
故选：B
3．（2023上·河南南阳·高三统考期末）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】任取，则，其中，
所以，故．因此，．
故选：B
集合的基本运算
1．（2023上·湖北孝感·高一校联考期末）已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，，则.
故选：A.
2．（2023上·山东临沂·高一统考期末）已知集合，．
(1)当时，求，；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)，
(2)．
【详解】（1）当时，，所以，
，所以，
；
（2）若，则，
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述：a的取值范围为．
3．（2023上·上海虹口·高一上海财经大学附属北郊高级中学校考期末）若集合，，若满足的所有m的值组成的集合记为Q，则Q的真子集个数为 ．
【答案】7
【详解】由可得，
由于，所以，
当时，，
当时，则，解得，
当时，则，解得，
所以,故Q的真子集个数为，
故答案为：7
充分条件与必要条件
1．（2023上·福建泉州·高一校考期末）命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为命题“”为真命题，则对恒成立，
所以，所以，
所以命题“”为真命题的充分必要条件为，所以选项B不符合题意；
对于A选项，得不到，能得到，所以是的必要不充分条件，所以选项A符合题意；
对于C选项，得不到，也得不到，所以是的既不充分也不必要条件，所以选项C不符合题意；
对于D选项，能得到，得不到，所以是的充分不必要条件，所以选项D不符合题意.
故选：A.
（多选）2．（2023上·山东临沂·高一统考期末）已知命题，，则命题P成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【详解】恒成立，
当时，，成立；
当时，，解得；
综上所述：，
命题P成立的一个充分不必要条件是的真子集，CD满足.
故选：CD.
3．（2023上·上海虹口·高一上海财经大学附属北郊高级中学校考期末）若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 .
【答案】
【详解】若甲命题为真乙命题为假，则，可得，即；
若甲命题为假乙命题为真，则，可得或，即；
综上所述，实数x的取值范围是.
故答案为：
全称量词与存在量词
1．（2023上·宁夏银川·高三银川唐徕回民中学校考期末）“，恒成立”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】若，恒成立，
当时恒成立，
当时，解得，
综上可得，
所以“，恒成立”是“”的充要条件.
故选：C
2．（2023上·江苏连云港·高一统考阶段练习）若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为命题“ ”是真命题，
可得不等式在上有解，
设，可得，所以，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
3．（2023上·上海·高一校考期末）若“存在使得”是假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为“存在使得”是假命题，
所以“，有”是真命题，即，恒成立，
所以只需，，
而函数在上单调递减，
所以，即实数的取值范围是.
故答案为：.
容斥定理的应用
1．（2023上·广东佛山·高一校考阶段练习）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加游泳、田径、球类三项比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳一项比赛的有（ ）
A．3人B．6人C．9人D．10人
【答案】C
【详解】由题意只参加游泳比赛的人数；
故选：C.
2．（2023上·北京·高一北京四中校考期末）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》被称为中国古典小说四大名著．学校读书社共有100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90，阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60，则这100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为（ ）
A．80B．70C．60D．50
【答案】B
【详解】如图所示，
因为阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60，
所以只阅读过红楼梦的人数为20，
又其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90，
故只阅读过西游记的人数为10，
所以这100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为.
故选：B
3．（2023上·云南楚雄·高一统考期末）某商场为了了解顾客对该商场产品质量和商场服务人员的服务态度的满意情况，随机采访了50名顾客，其中对商场产品质量满意的顾客有42名，对商场服务人员的服务态度满意的顾客有38名，对该商场产品质量和商场服务人员的服务态度都不满意的顾客有6名，则对该商场产品质量和商场服务人员的服务态度都满意的顾客有 名.
【答案】36
【详解】设对该商场产品质量和商场服务人员的服务态度都满意的顾客有名，
则，解得.
故答案为：
集合新定义
1．（2023·湖南·校联考模拟预测）定义集合．已知集合，，则的元素的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【详解】因为，，
所以，故的元素的个数为4．
故选：
2．（2023上·四川·高一校联考期末）给定集合，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，以下结论正确的是（ ）
A．集合不为闭集合；
B．集合为闭集合；
C．集合为闭集合；
D．若集合为闭集合，则为闭集合．
【答案】C
【详解】对于A，，有，且，则集合为闭集合，故A错误；
对于B，因为，但，故B错误；
对于C，设，，则，
，则集合为闭集合，故C正确；
对于D，设，
则，但，故D错误.
故选：C.
（多选）3．（2023上·江苏苏州·高一江苏省苏州第一中学校校考阶段练习）定义集合运算：，设，，则（ ）
A．
B．(
C．中有个元素
D．的子集有个
【答案】AD
【详解】由题设，故，且共有3个元素，故子集有8个，A、D对，C错；
，则，而，
显然，B错；
故选：AD
根据交并补混合运算确定集合或参数
1．（2023上·上海嘉定·高一上海市育才中学校考期末）已知全集中有m个元素，中有n个元素，若非空，则的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意可得，,
所以，
因为全集中有m个元素，中有n个元素，
且非空，所以的元素个数为，
故选:D.
2．（2023上·天津南开·高一天津市天津中学校考阶段练习）已知全集且，则集合的非空真子集共有（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【答案】B
【详解】全集，且，，
集合的非空真子集共有个.
故选:B
（多选）3．（2023上·河北保定·高一校联考阶段练习）如图，是全集，是的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】BD
【详解】根据图中阴影可知：阴影中的元素属于集合但不属于集合，故符合要求，
故选：BD
抽屉原理
1．（2020·安徽宣城·高一泾县中学校考强基计划）某校派出学生204人上山植树15301株，其中最少一人植树50株，最多一人植树100株，至少有 人植树的株数相同．
【答案】5
【详解】植树的株数分别为，共计51种，
而，而，
故至少有一种株数为至少5人所种，
故答案为：5.
2．（2022·广西·高二统考竞赛）设、是集合的两个子集，，且时．记为的元素之和，则的最大值是 ．
【答案】39
【详解】由求得，
根据抽屉原理，至多有6个元素，
当时，得到的最大值为39．
故答案为：39.
3．（2021·全国·高三竞赛）已知集合，A是M的子集，当时，，则集合A元素个数的最大值为 ．
【答案】1895
【详解】解析：先构造抽屉：．使前100个抽屉中恰均只有2个数，且只有1个数属于A，可从集合M中去掉前100个抽屉中的数，剩下个数，作为第101个抽屉．
现从第1至100个抽屉中取较大的数，和第101个抽屉中的数，组成集合A，于是
，
满足A包含于M，且当时，．
所以的最大值为．
故答案为：1895.