2023-2024学年安徽省马鞍山八中九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省马鞍山八中九年级（上）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，四象限，则m的取值范围是，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列函数中，y是x的二次函数的是( )
A. y=ax2+bx+cB. y=2xC. y=x+1D. y=−3x2
2.如图，在平面直角坐标中，点P的坐标为(3,4)，则射线OP与x轴正方向所夹锐角α的余弦值为( )
A. 43
B. 45
C. 35
D. 34
3.将抛物线y=2x2图象先向上平移4个单位，再向右平移3个单位所得的解析式为( )
A. y=2(x−3)2+4B. y=2(x+4)2+3
C. y=2(x−4)2+3D. y=2(x−4)2−3
4.如图所示，△ABC中，∠BAC=80°，AB=4，AC=6.甲、乙、丙、丁四名同学分别在△ABC内画出一个阴影三角形与△ABC相似，其中画的错误的是( )
A. B.
C. D.
5.若反比例函数y=2m−1x的图象在第二、四象限，则m的取值范围是( )
A. m>12B. m<12C. m>2D. m<2
6.根据如表中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的范围是( )
A. 67.比较tan46°，cs29°，sin59°的大小关系是( )
A. tan46°C. sin59°8.如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE/​/AB交AC于点E，如果AEEC=35，那么ACAB等于( )
A. 35B. 53C. 85D. 2
9.若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(2−m,n)、D(m,n)(y1≠n)则下列命题正确的是( )
A. 若a>0且|x1−1|>|x2−1|，则y1B. 若a<0且y1C. 若|x1−1|>|x2−1|且y1>y2，则a<0
D. 若x1+x2=2(x1≠x2)，则AB/​/CD
10.在边长为 2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点，过P作EF/​/AC，分别交正方形的两条边于点E，F.设BP=x，△OEF的面积为y，则能反映y与x之间关系的图象为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.抛物线y=(x+3)2−2的顶点坐标是______ ．
12.若x+yx=32，则yx=______．
13.2sin60°+3tan30°= ______ ．
14.将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，顶点A、B、C在格点上.则sin∠BAC的值为______ ．
15.如图，△ABC中，AB=4，BC=5，AC=6，点D、E分别是AC、AB边上的动点，折叠△ADE得到△A′DE，且点A′落在BC边上，若△A′DC恰好与△ABC相似，AD的长为______ ．
16.如图，点A在双曲线y=kx上，AB⊥y轴于B,S_△AOB=7，则k= ______ ．
17.如图，△ABC∽△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=5，AC=12，F为DE中点，若点D在直线BC上运动，连接CF，则在点D运动过程中，线段CF的最小值为______ ．
18.定义符号min{a,b}的含义为：当a≥b时，min{a,b}=b；当amin{−3,−1}=−3.则min{−x2+2,x}的最大值是______．
三、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
已知：如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC．
求证：△ABD∽△ACB．
20.(本小题7分)
在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，顶点坐标分别为A(2,2)，B(4,4)，C(6,0)．
(1)以原点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC对应边的比为1：2，并直接写出点B1的坐标.(点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1)
(2)在(1)的条件下，若M(x,y)是线段BC上一点，则点M的对应点M1的坐标为______ ．
21.(本小题8分)
已知一次函数y1=−x+7的图象与反比例函数y2=kx图象交于A、B两点，且A点的横坐标−1，求：
(1)反比例函数的解析式．
(2)△AOB的面积．
(3)直接写出满足y1≤y2时x的取值范围．
22.(本小题8分)
中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱.自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天(1≤x≤28，且x为整数)与该天销售量y(件)之间满足函数关系如表所示：
为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z(元)与第x天(1≤x≤28且x为整数)成一次函数关系且满足z=−2x+100.已知该纪念品成本价为20元/件．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；
(3)商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第20天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y(件)仍然满足原来函数关系，问第几天的销售利润取得最大值，若最大利润是20250元，求a的值．
23.(本小题8分)
定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
(1)如图1，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．
(2)如图2，在(1)的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N.若N为AC的中点，DE=2BE，QB=3，求邻余线AB的长．
24.(本小题9分)
已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(−2,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C，连接AC，点P是AC上方抛物线上一点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴有一点Q，使△QBC的周长最小，求Q的坐标；
(3)过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值；
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A中当a=0，b≠0时．y是x的一次函数，则A不符合题意；
B是一次函数，则B不符合题意；
C是一次函数，则C不符合题意；
D符合二次函数定义，它是二次函数，则D符合题意；
故选：D．
形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数即为二次函数，据此进行判断即可．
本题考查二次函数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：如图，过P作PA⊥x轴于A，
∵P(3,4)，
∴PA=4，OA=3，
由勾股定理得：OP=5，
∴α的余弦值是OAOP=35．
故选：C．
过P作PA⊥x轴于A，根据勾股定理求出OP，根据锐角三角函数的定义求解即可．
本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的计算能力．
3.【答案】A
【解析】解：由题意，得：平移后的解析式为：y=2(x−3)2+4；
故选：A．
根据平移规则：左加右减，上加下减，求解即可．
本题考查二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是熟练掌握平移规则：左加右减，上加下减．
4.【答案】D
【解析】解：A.因为两个三角形有一组公共角∠ABC且有一组角都是80°，满足两组角分别相等，则阴影三角形与△ABC相似；
B.因为两个三角形有一组公共角∠ACB且有一组角都是80°，满足两组角分别相等，则阴影三角形与△ABC相似；
C.因为4:6=2:3，且有一组公共角∠BAC，满足两组边成比例且夹角相等，则阴影三角形与△ABC相似；
D.虽然两个三角形有一组公共角∠ABC，但是对应边不成比例，不满足相似三角形的判定方法．
故选：D．
通过相似三角形的判定方法对A，B，C，D进行判断．
本题考查了相似三角形的判定方法，关键是灵活运用这些判定解决问题．
5.【答案】B
【解析】解：∵反比例函数y=2m−1x的图象在第二、四象限．
∴2m−1<0，
∴m<12．
故选：B．
对于反比例函数y=kx(k≠0)，(1)k>0，反比例函数图象在一、三象限；(2)k<0，反比例函数图象在第二、四象限内．
本题考查了反比例函数的性质，应注意y=kx中k的取值．
6.【答案】C
【解析】解：因为ax2+bx+c=0的一个根对应的函数值为y=0，
且−0.01<0<0.02，
所以6.18故选：C．
根据ax2+bx+c=0的一个根对应的函数值为y=0，根据−0.01<0<0.02，可判断6.18本题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线与一元二次方程的根，熟练掌握交点坐标的意义是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵cs29°=sin61°>sin59°
∴cs29°>sin59°
又∵tan46°>tan45°>1，cs29°<1
∴sin59°故选：D．
根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断．
本题主要考查了三角函数的增减性熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE//AB，
∴∠BAD=∠ADE，
∴∠ADE=∠CAD，
∴EA=ED，
∵AEEC=35，
∴ECED=53，
∵DE//AB，
∴△CED∽△CAB，
∴ACCE=ABED，即ACAB=ECED=53，
故选：B．
根据等腰三角形的判定定理得到EA=ED，证明△CED∽△CAB，根据相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵抛物线过点D(m,n)，C(2−m,n)两点，
∴抛物线的对称轴为x=2−m+m2=1，
若a>0且|x1−1|>|x2−1|，则y1>y2，故选项A错误，
若a<0且y1|1−x2|，故选项B错误，
若|x1−1|>|x2−1|且y1>y2，则a>0，故选项C错误，
若x1+x2=2(x1≠x2)，则AB/​/CD，故选项D正确．
故选：D．
根据D(m,n)、C(2−m,n)两点可确定抛物线的对称轴，再利用二次函数的性质一一判断即可．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD=2 2，OB=OD=12BD= 2，
①当P在OB上时，即0≤x≤ 2，
∵EF/​/AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EF：AC=BP：OB，
∴EF=2BP=2x，
∴y=12EF⋅OP=12×2x⋅( 2−x)=−x2+ 2x；
②当P在OD上时，即 2∵EF/​/AC，
∴△DEF∽△DAC，
∴EF：AC=DP：OD，
即EF：2 2=(2 2−x)： 2，
∴EF=2(2 2−x)，
∴y=12EF⋅OP=12×2(2 2−x)⋅(x− 2)=−x2+3 2x−4，
这是一个二次函数，根据二次函数的性质可知：
二次函数的图象是一条抛物线，开口方向取决于二次项的系数．
当系数>0时，抛物线开口向上；系数<0时，开口向下．
根据题意可知符合题意的图象只有选项B．
故选：B．
分析，EF与x的关系，他们的关系分两种情况，依情况来判断抛物线的开口方向．
本题主要考查了函数的图象，解答本题的关键是利用三角形的面积公式列出二次函数解析式解决问题．
11.【答案】(−3,−2)
【解析】解：抛物线y=(x+3)2−2的顶点坐标为(−3,−2)；
故答案为：(−3,−2)．
根据二次函数的解析式的顶点式即可求出顶点坐标．
本题考查了抛物线的顶点坐标，熟练掌握抛物线的顶点式进而确定出顶点坐标是解决此题的关键．
12.【答案】12
【解析】解：∵x+yx=32，
∴2x+2y=3x，
故2y=x，
则yx=12．
故答案为：12．
直接利用已知将原式变形进而得出x，y之间的关系进而得出答案．
此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键．
13.【答案】2 3
【解析】解：2sin60°+3tan30°=2× 32+3× 33= 3+ 3=2 3；
故答案为：2 3．
将特殊角的三角函数值，代入计算即可．
本题考查特殊角的三角函数值的计算，熟练掌握特殊角的函数值是关键．
14.【答案】 22
【解析】解：如图所示，连接BC，
∵AB=BC= 10，AC=2 5，
∴AB2+BC2=AC2，
∴∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∴sin∠BAC= 22，
故答案为： 22．
连接BC，根据勾股定理的逆定理得出∠ABC=90°，再利用特殊角的三角函数值得出答案．
此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题关键．
15.【答案】2.4或83
【解析】解：设AD=x，
∴CD=AC−AD=6−x，
∵折叠△ADE得到△A′DE，
∴A′D=AD=x，
当△A′DC∽△BAC时，
∴A′D：AB=CD：AC，
∴x：4=(6−x)：6，
∴x=2.4；
当△A′DC∽△ABC时，
∴A′D：AB=DC：BC，
∴x：4=(6−x)：5，
∴x=83，
∴AD长是2.4或83．
故答案为：2.4或83．
设AD=x，则CD=AC−AD=6−x，由折叠的性质得到A′D=AD=x，分两种情况：△A′DC∽△BAC或△A′DC∽△ABC，即可解决问题．
本题考查相似三角形的性质，折叠问题，关键是注意要分两种情况讨论，由相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，即可解决问题．
16.【答案】14
【解析】解：由题意，得：|k|=14，
∵图象在一、三象限，
∴k>0，
∴k=14；
故答案为：14
根据k值的几何意义，得到S△AOB=|k|2=7，求解即可．
本题考查反比例函数k值的几何意义，熟练掌握k值的几何意义是关键．
17.【答案】6
【解析】解：连接CE，
∵△ABC∽△ADE，
∴∠ACD=∠AED，
∵∠AGE=∠DGC，
∴△AGE∽△DGC，
∴AGDG=GEGC，
∵∠AGD=∠EGC，
∴△AGD∽△EGC，
∴∠ADG=∠ECG，
∴∠DCG+∠ECG=90°，
∵F是DE的中点，
∴CF=12DE，
∵△ABC∽△ADE，
∴ABAD=BCDE，
∵∠BAC=90°，
∴BC= AB2+AC2，
= 52+122=13，
∴5AD=13DE，
∴DE=135AD，
∴当AD⊥BC时，AD最短，此时DE最小，
∴12BC⋅AD=12AB⋅AC，
∴12×5×12=12×13×AD，
∴AD=6013，
∴DE=135×6013=12，
∴CF=12×12=6．
故答案：6．
连接CE，可证∠DCE=90°，F是DE的中点，可得CF=12DE，当AD⊥BC时，AD最短，所以此时DE最短，求出DE最短值即可求出CF的最小值．
本题考查了相似三角形的性质，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”及相似三角形的判定及性质，勾股定理等，再根据“垂线段最短”，作出辅助线，进行正确求解是解题的关键．
18.【答案】1
【解析】【分析】
令−x2+2=x，求出抛物线y=−x2+2与直线y=x交点坐标，结合图象求解．
本题考查二次函数的性质，新定义，解题关键是理解题意，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．
【解答】
解：令−x2+2=x，
解得x1=−2，x2=1，
∴抛物线y=−x2+2与直线y=x交点横坐标为−2，1，
将x=−2代入y=x得y=−2，
将x=1代入y=x得y=1，
如图，
∴min{−x2+2,x}=−x2+2(x≤−2或x≥1)x(−2∴min{−x2+2,x}的最大值是1．
故答案为：1．
19.【答案】证明：∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠C，
又∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，
【解析】根据∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC可以求出∠ABD=∠DBC=∠C，然后证明：△ABD∽△ACB．
本题主要考查了相似三角形的判定，角平分线的定义，准确识图比较重要，也考查了学生的识图能力．
20.【答案】(−12x,−12y)
【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，B1(−2,−2)；
(2)在(1)的条件下，若M(x,y)是线段BC上一点，则点M的对应点M1的坐标为(−12x,−12y)，
故答案为：(−12x,−12y)．
(1)根据题意将A，B，C的横、纵坐标乘以−12得到点A1，B1，C1，顺次连接即可求解；
(2)根据(1)的方法即可求解．
本题考查了画位似图形，求位似图形中的点的坐标，掌握位似的性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)把x=−1分别代入y1=−x+7得y1=1+7=8，
∴A(−1,8)，
把A(−1,8)代入y2=kx得8=k−1，
解得k=−8，
∴反比例函数的解析式为y=−8x；
(2)设y=−x+7与y轴交点为C(0,7)
∴OC=7，
解y=−x+7y=−8x得x=−1y=8或x=8y=−1，
∴B(8,−1)，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC
=12×7×1+12×7×8=632；
(3)y1≤y2时x的取值范围是−1≤x<0或x≥8．
【解析】(1)把x=−1代入y1=−x+7可确定A点坐标为(−1,8)，然后利用待定系数法可确定反比例函数解析式；
(2)解析式联立，解方程组求得B的坐标，然后确定C点坐标，再利用△AOB的面积=S△AOC+S△BOC进行计算即可．
(3)根据图象求得即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
22.【答案】解：(1)由表格信息可知y是x的一次函数，设y关于x的函数表达式为y=kx+b，
把(1,220)和(2,240)代入可得：k+b=2202k+b=240，
解得：k=20b=200，
∴y关于x的函数表达式为y=20x+200(1≤x≤28)；
(2)设总利润为w元，
则w=y(z−20)=(20x+200)(−2x+80)=−40x2+1200x+16000=−40(x−15)2+25000，
∵−40<0，1≤x≤28，
∴当x=15时，w最大，最大值25000，
答：第15天利润最大，最大值为25000元；
(3)由题意可得：
第20天开始每件商品的单价为(−2x+100−a)元，
每件商品的利润为：−2x+100−a−20=(−2x+80−a)元，
设此时利润为w1元，
则w1=(20x+200)(−2x+80−a)=−40x2+(1200−20a)x+200(80−a)，
对称轴x=−b2a=−1200−20a2×(−40)=60−a4<15，
又∵a=−40<0且20≤x≤28，
∴w1随x的增大而减小，
当x=20时，w1有最大值为20250，
∴(20×20+200)(−2×20+80−a)=20250，
解得：a=6.25．
综上：第20天时，利润最大为20250元时，此时a=6.25．
【解析】(1)根据表中数据可知y是x的一次函数，然后用待定系数法求函数解析式；
(2)设总利润为w元，根据总利润=每个纪念品的利润×销售量列出函数解析式，再根据函数的性质求最值；
(3)设第20天总利润为w1元，根据总利润=每个纪念品的利润×销售量列出函数解析式，再根据函数的性质求出函数取得最大值时x的值，再根据最大利润是20250，解出a的值．
本题考查二次函数、一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
23.【答案】(1)证明：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∴∠FBA与∠EBA互余，
∴四边形ABEF是邻余四边形；
(2)解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD，
∵DE=2BE，
∴BD=CD=3BE，
∴CE=CD+DE=5BE，
∵∠EDF=90°，点M是EF的中点，
∴DM=ME，
∴∠MDE=∠MED，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△DBQ∽△ECN，
∴QBNC=BDCE=35，
∵QB=3，
∴NC=5，
∵AN=CN，
∴AC=2CN=10，
∴AB=AC=10．
【解析】(1)由等腰三角形的三线合一定理先证AD⊥BC，再证∠DAB+∠DBA=90°，由邻余四边形定义即可判定；
(2)由等腰三角形的三线合一定理先证BD=CD，推出CE=5BE，再证明△DBQ∽△ECN，推出QBNC=BDCE=35，即可求出NC，AC，AB的长度．
本题考查了新定义“邻余四边形”，“邻余线”，还考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是有较强的阅读理解能力，并熟练运用相似三角形的判定与性质．
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(−2,0)，B(1,0)两点，
∴抛物线y=−(x+2)(x−1)=−x2−x+2；
(2)∵△QBC的周长=QB+QC+BC，且BC为定值，
∴当QB+QC的长最小时，△QBC的周长最小，
∵A，B关于对称轴对称，
∴QB+QC=QA+QC≥AC，
∴当A，Q，C三点共线时，QB+QC最小，如图1，

∵y=−x2−x+2，
∴当x=0时，y=2，对称轴为−−12×(−1)=−12；
∴C(0,2)，
设直线AC的解析式为y=kx+2，把A(−2,0)代入，得：k=1，
∴y=x+2，
当x=−12时，y=32，
∴Q(−12,32)．
(3)设P(m,−m2−m+2)，过点P作PE/​/y轴，交直线AC于点E，如图2，则E(m,m+2)，

∴PE=−m2−m+2−(m+2)=−m2−2m，
∵PE/​/y轴，
∴∠PED=∠ACO，
∴PD⊥AC，
∴∠PDE=90°=∠AOC，
∴△PED∽△ACO，
∴PDOA=PEAC，
∵A(−2,0)，C(0,2)，
∴OA=OC=2，
∴AC= 2OA
∴PD= 22PE= 22(−m2−2m)=− 22(m+1)2+ 22，
∵− 22<0，
∴当m=−1时，PD的最大值为 22．
【解析】(1)利用交点式求二次函数的解析式即可；
(2)将军饮马模型，得到直线AC与对称轴的交点，即为点Q，求解即可；
(3)(3)设P(m,−m2−m+2)，过点P作PE/​/y轴，交直线AC于点E，可得PE=−m2−m+2−(m+2)=−m2−2m，再证得△PED∽△ACO，可得PDOA=PEAC，求得PD= 22PE=− 22(m+1)2+ 22，利用二次函数性质即可求得答案；
本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．x
6.17
6.18
6.19
6.20
y=ax2+bx+c
−0.03
−0.01
0.02
0.04
第x天
1
2
3
4
5
6
7
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销售量y(件)
220
240
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300
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