2024年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（新教材新高考） 第03讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（高频精讲）（原卷版+解析版）

这是一份2024年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（新教材新高考） 第03讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（高频精讲）（原卷版+解析版），共45页。试卷主要包含了两角和与差的正弦，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式，常用结论等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc29377" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc29377 \h 2
\l "_Tc26433" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc26433 \h 3
\l "_Tc17635" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc17635 \h 4
\l "_Tc15368" 高频考点一：公式的基本应用 PAGEREF _Tc15368 \h 4
\l "_Tc8746" 高频考点二：公式的逆用及变形 PAGEREF _Tc8746 \h 7
\l "_Tc23049" 高频考点三：辅助角公式的运用 PAGEREF _Tc23049 \h 11
\l "_Tc19662" 高频考点四：二倍角 PAGEREF _Tc19662 \h 14
\l "_Tc22984" 高频考点五：拼凑角 PAGEREF _Tc22984 \h 18
\l "_Tc9647" 高频考点六：降幂公式 PAGEREF _Tc9647 \h 23
\l "_Tc16745" 第四部分：数学文化题 PAGEREF _Tc16745 \h 25
\l "_Tc10268" 第五部分：高考新题型 PAGEREF _Tc10268 \h 28
\l "_Tc24021" ①开放性试题 PAGEREF _Tc24021 \h 28
\l "_Tc30945" ②劣够性试题 PAGEREF _Tc30945 \h 28
第一部分：知识点必背
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
①两角和与差的正弦公式
②两角和与差的余弦公式
③两角和与差的正切公式
2、二倍角公式
①
②；；
③
3、降幂公式

4、辅助角公式：
(其中)
5、常用结论
①两角和与差的正切公式的变形：
②
③
④
第二部分：高考真题回归
1．（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·北京·高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为
3．（2021·全国（甲卷文，理）·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·全国（乙卷文）·统考高考真题）（ ）
A．B．C．D．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：公式的基本应用
典型例题
例题1．（2023秋·吉林辽源·高一校联考期末）若，，则= （ ）
A．-1B．0C．2D．3
例题2．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023春·江苏常州·高一校考阶段练习）已知，则__________.
例题4．（2023春·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知，求值：
(1)；
(2).
练透核心考点
1．（2023春·江苏淮安·高一淮阴中学校考阶段练习）已知，则（ ）
A．2B．C．0D．
2．（2023·全国·高一专题练习）（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高一专题练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，则________．
5．（2023·全国·高一专题练习）已知角的终边经过点
(1)求角的正弦､余弦和正切值；
(2)求的值．
高频考点二：公式的逆用及变形
典型例题
例题1．（2023春·甘肃张掖·高一高台县第一中学校考阶段练习）的值为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023春·江苏·高一校联考阶段练习）结果为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023春·江苏连云港·高一校考阶段练习）的值为（ ）
A．0B．C．D．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）（ ）．
A．-1B．C．D．1
例题5．（多选）（2023春·重庆铜梁·高一铜梁中学校校考阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
练透核心考点
1．（2023春·四川眉山·高一仁寿一中校考阶段练习）的值为（ ）
A．1B．C．－D．
2．（2023春·吉林长春·高一长春市第二中学校考开学考试）下列化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023秋·广东云浮·高一统考期末）（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）下列各式中，值为1的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（多选）（2023秋·陕西西安·高一校考期末）下面各式化简正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
高频考点三：辅助角公式的运用
典型例题
例题1．（2023·高一单元测试）（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·高一单元测试）______.
例题3．（2023·全国·高一专题练习）化简：____.
例题4．（2023·高一课时练习）把下列各式化成的形式.
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
练透核心考点
1．（2023·甘肃兰州·校考一模）等于（ ）
A．B．C．D．1
2．（2023·广东湛江·统考一模）______．
3．（2022·全国·高三专题练习）化简
(1) (2)
4．（2022·高一课时练习）求证：
(1)； (2)．
高频考点四：二倍角
典型例题
例题1．（2023·贵州黔东南·统考一模）若，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023春·陕西咸阳·高一校考阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023春·上海松江·高一上海市松江一中校考阶段练习）已知，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
例题4．（2023春·四川成都·高一校考阶段练习）已知角在第二象限，且则______．
例题5．（2023·全国·高三专题练习）求的值．
练透核心考点
1．（2023·江西·校联考模拟预测）（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·甘肃·统考一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·四川遂宁·统考二模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·北京·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·四川广安·高一广安二中校考阶段练习）______．
高频考点五：拼凑角
典型例题
例题1．（2023春·江苏南京·高一南京市大厂高级中学校考阶段练习）已知，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·陕西榆林·统考二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023春·河北保定·高一河北省唐县第二中学校考阶段练习）已知，则_______.
例题4．（2023春·黑龙江佳木斯·高一校考开学考试）已知，且，则________．
例题5．（2023·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考）（1）已知，求的值；
（2）已知，，且，，求的值.
例题6．（2023·浙江·模拟预测）已知角，角的顶点都与原点重合，它们的始边都与轴的非负半轴重合，角的终边过点，角的正切线为.
（1）求的值；
（2）若，，求的值.
练透核心考点
1．（2023春·江西南昌·高一校考阶段练习）已知， 则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·江西南昌·高一南昌市第五中学校考阶段练习）已知，则___________.
3．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知，，则____________.
4．（2023秋·河北邯郸·高一校考期末）已知，且，则___________.
5．（2023秋·江苏连云港·高一校考期末）已知
(1)求；
(2)若，求.
6．（2023·江西·高二宁冈中学校考开学考试）已知角的始边与x轴的非负半轴重合（顶点为原点），它的终边为射线.
（1）分别求，的值；
（2）若角满足且为第一象限的角，求的值.
高频考点六：降幂公式
典型例题
例题1．（2023春·山东烟台·高一校考阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高一专题练习）已知则（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的值是______.
练透核心考点
1．（2023春·山东济南·高一济南外国语学校校考阶段练习）的值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高一专题练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高一专题练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）已知，，则__________．
第四部分：数学文化题
1．（2023·全国·高三专题练习）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江·校联考模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长l与太阳天顶距θ（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ）
A．1倍B．C．倍D．倍
3．（2022·全国·高三专题练习）黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，该比值为，这是公认的最能引起美感的比例．我国著名数学家华罗庚以此引入并优化了现如今广泛应用于国内各个领域的“0.618优选法”．黄金分割比，它还可以近似表示为，则的值近似等于（ ）
A．B．1C．2D．
4．（2023·全国·高三专题练习）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为，若，则（ ）
A．－4B．－2C．2D．4
5．（2023·高一课时练习）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于___________________．
第五部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2023·江西·校联考模拟预测）若，则的值可能为___________.
2．（2023春·河北衡水·高一校考阶段练习）写出满足的的一个值：_______．
②劣够性试题
1．（2023秋·湖南郴州·高一统考期末）（1）已知，求的值；
（2）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.
已知为第四象限的角，__________.求的值.
2．（2022春·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考阶段练习）在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解．
问题：若锐角满足________，求的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
第03讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (精讲）
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc29377" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc29377 \h 2
\l "_Tc26433" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc26433 \h 3
\l "_Tc17635" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc17635 \h 4
\l "_Tc15368" 高频考点一：公式的基本应用 PAGEREF _Tc15368 \h 4
\l "_Tc8746" 高频考点二：公式的逆用及变形 PAGEREF _Tc8746 \h 7
\l "_Tc23049" 高频考点三：辅助角公式的运用 PAGEREF _Tc23049 \h 11
\l "_Tc19662" 高频考点四：二倍角 PAGEREF _Tc19662 \h 14
\l "_Tc22984" 高频考点五：拼凑角 PAGEREF _Tc22984 \h 18
\l "_Tc9647" 高频考点六：降幂公式 PAGEREF _Tc9647 \h 23
\l "_Tc16745" 第四部分：数学文化题 PAGEREF _Tc16745 \h 25
\l "_Tc10268" 第五部分：高考新题型 PAGEREF _Tc10268 \h 28
\l "_Tc24021" ①开放性试题 PAGEREF _Tc24021 \h 28
\l "_Tc30945" ②劣够性试题 PAGEREF _Tc30945 \h 28
第一部分：知识点必背
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
①两角和与差的正弦公式
②两角和与差的余弦公式
③两角和与差的正切公式
2、二倍角公式
①
②；；
③
3、降幂公式

4、辅助角公式：
(其中)
5、常用结论
①两角和与差的正切公式的变形：
②
③
④
第二部分：高考真题回归
1．（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +csα =0，取，排除A, B；
再取α=0则sinβ +csβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换

所以
即
故选：C.
2．（2021·北京·高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，
又，
所以当时，取最大值.
故选：D.
3．（2021·全国（甲卷文，理）·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
4．（2021·全国（乙卷文）·统考高考真题）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意，
.
故选：D.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：公式的基本应用
典型例题
例题1．（2023秋·吉林辽源·高一校联考期末）若，，则= （ ）
A．-1B．0C．2D．3
【答案】D
【详解】.
故选：D
例题2．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，，则，，
所以.
故选：A
例题3．（2023春·江苏常州·高一校考阶段练习）已知，则__________.
【答案】##
【详解】因为①，
由因为②，
①②联立可得，，
则，
故答案为：.
例题4．（2023春·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知，求值：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以.
因为，所以.
所以.
（2）由（1）可知，
.
练透核心考点
1．（2023春·江苏淮安·高一淮阴中学校考阶段练习）已知，则（ ）
A．2B．C．0D．
【答案】B
【详解】因为，
所以.
故选：B
2．（2023·全国·高一专题练习）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
故选：D.
3．（2023·全国·高一专题练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，所以（1），
因为，所以（2），
（1）+（2）得，
∴.
故选：A．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，则________．
【答案】
【详解】
故答案为：
5．（2023·全国·高一专题练习）已知角的终边经过点
(1)求角的正弦､余弦和正切值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵角的终边经过点，
，
；
（2）
高频考点二：公式的逆用及变形
典型例题
例题1．（2023春·甘肃张掖·高一高台县第一中学校考阶段练习）的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
故选：B
例题2．（2023春·江苏·高一校联考阶段练习）结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：B.
例题3．（2023春·江苏连云港·高一校考阶段练习）的值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，
所以
，
故选:D.
例题4．（2023·全国·高三专题练习）（ ）．
A．-1B．C．D．1
【答案】C
【详解】.
故选：C.
例题5．（多选）（2023春·重庆铜梁·高一铜梁中学校校考阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【详解】，A正确；
，B正确；
，C错误；
因为，
故，
所以，D正确，
故选：ABD
练透核心考点
1．（2023春·四川眉山·高一仁寿一中校考阶段练习）的值为（ ）
A．1B．C．－D．
【答案】D
【详解】
，所以，
故选：D
2．（2023春·吉林长春·高一长春市第二中学校考开学考试）下列化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】对于A，，故A不正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D不正确；
故选：C.
3．（2023秋·广东云浮·高一统考期末）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】.
故选：D.
4．（多选）（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）下列各式中，值为1的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】对于选项A，，故A错误；
对于选项B，，故B正确；
对于选项C，，故C正确；
对于选项D，，故D错误.
故选：BC.
5．（多选）（2023秋·陕西西安·高一校考期末）下面各式化简正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】，A正确；
，B错误；
，C正确；
，D错误；
故选:AC.
高频考点三：辅助角公式的运用
典型例题
例题1．（2023·高一单元测试）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
.
故选：A
例题2．（2023·高一单元测试）______.
【答案】
【详解】


.
故答案为：
例题3．（2023·全国·高一专题练习）化简：____.
【答案】
【详解】解：原式=




故答案为：
例题4．（2023·高一课时练习）把下列各式化成的形式.
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
【答案】(1) ；(2) ；(3) ，其中满足，；(4) ，其中满足，.
【详解】(1) 因为，所以
.
(2) .
(3) 因为，所以
，
其中满足，.
(4) 因为，所以
，
其中满足，.
练透核心考点
1．（2023·甘肃兰州·校考一模）等于（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【详解】因为，
所以.
故选：C.
2．（2023·广东湛江·统考一模）______．
【答案】
【详解】由三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，可得：
.
故答案为：.
3．（2022·全国·高三专题练习）化简
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
（2）
4．（2022·高一课时练习）求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(1)证明：.
(2)证明：
.
高频考点四：二倍角
典型例题
例题1．（2023·贵州黔东南·统考一模）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由，解得，
所以．
故选：A．
例题2．（2023春·陕西咸阳·高一校考阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，，
又，
.
故选：D.
例题3．（2023春·上海松江·高一上海市松江一中校考阶段练习）已知，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】.
故选：B
例题4．（2023春·四川成都·高一校考阶段练习）已知角在第二象限，且则______．
【答案】##
【详解】，即，则，
角在第二象限，则，则，
.
故答案为：.
例题5．（2023·全国·高三专题练习）求的值．
【答案】
【详解】令，
则
而N≠0，故
练透核心考点
1．（2023·江西·校联考模拟预测）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】注意到，
.
则原式
.
故选：A.
2．（2023·甘肃·统考一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，，
解得.
故选：D.
3．（2023·四川遂宁·统考二模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】,
①,
又②，
由①②得.
故选：D.
4．（2023·北京·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为是角终边与单位圆的交点，
所以，
故.
故选：A
5．（2023春·四川广安·高一广安二中校考阶段练习）______．
【答案】
【详解】由题意可得：.
故答案为：.
高频考点五：拼凑角
典型例题
例题1．（2023春·江苏南京·高一南京市大厂高级中学校考阶段练习）已知，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，
所以，
故选：A.
例题2．（2023·陕西榆林·统考二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
两边平方得，则，
故．
故选：C.
例题3．（2023春·河北保定·高一河北省唐县第二中学校考阶段练习）已知，则_______.
【答案】##
【详解】因为.
故答案为：.
例题4．（2023春·黑龙江佳木斯·高一校考开学考试）已知，且，则________．
【答案】##
【详解】设,,那么,从而.
于是.因为,
所以.由,得.
所以,
所以.
故答案为：.
例题5．（2023·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考）（1）已知，求的值；
（2）已知，，且，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）.
（2），，，
，
，
，，
又，，
，.
例题6．（2023·浙江·模拟预测）已知角，角的顶点都与原点重合，它们的始边都与轴的非负半轴重合，角的终边过点，角的正切线为.
（1）求的值；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）角的终边过点，，
根据诱导公式得：.
（2），，.
，，又，.
，.
角的正切线为，，
，
.
练透核心考点
1．（2023春·江西南昌·高一校考阶段练习）已知， 则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意，得，
故选：A
2．（2023春·江西南昌·高一南昌市第五中学校考阶段练习）已知，则___________.
【答案】
【详解】.
故答案为：.
3．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知，，则____________.
【答案】
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
4．（2023秋·河北邯郸·高一校考期末）已知，且，则___________.
【答案】##
【详解】∵，∴，
∵，∴．
所以,
∴.
故答案为：
5．（2023秋·江苏连云港·高一校考期末）已知
(1)求；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）.
（2），
若，则，
所以.
6．（2023·江西·高二宁冈中学校考开学考试）已知角的始边与x轴的非负半轴重合（顶点为原点），它的终边为射线.
（1）分别求，的值；
（2）若角满足且为第一象限的角，求的值.
【答案】（1），. （2）
【详解】（1）设的终边与单位圆的交点为
由解得
得，.
所以，，.
（2）由（1）知，，
又且在第一象限得.
由得，
所以.
高频考点六：降幂公式
典型例题
例题1．（2023春·山东烟台·高一校考阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，.
故选：C.
例题2．（2023·全国·高一专题练习）已知则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由得，
故.
所以.
故选：B
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的值是______.
【答案】
【详解】由于，且，则，
得，
则.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023春·山东济南·高一济南外国语学校校考阶段练习）的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】.
故选：D.
2．（2023·全国·高一专题练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴．
故选：B．
3．（2023·全国·高一专题练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，，即，，
.
故选：B
4．（2023春·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）已知，，则__________．
【答案】##
【详解】解：由，，得，
所以．
故答案为：
第四部分：数学文化题
1．（2023·全国·高三专题练习）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设大的正方形的边长为1，由于小正方形与大正方形面积之比为，
可得:小正方形的边长为，
可得:，①
，②
由图可得:，，
①×②可得:
，
解得:，
故选:A.
2．（2022·浙江·校联考模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长l与太阳天顶距θ（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ）
A．1倍B．C．倍D．倍
【答案】A
【详解】由第一次的“晷影长”是“表高”的3倍得，，
又，
所以，
故第二次的“晷影长”是“表高”的1倍.
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习）黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，该比值为，这是公认的最能引起美感的比例．我国著名数学家华罗庚以此引入并优化了现如今广泛应用于国内各个领域的“0.618优选法”．黄金分割比，它还可以近似表示为，则的值近似等于（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】B
【详解】本题考查两角差的正弦公式、诱导公式．
由题意得，
故选：B．
4．（2023·全国·高三专题练习）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为，若，则（ ）
A．－4B．－2C．2D．4
【答案】B
【详解】．
故选：B．
5．（2023·高一课时练习）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于___________________．
【答案】
【详解】解：设直角三角形的边长为，，
则，．
解得．
，．
cs2θ=2cs2θ－1=．
故答案为：
第五部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2023·江西·校联考模拟预测）若，则的值可能为___________.
【答案】或1或，填写一个即可）
【详解】因为，
所以
所以，
所以，
所以或，又，
所以或.
故答案为：或1或，填写一个即可）
2．（2023春·河北衡水·高一校考阶段练习）写出满足的的一个值：_______．
【答案】（答案不唯一，α满足即可）
【详解】因为，
所以，
所以，
所以．
故答案为：（答案不唯一，α满足即可）
②劣够性试题
1．（2023秋·湖南郴州·高一统考期末）（1）已知，求的值；
（2）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.
已知为第四象限的角，__________.求的值.
【答案】（1）（2）
【详解】（1）由，得，
（2）选择①：，即，
为第四象限的角，，
又，
，
.
选择②：，，
，
为第四象限的角，，
，
.
2．（2022春·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考阶段练习）在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解．
问题：若锐角满足________，求的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】
【详解】依题意，
若选①：则有，且为锐角，
因为，所以，即，
又因为为锐角，所以，
所以
；
若选②：则有，且为锐角，
因为，所以，
解得：，所以，
所以
；
若选③：则有，且为锐角
因为，所以，
解得：，所以，，
所以
；