2023-2024学年四川省宜宾四中高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省宜宾四中高一（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知A、B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3}，(∁UB)∩A={9}，则A等于( )
A. {1,3}B. {3,7,9}C. {3,5,9}D. {3,9}
2.已知点(−4,3)是角α终边上的一点，则sin(π−α)=( )
A. 35B. −35C. −45D. 45
3.设函数f(x)=csx+bsinx(b为常数)，则“b=0”是“f(x)为偶函数”的
( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.函数f(x)=lnx+2x−3的零点所在的区间是( )
A. (0,1)B. (2,3)C. (1,2)D. (3,4)
5.若集合A={x|x2+x−6<0}，B={x|x+2x−3≤0}，则A∩B等于( )
A. (−3,3)B. [−2,2)C. (−2,2)D. [−2,3)
6.若函数f(x)=x3m−2在(0,+∞)上单调递减，则实数m的取值范围为( )
A. (23,+∞)B. (32,+∞)C. (−∞,23)D. (−∞,32)
7.定义A*B={Z|Z=xy+1,x∈A,y∈B}，设集合A={0,1}，集合B={1,2,3}，则A*B集合的子集的个数是( )
A. 14B. 15C. 16D. 17
8.函数f(x)的定义域为D，若满足如下两个条件：(1)f(x)在D内是单调函数；(2)存在[m2,n2]⊆D，使得f(x)在[m2,n2]上的值域为[m,n]，那么就称函数f(x)为“希望函数”，若函数f(x)=lga(ax+t)(a>0,a≠1)是“希望函数”，则t的取值范围是( )
A. (−12,0)B. (−14,0)C. [−14,0)D. [−12,0)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 方程x2−2x+1=0的解集中有两个元素
B. 0∉N
C. 2∈{x|x是质数}
D. 13∈Q
10.已知2A. 6<2x+y<9B. 2<2x−y<3C. −111.若函数f(x)=x2−1x2，则( )
A. 函数f(x)为偶函数B. 函数f(x)在定义域上单调递增
C. 函数f(x)的值域为RD. f(x)=−f(1x)
12.已知x，y∈(0,+∞)，设M=2x+y，N=xy，则以下四个命题中正确的是( )
A. 若N=1，则M有最小值 2B. 若M+N=6，则N有最大值2
C. 若M=1，则0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知集合A={−1,3,0}，B={3,m2}，若B⊆A，则实数m的值为______．
14.化简sin400°sin(−230°)cs850∘tan(−50∘)的结果为______．
15.一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y=ae−bt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过______min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
16.设函数f(x)=ln(1+|x|)−11+x2，则使得f(x)>f(2x−1)成立的x的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算下列各式的值
(1)(214)12−(−9.6)0−(827)23+(32)−2．
(2)lg34273+lg25+lg4+7−lg72．
18.(本小题12分)
已知集合A={x|−4(1)求A∪B，A∩B；
(2)若C⊆(A∩B)，求实数m的取值范围．
19.(本小题12分)
已知f(x)是定义在[−1,1]上的偶函数，且x∈[−1,0]时，f(x)=xx2+1．
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)判断并证明函数在区间[0,1]上的单调性．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(x+φ)(φ∈(−π2,π2))，对任意x∈R都有f(π3+x)=f(−x)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)对于任意x∈R，不等式|f(x)−1|≤m恒成立，求实数m的取值范围．
21.(本小题12分)
某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为150万元，每生产x万件，需另投入成本为C(x)万元.当年产量不足60万件时，C(x)=12x2+380x万元；当年产量不小于60万件时，C(x)=410x+81000x−2550万元.通过市场分析，若每件售价为400元时，该厂年内生产的商品能全部售完.(利润=销售收入−总成本)
(1)写出年利润L万元关于年产量x万件的函数解析式；
(2)年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？并求出利润的最大值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnkx−1x+1为奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)判断并证明函数f(x)的单调性；
(3)若存在α，β∈(1,+∞)，使得函数f(x)在区间[α,β]上的值域为[ln(mα−m2),ln(mβ−m2)]，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算，考查了同学们借助于Venn图解决集合问题的能力．
【解答】
解：(解法一)因为A∩B={3}，所以3∈A，又因为(CUB)∩A={9}，所以9∈A，排除A，
假设7∈A，则A={3,7,9}，∁UB={1,5,7,9}，矛盾，排除B，
假设5∈A，则A={3,5,9}，∁UB={1,5,7,9}，矛盾，排除C，
只有D选项符合．
(解法二)本题也可以用Venn图的方法帮助理解．由韦恩图可知，集合A=(A∩B)∪(CUB∩A)={3,9}．
故选D．
2.【答案】A
【解析】【分析】
由条件利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得sin(π−α)的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．
【解答】
解：∵点(−4,3)是角α终边上的一点，
∴x=−4，y=3，r=|OP|=5，
∴sinα=yr=35，则sin(π−α)=sinα=35，
故选：A．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
“b=0”⇒“f(x)为偶函数”，“f(x)为偶函数”⇒“b=0”，由此能求出结果．
【解答】
解：设函数f(x)=csx+bsinx(b为常数)，
若b=0，f(x)=csx，
则“b=0”⇒“f(x)为偶函数”，
若f(x)为偶函数，f(−x)=f(x)，
即cs(−x)+bsin(−x)=csx−bsinx=csx+bsinx，所以b=0，
则“f(x)为偶函数”⇒“b=0”，
则“b=0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．
故选C．
4.【答案】C
【解析】解：函数f(x)=lnx+2x−3是连续函数，f(1)=2−3=−1<0，
f(2)=ln2+4−3=ln2+1>0，
f(1)f(2)<0，由零点判定定理可知函数的零点所在的区间是(1,2)．
故选：C．
利用零点判定定理转化求解即可．
本题考查零点判定定理的应用，是基本知识的考查，是基础题．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查集合的交集，同时考查二次不等式和分式不等式的解法．
运用二次不等式和分式不等式的解法，化简集合A，B，再由交集的定义，即可得到所求集合．
【解答】
解：集合A={x|x2+x−6<0}={x|−3B={x|x+2x−3≤0}={x|−2≤x<3}，
则A∩B=[−2,2)，
故选：B．
6.【答案】C
【解析】解：因为函数f(x)=x3m−2在(0,+∞)上单调递减，
所以3m−2<0，解得m<23，
所以m的取值范围是(−∞,23).
故选：C．
根据幂函数的单调性求解即可．
本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：因为定义A*B={Z|Z=xy+1,x∈A,y∈B}，
又集合A={0,1}，集合B={1,2,3}，
则A*B={1,2,3,4}，则集合中有4个元素，
故A*B集合的子集的个数是24=16，
故选：C．
通过定义可得A*B={1,2,3,4}，再根据元素与集合的关系可解．
本题考查对新定义的理解能力，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：由复合函数的单调性可知，函数f(x)=lga(ax+t)(a>0,a≠1)在定义域上为增函数，
结合“希望函数”的定义可知，lga(am2+t)=mlga(an2+t)=n，即am=am2+tan=an2+t，
∴ax=ax2+t有两个不同的正数解，即(ax2)2−ax2−t=0有两个不同的正数解，
∴1+4t>0，且−t>0，解得−14故选：B．
由题意可得，函数f(x)=lga(ax+t)(a>0,a≠1)在定义域上为增函数，则lga(am2+t)=mlga(an2+t)=n，即am=am2+tan=an2+t，可得(ax2)2−ax2−t=0有两个不同的正数解，
进而求得t的取值范围．
本题考查函数的值域，难点在于构造函数，转化为两函数有不同的两个交点，利用方程解决，属于中档题．
9.【答案】CD
【解析】解：方程x2−2x+1=0，即(x−1)2=0，解得x=1，即方程x2−2x+1=0的解集中有一个元素，选项A错误；
∵0是自然数，∴0∈N，选项B错误；
∵2是质数，∴2∈{x|x是质数}，选项C正确；
∵13是有理数，∴13∈Q，选项D正确．
故选：CD．
根据元素与集合的关系逐一判断选项即可．
本题考查元素与集合的关系，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：对于A，因为2对于B，因为−3<−y<−2，所以1<2x−y<4，故B错误；
对于C，因为−3<−y<−2，所以−1对于D，因为2故选：ACD．
根据2本题考查了不等式的性质，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，涉及函数解析式和函数值的计算，属于基础题．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项，
对于A，函数f(x)=x2−1x2，其定义域为{x|x≠0}，且f(−x)=f(x)，则函数f(x)为偶函数，A正确；
对于B，f(−1)=1−1=0，f(−2)=4−14=154，f(x)在其定义域上不是增函数，B错误；
对于C，函数f(x)的值域为R，C正确；
对于D，f(1x)=1x2−x2，则有f(x)=−f(1x)，D正确；
故选：ACD．
12.【答案】ABC
【解析】解：由题意知，x，y∈(0,+∞)，M=2x+y，N=xy，
对于A，当N=xy=1时，M=2x+y≥2 2xy=2 2，当且仅当2x=y，即x= 22，y= 2时等号成立，
所以M的最小值为2 2，故A正确；
对于B，当M+N=2x+y+xy=6时，6=2x+y+xy≥2 2xy+xy，当且仅当2x=y时等号成立，
令t= xy，则t>0，且t2+2 2t−6≤0，解得0所以0对于C，当M=2x+y=1时，1=2x+y≥2 2xy，当且仅当2x=y时等号成立，
所以0< xy≤ 24，得0对于D，当(2x+y)2=3xy+1时，得(2x+y)2=32⋅2xy+1≤32(2x+y2)2+12=32⋅2xy+1≤32(2x+y2)2+1，
当且仅当2x=y时取等号，
所以M2≤32×M24+1，
即M2≤85，
所以0故选：ABC．
由已知结合基本不等式及不等式的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式及不等式的性质的应用，属于中档题．
13.【答案】0
【解析】解：集合A={−1,3,0}，B={3,m2}，且B⊆A，
∴m2=0，m2=−1(舍)，
解得：m=0．
故答案为：0．
根据集合间的关系确定m值，求解即可．
本题考查的知识点是集合的包含关的应用，集合关系中的参数问题，是基础题．
14.【答案】sin40°
【解析】解：原式=sin(360°+40°)sin(−360°+130°)cs(2×360∘+130∘)(−tan50∘)=sin40°sin130°cs130∘(−tan50∘)=sin40°sin50°−cs50°(−sin50°cs50∘)=sin40°．
故答案为：sin40°．
利用诱导公式化简即可．
本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础题．
15.【答案】16
【解析】解：依题意有a⋅e−b×8=12a，
∴b=18ln2，则y=a⋅e−t8ln2，
若容器中只有开始时的18，
则有a⋅e−t8ln2=18a，解得t=24．
∴再经过24−8=16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一．
故答案为：16．
依题意有a⋅e−b×8=12a，解得b，可得y=a⋅e−t8ln2，取y=18a求得t值，进一步求得容器中的沙子只有开始时的八分之一的时间．
本题考查函数在生产生活中的实际应用，考查函数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．
16.【答案】13【解析】【分析】
首先确定函数的单调性和函数的奇偶性，然后脱去f符号求解自变量的取值范围即可．
本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，不等式的解法等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．
【解答】
解：由函数的解析式可得函数f(x)是定义域上的偶函数，
且x>0时函数单调递增，
则不等式等价于：f(|x|)>f(|2x−1|)，
脱去f符号有：|x|>|2x−1|，
求解关于实数x的不等式可得使得f(x)>f(2x−1)成立的x的取值范围为13故答案为：1317.【答案】解：(1)(214)12−(−9.6)0−(827)23+(32)−2=(94)12−1−(23)3×23+(23)2=32−1=12．
(2)lg34273+lg25+lg4+7−lg72=lg33343+lg(25×4)+12=−14+2+12=94．
【解析】(1)利用有理指数幂的运算法则求解即可．
(2)利用对数运算法则化简求解即可．
本题考查有理指数幂以及导数运算法则的应用，考查计算能力．
18.【答案】解：(1)∵A={x|−4∴A∪B={x|−4(2)A∩B={x|−3C⊆(A∩B)，C={x|m−1≤x≤2m+1,m∈R}，
当C=⌀时，m−1>2m+1，解得m<−2，
当C≠⌀时，m≥−2m−1>−32m+1<5，解得−2综上所述，实数m的取值范围为{m|m<−2或−2【解析】(1)根据已知条件，结合并集、交集的定义，即可求解．
(2)根据已知条件，先求出A∩B，再结合集合的包含关系，即可求解．
本题主要考查集合的交集、并集的运算，属于基础题．
19.【答案】解：(1)设x∈[0,1]，则−x∈[−1,0]，则f(−x)=−xx2+1，
因为函数f(x)为偶函数，所以有f(−x)=f(x)，
即f(x)=−xx2+1，
所以f(x)=−xx2+1,x∈[0,1]xx2+1,x∈[−1,0)．
证明：(2)f(x)在[0,1]为单调减函数，证明如下：
设0∵0∴x2−x1>0，x1x2−1<0，
∴(x2−x1)(x1x2−1)(1+ x12)(1+x22)<0，
∴f(x2)∴f(x)在[0,1]为单调减函数．
【解析】(1)设x∈[0,1]，则−x∈[−1,0]，则f(−x)=−xx2+1结合函数f(x)为偶函数有f(−x)=f(x)可求
(2)利用定义，设0本题主要考查了利用偶函数的性质求解函数的解析式，利用函数单调性的定义判断函数在某一区间上的单调性，属于基础题．
20.【答案】解：(1)因为对任意x∈R都有f(π3+x)=f(−x)，
所以x=π6是函数f(x)的一条对称轴，f(π6)=sin(π6+φ)=±1，
解得φ=π3+kπ(k∈Z)，又φ∈(−π2,π2)，所以φ=π3，f(x)=sin(x+π3)．
(2)因为对任意x∈R，不等式|f(x)−1|≤m，所以m≥|f(x)−1|max，
因为f(x)=sin(x+π3)，x∈R，
所以f(x)=sin(x+π3)∈[−1,1]⇒|f(x)−1|∈[0,2]，
所以m≥2，即m的取值范围是[2,+∞)．
【解析】(1)根据f(π3+x)=f(−x)得到函数f(x)的对称轴，再利用对称轴列方程，求φ即可；
(2)根据函数f(x)的解析式求出|f(x)−1|的最大值即可得到m的范围．
本题考查了三角函数的性质，考查函数恒成立问题，是中档题．
21.【答案】解：(1)当0≤x<60，x∈N+时，
L(x)=400x−12x2−380x−150=−12x2+20x−150，
当x≥60，x∈N+时，
L(x)=400x−(410x+81000x−2550)−150=2400−(10x+81000x)．
所以L(x)=−12x2+20x−150,0≤x<60,x∈N+2400−(10x+81000x),x≥60,x∈N+．
(2)当0≤x<60，x∈N+时，L(x)=−12x2+20x−150=−12(x−20)2+50，
所以当x=20时，L(x)取得最大值L(20)=50(万元)；
当x≤60，x∈N+时，L(x)=2400−(10x+81000x)≤2400−2×10×90=600，
当且仅当10x=81000x，即x=90时等号成立．
综上，当x=90时，L(x)取得最大值600万元．
所以年产量为90万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大值为600万元．
【解析】(1)利用“利润=销售收入−总成本”求得L关于x的函数解析式．
(2)根据二次函数的性质以及基本不等式求得正确答案．
本题主要考查函数的实际应用，掌握二次函数的性质，以及基本不等式的公式是解本题的关键，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为函数f(x)=lnkx−1x+1为奇函数，所以f(x)+f(−x)=0，
即lnkx−1x+1+ln−kx−1−x+1=ln(kx−1)(−kx−1)(x+1)(−x+1)=ln1−k2x21−x2=0对定义域内任意x恒成立，
所以k2=1，即k=±1，
显然k≠−1，又当k=1时，f(x)=lnx−1x+1的定义域关于原点对称．
所以k=1为满足题意的值．
(2)结论：f(x)在(−∞,1)，(1,+∞)上均为增函数．
证明：由(1)知f(x)=lnx−1x+1，其定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)，
任取x1，x2∈(1,+∞)，不妨设x1则f(x1)−f(x2)=lnx1−1x1+1−lnx2−1x2+1=ln(x1−1)(x2+1)(x1+1)(x2−1)，
因为7(x1−1)(x2+1)−(x1+1)(x2−1)=2(x1−x2)<0，
所以0<(x1−1)(x2+1)(x1+1)(x2−1)<1，
所以f(x1)−f(x2)=ln(x1−1)(x2+1)(x1+1)(x2−1)<0，
即f(x1)同理，f(x)在(−∞,1)上为增函数．
(3)由(2)知f(x)在(1,+∞)上为增函数，
又因为函数f(x)在[α,β]上的值域为[lnm(α−12),lnm(β−12)]，
所以m>0，且lnα−1α+1=ln(mα−m2),lnβ−1β+1=ln(mβ−m2)，所以α−1α+1=mα−m2,β−1β+1=mβ−m2，
即α，β是方程x−1x+1=mx−m2的两实根，
问题等价于方程mx2−(1−m2)x+1−m2=0在(1,+∞)上有两个不等实根，
令h(x)=mx2−(1−m2)x+1−m2，对称轴x=12m−14
则m>012m−14>1△=(1−m2)2−4m(1−m2)>0h(1)=m>0，
即m>002或m<29，解得0故m的范围(0,29).
【解析】(1)由题意可得f(x)+f(−x)=0，代入可求k的值，
(2)结合函数单调性的定义即可证明函数f(x)在(−∞,1)，(1,+∞)上的单调性．
(3)结合(2)知f(x)在(1,+∞)上为增函数，然后结合单调性可把已知问题转化为α，β满足lnα−1α+1=ln(mα−m2),lnβ−1β+1=ln(mβ−m2)，结合方程的根的分布及二次函数的性质即可求解．
本题综合考查了函数的奇偶性，单调性及方程的根的分布问题，综合考查了函数性质的灵活应用．