2023-2024学年江苏省南通市部分重点校高三上学期1月学情调研数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市部分重点校高三上学期1月学情调研数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知全集为U，集合M，N满足M⊆N⊆U，则下列运算结果为U的是
( )
A. M∪(∁UN)B. N∪(∁UM)C. M∪ND. (∁UN)∪(∁UM)
2.已知向量a=(m,3)，b=(1,m)，若a与b反向共线，则a− 3b的值为
( )
A. 0B. 48C. 4 3D. 3 6
3.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知正四棱锥的底面边长为3 2米，侧棱长为5米，则其体积为
立方米．( )
A. 24 2B. 24C. 72 2D. 72
4.若幂函数f(x)=(m2−2m−2)xm2−4m+1在区间(0,+∞)上单调递增，则m=( )
A. −1B. 3C. −1或3D. 1或−3
5.若n为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式(3x+12x)n的展开式的常数项是
( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
6.某地区安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为( )
A. 72B. 84C. 90D. 96
7.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，M、N为双曲线一条渐近线上的两点，A为双曲线的右顶点，若四边形MF1NF2为矩形，且∠MAN=2π3，则双曲线C的离心率为( )
A. 3B. 7C. 213D. 13
8.在平面直角坐标系xOy中，设α,β都是锐角，若α,β,α+β的始边都与x轴的非负半轴重合，终边分别与圆x2+y2=1交于点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，且y2=y1x3，则当β最大时，tan2β的值为
( )
A. 4 27B. 28C. 22D. 3 38
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z0=1−i，z=x+yix,y∈R，则下列结论正确的是
( )
A. 方程z−z0=2表示的z在复平面内对应点的轨迹是圆
B. 方程z−z0+z−z0=2表示的z在复平面内对应点的轨迹是椭圆
C. 方程z−z0−z−z0=1表示的z在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支
D. 方程z+12z0+z0=z−z0表示的z在复平面内对应点的轨迹是抛物线
10.数据x1,x2,⋯,xn的平均数为x，方差为sx2，数据y1,y2,⋯,yn的平均数为y，方差为sy2，其中xi,yi满足关系式：yi=axi+bi=1,2,⋯,n，则
( )
A. y=ax+b
B. 数据x1,x2,⋯,xn,y1,y2,⋯,yn的平均数为a+1x+b
C. 若数据sy2=0，则x1=x2=⋯=xn
D. 若a>0，数据x1,x2,⋯,xn不全相等，则样本点x1,y1,x2,y2,⋯,xn,yn的成对样本数据的样本相关系数为1
11.袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是
( )
A. P(|Z−6|≤1)=97105B. E(X)>E(Y)
C. D(X)=D(Y)D. EZ=285
12.已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=π3，将△DAC沿着对角线AC折起至△D′AC，连结BD′.设二面角D′−AC−B的大小为θ，则下列说法正确的是( )
A. 若四面体D′ABC为正四面体，则θ=π3
B. 四面体D′ABC的体积最大值为1
C. 四面体D′ABC的表面积最大值为2( 3+2)
D. 当θ=2π3时，四面体D′ABC的外接球的半径为 213
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知复数z满足方程：z2−3z+9=0，则|z|= ．
14.向量a,b,c在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则(a−b)⋅c=
15.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1−x).当x∈[0,1]时，f(x)=x2，则直线y=15x与函数y=f(x)的图象的交点的个数为 ．
16.设点M是椭圆C:x29+y28=1上的动点，点N是圆E:(x−1)2+y2=1上的动点，且直线MN与圆E相切，则|MN|的最小值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在平面四边形ABCD中，∠ABC=π3，∠ADC=π2，BC=2．
(1)若△ABC的面积为3 32，求AC;
(2)若AD= 3，∠ACB=∠ACD+π4，求∠ACD的大小．
18.(本小题12分)
已知数列{an}满足：an+2+(−1)nan=3，a1=1，a2=2．
(1)记bn=a2n−1，求数列{bn}的通项公式；
(2)记数列{an}的前n项和为Sn，求S30．
19.(本小题12分)
已知四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，AB//DC,∠DAB=90∘,PA⊥平面ABCD，PA=AD=DC=12AB=1．

(1)若点M是棱PB上的动点，且满足PMMB=12，证明：PD//平面ACM；
(2)若点N为棱PC上的一点(不含端点)，试探究PC上是否存在一点N，使得平面ADN⊥平面BDN？若存在，请求出PNNC的值，若不存在，请说明理由．
20.(本小题12分)
为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为34，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为12.(注：比赛结果没有平局)
(1)求甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；
(2)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；
(3)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率．
21.(本小题12分)
在平面直角坐标系xy中，动点E与两点A−3,0,B3,0连线斜率分别为k1,k2，且满足k1k2=−49，记动点E的轨迹为曲线Γ．
(1)求曲线Γ的标准方程;
(2)已知点M为曲线Γ在第一象限内的点，且C0,−2，若MA交y轴于点P,MC交x轴于点Q，试问：四边形APQC的面积是否为定值?若是，求出该定值;若不是，请说明理由．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=(csx−1)e−x，g(x)=ax2+(1−ex)x(a∈R)．
(1)当x∈(0,π)时，求函数f(x)的最小值;
(2)当x∈[−π2,+∞)时，不等式xf(x)≥g(x)ex恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查集合间的关系，集合的运算．
【解答】
解：全集 U，集合 M，N满足 M⊆N⊆U，绘制 Venn 图，如下：
对于 A:M∪(∁UN)⊆U，A 错误；
对于 B:N∪(∁UM)=U，B 正确；
对于 C:M∪N=N，C 错误；
对于 D:(∁UN)∪(∁UM)=∁UM，D 错误；
故选： B ．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查向量的共线，向量的模，属于基础题．
由向量反向共线求得m=− 3，再应用向量线性运算及模长的表示求a− 3b．
【解答】
解：由题意m2=3，得m=± 3，
又a与b反向共线，故m=− 3，此时a− 3b=(−2 3,6)，
故|a→− 3b→|= (−2 3)2+62=4 3．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查棱锥的体积，属于基础题．
作图，根据正四棱锥的性质求解高即可得体积．
【解答】
解：如图所示，在正四棱锥P−ABCD中，连接AC，BD于O，
则O为正方形ABCD的中心，连接OP，
则底面边长AB=3 2，对角线BD= 2AB=6，BO=12BD=3．
又BP=5，故高OP= BP2−BO2=4．
故该正四棱锥体积为V=13×(3 2)2×4=24．
4.【答案】A
【解析】【分析】根据幂函数的概念和单调性可求出结果．
本题主要考查了幂函数的性质的应用，属于基础题．
【解答】
解：因为函数f(x)=(m2−2m−2)xm2−4m+1为幂函数，且在区间(0,+∞)上单调递增，
所以m2−2m−2=1且m2−4m+1>0，
由m2−2m−3=0，得m=−1或m=3，
当m=−1时，m2−4m+1=6>0，满足题意；
当m=3时，足m2−4m+10成立，符合题意．
(ⅱ) x∈[−π2,0] ，ℎ′x=φx,φ′(x)=ex−csx，
设tx=ex−csx，t′(x)=ex+sinx单调递增，且 t′(0)=1 ， t′(−π2)=e−π2−10 ， φ′(0)=0 ，故存在唯一x2∈(−π2,0) ，使φ′(x2)=0，
故 x∈(−π2,x2) ， φ′(x2)>0 ， x∈(x2,0) ， φ′(x2)0 ， ℎ​′(0)=1−a⩾0 ，
所以 x∈[−π2,0] 时， ℎ​′(x)⩾0 ， ℎ(x)⩽ℎ(0)=0 ，即xℎ(x)⩾0 恒成立．
综上，a⩽1．

【解析】本题考查利用导数求函数的最值，研究不等式恒成立的条件，属于难题．
(1)利用导数可得f(x)在(0,π2)上单调递减，在(π2,π)上单调递增，进而得解；
(2)xfx≥gxex等价于x(ex+csx−ax−2)⩾0，记ℎ(x)=ex+csx−ax−2，讨论a>1和a⩽1，进而可得结果．