2022届高三二轮练习卷 数学（二十二）导数的简单应用 学生版

这是一份2022届高三二轮练习卷 数学（二十二）导数的简单应用 学生版，共33页。试卷主要包含了导数与函数的单调性，已知函数，求函数f的单调区间，已知函数，其中k∈R，已知函数，已知函数，，讨论的单调性，已知函数，其中等内容，欢迎下载使用。

1．导数与函数的单调性
1．已知函数，若函数f(x)在[1，2]上为单调函数，
则实数a的取值范围是________．
2．若函数在[1，4]上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为________．
3．已知函数，则f(x)的极值点为x＝________；若f(x)在区间[t，t＋1]上不单调，则实数t的取值范围是________．
4．（多选）若对任意的，，且，都有，则m的值可能是（ ）（注…为自然对数的底数）
A．B．C．D．1
5．已知函数，求函数f(x)的单调区间．
6．已知函数，其中k∈R．当时，求函数的单调区间．
7．已知函数（且）．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调区间．
8．已知函数，，讨论的单调性．
9．已知函数．
（1）若是的极大值点，求a的值；
（2）讨论的单调性．
2．导数与函数的极值
1．已知函数在区间上的图象如图所示，则（ ）
A．B．C．2D．
2．已知函数在处取得极值，若的单调递减区间为，（ ）
A．5B．4C．D．
3．已知函数的一个极值点为1，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．若函数在上无极值，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
5．若函数(为常数)在区间上有两个极值点，则实数取值范围是_________．
6．（多选）已知函数（，）存在极大值和极小值，且极大值与极小值互为相反数，则（ ）
A．B．C．D．
7．若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在区间（2，3）中至少有一个极值点，求实数a的取值范围．
10．已知函数，其中．
（1）求函数的极值；
（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．
3．导数与函数的最值
1．已知函数，，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，若，且，则的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
3．函数，若存在，对任意，，
则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）若函数在上有最大值，则a的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
5．若函数存在最小值，则实数a的取值范围是_________．
6．已知，函数，若函数与有相同的最大值，则m的取值范围为__________．
7．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求函数的最值．
8．已知函数，．
（1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；
（2）当时，求函数在区间上的最小值．
9．设函数，．关于的函数表示在的最小值．
（1）求的值；
（2）求的最大值．
答案与解析
1．导数与函数的单调性
1．【答案】
【解析】，若函数f(x)在[1，2]上为单调函数，
即或在[1，2]上恒成立，
即或在[1，2]上恒成立．
令，则h(x)在[1，2]上单调递增，所以或，
即或，
又a>0，所以或a≥1，
故答案为．
2．【答案】
【解析】函数，则，
因为h(x)在[1，4]上存在单调递减区间，所以在[1，4]上有解，
所以当x∈[1，4]时，有解，
令，而当x∈[1，4]时，令，，即为，
此时(此时x＝1)，所以，
又因为a≠0，所以a的取值范围是，
故答案为．
3．【答案】1，3，
【解析】由题意知，
由，得或，
时，；时，或，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
所以函数f(x)的极值点为x＝1，3．
因为函数f(x)在区间[t，t＋1]上不单调，所以或，
解得或，
故答案为1，3；．
4．【答案】BCD
【解析】由题意，，得，则等价于，即，
所以，则，
令，可得，
又，所以在上是减函数，
所以，解得，则．
故m可能值B、C、D符合要求，故选BCD．
5．【答案】答案见解析．
【解析】因为，
所以，
当a≤0时，，
所以函数f(x)的单调递增区间为(－1，＋∞)．
当a＞0时，由，得；
由，得．
所以函数f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(－1，＋∞)；
当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是．
6．【答案】答案见解析．
【解析】由题设，，
当时，，
令，得；令，得，
故的单调递增区间为，单调递减区间为．
当时，令，得或，
当，即时，
当时，或；当时，，
故的单调递增区间为、，减区间为．
当，即时，在R上恒成立，
故的单调递增区间为．
7．【答案】（1）；（2）答案见解析．
【解析】（1）∵，
∴，
∴，
又，∴，
∴所求切线方程为．
（2）由题意知，函数的定义域为，
由（1）知，
∴，易知，
①当时，令，得或；令，得．
②当时，，令，得；令，得或．
③当时，．
④当时，，令，得；令，得或．
综上，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；
当时，函数在上单调递减；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；
当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
8．【答案】答案见解析．
【解析】由的定义域为，且．
令，则．
①当，即时，对任意的有，则，
此时，函数在上单调递增；
②当，即时，有两个不等的实根，设为、，且，
令，解得，．
解不等式，可得；
解不等式，可得或．
此时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为．
综上，当时，函数的单调递增区间为，无递减区间；
当时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为．
9．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）因为，定义域为，
则，由是的极大值点，
故，解得，此时，
令，则或（舍），
故当时，，单调递增；
当，，单调递减，
故是的极大值点，满足题意．
故．
（2）因为，定义域为，则，
对，其，
当时，即时，，在单调递减；
当时，即时，令，则，，且，
当时，，故当，，单调递增，
当，，单调递减；
当，，故当，，单调递减，
当，，单调递增；当，，单调递减．
综上所述：当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在和单调递减，在单调递增；
当时，在单调递减．
2．导数与函数的极值
1．【答案】B
【解析】法一：当时，，
设，其中，则，另外，所以，故，解得，
又因为，所以，故选B．
法二：由，，
从而，
由于，所以，解得，
又从图象可以看出，即，从而，解得，由于，故，故选B．
2．【答案】B
【解析】∵，∴，
由题设可得，解得，
即，
令，解得，
则函数的单减区间就是，则，故选B．
3．【答案】D
【解析】对求导得，
因为函数的一个极值点为1，所以，所以，
又，于是得，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为，故的最大值为，故选D．
4．【答案】D
【解析】由可得
，
恒成立，为开口向上的抛物线，
若函数在上无极值，
则恒成立，所以，
解得，
所以实数的取值范围为，故选D．
5．【答案】
【解析】由题意得．
∵函数在内有两个极值点，
∴在内与轴有两个不同的交点，如图所示：
∴，解得，
故答案为．
6．【答案】B
【解析】，，
设是方程的两个实数根，根据题意可知，不妨设，
则，且，
即，
化简得，
将代入化简计算得，，选项B正确，选项ACD错误，
故选B．
7．【答案】A
【解析】，
若时，当时，；当时，，
则在上单调递减；在上单调递增．
所以当时，取得极小值，与条件不符合，故不满足题意．
当时，由可得或；由可得，
所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增．
所以当时，取得极大值，满足条件．
当时，由可得或；由可得，
所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增．
所以当时，取得极小值，不满足条件．
当时，在上恒成立，即在上单调递增．
此时无极值．
综上所述：满足条件，故选A．
8．【答案】D
【解析】由题意，，，
记，则，
则时，，单调递减；时，，单调递增，
所以．
若，则时，，单调递减；
时，，单调递增，
于是是函数的唯一极值点．
若，则，易知，于是时，；
设，，即在上单调递增，所以，则时，，此时，于是且时，．
再结合函数的单调性可知，函数在两个区间内分别存在唯一一个零点，且当时，，单调递减，时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增，
于是函数存在3个极值点，
综上所述，故选D．
9．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）解：因为函数，所以，
则，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
（2）解：因为，
所以，
函数在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于在区间（2，3）中至少有一个变号零点，
因为函数的对称轴为，
当或时，函数在区间（2，3）上单调，
所以，即，解得，满足题意；
当时，函数在区间是单调递减，在区间是单调递增，
则需或，
即或，解得或，与相矛盾，
所以实数a的取值范围．
10．【答案】（1）答案见解析；（2）．
【解析】（1）∵，函数的定义域是，
∴，
当时，，函数单调递增，此时无极值；
当时，，，函数单调递减；，，函数单调递增，
故是极小值，无极大值；
综上：当时无极值；
当时，是极小值，无极大值．
（2）当时，单调递增，最多有一零点，不满足条件；
当时，的极小值是，
设，，在单调递增，
∵，，
∴，则的极小值大于等于零，最多有一零点，不满足条件；
当时，的极小值，
∵，，，
所以在必有一零点；
，
在也有一零点，满足条件，
故的取值范围是．
3．导数与函数的最值
1．【答案】A
【解析】由函数，，，得，
则，
令，
当时，；当时，，
所以函数在上递减，在递增，
所以，即的最小值是，故选A．
2．【答案】D
【解析】由解析式知：在各区间上均为增函数且连续，故在上单调递增，且，
所以时，
可设，则，得，
于是，
令，则，
所以在上，；在上，，
故在上递减，在上递增，
所以的极小值也是最小值，且为，故的最小值是．
故选D．
3．【答案】A
【解析】由题意可知，函数在上存在最大值，
令，其中，则．
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，所以，．
①若，当时，，此时存在最大值；
②若，则当时，存在使得，此时函数无最大值．
综上所述，，故选A．
4．【答案】AB
【解析】，则，
当和时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
在处取极大值为．
函数在上有最大值，
故，且，即，
解得．
故选AB．
5．【答案】
【解析】因为函数，
所以，
当时，，，
又，所以，所以函数在上单调递增，此时无最小值；
当时，，则有两个不等实根，
设两个不等实根，
则，
所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，
所以是函数的极小值点，
又时，，所以，
所以要使得函数存在最小值，则函数的最小值只能为，且，
即，所以，
即，解得，
所以，故答案为．
6．【答案】
【解析】因为，所以，
因为，
所以当时，；当时，，
所以当时，取得最大值，
因为与有相同的最大值，
所以，解得，
所以m的取值范围为，故答案为．
7．【答案】（1）；（2）函数的最小值为，最大值为．
【解析】（1）函数，求导得，则，
而，所以曲线在点处的切线方程为．
（2）由（1）知，由，解得，而，
当时，；当时，，
因此，在上单调递减，在上单调递增，
则当时，，
而，，显然，即有，
所以函数的最小值为，最大值为．
8．【答案】（1）；（2）当时，最小值为；当时，最小值为．
【解析】（1）解：因为，所以，
∵曲线在点处的切线垂直于直线，
又直线的斜率为1，∴，
∴．
（2）解：∵，，
①当时，在区间上，此时函数在区间上单调递减，
则函数在区间上的最小值为．
②当，即时，在区间上，此时函数在区间上单调递减，在区间上，此时函数在区间上单调递增，则函数在区间上的最小值为．
③当，即时，在区间上，，此时函数在区间上单调递减，则函数在区间上的最小值．
综上所述，当时，函数在区间上的最小值为；
当时，函数在区间上的最小值为．
9．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，．
所以在单调递增，，所以．
（2）注意到无论取何值，，从而．
下面验证，当时，上述不等式的等号能成立．
当时，，．
设，则．
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
故在区间单调递减，在区间单调递增．
而，，，
故有两个零点，分别为和．
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
因此在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
所以．
而，所以．
综上所述，当时，取得最大值．