2022届高三二轮练习卷 数学（二十一）导数与切线方程 学生版

这是一份2022届高三二轮练习卷 数学（二十一）导数与切线方程 学生版，共20页。试卷主要包含了切线方程的求解，曲线过点的切线方程是，已知函数，若函数与函数的图象存在公切线，，已知函数，等内容，欢迎下载使用。

1．切线方程的求解
1．已知，则曲线在点处的切线方程为_________．
2．曲线过点的切线方程是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数（且）．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调区间．
2．已知切线方程求参数的取值范围
1．已知，直线与曲线相切，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，直线与曲线相切，则的最小值是________．
3．公切线问题
1．若曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则________．
2．已知（e为自然对数的底数），，则与的公切线条数为_______．
3．若函数与存在两条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．若函数与函数的图象存在公切线，
则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．若存在斜率为的直线与曲线与都相切，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，．
（1）求函数的极值；
（2）证明：有且只有两条直线与函数，的图象都相切．
4．其他
1．若过点可以作曲线且的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．与的大小关系与有关
2．已知函数，若曲线存在两条过点的切线，则a的取值范围是________．
3．在平面直角坐标系中，已知，，则的最小值为（ ）
A．9B．C．D．
4．如图所示，动点P，Q分别在函数，上运动，则的最小值为________．
5．设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为_______．
6．（多选）若函数的图象上存在两点，使得的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质．下列函数中具有T性质的是（ ）
A．B．
C．，D．
7．（多选）已知函数，若的图象存在两条相互垂直的切线，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
答案与解析
1．切线方程的求解
1．【答案】
【解析】∵点在上，
又，，
∴曲线在处的切线方程为，即．
故答案为．
2．【答案】B
【解析】由题意可得点不在曲线上，
设切点为，
因为，所以所求切线的斜率，
所以．
因为点是切点，所以，
所以，即．
设，明显在上单调递增，且，
所以有唯一解，则所求切线的斜率，
故所求切线方程为，故选B．
3．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）∵，
∴，
∴，
又，∴，
∴所求切线方程为．
（2）由题意知，函数的定义域为，
由（1）知，
∴，易知，
①当时，令，得或；令，得．
②当时，，令，得；令，得或．
③当时，．
④当时，，令，得；令，得或．
综上，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；
当时，函数在上单调递减；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；
当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
2．已知切线方程求参数的取值范围
1．【答案】B
【解析】因为直线与曲线相切，
所以设切点为，则，
因为，所以，
则切线方程为，
因为过点，代入可得．
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，且，所以切点为，
则，故选B．
2．【答案】
【解析】根据题意，设直线与曲线的切点为，
因为，直线的斜率为，
所以，，，
所以，
因为，
所以，
当且仅当时等号成立．
所以的最小值是，故答案为．
3．公切线问题
1．【答案】或
【解析】因为，所以，则，
所以曲线在点处的切线方程为，
设与相切于点，
因为，所以，
则，，可得，从而，
故答案为．
2．【答案】2
【解析】根据题意，设直线与相切于点，与相切于点，
对于，其导数为，
则有，
则直线的方程为，即，
对于，其导数为，
则有，
则直线的方程为，即，
直线是与的公切线，则，可得，
则或，
故直线的方程为或，
则与的公切线条数是2条，故答案为2．
3．【答案】D
【解析】设切线与曲线相切于点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，
即，
联立可得，
由题意可得且，可得，
令，其中，则．
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，所以，．
且当时，，当时，，如下图所示：
由题意可知，直线与曲线有两个交点，则，解得，
故选D．
4．【答案】A
【解析】因为，设切点为，则，
则公切线方程为，即，
联立，可得，
所以，，整理可得，
由可得，解得，
令，其中，则，
令，则，函数在上单调递增，
当时，，即，此时函数单调递减，
当时，，即，此时函数单调递增，
所以，，且当时，，
所以，函数的值域为，故，故选A．
5．【答案】A
【解析】设直线与、的切点分别为、，
因为，，
所以，，
因为直线与、都相切，所以，解得，
则两切点重合，即，，，
设，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则，
因为时，，
所以，，
实数的取值范围为，故选A．
6．【答案】（1）极大值为，没有极小值；（2）证明见解析．
【解析】（1）的定义域为，
且，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，
故的极大值为，没有极小值．
（2）设直线分别切，的图象于点，，
由可得，得的方程为，
即；
由可得，
得的方程，即．
比较的方程，得，
消去，得．
令（），则．
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
因为，所以在上有一个零点；
由，得，
所以在上有一个零点，所以在上有两个零点，
故有且只有两条直线与函数，的图象都相切．
4．其他
1．【答案】D
【解析】设切点为，则，
所以切线方程为，
因为点在切线上，所以，
即，
令，则，
令，得，
当时，；当时，，
所以当时，取得极小值 ，
因为过点可以作曲线且的两条切线，
所以，即，
所以与的大小关系与有关，故选D．
2．【答案】或
【解析】由题得，设切点坐标为，
则切线方程为，
又切线过点，可得，
整理得，
因为曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根且，
若，则，为两个重根，不成立，
即满足，解得或，
故的取值范围是或，
故答案为或．
3．【答案】B
【解析】由，则，
又，
的最小值转化为上的点与上的点的距离的平方的最小值，
由，得，与平行的直线的斜率为1，
∴，解得或（舍），可得切点为，
切点到直线之间的距离的平方，即为的最小值，
的最小值为，故选B．
4．【答案】
【解析】如题图，两个函数都是定义域上的单调递增函数，
又，在定义域上分别单调递增、单调递减，
所以函数递增的速度由慢到快，递增的速度由快到慢，
设动点，，当且仅当满足时，
取得最小值，
由图象的示意图不难发现，该方程组有唯一一组解：，，
所以，，所以的最小值为，
故答案为．
5．【答案】
【解析】令、分别向上平移一个单位可得、，而与关于对称，
∴当两条曲线在P、Q处的切线均与平行时，P、Q关于对称，|PQ|有最小值，对应曲线平移到、后，P、Q关于对称即可，
∴令，则，
∴有，则，即，
∴到的距离，
∴．
故答案为．
6．【答案】ACD
【解析】当时，，当时，满足条件；
当时，恒成立，不满足条件；
当，时，，当，满足条件；
当时，，函数单调递增，且，，所以存在，，满足条件，
故选ACD．
7．【答案】AB
【解析】∵函数，定义域为，
∴，
∴，当且仅当时，取等号，
要使的图象存在两条相互垂直的切线，则，，
所以的值必有一正一负，
当时，，不合题意，
当时，，不合题意，
当时，，则，，
例如，，
故的值可以是，
当时，，则，，
例如，，
故的值可以是，
所以的值可以是或，故选AB．