2022届高三二轮练习卷 数学（十一）直线、平面垂直的判定与性质 学生版

这是一份2022届高三二轮练习卷 数学（十一）直线、平面垂直的判定与性质 学生版，共31页。试卷主要包含了如图，在四棱锥中，，，等内容，欢迎下载使用。


1．直线与平面垂直的判定定理和性质定理
1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，，，，点M是AB的中点，点N是线段BC上的动点．
（1）证明：平面PAB；
（2）若点N到平面PCM的距离为，求的值．
2．如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，．
（1）证明：平面PAC；
（2）若，求二面角的正弦值．
3．如图，在四棱锥中，，，．
（1）证明：平面；
（2）在下面三个条件中选择两个条件：________，求点到平面的距离．①；②二面角为；③直线与平面成角为．
4．如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，O为AC的中点，M为内部或边界上的动点，且平面．
（1）证明：；
（2）设直线PM与平面ABC所成角为，求的最小值．
5．如图，在长方体中，，点在线段AB上．
（1）证明：；
（2）当点是AB中点时，求与平面所成角的大小．
6．如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，．
（1）证明：；
（2）求点C到平面PBD的距离．
2．平面与平面垂直的判定定理和性质定理
1．在三棱锥中，平面平面，和都是边长为的等边三角形，若为三棱锥外接球上的动点，则点到平面距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在直三棱柱中，，，F为棱上一点，，连接AF，．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
3．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的菱形，，，且．
（1）证明：平面平面ABCD；
（2）若，且线段SD上一点E满足平面AEC，求AE与平面SAB所成角的正弦值．
4．如图，在三棱柱中，侧面底面，为的中点，且．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
5．如图，在四棱锥中，平面平面，且是边长为2的等边三角形，四边形是矩形，，为的中点．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成的正弦值．
6．在四棱锥中，平面平面，，底面是梯形，，，，是边的中点．
（1）证明：；
（2）若平面与平面所成二面角为60°，求四棱锥的体积．
答案与解析
1．直线与平面垂直的判定定理和性质定理
1．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：连接AC，
在中，因为，，，
所以，
因为，，所以是等边三角形．
因为点是的中点，所以，
在中，，，，
满足，所以，
而，所以平面．
（2）过点作，垂足为，
由（1）可知平面，
因为平面，
所以平面平面，平面平面，
所以平面．
由得，，
解得，
所以．
2．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）取的中点，连接，
因为底面ABCD是梯形，，，
所以四边形为菱形，则，
所以，所以，
由已知可得，所以，所以，
因为，，所以平面PAC．
（2）因为，，所以，
所以为等腰直角三角形，
由（1）知，平面，平面，
所以平面平面，
取的中点，连接，则，
因为平面平面，平面，
所以平面，
连接，
以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
平面的一个法向量为，
所以，
所以二面角的正弦值为．
3．【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析．
【解析】（1）取的中点为，连接，可知四边形是平行四边形，
所以，所以点在以为直径的圆上，所以，
又，且平面，
所以平面．
（2）选①②
因为平面，所以，
又因为，所以二面角的平面角为，所以，
又因为，所以为等边三角形，
因为平面，平面，所以平面平面，
连接交于点，则为的中点，连接，则，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，
所以，由题意可知，，所以，
故以点为坐标原点建立如下图所示的空间直角坐标系，
，
则，
设平面的法向量为，由，得，
令，则，
点到平面的距离为．
选①③
因为平面，平面，所以平面平面，
易知为在平面内的射影，即为与平面所成的角，即，
又因为，所以为等边三角形．
连接交于点，则为的中点，连接，则，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以，
由题意可知，，所以，
故以点为坐标原点建立如下图所示的空间直角坐标系，
，
则，
设平面的法向量为，由，得，
令，则，
点到平面的距离为．
选②③
因为平面，平面，所以平面平面，
易知为在平面内的射影，即为与平面所成的角，即，
因为平面，所以，
又因为，所以二面角的平面角为，
所以，所以为等边三角形．
连接交于点，则为的中点，连接，则，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以，
由题意可知，，所以，
故以点为坐标原点建立如下图所示的空间直角坐标系，
，
则，
设平面的法向量为，由，得，
令，则，
点到平面的距离为．
4．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：在三棱锥中，连接OB，OP，
因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，，O为AC中点，
所以，，
又，所以平面POB，
因为平面POB，所以．
（2）由（1）知，平面平面ABC，平面平面，
平面PAC，所以平面ABC．
又，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，，，，．
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
同理可求得平面PBC的法向量．
因为平面PAB，平面PBC，
所以，即，即，
所以．
又，所以．
所以，
又平面，所以是平面ABC的一个法向量，
所以，
令，，所以，
当，即时，取得最大值为，
此时取得最小值为．
注：也可以分别取PC，BC的中点E，F，先证明M在线段EF上．
5．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）连接，因为在长方体中，
所以有平面，平面，所以，
又因为，所以四边形是正方形，
所以，
又，所以平面，
又平面，所以．
（2）以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则各点坐标为，，，，
当点是AB中点时，可得，
所以，，
设为平面的一个法向量，
则，即，令，可得，
所以，
又，所以，
设与平面所成角为，，
则，
即，所以与平面所成的角为．
6．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：如图，过点A作，垂足为E，连接AC，设AC与BD交于点O．
因为底面ABCD是等腰梯形，，所以，．
又，所以，．
因为，所以，则，同理．
因为，所以，即．
因为底面ABCD，底面ABCD，所以．
又，平面PAC，所以平面PAC．
又平面PAC，所以．
（2）解：由（1）可知，，，，
所以．
又平面ABCD，所以．
因为，，所以，．
在中，，所以，
故．
设点C到平面PBD的距离为d，因为，所以，解得，
即点C到平面PBD的距离为．
2．平面与平面垂直的判定定理和性质定理
1．【答案】D
【解析】设中点为，的外心为，的外心为，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，两条垂线的交点，
则点即为三棱锥外接球的球心，
因为和都是边长为的正三角形，可得，
因为平面平面，，平面，平面平面，
所以平面，
又平面，所以，
又，所以四边形是边长为1的正方形，
所以外接球半径，
所以到平面的距离，
即点到平面距离的最大值为，故选D．
2．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）如图，延长和CB的延长线相交于点E，连接AE，
则AE为平面与底面ABC的交线，
由已知得，，，所以，
由AB、BC的长都为3，AC的长为，得，
所以，
在三角形ABE中，由余弦定理，得，
所以，所以，即，
又是直三棱柱，故平面ABC，
又平面ABC，所以，
因为，所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）以E为坐标原点，EC，EA所在直线分别为x轴、y轴，平行于的直线为z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，．
设平面的法向量为，则，
即，不妨设，
由（1）得，，，，
设平面的法向量为，则，
即，不妨设，
设平面与平面所成锐二面角为，则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
3．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：如图，取AD的中点O，连接SO，CO，AC．
因为四边形ABCD是边长为2的菱形，，
所以，且．
则为正三角形，故，．
因为，所以为直角三角形，
所以．
又因为，所以，所以．
又因为，平面，所以平面．
又因为平面ABCD，所以平面平面ABCD．
（2）解：如图，连接BD，设AC，BD的交点为F．
因为平面AEC，平面平面，
所以，所以E为线段SD中点．
因为，且O为AD中点，所以．
又因为，且，AD，平面ABCD，
所以平面ABCD．
所以两两垂直，所以以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，．
设平面SAB的法向量为，则，
取，得，
设AE与平面SAB所成角为，
则．
4．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：，且为的中点，，
又侧面底面，平面平面，且平面，
平面．
（2）解：连接，则，且，
因为平面，则，
而，，
，
因为平面，平面，，
所以，，
因为，，，平面，
且，故四边形为平行四边形，
所以，，平面，
平面，故，，
设点到平面的距离为，由，得，，
故点到平面的距离是．
5．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）取的中点，连接，，
∵四边形是矩形，，，且，分别是，的中点，
∴，，，，
∴，，，
∴，∴，
∵是等边三角形，是的中点，∴，
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
又平面，∴，
又，，，平面，
∴平面，
又平面，∴．
（2）设直线与平面所成角为．
连接，则，
∵，，，
∴，
设到平面的距离为，则，
∵，∴，
故到平面的距离为．
6．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）在梯形中，，，
∴，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
，
∴平面，∴，即．
（2）如图，建立空间直角坐标系，取的中点，
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，所以平面，
设，∴，，，，
，，
设平面的一个法向量，
∴，令，可得，
平面的一个法向量，
∴，
∴．