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2024鞍山普通高中高三上学期期末联考试题数学含解析
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这是一份2024鞍山普通高中高三上学期期末联考试题数学含解析，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：150分
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数（其中为虚数单位）对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
3. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A. B. C. D.
4. 中国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题译文是：今有牛､马､羊吃了别人的禾苗.禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛､马､羊的主人应分别偿还升､升､升粟，1斗为10升，则（ ）
A. ，，依次成公比为2的等比数列B. ，，依次成公差为2的等差数列
C D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A. 2B. C. 3D.
7. 为了支援山区教育，现在安排名大学生到个学校进行支教活动，每个学校至少安排人，其中甲校至少要安排名大学生，则不同的安排方法共有（ ）种
A. B. C. D.
8. 设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列说法中，正确的命题是（ ）
A. 已知随机变量X服从正态分布N（2，），P（X<4）=0.8，则P（2B. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱
C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为y=+，若=1，=3，则=1
D. 若样本数据2+1，2+1，……，2+1的方差为8，则数据，…，的方差为2
10. 已知，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 如图，圆柱的轴截面是正方形，E在底面圆周上， ，F是垂足，G在BD上， ，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 直线与直线所成角的余弦值为
C. 直线与平面所成角的余弦值为．
D. 若平面平面，则
12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的一个周期为B. 函数在上单调递增
C. 函数的最大值为D. 函数图象关于直线对称
第II卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13 已知，，若，则______．
14. 已知圆，直线过点且与圆相切，若直线与两坐标轴交点分别为、，则________．
15. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是______．
16. 已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知分别为内角的对边，，且.
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长.
18. 已知数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
19. 随着北京2022冬奥会的临近，冰雪运动在全国各地蓬勃开展. 某地为深入了解学生参与“自由式滑雪”、“单板滑雪”两项运动的情况，在该地随机抽取了10所学校进行调研，得到数据如下：
（1）从这10所学校中随机选取1所学校，求这所学校 “自由式滑雪”参与人数超过40人的概率；
（2）规定“单板滑雪”的参与人数超过45人的学校作为“基地学校”.
（i）现在从这10所学校中随机选取3所，记为其中的“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望；
（ii）为提高学生“单板滑雪”水平，某“基地学校”针对“单板滑雪”的4个基本动作进行集训并考核.要求4个基本动作中至少有3个动作达到“优秀”，则考核为“优秀”.已知某同学参训前，4个基本动作中每个动作达到“优秀”的概率均为0.2，参训后该同学考核为“优秀”. 能否认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化？并说明理由.
20. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段的动点.
（1）若直线平面，求证：为的中点；
（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
21. 已知椭圆过点，其右焦点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一动点（不在轴上），为中点，过原点作的平行线，与直线交于点. 问：直线与斜率的乘积是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由.
22. 已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）曲线在直线上方，求实数的取值范围.
2023-2024学年度上学期期末考试
高三数学
时间：120分钟 满分：150分
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】，然后可得答案.
【详解】因为，
所以
故选：C
2. 在复平面内，复数（其中为虚数单位）对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的乘除法运算化简，再结合复数的几何意义即可得出结果.
【详解】因为，
所以复数z对应的点的坐标为(1，2)，位于第一象限.
故选：A
3. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.
详解：
因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.
点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.
4. 中国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛､马､羊吃了别人的禾苗.禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛､马､羊的主人应分别偿还升､升､升粟，1斗为10升，则（ ）
A. ，，依次成公比为2的等比数列B. ，，依次成公差为2的等差数列
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合题意根据等比数列的定义可以判断AB，由等比数列的前项和公式计算后可判断CD．
【详解】由条件，知，，依次成公比为的等比数列，故AB都错误；
又，，
所以，所以，故C错误，D正确
故选： D．
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据余弦的二倍角公式，结合诱导公式进行求解即可.
【详解】因为，所以由，
，
故选：A
6. 设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
7. 为了支援山区教育，现在安排名大学生到个学校进行支教活动，每个学校至少安排人，其中甲校至少要安排名大学生，则不同的安排方法共有（ ）种
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对甲校分配的大学生人数进行分类讨论，利用排列、组合计数原理结合分类加法计数原理可得结果.
【详解】若甲校分名大学生，此时有种分配方法；
若甲校分名大学生，此时有种分配方法.
综上所述，共有种分配方法.
故选：C.
8. 设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，则，分析可得为偶函数且，求出的导数，分别求出的单调区间，然后再分类讨论成立的解集，从而求解.
【详解】根据题意，设，则，
若为奇函数，则，则有，即函数为偶函数，
又由，则，则，
，又由当时，，则在上为减函数，
又由，则在上，，在上，，
又由为偶函数，则在上，，在上，，
，即，则有或，
故或，
即不等式的解集为，故B正确.
故选：B.
【点睛】方法点睛：本题构造函数并利用导数判断函数的单调性，由函数的奇偶性，单调性解不等式.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列说法中，正确的命题是（ ）
A. 已知随机变量X服从正态分布N（2，），P（X<4）=0.8，则P（2B. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱
C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为y=+，若=1，=3，则=1
D. 若样本数据2+1，2+1，……，2+1的方差为8，则数据，…，的方差为2
【答案】CD
【解析】
【分析】利用正态分布的对称性可以求得的值，进而判定A错误，根据相关系数的意义可以判定B错误，利用回归直线方程过样本中心点，可以求得回归常数的估计值，从而判定C正确，利用线性相关的数据组的方差之间的关系可以求得数据，，…，的方差，进而判定D正确.
【详解】A. 已知随机变量服从正态分布，，则，所以，
所以
∴，故A错误；
B. 线性相关系数的范围在到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关，相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故B错误；
C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则，故C正确；
D. 设数据，，…，的方差为,样本数据，，…，的方差为8，则，即数据，，…，的方差为2，故D正确.
故选：CD.
10. 已知，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由题可知，然后再这个大前提下，对选项逐一判断即可.
【详解】已知，，且，所以，
对于A选项，，故错误；
对于B选项，，为增函数，所以，故正确；
对于C选项，均为正数，且不相等，所以，故正确；
对于D选项，，所以，故错误.
故选：BC
11. 如图，圆柱的轴截面是正方形，E在底面圆周上， ，F是垂足，G在BD上， ，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 直线与直线所成角的余弦值为
C. 直线与平面所成角的余弦值为．
D. 若平面平面，则
【答案】AD
【解析】
【分析】选项A：由线面垂直的判定定理，以及线面垂直的性质定理得出；
选项B：平移法找出异面直线所成角，构造三角形，求解三角形可得；
选项C：找出线面垂直，作出线面角，再求解三角形可得；
选项D：运用线面平行的判定定理，以及线面平行的性质定理可得.
【详解】对于A：由圆柱的性质得：面，面，
又是下底面圆的直径
又，面，面
面，又面 ，又
又，面，面
面，又面，A正确；
对于B：过点作交于点，如图
则就是直线与直线所成角（或补角）
设，则
中，
，
在等腰中，，又
在中，，，
即：
在中，，，
在中，，
，B错误；
对于C：取的中点，连接，如图所示
则：，面，又面
又，面，面
面
就是直线与平面所成角
又
，C错误；
对于D：在中，，，
，又面，面
面
又平面平面，面
，D正确.
故选：AD.
12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的一个周期为B. 函数在上单调递增
C. 函数的最大值为D. 函数图象关于直线对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数的周期性定义判断A，根据复合函数的单调性及三角函数的单调性判断B，取特殊值法可判断C，由的关系可判断D.
【详解】由知，A正确；
由在上单调递增及复合函数的单调性知，在上单调递增，由在上单调递减，可知在上单调递增，
所以函数在上单调递增，故B正确；
当时，，故函数的最大值取不是，故C错误；
关于直线对称，故D正确.
故答案为：ABD
第II卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，若，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】求出的坐标，由推出，列出方程即可求得m.
【详解】已知，，
所以，
由可得，解得．
故答案为：2.
14. 已知圆，直线过点且与圆相切，若直线与两坐标轴交点分别为、，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据点在直线上，结合垂直关系可得切线斜率，进而可得切线方程，进而可求解，又两点距离公式求解即可.
【详解】由于，所以在圆上，
又，故,
故切线的斜率为，进而切线方程为，即，分别令，
故,故，
故答案为：
15. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是______．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，由题可知P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，由全概率公式即得.
【详解】如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，
B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω，
由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝，
且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝.
由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝，
即该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为.
故答案为：
16. 已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．
【答案】
【解析】
【分析】分别求得上下底面所在平面截球所得圆的半径，找到球心，求得半径，再由球的体积公式可得结果．
【详解】由题意设三棱台为，如图，
上底面所在平面截球所得圆的半径是，（为上底面截面圆的圆心）
下底面所在平面截球所得圆的半径是，（为下底面截面圆的圆心）
由正三棱台的性质可知，其外接球的球心在直线上，设球的半径为，
当在线段上时，轴截面中由几何知识可得，无解；
当在的延长线上时，可得，解得，得，
因此球的体积是.
故答案为：.
【点睛】易错点睛：本题求球的半径时，容易只考虑在线段上，从而无法求解.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知分别为内角的对边，，且.
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用辅助角公式得到，从而得到的两种关系，再根据，舍去，进而求解出；（2）利用面积公式，求出，再用余弦定理求出，进而求出的周长.
【小问1详解】
∵
∴
即
∴
∴或
∵在中，
∴
故
∴，即，
∴
【小问2详解】
∵的面积为，且由第一问可知：
由面积公式得：
∴
∵
由余弦定理得：
解得：
∴的周长为
18. 已知数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用的关系可得，即可知为等比数列，写出等比数列通项公式即可.
（2）由（1）得，利用分组求和，并结合错位相减法及等差、等比前n项和公式求.
【详解】（1）当时，，解得，
当时，，则，即，
又，则，
∴（常数），故是以为首项，以3为公比的等比数列，
∴数列的通项公式为．
（2）由（1）可得：，
∴，
设，则
∴，
∴，又，
∴
19. 随着北京2022冬奥会的临近，冰雪运动在全国各地蓬勃开展. 某地为深入了解学生参与“自由式滑雪”、“单板滑雪”两项运动的情况，在该地随机抽取了10所学校进行调研，得到数据如下：
（1）从这10所学校中随机选取1所学校，求这所学校 “自由式滑雪”的参与人数超过40人的概率；
（2）规定“单板滑雪”的参与人数超过45人的学校作为“基地学校”.
（i）现在从这10所学校中随机选取3所，记为其中的“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望；
（ii）为提高学生“单板滑雪”水平，某“基地学校”针对“单板滑雪”的4个基本动作进行集训并考核.要求4个基本动作中至少有3个动作达到“优秀”，则考核为“优秀”.已知某同学参训前，4个基本动作中每个动作达到“优秀”的概率均为0.2，参训后该同学考核为“优秀”. 能否认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化？并说明理由.
【答案】（1）；
（2）（i）分布列见解析，数学期望为；（ii）无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据古典概型计算公式，结合所给的数据进行求解即可；
（2）（i）根据古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可；
（ii）根据独立重复事件的概率公式，结合小概率事件的性质进行求解即可.
【小问1详解】
设事件A 为“从10所学校中选出的1所学校 “自由式滑雪”的参与人数超过40人”．“自由式滑雪”的参与人数超过40人的学校共4所，所以．
【小问2详解】
（i）X的所有可能取值为0，1，2，3， “单板滑雪”的参与人数在45人以上的学校共4所．
所以，.
所以X分布列为：
所以．
（ii）设事件B 为“参训前，该同学考核为‘优秀’”，
则．
参考答案1：可以认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．理由如下：
比较小，即该同学考核为“优秀”为小概率事件，一旦发生了，就有理由认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化 ．
参考答案2：无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．理由如下：
事件是随机事件，比较小，即该同学考核为“优秀”为小概率事件，一般不容易发生，但还是可能发生的，因此，无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．
20. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段的动点.
（1）若直线平面，求证：为中点；
（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面平行的性质得出，再由中位线定理得出为的中点；
（2）以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，利用向量法结合平面与平面夹角的余弦值得出的值.
【小问1详解】
连接交于点，再连接，
由直线平面，平面，平面平面，，又为的中点，为的中点；
【小问2详解】
以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系
设，则
设，，
设平面的法向量为，则，即
取，则.
设平面的法向量，则，即，
可得平面的法向量，
设平面与平面夹角为
，整理得，
21. 已知椭圆过点，其右焦点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一动点（不在轴上），为中点，过原点作的平行线，与直线交于点. 问：直线与斜率的乘积是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由.
【答案】（1）
（2）是定值，
【解析】
【分析】（1）根据题意得，再结合即可得答案；
（2）设，进而得，，再计算斜率即可得，最后结合即可得答案.
【小问1详解】
解：因为椭圆过点，其右焦点为
所以，即，所以，
所以椭圆方程为
【小问2详解】
解：设，则，
所以，所以过原点与的平行的线的方程为，
所以，
所以，，
所以，
因为，故，
所以，
所以直线与斜率的乘积是为定值.
22. 已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）曲线在直线的上方，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，得到，进而求得，写出切线方程；
（2）将问题转化为恒成立，令其中，用导数法求解.
【小问1详解】
解：时，.
所以曲线在点处的切线方程为
即.
【小问2详解】
曲线在直线的上方，
即恒成立，
设其中.
①若在上单调递增.
因为所以不满足条件.
②若令
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
所以
令，解得
综上，实数的取值范围为X
0
1
2
3
P
时间：120分钟 满分：150分
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数（其中为虚数单位）对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
3. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A. B. C. D.
4. 中国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题译文是：今有牛､马､羊吃了别人的禾苗.禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛､马､羊的主人应分别偿还升､升､升粟，1斗为10升，则（ ）
A. ，，依次成公比为2的等比数列B. ，，依次成公差为2的等差数列
C D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A. 2B. C. 3D.
7. 为了支援山区教育，现在安排名大学生到个学校进行支教活动，每个学校至少安排人，其中甲校至少要安排名大学生，则不同的安排方法共有（ ）种
A. B. C. D.
8. 设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列说法中，正确的命题是（ ）
A. 已知随机变量X服从正态分布N（2，），P（X<4）=0.8，则P（2
C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为y=+，若=1，=3，则=1
D. 若样本数据2+1，2+1，……，2+1的方差为8，则数据，…，的方差为2
10. 已知，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 如图，圆柱的轴截面是正方形，E在底面圆周上， ，F是垂足，G在BD上， ，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 直线与直线所成角的余弦值为
C. 直线与平面所成角的余弦值为．
D. 若平面平面，则
12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的一个周期为B. 函数在上单调递增
C. 函数的最大值为D. 函数图象关于直线对称
第II卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13 已知，，若，则______．
14. 已知圆，直线过点且与圆相切，若直线与两坐标轴交点分别为、，则________．
15. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是______．
16. 已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知分别为内角的对边，，且.
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长.
18. 已知数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
19. 随着北京2022冬奥会的临近，冰雪运动在全国各地蓬勃开展. 某地为深入了解学生参与“自由式滑雪”、“单板滑雪”两项运动的情况，在该地随机抽取了10所学校进行调研，得到数据如下：
（1）从这10所学校中随机选取1所学校，求这所学校 “自由式滑雪”参与人数超过40人的概率；
（2）规定“单板滑雪”的参与人数超过45人的学校作为“基地学校”.
（i）现在从这10所学校中随机选取3所，记为其中的“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望；
（ii）为提高学生“单板滑雪”水平，某“基地学校”针对“单板滑雪”的4个基本动作进行集训并考核.要求4个基本动作中至少有3个动作达到“优秀”，则考核为“优秀”.已知某同学参训前，4个基本动作中每个动作达到“优秀”的概率均为0.2，参训后该同学考核为“优秀”. 能否认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化？并说明理由.
20. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段的动点.
（1）若直线平面，求证：为的中点；
（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
21. 已知椭圆过点，其右焦点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一动点（不在轴上），为中点，过原点作的平行线，与直线交于点. 问：直线与斜率的乘积是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由.
22. 已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）曲线在直线上方，求实数的取值范围.
2023-2024学年度上学期期末考试
高三数学
时间：120分钟 满分：150分
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】，然后可得答案.
【详解】因为，
所以
故选：C
2. 在复平面内，复数（其中为虚数单位）对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的乘除法运算化简，再结合复数的几何意义即可得出结果.
【详解】因为，
所以复数z对应的点的坐标为(1，2)，位于第一象限.
故选：A
3. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.
详解：
因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.
点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.
4. 中国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛､马､羊吃了别人的禾苗.禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛､马､羊的主人应分别偿还升､升､升粟，1斗为10升，则（ ）
A. ，，依次成公比为2的等比数列B. ，，依次成公差为2的等差数列
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合题意根据等比数列的定义可以判断AB，由等比数列的前项和公式计算后可判断CD．
【详解】由条件，知，，依次成公比为的等比数列，故AB都错误；
又，，
所以，所以，故C错误，D正确
故选： D．
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据余弦的二倍角公式，结合诱导公式进行求解即可.
【详解】因为，所以由，
，
故选：A
6. 设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
7. 为了支援山区教育，现在安排名大学生到个学校进行支教活动，每个学校至少安排人，其中甲校至少要安排名大学生，则不同的安排方法共有（ ）种
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对甲校分配的大学生人数进行分类讨论，利用排列、组合计数原理结合分类加法计数原理可得结果.
【详解】若甲校分名大学生，此时有种分配方法；
若甲校分名大学生，此时有种分配方法.
综上所述，共有种分配方法.
故选：C.
8. 设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，则，分析可得为偶函数且，求出的导数，分别求出的单调区间，然后再分类讨论成立的解集，从而求解.
【详解】根据题意，设，则，
若为奇函数，则，则有，即函数为偶函数，
又由，则，则，
，又由当时，，则在上为减函数，
又由，则在上，，在上，，
又由为偶函数，则在上，，在上，，
，即，则有或，
故或，
即不等式的解集为，故B正确.
故选：B.
【点睛】方法点睛：本题构造函数并利用导数判断函数的单调性，由函数的奇偶性，单调性解不等式.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列说法中，正确的命题是（ ）
A. 已知随机变量X服从正态分布N（2，），P（X<4）=0.8，则P（2
C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为y=+，若=1，=3，则=1
D. 若样本数据2+1，2+1，……，2+1的方差为8，则数据，…，的方差为2
【答案】CD
【解析】
【分析】利用正态分布的对称性可以求得的值，进而判定A错误，根据相关系数的意义可以判定B错误，利用回归直线方程过样本中心点，可以求得回归常数的估计值，从而判定C正确，利用线性相关的数据组的方差之间的关系可以求得数据，，…，的方差，进而判定D正确.
【详解】A. 已知随机变量服从正态分布，，则，所以，
所以
∴，故A错误；
B. 线性相关系数的范围在到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关，相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故B错误；
C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则，故C正确；
D. 设数据，，…，的方差为,样本数据，，…，的方差为8，则，即数据，，…，的方差为2，故D正确.
故选：CD.
10. 已知，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由题可知，然后再这个大前提下，对选项逐一判断即可.
【详解】已知，，且，所以，
对于A选项，，故错误；
对于B选项，，为增函数，所以，故正确；
对于C选项，均为正数，且不相等，所以，故正确；
对于D选项，，所以，故错误.
故选：BC
11. 如图，圆柱的轴截面是正方形，E在底面圆周上， ，F是垂足，G在BD上， ，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 直线与直线所成角的余弦值为
C. 直线与平面所成角的余弦值为．
D. 若平面平面，则
【答案】AD
【解析】
【分析】选项A：由线面垂直的判定定理，以及线面垂直的性质定理得出；
选项B：平移法找出异面直线所成角，构造三角形，求解三角形可得；
选项C：找出线面垂直，作出线面角，再求解三角形可得；
选项D：运用线面平行的判定定理，以及线面平行的性质定理可得.
【详解】对于A：由圆柱的性质得：面，面，
又是下底面圆的直径
又，面，面
面，又面 ，又
又，面，面
面，又面，A正确；
对于B：过点作交于点，如图
则就是直线与直线所成角（或补角）
设，则
中，
，
在等腰中，，又
在中，，，
即：
在中，，，
在中，，
，B错误；
对于C：取的中点，连接，如图所示
则：，面，又面
又，面，面
面
就是直线与平面所成角
又
，C错误；
对于D：在中，，，
，又面，面
面
又平面平面，面
，D正确.
故选：AD.
12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的一个周期为B. 函数在上单调递增
C. 函数的最大值为D. 函数图象关于直线对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数的周期性定义判断A，根据复合函数的单调性及三角函数的单调性判断B，取特殊值法可判断C，由的关系可判断D.
【详解】由知，A正确；
由在上单调递增及复合函数的单调性知，在上单调递增，由在上单调递减，可知在上单调递增，
所以函数在上单调递增，故B正确；
当时，，故函数的最大值取不是，故C错误；
关于直线对称，故D正确.
故答案为：ABD
第II卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，若，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】求出的坐标，由推出，列出方程即可求得m.
【详解】已知，，
所以，
由可得，解得．
故答案为：2.
14. 已知圆，直线过点且与圆相切，若直线与两坐标轴交点分别为、，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据点在直线上，结合垂直关系可得切线斜率，进而可得切线方程，进而可求解，又两点距离公式求解即可.
【详解】由于，所以在圆上，
又，故,
故切线的斜率为，进而切线方程为，即，分别令，
故,故，
故答案为：
15. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是______．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，由题可知P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，由全概率公式即得.
【详解】如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，
B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω，
由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝，
且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝.
由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝，
即该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为.
故答案为：
16. 已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．
【答案】
【解析】
【分析】分别求得上下底面所在平面截球所得圆的半径，找到球心，求得半径，再由球的体积公式可得结果．
【详解】由题意设三棱台为，如图，
上底面所在平面截球所得圆的半径是，（为上底面截面圆的圆心）
下底面所在平面截球所得圆的半径是，（为下底面截面圆的圆心）
由正三棱台的性质可知，其外接球的球心在直线上，设球的半径为，
当在线段上时，轴截面中由几何知识可得，无解；
当在的延长线上时，可得，解得，得，
因此球的体积是.
故答案为：.
【点睛】易错点睛：本题求球的半径时，容易只考虑在线段上，从而无法求解.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知分别为内角的对边，，且.
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用辅助角公式得到，从而得到的两种关系，再根据，舍去，进而求解出；（2）利用面积公式，求出，再用余弦定理求出，进而求出的周长.
【小问1详解】
∵
∴
即
∴
∴或
∵在中，
∴
故
∴，即，
∴
【小问2详解】
∵的面积为，且由第一问可知：
由面积公式得：
∴
∵
由余弦定理得：
解得：
∴的周长为
18. 已知数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用的关系可得，即可知为等比数列，写出等比数列通项公式即可.
（2）由（1）得，利用分组求和，并结合错位相减法及等差、等比前n项和公式求.
【详解】（1）当时，，解得，
当时，，则，即，
又，则，
∴（常数），故是以为首项，以3为公比的等比数列，
∴数列的通项公式为．
（2）由（1）可得：，
∴，
设，则
∴，
∴，又，
∴
19. 随着北京2022冬奥会的临近，冰雪运动在全国各地蓬勃开展. 某地为深入了解学生参与“自由式滑雪”、“单板滑雪”两项运动的情况，在该地随机抽取了10所学校进行调研，得到数据如下：
（1）从这10所学校中随机选取1所学校，求这所学校 “自由式滑雪”的参与人数超过40人的概率；
（2）规定“单板滑雪”的参与人数超过45人的学校作为“基地学校”.
（i）现在从这10所学校中随机选取3所，记为其中的“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望；
（ii）为提高学生“单板滑雪”水平，某“基地学校”针对“单板滑雪”的4个基本动作进行集训并考核.要求4个基本动作中至少有3个动作达到“优秀”，则考核为“优秀”.已知某同学参训前，4个基本动作中每个动作达到“优秀”的概率均为0.2，参训后该同学考核为“优秀”. 能否认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化？并说明理由.
【答案】（1）；
（2）（i）分布列见解析，数学期望为；（ii）无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据古典概型计算公式，结合所给的数据进行求解即可；
（2）（i）根据古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可；
（ii）根据独立重复事件的概率公式，结合小概率事件的性质进行求解即可.
【小问1详解】
设事件A 为“从10所学校中选出的1所学校 “自由式滑雪”的参与人数超过40人”．“自由式滑雪”的参与人数超过40人的学校共4所，所以．
【小问2详解】
（i）X的所有可能取值为0，1，2，3， “单板滑雪”的参与人数在45人以上的学校共4所．
所以，.
所以X分布列为：
所以．
（ii）设事件B 为“参训前，该同学考核为‘优秀’”，
则．
参考答案1：可以认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．理由如下：
比较小，即该同学考核为“优秀”为小概率事件，一旦发生了，就有理由认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化 ．
参考答案2：无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．理由如下：
事件是随机事件，比较小，即该同学考核为“优秀”为小概率事件，一般不容易发生，但还是可能发生的，因此，无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．
20. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段的动点.
（1）若直线平面，求证：为中点；
（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面平行的性质得出，再由中位线定理得出为的中点；
（2）以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，利用向量法结合平面与平面夹角的余弦值得出的值.
【小问1详解】
连接交于点，再连接，
由直线平面，平面，平面平面，，又为的中点，为的中点；
【小问2详解】
以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系
设，则
设，，
设平面的法向量为，则，即
取，则.
设平面的法向量，则，即，
可得平面的法向量，
设平面与平面夹角为
，整理得，
21. 已知椭圆过点，其右焦点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一动点（不在轴上），为中点，过原点作的平行线，与直线交于点. 问：直线与斜率的乘积是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由.
【答案】（1）
（2）是定值，
【解析】
【分析】（1）根据题意得，再结合即可得答案；
（2）设，进而得，，再计算斜率即可得，最后结合即可得答案.
【小问1详解】
解：因为椭圆过点，其右焦点为
所以，即，所以，
所以椭圆方程为
【小问2详解】
解：设，则，
所以，所以过原点与的平行的线的方程为，
所以，
所以，，
所以，
因为，故，
所以，
所以直线与斜率的乘积是为定值.
22. 已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）曲线在直线的上方，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，得到，进而求得，写出切线方程；
（2）将问题转化为恒成立，令其中，用导数法求解.
【小问1详解】
解：时，.
所以曲线在点处的切线方程为
即.
【小问2详解】
曲线在直线的上方，
即恒成立，
设其中.
①若在上单调递增.
因为所以不满足条件.
②若令
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
所以
令，解得
综上，实数的取值范围为X
0
1
2
3
P
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