2024通化梅河口五中高三上学期1月期末考试数学含解析

这是一份2024通化梅河口五中高三上学期1月期末考试数学含解析，共26页。试卷主要包含了 已知集合，集合，则， 设复数满足，则， 曲线在点处的切线方程为， “”是“直线与圆相交”的， 已知函数f， 已知函数，则下列说法正确是为等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设复数满足，则（ ）
A. B. C. 1D.
3. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. “”是“直线与圆相交”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
5. 某校读书节期间，共120名同学获奖（分金、银、铜三个等级），从中随机抽取24名同学参加交流会，若按高一、高二、高三分层随机抽样，则高一年级需抽取6人；若按获奖等级分层随机抽样，则金奖获得者需抽取4人．下列说法正确的是（ ）
A. 高二和高三年级获奖同学共80人B. 获奖同学中金奖所占比例一定最低
C. 获奖同学中金奖所占比例可能最高D. 获金奖的同学可能都在高一年级
6. 已知函数的定义域为是偶函数，，在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
7. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为，则它的体积为（ ）
A B. C. D.
8. 已知函数f（x）＝ ，若∃x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2），则实数a的取值范围是（ ）
A. [2，3]∪（﹣∞，﹣5]B. （﹣∞，2）∪（3，5）
C. [2，3]D. [5，+∞）
二、多选题
9. 已知函数，则下列说法正确是为（ ）
A. 的图像关于原点对称B.
C. 的值域为D. ，且，则恒成立
10. 已知双曲线的两个焦点分别为，且满足条件，可以解得双曲线的方程为，则条件可以是（ ）
A. 实轴长为4B. 双曲线为等轴双曲线
C. 离心率为D. 渐近线方程为
11. 如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（ ）
A.
B
C. 函数在上单调递减
D. 若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为
12. 正方体的8个顶点分别在4个互相平行的平面内，每个平面内至少有一个顶点，且相邻两个平面间的距离为1，则该正方体的棱长为（ ）
A. B. C. 2D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知角终边上一点的坐标为，则=____.
14. 若抛物线上一点A的横坐标为，且A到C的焦点的距离为，则A点的一个纵坐标为___________．（写出一个符合条件的即可）
15. 已知直线与是曲线的两条切线，则________．
16. 在矩形中，，将沿向上折起到的位置，得到四面体. 当四面体的体积最大时，异面直线与所成角的余弦值为____.
四、解答题
17. 已知数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
18. 在中，内角所对的边分别为，设满足条件和，
（1）求角和；
（2）若，求的面积；
（3）求．
19. 全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强．某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入x（单位：万元）进行调查，并绘制得到如下图所示的频率分布直方图．

（1）求这2000户农户家庭年收入的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间中点值代表）．
（2）由直方图可认为农户家庭年收入近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
①估计这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）户数？（结果保留整数）
②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，即年收入不超过9.52万元的农户家庭数为，求．（结果精确到0.001）
附：①；②若，则，；③．
20. 如图，在三棱锥中，平面平面，且，，点在线段上，点在线段上.
（1）求证：；
（2）若平面，求的值；
（3）在（2）条件下，求平面与平面所成角的余弦值.
21. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，M为椭圆C上的一个动点，且点M到右焦点距离的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过点的直线l交椭圆C于A，B两点，当的面积最大时，求此时直线l的方程．
22. 已知，．
（1）求在点的切线方程；
（2）设，，判断的零点个数，并说明理由．
高三数学期末
第I卷（选择题共60分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的交并补即可求解.
【详解】由题知，
故选：A.
2. 设复数满足，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的除法解出，由模长公式计算.
【详解】由解得，所以.
故选：C.
3. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求在处的导数值，即切线的斜率，再写出切线方程.
【详解】由题知，切线方程为，即，
故选：B.
4. “”是“直线与圆相交”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用圆心到直线的距离小于半径求出直线与圆相交时的的范围，再根据真子集关系可判断出结果.
【详解】因为圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
直线与圆相交等价于，解得，
因为，所以“”是“直线与圆相交”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
5. 某校读书节期间，共120名同学获奖（分金、银、铜三个等级），从中随机抽取24名同学参加交流会，若按高一、高二、高三分层随机抽样，则高一年级需抽取6人；若按获奖等级分层随机抽样，则金奖获得者需抽取4人．下列说法正确的是（ ）
A. 高二和高三年级获奖同学共80人B. 获奖同学中金奖所占比例一定最低
C. 获奖同学中金奖所占比例可能最高D. 获金奖的同学可能都在高一年级
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据分层抽样的比例关系计算得到答案.
【详解】对选项A：高二和高三年级获奖同学共，错误；
对选项B：不能确定银奖和铜奖的人数，错误；
对选项C：金奖人数为，银奖和铜奖的人数和为人，
故获奖同学中金奖所占比例不可能最高，错误；
对选项D：高一年级人数为，金奖人数为，故获金奖的同学可能都在高一年级，
正确；
故选：D
6. 已知函数的定义域为是偶函数，，在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据偶函数判断出的单调性及，把原不等式转化为即可解得.
【详解】因为是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，则.
因为在上单调递减，所以在上单调递增，
故等价于，解得.
故选：D
【点睛】(1)利用单调性解不等式通常用于： ①分段函数型不等式；②复合函数型不等式；③抽象函数型不等式；④解析式较复杂的不等式；
(2)解题的一般策略是：利用函数的单调性，将函数值的的大小关系转化为自变量的关系，解不等式即可．
7. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为，则它的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知直角圆锥的底面圆半径为r等于高h，再由直角圆锥的侧面积求出底面圆的半径，即可求出其体积.
【详解】设该直角圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，
因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以，.
因为直角圆锥的侧面积为，所以，解得，
所以该直角圆锥的体积为.
故选：B.
8. 已知函数f（x）＝ ，若∃x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2），则实数a的取值范围是（ ）
A. [2，3]∪（﹣∞，﹣5]B. （﹣∞，2）∪（3，5）
C. [2，3]D. [5，+∞）
【答案】B
【解析】
【分析】分类讨论，利用二次函数的单调性，结合∃x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2），即可求得实数a的取值范围.
【详解】当a＝0时，当x≤1时，f（x）＝﹣x2，当x＞1时，f（x）＝14，此时存在当x∈[﹣1，1]时，满足条件．
若a＞0，则当x＞1时，f（x）为增函数，且f（x）＞a2﹣7a+14，
当x≤1时，f（x）＝﹣x2+ax＝﹣（x﹣）2+，对称轴为x＝，
若＜1即a＜2时，则满足条件，
若≥1，即a≥2时，函数在（﹣∞，1]上单调递增，
要使条件成立则f（x）在（﹣∞，1]上的最大值f（1）＝﹣1+a＞a2﹣7a+14，
即a2﹣8a+15＜0，即3＜a＜5，∵a≥2，∴3＜a＜5，
综上3＜a＜5或a＜2，
故选B．
【点睛】本题考查分段函数的应用，结合一元二次函数的单调性以及对称性是解决本题的关键，注意分类讨论的数学思想，属于中档题.
二、多选题
9. 已知函数，则下列说法正确的是为（ ）
A. 的图像关于原点对称B.
C. 的值域为D. ，且，则恒成立
【答案】AC
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的定义和判定方法，可判定A正确，B不正确，结合指数函数的性质求得函数的值域，可判定C正确；根据函数的单调性的定义和判定方法，可判定D不正确.
【详解】由题意，函数的定义域为，关于原点对称，
又由，即，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以A正确，B不正确；
由，
因为，所以，所以，则，
所以，即函数的值域为，所以C正确；
任取且，
则
因为，所以，
即，所以，所以D 不正确.
故选：AC.
10. 已知双曲线的两个焦点分别为，且满足条件，可以解得双曲线的方程为，则条件可以是（ ）
A. 实轴长为4B. 双曲线为等轴双曲线
C. 离心率为D. 渐近线方程为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据双曲线实轴、离心率、渐近线方程等性质逐项分析即可.
【详解】设该双曲线标准方程为，则.
对于A选项，若实轴长为4，则，，符合题意；
对于B选项，若该双曲线为等轴双曲线，则，又，，
可解得，符合题意；
对于C选项，由双曲线离心率大于1知，不合题意；
对于D选项，若渐近线方程为，则，结合，可解得，符合题意，
故选：ABD.
11. 如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（ ）
A.
B.
C. 函数在上单调递减
D. 若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】令求得根据求得，根据求得的解析式，再逐项验证BCD选项.
【详解】令得，或，，
由图可知：，，，
所以，，
所以，所以，故A选项正确，
所以，由得，
所以，，
所以，，
所以，
，故B错误.
当时，，
因为在为减函数，故在上单调递减，故C正确；
将函数的图象沿轴平移个单位得，（时向右平移，时向左平移），
为偶函数得，，
所以，，则的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
12. 正方体的8个顶点分别在4个互相平行的平面内，每个平面内至少有一个顶点，且相邻两个平面间的距离为1，则该正方体的棱长为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】BD
【解析】
【分析】分类讨论两个平面的位置，作截面结合正方体的结构特征运算求解.
【详解】设该正方体为，且其棱长为，
若考虑4个平面中最中间的两个平面，共有两种情况.
①若中间的两个平面为平面和平面，如图1所示，
则过作截面，截面图如图2所示，
其中分别为中点，则，
设相邻两平面间距离即为A到的距离，
可得，解得，
即相邻两平面间距离即为A到的距离，
可知，解得；
②若中间的两个平面如图3所示，过作截面，截面图如图4所示，
其中分别为中点，则，
设相邻两平面间距离即为到的距离，
可得，解得，
即相邻两平面间距离即为到的距离，
则，解得；
故选：BD
【点睛】方法点睛：根据题意分类讨论平面的位置分布，结合正方体的结构特征以及截面分析求解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知角终边上一点的坐标为，则=____.
【答案】
【解析】
【分析】
先由三角函数定义求解出，再由二倍角公式算出.
【详解】因为，，
所以.
故答案为：
14. 若抛物线上一点A的横坐标为，且A到C的焦点的距离为，则A点的一个纵坐标为___________．（写出一个符合条件的即可）
【答案】或（写出一个符合条件的即可）
【解析】
【分析】根据抛物线的几何性质运算即可得出，根据点A的横坐标代入抛物线从而可求出答案.
【详解】因为准线方程为，所以，
所以，所以，
点A的横坐标为，
所以A点的纵坐标为．
故答案为：或.（写出一个符合条件的即可）
15. 已知直线与是曲线的两条切线，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，两条切线必过原点，进而利用切线方程的公式，分别计算出，可得答案.
【详解】由已知得，曲线的切线过，且，曲线为，
设，直线在曲线上的切点为，
，切线：，
又切线过，，
∴，，
同理取，曲线为，
设，直线在曲线上的切点为，
，切线：，
又切线过，，，
∴，
故答案为：.
16. 在矩形中，，将沿向上折起到的位置，得到四面体. 当四面体的体积最大时，异面直线与所成角的余弦值为____.
【答案】
【解析】
【分析】
当平面平面时，四面体的体积最大,求得，，利用余弦定理得解
【详解】如图，当平面平面时，四面体的体积最大.
过作于，则平面
因为，所以，
因为，所以或它的补角为异面直线与所成的角.
因为，
所以异面直线与所成角的余弦值为
故答案为：.
【点睛】本题当平面平面时，四面体的体积最大是破题的关键，属于基础题.
四、解答题
17. 已知数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用累加法求得数列数列的通项公式；（2）根据错位相减法求得数列的前项和.
【详解】（1）
从而有：，…………
叠加可得：，
又满足等式，从而
（2），①
②
①-②得：
即有：.
18. 在中，内角所对的边分别为，设满足条件和，
（1）求角和；
（2）若，求的面积；
（3）求．
【答案】（1），；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）先利用余弦定理求出，结合条件利用正弦定理化边为角可得答案；
（2）求出，利用三角形面积公式可得答案；
（3）先根据倍角公式求出，再利用两角和的余弦公式可求答案.
【小问1详解】
由余弦定理得，
因为，所以．
由已知条件，应用正弦定理
，
即，
所以．
【小问2详解】
因为，所以，
所以．
【小问3详解】
因为，
所以，又，
所以，
所以．
因为，
所以．
19. 全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强．某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入x（单位：万元）进行调查，并绘制得到如下图所示的频率分布直方图．

（1）求这2000户农户家庭年收入的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间中点值代表）．
（2）由直方图可认为农户家庭年收入近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
①估计这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数？（结果保留整数）
②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，即年收入不超过9.52万元的农户家庭数为，求．（结果精确到0.001）
附：①；②若，则，；③．
【答案】（1），
（2）①317户；②
【解析】
【分析】（1）由平均数和方差的计算公式求解即可；
（2）①根据正态分布的对称性得出，进而得出所求户数；②年收入不超过9.52万元的农户家庭数服从二项分布，根据二项分布的概率公式求解即可.
【小问1详解】
这2000户农户家庭年收入的样本平均数
.
这2000户农户家庭年收入的样本方差
.
【小问2详解】
①农户家庭年收入近似服从正态分布.
因为，所以.
因为，
所以这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数为317.
②年收入不超过9.52万元的农户家庭数服从二项分布.
所以.
20. 如图，在三棱锥中，平面平面，且，，点在线段上，点在线段上.
（1）求证：；
（2）若平面，求的值；
（3）在（2）的条件下，求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据三角形全等，可证明线线垂直，进而可得线面垂直，进而可求证，
（2）建立空间直角坐标系，利用向量即可求解.或者利用空间垂直关系的转化即可结合三角形的边角关系求解.
（3）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.
【小问1详解】
证明：过作直线于，连接.
由题知，
，即，
又平面,平面，
又平面，
，即
【小问2详解】
方法一：平面平面，平面平面，
平面平面.
以为原点，以的长度为单位长度，以的方向分别为轴，轴，的正
方向建立空间直角坐标系，如图，则.
平面.
为中点，由题知
设，
，
，
又在中，，
所以.
方法二：平面.设，由知，.
平面平面，平面平面平面，
平面，又平面，又，
平面.
【小问3详解】
由（2）知，平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则令则，
，
平面与平面所成角的余弦值为.
21. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，M为椭圆C上的一个动点，且点M到右焦点距离的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过点的直线l交椭圆C于A，B两点，当的面积最大时，求此时直线l的方程．
【答案】（1）
（2）或．
【解析】
【分析】（1）根据题意，由椭圆几何性质可得、，结合求出a、b即可求解；
（2）设直线l的方程为，，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示、，根据弦长公式表示，结合基本不等式计算即可求解.
【小问1详解】
椭圆C的离心率为，
又点M到右焦点距离的最大值为，即，
解得，．
又由，可得．
∴椭圆C的方程为：．
【小问2详解】
由题意，设直线l的方程为，
联立得，
设，，
则，，
，
当且仅当即时取等号．
∴所求直线l的方程为或．
22. 已知，．
（1）求在点的切线方程；
（2）设，，判断的零点个数，并说明理由．
【答案】（1）
（2）存在唯一零点，理由见解析
【解析】
【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程即可；
（2）先根据题意得到，再分，，三种情况讨论，结合构造函数，二次求导，零点存在性定理即可得到结论．
【小问1详解】
由，，
则，
所以，，
所以在点的切线方程为．
小问2详解】
依题意得，
①当时，因为，，所以，即无零点；
②当时，，，
因为，，所以，即在上递减，
令，，
则，，
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增，则，
所以当，，即；
当，，即，即，
则，，
所以存在，使得在上递增，在上递减，
又，所以，而，
所以在上存在唯一零点；
③当时，设，则，，
因为，所以，即在上递减，
又，，
所以存在，使得在上递增，在上递减，
又，，
所以存在，使得在上递增，在上递减，
又，，所以在上递增，所以，
所以上无零点，
综上可知，在上存在唯一零点．
【点睛】关键点点睛：涉及函数零点问题，利用导函数研究函数的单调性，极值和最值情况，结合零点存在性定理是解答这类题的关键．