2023-2024学年甘肃省定西市陇西县巩昌中学八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省定西市陇西县巩昌中学八年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，不是轴对称图形，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.有两根长度分别是3cm和5cm的木棒，从下列长度的木棒与它们摆成一个三角形的是( )
A. 2cmB. 5cmC. 8cmD. 11cm
3.下列计算错误的是( )
A. a3⋅a2=a5B. a3+a3=2a3C. (2a)3=6a3D. a8÷a4=a4
4.如果把分式x+yxy中的x，y都扩大为原来的6倍，那么分式的值( )
A. 不变B. 是原来的6倍C. 是原来的16D. 是原来的13
5.如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA，过点D作DE⊥BC交AB于点E，则有( )
A. DE=DBB. DE=AEC. AE=BED. AE=BD
6.若5x+1=A−2x−3x+1，则A是( )
A. −3B. 2C. 3D. −2
7.1纳米等于0.000000001米，则用科学记数法表示为( )
A. 1×10−9米B. 1×10−7米C. 1×10−10米D. 1×10−8米
8.若分式x2−4x的值为0，则x的值是( )
A. 2或−2B. 2C. −2D. 0
9.今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：−3xy(4y−2x−1)=−12xy2+6x2y+□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内上应填写( )
A. 3xyB. −3xyC. −1D. 1
10.如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE/​/BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是
( )
①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD=CE．
A. ③④B. ①②C. ①②③D. ②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.五边形的内角和为______度．
12.若点P(m+1,3)与点Q(1,n−2)关于x轴对称，则m−n= ______ ．
13.已知x2+kx+9是完全平方式，则k=______．
14.如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC=7，BC=4，则△BEC的周长为______ ．
15.若ax=2，ay=3，则a2x+y=______．
16.如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是(1,2)，则经过第2022次变换后点A的对应点的坐标为______ ．
三、解答题：本题共11小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
计算：327− 4−(13)−1+(−2020)0．
18.(本小题4分)
分解因式：
(1)x2y−4xy+4y；
(2)x2−4y2．
19.(本小题6分)
解方程
(1)2−xx−3=33−x；
(2)4x2−1+1=x−1x+1．
20.(本小题6分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．
(1)尺规作图：作∠CAB的角平分线，交CD于点P，交BC于点Q；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)若∠ABC=52°，求∠CPQ的度数．
21.(本小题6分)
如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，AF=DE，AF与DE交于点G，求证：△EFG是等腰三角形．
22.(本小题6分)
先化简a−3a2−4÷(1−5a+2)，然后从−2，−1，0，1，2中选择一个恰当的数代入求值．
23.(本小题7分)
如图坐标系中，A(−3,2)，B(−4,−3)，C(−1,−1)．
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)写出点△A1，B1，C1的坐标(直接写答案)：
A1 ______ ；
B1 ______ ；
C1 ______ ；
(3)求出△A1B1C1的面积．
24.(本小题7分)
科技创新加速中国高铁技术发展，某建筑集团承担一座高架桥的铺设任务，在合同期内高效完成了任务，这是记者与该集团工程师的一段对话：
记者：你们是用9天完成4800米长的高架桥铺设任务的？
工程师：是的，我们铺设600米后，采用新的铺设技术，这样每天铺设长度是原来的2倍．
通过这段对话，请你求出该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度．
25.(本小题8分)
整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式(x2+2x)(x2+2x+2)+1进行因式分解的过程.将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x=y，则原式=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2，再将“y”还原即可．
解：设x2+2x=y，
原式=y(y+2)+1
=y2+2y+1
=(y+1)2 =(x2+2x+1)2．
问题：
(1)该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果 ；
(2)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2−4x)(x2−4x+8)+16进行因式分解．
26.(本小题8分)
如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，BC、DE分别是这两个等腰三角形的底边，且∠BAC=∠DAE．
(1)求证：BD=CE；
(2)连接DC.如果CD=CE，试说明直线AD垂直平分线段BC．
27.(本小题10分)
阅读材料：

如图①，在△ABC中，∠B=60°，若AB=2BC，则有∠C=90°；
利用以上结论解决问题：
如图②，等边△ABC的边BC长为20cm，动点P从点B出发，以每秒1cm的速度向点A移动，动点Q从点A出发，以每秒2cm的速度向点C移动，两动点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止移动.设动点P的移动时间为t秒．
(1)填空：∠A= ______ (度)；t的取值范围是______ ；
(2)试求当t取何值时，△APQ的形状是等边三角形；
(3)试求当t取何值时，△APQ的形状是直角三角形．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】B
【解析】解：设第三根木棒的长为l cm，则5−3故选：B．
设第三根木棒的长为l cm，再根据三角形的三边关系得出l取值范围即可．
本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．
3.【答案】C
【解析】解：A、a3⋅a2=a5，故A不符合题意；
B、a3+a3=2a3，故B不符合题意；
C、(2a)3=8a3，故C符合题意；
D、a8÷a4=a6，故D不符合题意；
故选：C．
利用同底数幂的乘法的法则，合并同类项的法则，积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】C
【解析】解：把分式中的x和y都扩大6倍，
分子扩大了6倍，分母扩大了36倍，
分式的值是原来的16．
故选：C．
根据分式的基本性质，可得答案．
本题考查了分式的基本性质，能够正确利用分式的基本性质变形是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：连接CE，
∵DE⊥BC，∠A=90°，
∴∠A=∠CDE=90°，
在Rt△CAE和Rt△CDE中，
CE=CEAC=CD，
∴Rt△CAE≌Rt△CDE(HL)，
∴AE=DE，故B选项正确；
在Rt△BED中，BE>DE，即BE>AE，故C选项错误；
根据已知不能得出BD=DE，故A选项错误；
根据已知不能得出BD=DE，由DE=AE，即不能推出BD=AE，故D选项错误．
故选：B．
推出∠A=∠CDE=90°，根据HL推出Rt△CAE≌Rt△CDE，根据全等三角形的性质即可判断各项．
本题考查了全等三角形的性质和判定，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等，三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
6.【答案】B
【解析】解：∵5x+1=A−2x−3x+1，
∴A=5x+1+2x−3x+1=5+2x−3x+1=2(x+1)x+1=2．
故选：B．
根据题意得出关于A的等式，求出A的值即可．
本题考查的是分式的加减法，熟知同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：0.000000001米=1×10−9米．
故选：A．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，掌握表示形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵分式x2−4x的值为0，
∴x2−4=0，
解得：x=2或−2．
故选：A．
直接利用分式的值为零则分子为零进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查单项式乘多项式，属于基础题．
先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论．
【解答】
解：∵左边=−3xy(4y−2x−1)
=−12xy2+6x2y+3xy．
右边=−12xy2+6x2y+□，
∴□内上应填写3xy．
故选A．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的判定与性质及角平分线的定义及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．
由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质证明．
【解答】
解：∵DE/​/BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，
∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，
∴∠FBC=∠DBF，∠FCE=∠FCB，
∴∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，
∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．故①正确．
∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC，故②正确．
∴△ADE的周长AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC.故③正确．
无法证明BD=CE，故④错误．
故选C．
11.【答案】540
【解析】【分析】
本题考查多边形的内角和公式，根据n边形内角和公式为(n−2)·180°，把n=5代入可求五边形内角和即可．
【解答】
解：五边形的内角和为：(5−2)×180°=540°
故答案为540．
12.【答案】1
【解析】解：∵点P(m+1,3)与点Q(1,n−2)关于x轴对称，
∴m+1=1，n−2=−3，
解得：m=0，n=−1，
那么m−n=0−(−1)=0+1=1，
故答案为：1．
关于x轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此即可求得m，n的值，然后将其代入m−n中计算即可．
本题考查关于x轴对称的点的坐标特征，结合已知条件求得m，n的值是解题的关键．
13.【答案】±6
【解析】解：因为x2+kx+9是完全平方式，
所以kx=±2·x·3，
所以k=±6．
故答案为：±6．
这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，据此解答即可．
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
14.【答案】11
【解析】解：∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∵AC=7，BC=4，
∴△BEC的周长=BC+CE+EB=BC+CE+EA=BC+AC=4+7=11，
故答案为：11．
根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
15.【答案】12
【解析】解：因为ax=2，ay=3，
所以a2x+y=a2x⋅ay，
=(ax)2⋅ay，
=4×3，
=12．
根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可．
本题主要考查了幂的有关运算．幂的乘方法则：底数不变指数相乘．同底数幂的乘法法则：底数不变指数相加．
16.【答案】(−1,−2)
【解析】解：点A第一次关于y轴对称后在第二象限，
点A第二次关于x轴对称后在第三象限，
点A第三次关于y轴对称后在第四象限，
点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2022÷4=505余2，
∴经过第2022次变换后所得的A点与第二次变换的位置相同，在第三象限，坐标为(−1,−2)．
故答案为：(−1,−2)．
观察图形可知每四次对称为一个循环组，依次循环，用2022除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，解答即可．
本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．
17.【答案】解：327− 4−(13)−1+(−2020)0
=3−2−3+1
=−1．
【解析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：(1)x2y−4xy+4y
=y(x2−4x+4)
=y(x−2)2；
(2)x2−4y2=(x+2y)(x−2y)．
【解析】(1)此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解；
(2)根据平方差公式计算即可求解．
本题考查了提公因式法与公式法综合运用，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
19.【答案】解：(1)去分母，得2−x=−3，
解得x=5，
经检验，x=5是原分式方程的解．
(2)去分母，得4+x2−1=(x−1)2，
解得x=−1，
经检验，x=−1是原分式方程的解．
【解析】(1)根据分式方程的解法解答；
(2)先因式分解再去分母．
本题考查了分式方程，熟悉分式方程的解法并进行检验是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，射线AQ即为所求；

(2)∵∠ACB=90°，∠B=52°，
∴∠CAB=26°，
∵AQ平分∠ACB，
∴∠CAQ=12∠CAB=13°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=52°，
∴∠CPQ=∠CAQ+∠ACD=13°+52°=65°，
即∠CPQ的度数为65°．
【解析】(1)根据要求作出图形即可；
(2)求出//CAQ，∠ACD，可得结论．
本题考查作图−基本作图，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
在△ABF和△DCE中，
AB=DCBF=CEAF=DE，
∴△ABF≌△DCE(SSS)，
∴∠AFB=∠DEC，
∴GE=GF，即△EFG是等腰三角形．
【解析】先证明BF=CE，再利用SSS证明△ABF≌△DCE，从而得到∠AFB=∠DEC，由此即可证明结论．
本题主要考查了等角对等边，全等三角形的性质与判定，证明△ABF≌△DCE得到∠AFB=∠DEC是解题的关键．
22.【答案】解：原式=a−3(a+2)(a−2)⋅a+2a−3=1a−2，
根据分式有意义的条件，可知a≠2，a≠−2，a≠3，
即当a=−1时，原式=1a−2=−13，
当a=0时，原式=−12，
当a=1时，原式=−1．
即化简的结果为：1a−2，分式的值为−13或−12或−1．
【解析】先根据分式的混合运算法则将分式化简，再结合分式有意义的条件选取一个a的值，代入求解即可．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23.【答案】(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)(3,2)；(4,−3)；(1,−1)
(3)△A1B1C1的面积为：3×5−12×2×3−12×1×5−12×2×3=6.5．
【解析】解：(1)见答案；
(2)由图可知，A1(3,2)，B1(4,−3)，C1(1,−1)．
故答案为：(3,2)，(4,−3)，(1,−1)．
(3)见答案．
(1)分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；
(2)根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标即可；
(3)利用长方形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．
本题考查的是作图−轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
24.【答案】解：设该建筑集团原来每天铺设高架桥x米，则采用新的铺设技术后每天铺设高架桥2x米，
依题意得：600x+4800−6002x=9，
解得：x=300，
经检验，x=300是原分式方程的解，且符合题意．
答：该建筑集团原来每天铺设高架桥300米．
【解析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设该建筑集团原来每天铺设高架桥x米，则采用新的铺设技术后每天铺设高架桥2x米，根据工作时间=工作总量÷工作效率，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
25.【答案】解：(1)(x+1)4 ；
(2)设x2−4x=y，
原式=y(y+8)+16
=y2+8y+16
=(y+4)2
=(x2−4x+4)2
=(x−2)4．
【解析】【分析】
本题考查了因式分解−公式法的综合运用，理解例题的解题思路是解题的关键．
(1)利用完全平方公式继续分解，即可解答；
(2)按照例题的解题思路，进行计算即可解答．
【解答】
解：(1)该同学没有完成因式分解，
设x2+2x=y，
原式=y(y+2)+1
=y2+2y+1
=(y+1)2
=(x2+2x+1)2
=(x+1)4，
故答案为：(x+1)4；
(2)见答案．
26.【答案】解：(1)∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE．
(2)由(1)知△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∵CD=CE，
∴CD=BD，
∴点D在BC的中垂线上，
∵AB=AC，
∴点A在BC的中垂线上，
∴AD垂直平分线段BC．
【解析】(1)由△ABC和△ADE都是等腰三角形且∠BAC=∠DAE知AB=AC、AD=AE、∠BAD=∠CAE，证△ABD≌△ACE即可得证；
(2)由(1)知BD=CE，结合CD=CE知CD=BD，据此可得点D在BC的中垂线上，根据AB=AC知点A在BC的中垂线上，从而得出AD垂直平分线段BC．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质与全等三角形的判定和性质、线段的中垂线的性质．
27.【答案】60 0≤t≤10
【解析】解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，AB=AC=20cm；
∵动点Q的速度大于动点P的速度，
∴动点Q先于动点P到达终点，点Q到达终点的时间为：
20÷2=10(秒)，
∴t的范围为：0≤t≤10；
故答案为：60，0≤t≤10；
(2)∵∠A=60°，
当AP=AQ时，△APQ的形状是等边三角形，如图②，
由题意得：
BP=t cm，AQ=2t cm，
∴AP=AB−BP=(20−t)cm；
∴20−t=2t，
解得：t=203，
即当t为203秒时，△APQ的形状是等边三角形；
(3)当AP=2AQ或AQ=2AP时，
∵∠A=60°，
∴由题目材料结论知，△APQ的形状是直角三角形；
如图③，
当AP=2AQ，即20−t=2×2t，
解得：t=4；
如图④，
AQ=2AP时，即2t=2(20−t)，
解得：t=10；
综上，当t的值为4或10时，△APQ的形状是直角三角形．
(1)由等边三角形的性质即可得∠A的度数；动点Q的速度大于动点P的速度，所以动点Q先于动点P到达终点，由点Q的速度及运动距离即可求得其到达终点的时间，从而确定t的范围；
(2)当AP=AQ时，△APQ的形状是等边三角形，据此求出此时t的值即可；
(3)分两种情况：AP=2AQ时；AQ=2AP时，由此建立方程即可求得t的值．
本题是动点问题，考查了等边三角形的性质与判定，解一元一次方程等知识，正确理解阅读材料、掌握判断直角三角形的方法是解题的关键．