2023-2024学年天津市南开区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市南开区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管.目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为( )
A. 1.4×10−8B. 14×10−7C. 0.14×10−6D. 1.4×10−9
3.下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. (x−1)2=x2−1B. ax+ay=a(x+y)+1
C. x2−x=x(x−1)D. (a−1)(a−2)=a2−3a+2
4.若分式|x|−22−x的值为0，则x应满足的条件是( )
A. x≠2B. x≠−2C. x=2D. x=−2
5.下列运算正确的是( )
A. x−2÷x5=x−3B. (x3y2)−2=y4x5C. (x−1y2)3=x3y6D. x2÷x8=1x6
6.下列各式从左到右的变形，一定正确的是( )
A. ba=b2a2B. ba=b+1a+1
C. ba=aba2D. −b+1a=−b+1a
7.已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且满足|a−2|+b2−12b+36=0，那么这个等腰三角形的周长为( )
A. 14B. 10C. 14或10D. 8
8.图1所示的是一把木工台锯时使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度.在图2的六角尺示意图中，x的值为( )
A. 135B. 120C. 112.5D. 112
9.如图，点A、D在线段BC的同侧，连接AB、AC、DB、DC，已知∠ABC=∠DCB，老师要求同学们补充一个条件使△ABC≌△DCB.以下是四个同学补充的条件，其中错误的是( )
A. ∠A=∠DB. AC=DB
C. AB=DCD. ∠ABD=∠DCA
10.如图，在△ABC中，∠A=30°，AB=BC，点D，E分别在边AB，AC上，若沿直线DE折叠，点A恰好与点B重合，且CE=8，则AC的长为( )
A. 12B. 11C. 10D. 9
11.学校要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台.已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛.学生会提出两个方案：
方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台(阴影部分)，舞台的面积记为S1；
方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台(阴影部分)，舞台的面积记为S2；
具体数据如图所示.则下列说法一定正确的是( )
A. S1=(a−b)2B. S2=a2−b2C. S1S2=a+ba−bD. S1−S2=b2
12.如图，△ABC中，∠CAB=∠CBA=48°，点O为△ABC内一点，∠OAB=12°，∠OBC=18°，则∠ACO=( )
A. 60°B. 72°C. 70°D. 65°
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.计算(3−π)0=______．
14.已知点P(a+2,−2)和点Q(4,b)关于x轴对称，则ab= ______ ．
15.如果x2+kx+81是一个完全平方式，那么k的值为______ ．
16.如图，△ABC中，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，且AF=FD=DE.若BC=6，则AC= ______ ．
17.2001年、2002年、2003年某地的森林面积分别是S1，S2，S3，2003与2002年相比，森林面积增长率提高了______ ．
18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，点D是AB边上任意一点，点E是BC边上任意一点.若点F在AC边上，使FD+FE最小.请用无刻度的直尺在如图所示的网格中，画出点F，并简要说明点F的位置是如何找到的(不要求证明) ______ ．
三、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
按要求答题：
(1)分解因式：m2(n−3)+4(3−n)；
(2)分解因式：(p−3)(p−1)+1；
(3)先化简，再求值：(2x+1x+1+x−1)÷x+2x2+2x+1，其中x满足x2+x+14=0．
20.(本小题5分)
解分式方程：x+14(x−1)=23x−3−1．
21.(本小题6分)
如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°．
(1)尺规作图：作∠B的角平分线BD，交AC于点D(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)判断△DBC是否为等腰三角形，并说明理由．
22.(本小题6分)
已知，点A，D，C，E在同一直线上，AD=CE，BC=EF，AB=DF，BC与DF相交于点G．
(1)如图1，求证：∠ACB=∠DEF；
(2)如图2，连接CF，若∠BCF=39°，且GC=GF，求∠DFE的度数．
23.(本小题7分)
一艘轮船在静水中的最大航速为20km/h，它以最大航速沿江顺流航行100km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，求江水的流速．
(1)设江水的流速为x km/h，利用速度、时间、路程之间的关系填写表格：
(2)列方程，并求出问题的解．
24.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，点A(−4,0)，点B(4,0)均在坐标轴上，点C是y轴负半轴上的一动点，连接CA，CB．
(1)若△ABC的面积为16，在线段AC上存在点D(m,m)；
①如图1，填空：△AOC的面积为______ ，点D的坐标为______ ；
②如图2，点P在y轴负半轴上，连接PD，BD，若PD=BD，求点P的坐标；
(2)如图3，若CA=AB，在第四象限内有一动点Q，连接QA，QB，QC，且∠CQA=60°.求证：CQ+BQ=AQ．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A选项是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B选项是轴对称图形，故此选项正确不符合题意；
C选项是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D选项不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
根据轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】A
【解析】解：0.000000014=1.4×10−8．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】C
【解析】解：A.(x−1)2=x2−2x+1，是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意；
B.ax+ay=a(x+y)+1，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项不符合题意；
C.x2−x=x(x−1)，把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项符合题意；
D.(a−1)(a−2)=a2−3a+2，是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意．
故选：C．
根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解的意义．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
4.【答案】D
【解析】解：依题意得|x|−2=0且2−x≠0，
解得x=−2．
故选：D．
分式为零时，分子等于零且分母不等于零．
本题考查了分式的值为零的条件．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
5.【答案】D
【解析】解：A、x−2÷x5=x−2−5=x−7，故本选项计算错误，不符合题意；
B、(x3y2)−2=x−6y−4=y4x6，故本选项计算错误，不符合题意；
C、(x−1y2)3=x−3y6，故本选项计算错误，不符合题意；
D、x2÷x8=x2−8=x−6=1x6，本选项计算正确，符合题意；
故选：D．
根据分式的乘除法法则、负整数指数幂计算，判断即可．
本题考查的是分式的乘除法，掌握负整数指数幂的运算法则、分式的乘除法法则是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A.∵分子与分母应同乘以一个不为0的整式，分式的值不变，
∴原式变形错误，故此选项不符合题意；
B.不符合分式的基本性质，原变形错误，故此选项不符合题意；
C.原变形正确，故此选项符合题意；
D.不符合分式的基本性质，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据分式的基本性质进行判断．
本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是关键．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意得，|a−2|=0，b2−12b+36=0，
∴a=2，b=6，
当a=2是腰时，三边分别为2、2、6，不能组成三角形；
当b=6是腰时，三边分别为6、6、2，能组成三角形，
周长为：6+6+2=14．
所以等腰三角形的周长为14．
故选：A．
首先根据非负数的性质即可得到关于a、b的方程组，接下来解方程组即可求出a、b的值，再分类讨论，可得结论．
本题考查非负数的性质，等腰三角形的性质等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想解决问题．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意得：x+x+9+126+120+2x−120+135=(6−2)×180，
∴x=112.5，
故选：C．
多边形内角和定理：(n−2)⋅180° (n≥3且n为整数)，由此即可计算．
本题考查多边形的有关知识，关键是掌握多边形的内角和定理．
9.【答案】B
【解析】解：A、补充∠A=∠D，可根据AAS判定△ABC≌△DCB，故A正确；
B、补充AC=DB，SSA不能判定△ABC≌△DCB，故B错误；
C、补充AB=DC，可根据SAS判定△ABC≌△DCB，故C正确；
D、补充∠ABD=∠DCA，可根据ASA判定△ABC≌△DCB，故D正确．
故选：B．
因为∠ABC=∠DCB，BC共边，对选项一一分析，选择正确答案．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
10.【答案】A
【解析】解：∵AB=BC，
∴∠A=∠C=30°．
∴∠ABC=180°−∠A−∠C=180°−30°−30°=120°．
由折叠可知，
∠EBA=∠A=30°，AE=BE，
∴∠EBC=∠ABC−∠ABE=120°−30°=90°，
∴CE=2BE，
∴BE=12CE=4，
∴AE=4．
AC=AE+CE=4+8=12．
故选：A．
根据等腰三角形性质得到∠C=30°，再根据三角形内角和是180°得到∠ABC=120°，然后由折叠可知∠EBA=∠A=30°，AE=BE，最后利用直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半解答即可．
本题考查了翻折问题，熟练运用等腰三角形与含30度角直角三角形的性质是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：如图1，S1=a2−b2，
∴S1≠(a−b)2，
故A错误；
如图2，S2=(a2+b+a2)(a−b)−b2=a2−2b2，
∴S2≠a2−b2，
故B错误；
∴S2S2=a2−b2a2−2b2≠a+ba−b，S1−S2=a2−b2−(a2−2b2)=b2，
故C错误，D正确，
故选：D．
由图1得S1=a2−b2，可判断A错误；由图2得S2=(a2+b+a2)(a−b)−b2=a2−2b2，可判断B错误；由S2S2=a2−b2a2−2b2≠a+ba−b，S1−S2=a2−b2−(a2−2b2)=b2，可判断C错误，D正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、正方形的面积公式、整式的乘除等知识，正确地用含a、b的代数式表示S1、S2是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，延长BO交CD与点P，连接AP，
∵∠OBC=18°，∠CBA=48°，
∴∠ABP=∠CBA−∠OBC=30°，
∵∠CAB=∠CBA=48°，
∴CA=CB，
∵CD⊥AB，
∴CD是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA=30°，
∴∠CAP=∠CAB−∠PAB=18°，
∵∠AOP是△AOB的一个外角，
∴∠AOP=∠OAB+∠OBA=42°，
∵∠CDA=90°，
∴∠ACD=90°−∠CAD=42°，
∴∠AOP=∠ACD，
∵∠PAB=30°，∠OAB=12°，
∴∠PAO=∠PAB−∠OAB=18°，
∴∠CAP=∠OAP，
∵AP=AP，
∴△ACP≌△AOP(AAS)，
∴AC=AO，
∵∠CAO=∠CAP+∠OAP=36°，
∴∠ACO=∠AOC=72°，
故选：B．
根据已知易证CA=CB，所以想到等腰三角形的三线合一性质，过点C作CD⊥AB，垂足为D，延长BO交CD与点P，然后连接AP，易证∠CAP=∠CBP=18°，从而求出∠PAO=18°，再利用三角形的外角求出∠POA的度数，放在直角三角形中求出∠ACP的度数，进而证△ACP≌△AOP，可得AC=AO，最后放在等腰三角形ACO中求出∠ACO即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质，利用等腰三角形的三线合一性质添加辅助线是解题的关键．
13.【答案】1
【解析】解：(3−π)0=1，
故答案为：1．
直接利用零指数幂：a0=1(a≠0)求解可得．
本题主要考查零指数幂，解题的关键是掌握零指数幂：a0=1(a≠0)．
14.【答案】4
【解析】解：∵点P(a+2,−2)和点Q(4,b)关于x轴对称，
∴a+2=4，b=2，
∴a=2，
则ab=22=4．
故答案为：4．
直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
15.【答案】±18
【解析】解：∵x2+kx+81是一个完全平方式，
∴k=±18．
故答案为：±18．
根据两数的平方和加上或减去两数积的2倍，等于两数和或差的平方判断，即可求出k的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16.【答案】3
【解析】解：∵AF=FD，CF⊥AD于点F，
∴AC=CD，
在△BDE和△CDF中，
∠E=∠CFD=90°DE=FD∠BDE=∠CDF，
∴△BDE≌△CDF(ASA)，
∴BD=CD，
∵BC=6，
∴CD=3，
∴AC=3，
故答案为：3．
根据线段垂直平分线的判定与性质求出AC=CD，利用ASA证明△BDE≌△CDF，根据全等三角形的性质及等量代换求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】S3S1−S22S1S2
【解析】解：2002年的增长率是：S2−S1S1，
2003年的增长率是：S3−S2S2，
则森林面积增长率提高：S3−S2S2−S2−S1S1=S3S1−S22S1S2．
故答案为：S3S1−S22S1S2．
分别表示出两年的增长率，然后求差，进行分式的减法运算即可．
本题考查了分式的减法运算，正确理解增长率的意义是关键．
18.【答案】构造菱形ABCT，连接DT交AC于点G，连接BG，延长BG交AT于点D′，连接ED′交AC于点F，连接DF，点F即为所求
【解析】解：如图，点F即为所求．
方法：构造菱形ABCT，连接DT交AC于点G，连接BG，延长BG交AT于点D′，连接ED′交AC于点F，连接DF，点F即为所求．
故答案为：构造菱形ABCT，连接DT交AC于点G，连接BG，延长BG交AT于点D′，连接ED′交AC于点F，连接DF，点F即为所求．
利用轴对称的性质解决问题即可．
本题考查作图−复杂作图，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】解：(1)m2(n−3)+4(3−n)
=m2(n−3)−4(n−3)
=(n−3)(m2−4)
=(n−3)(m+2)(m−2)；
(2)(p−3)(p−1)+1
=p2−p−3p+3+1
=p2−4p+4
=(p−2)2；
(3)原式=[2x+1x+1+(x+1)(x−1)x+1]⋅(x+1)2x+2
=2x+1+x2−1x+1⋅(x+1)2x+2
=x(x+2)x+1⋅(x+1)2x+2
=x(x+1)
=x2+x，
∵x2+x+14=0，
∴x2+x=−14，
∴原式=−14．
【解析】(1)先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可；
(2)利用公式法进行因式分解即可；
(3)先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据x2+x+14=0进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值及因式分解，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
20.【答案】解：原方程去分母得：3(x+1)=8−12(x−1)，
去括号得：3x+3=8−12x+12，
移项，合并同类项得：15x=17，
系数化为1得：x=1715，
检验：x=1715是原方程的解，
故原方程的解为x=1715．
【解析】利用解分式方程的步骤解方程即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图所示：
BD即为所求；
(2)∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°−36°)÷2=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∴∠BDC=∠ABD+∠A=36°+36°=72°，
∴BD=BC，
∴△DBC是等腰三角形．
【解析】(1)以B为圆心，以任意长为半径画弧交AB、AC于两点，再以这两点为圆心，以大于这两点的距离的一半为半径画弧，交于一点，过这点和B作线段BD即可；
(2)由∠A=36°，求出∠C、∠ABC的度数，能求出∠ABD和∠CBD的度数，即可求出∠BDC，根据等角对等边即可推出答案．
本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，角平分线的性质，作图与基本作图等知识点，解此题的关键是能正确画图和求出∠C、∠BDC的度数．
22.【答案】(1)证明：∵AD=CE，
∴AD+CD=CE+CD，
即AC=DE，
在△ABC和△DFE中，
AB=DFAC=DEBC=EF，
∴△ABC≌△DFE(SSS)；
(2)解：∵∠BCF=39°，GC=GF，
∴∠GFC=∠GCF=39°，
∴∠DGC=∠GCF+∠GFC=78°，
∵△ABC≌△DFE，
∴∠A=∠FDE，∠B=∠DFE，
∴AB/​/DF，
∴∠B=∠DGC=78°，
∴∠DFE=78°．
【解析】(1)根据线段的和差可得AC=DE，再由SSS证明△ABC≌△DFE即可；
(2)先根据等腰三角形的性质、三角形的外角可得∠DGC=78°，由平行线的性质可得∠B=∠DGC，最后由全等三角形的性质可得结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
23.【答案】(20+x) 10020+x (20−x) 6020−x
【解析】解：(Ⅰ)由题意可得：根据题意可得顺水速度为(30+x)km/h，逆水速度为(30−x)km/h
所用时间(h)分别为：10020+x，6020−x；
故答案为：(20+x)，10020+x，(20−x)，6020−x；
(Ⅱ)设江水的流速为v km/h，
根据题意得：10020+x=6020−x，
90(30−x)=60(30+x)，
解得：x=5．
经检验，x=5是原方程的解．
答：江水的流速为5km/h．
(I)根据题意可得顺水速度为(30+x)km/h，逆水速度为(30−x)km/h，进而得出答案；
(Ⅱ)根据题意可得等量关系：以最大航速沿江顺流航行90km所用时间=以最大航速逆流航行60km所用时间，根据等量关系列出方程求解即可．
此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，表示出顺水和逆水行驶速度，找出题目中等量关系，然后列出方程．
24.【答案】8 (−2,−2)
【解析】(1)解：①过点D作DE⊥OA于点E，OF⊥y轴于点F，
∵点A(−4,0)，点B(4,0)均在坐标轴上，
∴OA=OB=4，
∴AB=8，
∵△ABC的面积为16，
∴OC=2×16AB=4，
则C(0.−4)，
∴S△AOC=12AO×OC=12×4×4=8，
∵D(m,m)，
∴DE=FH=−m，
又∠AED=∠CFD=90°，∠EAD=∠FCD=45°，
∴△ADE≌△CHD(AAS)，
∴AD=DC，
∵点A(−4,0)，点B(4,0)，
∴D(−2,−2)，
故答案为：8；(−2,−2)；
②如图所示，过点D作MN/​/y轴，交x轴于点N，过点P作PM⊥MN于点M，
∵点D(−2,−2)，
∴MP=DN=2，
又PD=BD，
∴Rt△BDN≌Rt△DPM(HL)，
∴DM=BN=6，MP=DN=2，
∴MN=MD+DN=8，
∴P(0,−8)；
(2)证明：∵OA=OB，CO⊥AB，
∴CA=CB，
又∵CA=AB，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，
如图所示，在AQ上取点E，QE=CQ，
∵∠CQA=60°，
则△CQE是等边三角形，
∴CQ=CE，∠ECQ=60°，
∴∠ACE=∠BCQ=60°−∠ECB，
在△ACE和△BCQ中，
AC=BC∠ACE=∠BCQCE=CQ，
∴△ACE≌△BCQ(SAS)
∴AE=BQ，
∴AQ=AE+EQ=BQ+CQ．
(1)①过点D作DE⊥OA于点E，OF⊥y轴于点F，求出OC=4，证明△ADE≌△CHD(AAS)，得出AD=DC，则可得出答案；
②过点D作MN/​/y轴，交x轴于点N，过点P作PM⊥MN于点M，证明Rt△BDN≌Rt△DPM(HL)，得出DM=BN=6，MP=DN=2，则可得出答案；
(2)在AQ上取点E，QE=CQ，证明△ACE≌△BCQ(SAS)得出AE=BQ，则可得出结论．
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定与的质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，利用全等三角形的性质解决问题．速度(km/h)
行驶路程(km)
所用时间(h)
轮船顺流航行
______
100
______
轮船逆流航行
______
60
______