三年湖南中考数学模拟题分类汇总之图形的变化

这是一份三年湖南中考数学模拟题分类汇总之图形的变化，共29页。
A．B．C．D．
2．（2023•湖南模拟）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．长方体B．正方体C．球D．圆柱
3．（2023•衡南县三模）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且OEEA=43，则FGBC（ ）
A．47B．87C．27D．43
4．（2022•天元区校级模拟）如图，△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点B的坐标为（6，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（ ）
A．（7，33）B．（7，5）C．（53，5）D．（53，33）
5．（2022•蓝山县二模）如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为（ ）
A．25π3B．12πC．234πD．24π
6．（2022•攸县模拟）如图所示的Rt△ABC向右翻滚，下列说法正确的有（ ）
（1）①⇒②是旋转
（2）①⇒③是平移
（3）①⇒④是平移
（4）②⇒③是旋转．
A．1种B．2种C．3种D．4种
7．（2021•长沙模拟）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
8．（2021•岳阳楼区校级模拟）如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共8小题）
9．（2023•安化县二模）在平面直角坐标系中，点P（﹣5，3）关于原点对称点P′的坐标是 ．
10．（2023•汨罗市一模）如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，⊙O的切线与BC的延长线交于点F，AE＝2，ED＝4．则
（1）弧AB的长＝ ；
（2）CF＝ ．
11．（2023•天心区校级三模）在平面直角坐标系中，点A（5，1）关于x轴对称的点的坐标是 ．
12．（2022•芦淞区模拟）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝100m，则这名滑雪运动员的高度下降了 米．
13．（2022•雨花区校级二模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于 ．
14．（2021•蓝山县一模）如图，已知D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，且S△ADE：S△ABC＝1：9，那么ADDB= ．
15．（2021•平江县二模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE，下列四个结论中：①AC平分∠DAB；②PC＝PF；③PF2＝PB•PA； ④若tan∠ABC=43，BE＝72，则PC的长为12．其中正确的结论有： ．（写出所有正确结论的序号）
16．（2021•零陵区二模）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤高BC＝5m，则坡面AB的长度是 ．
三．解答题（共6小题）
17．（2023•湘潭县三模）如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F．
（1）求证：△EDC∽△DAF；
（2）若AB＝3，AD＝2，当点E为BC中点时，求线段EF的长度．
18．（2023•湖南模拟）某“综合与实践“小组开展了测量本校教学楼高度的实践活动．他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该教学楼底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取他们的平均值作为测量结果，测量数据如表（不完整）．
（1）两次测得F，G两点之间的距离平均值为 m；
（2）根据以上测量数据，请你帮助“综合与实践“小组求出教学楼AB的高度．
19．（2022•攸县模拟）如图，大桥桥头一高60米的大楼的顶部竖有一块显示“文明城市”的电子宣传屏BC，小华在大桥的另一桥头A处测得电子屏的顶部B的仰角为30°，大桥旁边有一长331米的护坡AE，且坡度iAE=239，坡底E距离大楼底部D的距离ED的长483米．
（1）求大桥与大楼的水平距离AF的长；
（2）求电子宣传屏BC的高度．
20．（2022•永州模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）求证：AC2＝CO•CP；
（3）若PD=3，求⊙O的直径．
21．（2021•赫山区模拟）如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C．
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长．
22．（2021•芙蓉区一模）如图，某学校门口安装了体温监测仪器，体温检测有效识别区域AB长为6米，当身高为1.7米的学生进入识别区域时，在点B处测得摄像头M的仰角为30°，在点C处测得摄像头M的仰角为60°，求学校大门ME的高是多少米．
湖南三年（2021-2023）中考数学模拟题分类汇总--图形的变化
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2023•零陵区二模）下列四个腾讯软件图标中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】轴对称图形．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．（2023•湖南模拟）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．长方体B．正方体C．球D．圆柱
【考点】简单几何体的三视图．
【专题】投影与视图；几何直观．
【答案】D
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：根据主视图和左视图为矩形是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．
故选：D．
【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．
3．（2023•衡南县三模）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且OEEA=43，则FGBC（ ）
A．47B．87C．27D．43
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】A
【分析】利用位似的性质得到FGBC=OFOB=OEOA，然后根据比例的性质求解．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，
∴FGBC=OFOB=OEOA，
∵OEEA=43，
∴FGBC=44+3=47．
故选：A．
【点评】本题考查了位似变换：位似的两个图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．
4．（2022•天元区校级模拟）如图，△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点B的坐标为（6，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（ ）
A．（7，33）B．（7，5）C．（53，5）D．（53，33）
【考点】坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】平面直角坐标系；推理能力．
【答案】A
【分析】如图，过点D作DE⊥x轴于点E．证明△AOC是等边三角形，解直角三角形求出DE，CE，可得结论．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E．
∵B（6，0），
∴OB＝6，
由旋转的性质可知AO＝AC＝4，OB＝CD＝6，∠ACD＝∠AOB＝60°，
∵∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴OC＝OA＝4，∠ACO＝60°，
∴∠DCE＝60°，
∴CE=12CD＝3，DE＝33，
∴OE＝OC+CE＝4+3＝7，
∴D（7，33），
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
5．（2022•蓝山县二模）如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为（ ）
A．25π3B．12πC．234πD．24π
【考点】由三视图判断几何体；圆锥的计算．
【专题】投影与视图；应用意识．
【答案】B
【分析】直接利用三视图判断出几何体，再利用圆锥侧面积公式求出答案．
【解答】解：由三视图可判断该几何体是圆锥，
底面直径为4，母线长为6，
故这个几何体的侧面积为：12×4π×6＝12π．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，正确得出几何体的形状是解题关键．
6．（2022•攸县模拟）如图所示的Rt△ABC向右翻滚，下列说法正确的有（ ）
（1）①⇒②是旋转
（2）①⇒③是平移
（3）①⇒④是平移
（4）②⇒③是旋转．
A．1种B．2种C．3种D．4种
【考点】旋转的性质；平移的性质．
【答案】C
【分析】根据旋转、平移的判断方法，逐一判断．
【解答】解：观察图形可知，（1）（3）（4）说法正确；
（2）①⇒③需要改变旋转中心，经过两次旋转得到，不属于平移，错误；
正确的有三种，故选C．
【点评】解答此题要明确平移和旋转的性质：
（1）①经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；②平移变换不改变图形的形状、大小和方向（平移前后的两个图形是全等形）．
（2）①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．
7．（2021•长沙模拟）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【考点】旋转的性质．
【专题】常规题型；平移、旋转与对称．
【答案】D
【分析】由旋转性质知△ABC≌△DEC，据此得∠ACB＝∠DCE＝30°、AC＝DC，继而可得答案．
【解答】解：由题意知△ABC≌△DEC，
则∠ACB＝∠DCE＝30°，AC＝DC，
∴∠DAC=180°−∠DCA2=180°−30°2=75°，
故选：D．
【点评】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．
8．（2021•岳阳楼区校级模拟）如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【考点】简单几何体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】C
【分析】根据简单几何体的三视图的画法画出它的俯视图即可．
【解答】解：这个几何体的俯视图为：
故选：C．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体的三视图的画法和形状是正确解答的前提．
二．填空题（共8小题）
9．（2023•安化县二模）在平面直角坐标系中，点P（﹣5，3）关于原点对称点P′的坐标是 （5，﹣3） ．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【解答】解：点P（﹣5，3）关于原点对称点P′的坐标是（5，﹣3），
故答案为：（5，﹣3）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
10．（2023•汨罗市一模）如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，⊙O的切线与BC的延长线交于点F，AE＝2，ED＝4．则
（1）弧AB的长＝ 233π ；
（2）CF＝ 2 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；切线的性质；弧长的计算．
【专题】与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】（1）233π；
（2）2．
【分析】（1）连接OA，由△ABE∽△ADB，求出AB＝23，由tan∠ABE=AEAB=33，求出∠ABE＝30°，得到∠ADB＝30°，因此∠AOB＝2∠ADB＝60°，得到△AOB是等边三角形，得到OB＝AB＝23，由弧长公式即可计算；
（2）连接CD，由圆周角定理得到∠CDA＝∠BDA＝30°，由DF切圆于D，得到∠BDF＝90°，因此∠CDF＝∠BDF﹣∠BDC＝30°，由直角三角形的性质得到CF=12DF，FD=33BD＝4，即可得到CF的长．
【解答】解：（1）连接OA，
∵点A是弧BC的中点，
∴∠ADB＝∠ABE，
∵∠BAE＝∠BAD，
∴△ABE∽△ADB，
∴AB：AD＝AE：AB，
∵AE＝2，ED＝4．
∴AD＝AE+DE＝6，
∴AB：6＝2：AB，
∴AB＝23，
∵BD是圆的直径，
∴∠A＝90°，
∵tan∠ABE=AEAB=223=33，
∴∠ABE＝30°，
∴∠ADB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB＝AB＝23，
∴弧AB的长=60π×23180=233π．
故答案为：233π．
（2）连接CD，
∵点A是弧BC的中点，
∴∠CDA＝∠BDA＝30°，
∵DF切圆于D，
∴∠BDF＝90°，
∴∠CDF＝∠BDF﹣∠BDC＝30°，
∵DB是圆的直径，
∴CD⊥BF，
∴∠DCF＝90°，
∴CF=12DF，
∵BD＝2OB＝2AB＝43，
∴FD=33BD＝4，
∴CF＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查弧长的计算，切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是由△ABE∽△ADB，求出AB＝23；由直角三角形的性质得到CF=12DF，求出FD=33BD＝4．
11．（2023•天心区校级三模）在平面直角坐标系中，点A（5，1）关于x轴对称的点的坐标是 （5，﹣1） ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平移、旋转与对称；符号意识．
【答案】（5，﹣1）．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质进而得出答案．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点A（5，1）关于x轴对称的点的坐标是（5，﹣1）．
故答案为：（5，﹣1）．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
12．（2022•芦淞区模拟）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝100m，则这名滑雪运动员的高度下降了 50 米．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】50．
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝100m，
则AC=12AB＝50（m），
故答案为：50．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握直角三角形的性质是解题的关键．
13．（2022•雨花区校级二模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于 1：4 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理；平行四边形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】1：4．
【分析】由平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，可得O是BD中点，已知条件中有E是CD的中点，则OE是△BCD的中位线，所以OE∥BC，OE=12BC，则△DEO∽△BCD，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可以求出△DEO与△BCD的面积的比．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且对角线AC、BD交于点O，
∴O是BD的中点，
∵E是CD的中点，
∴OE∥BC，OE=12BC，
∴OEBC=12，
∵△DEO∽△BCD，
∴S△DEOS△BCD=(OEBC)2=(12)2=14，
∴△DEO与△BCD的面积的比等于1：4，
故答案为：1：4．
【点评】此题考查平行四边形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，根据三角形中位线定理证明OE∥BC是解题的关键．
14．（2021•蓝山县一模）如图，已知D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，且S△ADE：S△ABC＝1：9，那么ADDB= 12 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】12．
【分析】根据平行线的性质，可得A字模型相似三角形△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质即可解答．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∵S△ADE：S△ABC＝1：9，
∴ADAB=13，
∴ADDB=12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．
15．（2021•平江县二模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE，下列四个结论中：①AC平分∠DAB；②PC＝PF；③PF2＝PB•PA； ④若tan∠ABC=43，BE＝72，则PC的长为12．其中正确的结论有： ①②③ ．（写出所有正确结论的序号）
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理；切线的性质．
【专题】综合题；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】①②③．
【分析】由PD切⊙O于点C，AD与过点C的切线垂直，易证得OC∥AD，继而证得AC平分∠DAB；由条件可得∠BCP＝∠CAB，∠BCF＝∠ACF，结合外角性质可得∠PCF＝∠PFC，即可证得PC＝PF；证明△CPB∽△APC，得出PBPC=PCPA，则PF2＝PB•PA；易证△PAC∽△PCB，由相似三角形的性质可得到ACBC=PCPB，又因为tan∠ABC=43，所以可得ACBC=43，进而可得到PCPB=43，设PC＝4k，PB＝3k，则在Rt△POC中，利用勾股定理可得PC2+OC2＝OP2，进而可建立关于k的方程，解方程求出k的值即可求出PC的长．
【解答】解：如图，
∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，
又∵AD⊥PD，
∴OC∥AD，
∴∠ACO＝∠DAC．
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠CAO，
即AC平分∠DAB，
故①正确；
∵AD⊥PD，
∴∠DAC+∠ACD＝90°．
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∴∠PCB+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠PCB．
又∵∠DAC＝∠CAO，
∴∠CAO＝∠PCB．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠BCF，
∴∠CAO+∠ACF＝∠PCB+∠BCF，
∴∠PFC＝∠PCF，
∴PC＝PF，
故②正确，
∵∠PCB＝∠PAC，∠CPB＝∠APC，
∴△CPB∽△APC，
∴PBPC=PCPA，
∴PC2＝PB•PA，
∴PF2＝PB•PA，
故③正确；
连接AE，
∵CE平分∠ACB，
∴AE=BE，
∴AE＝BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴△AEB为等腰直角三角形，
又∵BE＝72，
∴AB＝14，
∵∠PAC＝∠PCB，∠P＝∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴ACBC=PCPB．
又∵tan∠ABC=43，
∴ACBC=43，
∴PCPB=43，
设PC＝4k，PB＝3k，则在Rt△POC中，PO＝3k+7，OC＝7，
∵PC2+OC2＝OP2，
∴（4k）2+72＝（3k+7）2，
∴k＝6 （k＝0不合题意，舍去）．
∴PC＝4k＝4×6＝24．
故④错误．
故答案为：①②③．
【点评】此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．
16．（2021•零陵区二模）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤高BC＝5m，则坡面AB的长度是 10m ．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．
【解答】解：Rt△ABC中，BC＝5m，tanA＝1：3；
∴AC＝BC÷tanA＝53m，
∴AB=52+(53)2=10m．
故答案为10m．
【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．
三．解答题（共6小题）
17．（2023•湘潭县三模）如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F．
（1）求证：△EDC∽△DAF；
（2）若AB＝3，AD＝2，当点E为BC中点时，求线段EF的长度．
【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）4105．
【分析】（1）由矩形的性质可得出DC的长及∠ADC＝∠C＝90°，利用勾股定理可求出DE的长，由垂直的定义可得出∠AFD＝∠C，利用同角的余角相等可得出∠EDC＝∠DAF，进而可得出△EDC∽△DAF；
（2）利用相似三角形的性质，列出比利时，进而可求出DF的长度，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AF⊥DE，四边形ABCD是矩形，
∴∠AFD＝90°＝∠C，∠ADF+∠DAF＝90°．
又∵∠ADF+∠EDC＝90°，
∴∠EDC＝∠DAF，
∴△EDC∽△DAF；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝3，∠ADC＝∠C＝90°BC＝AD＝2．
∵点E为BC中点，
∴CE＝1，
∴DE=DC2+CE2=10．
∵△EDC∽△DAF，
∴DEAD=CEFD，即102=1FD，
∴FD=105．
∴EF=DE−DF=10−105=4105．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理，利用“两角对应相等，两个三角形相似”证出△EDC∽△DAF是解题的关键．
18．（2023•湖南模拟）某“综合与实践“小组开展了测量本校教学楼高度的实践活动．他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该教学楼底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取他们的平均值作为测量结果，测量数据如表（不完整）．
（1）两次测得F，G两点之间的距离平均值为 30.8 m；
（2）根据以上测量数据，请你帮助“综合与实践“小组求出教学楼AB的高度．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；函数的表示方法．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】（1）30.8；
（2）教学楼AB高度为17m．
【分析】（1）根据两次测量结果直接求平均值就可以得到答案；
（2）由等腰三角形的判定求出AC，根据含30度直角三角形的性质求出AE，即可求出AB．
【解答】解：（1）30.9+30.72=30.8（m）．
故答案为：30.8；
（2）由题意可知，∠ACE＝30°，∠ADE＝15°，四边形BGDE是矩形，四边形CDGF是矩形，
∴∠CAD＝∠ACE﹣∠ADE＝15°＝∠ADE，BE＝DG＝1.6m，CD＝FG＝30.8m，
∴AC＝CD＝30.8m，
∵∠AEC＝90°，∠ACE＝30°，AC＝30.8，
∴AE=12AC＝15.4m，
∴AB＝AE+BE＝17m．
答：教学楼AB高度为17m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记含30度直角三角形的性质是解题的关键．
19．（2022•攸县模拟）如图，大桥桥头一高60米的大楼的顶部竖有一块显示“文明城市”的电子宣传屏BC，小华在大桥的另一桥头A处测得电子屏的顶部B的仰角为30°，大桥旁边有一长331米的护坡AE，且坡度iAE=239，坡底E距离大楼底部D的距离ED的长483米．
（1）求大桥与大楼的水平距离AF的长；
（2）求电子宣传屏BC的高度．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【答案】（1）573m．
（2）3m．
【分析】（1）过点A作AG⊥DE交DE的延长线于点G，则iAE＝tan∠AEG=239，在Rt△AGE中，tan∠AEG=AGGE=239，进而可得AG2GE2=AE2−EG2EG2=427，求出EG和AG，根据AF＝DG＝GE+ED可得出答案．
（2）由（1）可得DF＝AG＝6m，则CF＝CD﹣DF＝54（m），在Rt△AFB中，AF＝573m，∠BAF＝30°，则tan∠BAF＝tan30°=BFAF=BF573=33，即可求得BF，根据BC＝BF﹣CF即可得出答案．
【解答】解：（1）过点A作AG⊥DE交DE的延长线于点G，
则iAE＝tan∠AEG=239，
在Rt△AGE中，AE＝331m，tan∠AEG=AGGE=239，
则AG2GE2=AE2−EG2EG2=427，
解得EG＝93m，
∴AG＝6m，
∴AF＝DG＝GE+ED＝93+483=573（m）．
（2）由（1）可得DF＝AG＝6m，
则CF＝CD﹣DF＝60﹣6＝54（m），
在Rt△AFB中，AF＝573m，
由已知可得∠BAF＝30°，
∴tan∠BAF＝tan30°=BFAF=BF573=33，
解得BF＝57m，
∴BC＝BF﹣CF＝57﹣54＝3（m）．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题及坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
20．（2022•永州模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）求证：AC2＝CO•CP；
（3）若PD=3，求⊙O的直径．
【考点】相似三角形的判定与性质；切线的判定．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OA、AD，如图，利用圆周角定理得到∠CAD＝90°，∠ADC＝∠B＝60°，则∠ACD＝30°，再利用AP＝AC得到∠P＝∠ACD＝30°，接着根据圆周角定理得∠AOD＝2∠ACD＝60°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠OAP＝90°，于是根据切线的判定定理可判断AP与⊙O相切；
（2）通过△ACO∽△PCA，得到ACCP=OCAP，由于AC＝AP于是得到结论；
（3）连接AD，证得△AOD是等边三角形，得到∠OAD＝60°，求得AD＝PD=3，得到OD=3，即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OA、AD，如图，
∵CD为直径，
∴∠CAD＝90°，
∵∠ADC＝∠B＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∵AP＝AC，
∴∠P＝∠ACD＝30°，
∵∠AOD＝2∠ACD＝60°，
∴∠OAP＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴OA⊥PA，
∴AP与⊙O相切；
（2）证明：∵∠P＝∠ACP＝∠CAO＝30°，
∴△ACO∽△PCA，
∴ACCP=OCAP，
∵AC＝AP
∴AC2＝CO．CP；
（3）解：连接AD，
∵AO＝DO，∠ADC＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠OAD＝60°，
∴∠PAD＝30°，
∴∠P＝∠PAD，
∴AD＝PD=3，
∴OD=3，
∴⊙O的直径CD＝23．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
21．（2021•赫山区模拟）如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C．
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）9．
【分析】（1）根据相似三角形的判定解答即可；
（2）由相似三角形的性质可得BABC=BDAB，可求BC的长，从而可得到CD的值．
【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA；
（2）∵△ABD∽△CBA，
∴BABC=BDAB，
∵AB＝6，BD＝3，
∴6BC=36，
∴BC＝12，
∴CD＝BC﹣BD＝12﹣3＝9．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，由角等联想到三角形相似是解决本题的关键．
22．（2021•芙蓉区一模）如图，某学校门口安装了体温监测仪器，体温检测有效识别区域AB长为6米，当身高为1.7米的学生进入识别区域时，在点B处测得摄像头M的仰角为30°，在点C处测得摄像头M的仰角为60°，求学校大门ME的高是多少米．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】学校大门ME的高是（1.7+33）米．
【分析】根据题意得：AC＝BD＝EF＝1.7米，AB＝CD＝6米，∠MFD＝90°，再利用三角形的外角性质可得∠CDM＝∠CMD＝30°，从而可得CD＝CM＝6米，然后在Rt△MCF中，利用锐角三角函数的定义求出MF的长，最后利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
AC＝BD＝EF＝1.7米，AB＝CD＝6米，∠MFD＝90°，
∵∠MCF是△MCD的一个外角，
∴∠MCF＝∠CDM+∠CMD，
∴∠CMD＝∠MCF﹣∠CDM＝30°，
∴∠CDM＝∠CMD＝30°，
∴CD＝CM＝6米，
在Rt△MCF中，MF＝MC•sin60°＝6×32=33（米），
∴ME＝MF+EF＝（1.7+33）米，
∴学校大门ME的高是（1.7+33）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键。课题
测量教学楼的高度
成员
组长：×××组员：×××，×××
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量示意图
说明：线段AB表示教学楼，测量角度的仪器的高度CF＝DG＝1.6m，测点F，G与点B在同一条水平直线上，F，G之间的距离可以直接测得，且点C，D，E在同一直线上，点E在线段AB上．
测量数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
∠ACE的度数
29.9°
30.1°
30.0°
∠ADE的度数
15.2°
14.8°
15.0°
点F，G之间的距离
30.9m
30.7m
课题
测量教学楼的高度
成员
组长：×××组员：×××，×××
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量示意图
说明：线段AB表示教学楼，测量角度的仪器的高度CF＝DG＝1.6m，测点F，G与点B在同一条水平直线上，F，G之间的距离可以直接测得，且点C，D，E在同一直线上，点E在线段AB上．
测量数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
∠ACE的度数
29.9°
30.1°
30.0°
∠ADE的度数
15.2°
14.8°
15.0°
点F，G之间的距离
30.9m
30.7m