+吉林省白山市抚松县2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷

这是一份+吉林省白山市抚松县2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（ ）
A．2cmB．3cmC．6cmD．9cm
2．（3分）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，下列4个防疫知识图片是轴对称图形的图片是（ ）
A．打喷嚏 捂口鼻B．喷嚏后 慎揉眼
C．勤洗手 勤通风D．戴口罩 讲卫生
3．（3分）如果把分式中的x和y的值都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大到原来的2倍B．扩大到原来的4倍
C．缩小到原来的D．不变
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．a4•a5＝a20
C．（a5）3＝a15D．（﹣2a2）3＝﹣6a6
5．（3分）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为点E，则DE的长为（ ）
A．3B．C．2D．6
6．（3分）如图，已知E，B，F，C四点在一条直线上，∠A＝∠D，添加以下条件之一（ ）
A．∠E＝∠ABCB．AB＝DEC．AB∥DED．DF∥AC
7．（3分）甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件．设甲每天做x个零件（ ）
A．＝B．＝
C．+＝130D．﹣130＝
8．（3分）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a（a+b）＝a2+abD．a（a﹣b）＝a2﹣ab
9．（3分）如图，在△ABC中，点D，AC上，将△ADE沿DE折叠至△FDE位置，∠BDF＝120°，则∠DEF的度数为（ ）
A．135°B．130°C．125°D．120°
10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2cm，D为BC的中点，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），当△BDE是直角三角形时，t的值为（ ）
A．2B．2.5或3.5
C．3.5或4.5D．2或3.5或4.5
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若分式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（3分）因式分解：m3﹣6m2+9m＝ ．
13．（3分）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3）（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，点D为AC边的中点，过点D作直线EF交AB于点E，交直线CF于点F，CF＝6，△ABC的面积为50 ．
二、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（6分）计算：．
17．（8分）如图，点D在AB上，点E在AC上，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．
18．（8分）先化简（﹣x+1）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．
19．（9分）如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径为a与b的两个圆．
（1）用含有a，b代数式来表示剩下钢板的面积；
（2）当a＝30cm，b＝10cm时，剩下的钢板的面积为多少？
20．（10分）求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形（请画出图形，写出已知、求证、证明的过程）．
21．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D是直线AB上的一动点（不和A、B重合），BE⊥CD交CD所在的直线于点E
（1）点D在边AB上时，证明：AB＝FA+BD；
（2）点D在AB的延长线或反向延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明，请画出图形，并直接写出AB，BD三者之间数量关系．
22．（11分）某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进了B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒
（Ⅰ）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？
（Ⅱ）若第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），B种茶叶的售价是每盒400元，两种茶叶各售出一半后，两种茶叶均打七折销售，全部售出后（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？
23．（13分）（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，直线m经过点A，BD⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC
2023-2024学年吉林省白山市抚松县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（ ）
A．2cmB．3cmC．6cmD．9cm
【分析】首先设第三边长为x cm，根据三角形的三边关系可得6﹣3＜x＜6+3，再解不等式即可．
【解答】解：设第三边长为x cm，根据三角形的三边关系可得：
6﹣3＜x＜4+3，
解得：3＜x＜6，
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
2．（3分）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，下列4个防疫知识图片是轴对称图形的图片是（ ）
A．打喷嚏 捂口鼻B．喷嚏后 慎揉眼
C．勤洗手 勤通风D．戴口罩 讲卫生
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，所以不是轴对称图形；
选项D能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）如果把分式中的x和y的值都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大到原来的2倍B．扩大到原来的4倍
C．缩小到原来的D．不变
【分析】根据分式的性质列式计算即可．
【解答】解：由题意可得＝＝，
即分式的值不变，
故选：D．
【点评】本题考查分式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．a4•a5＝a20
C．（a5）3＝a15D．（﹣2a2）3＝﹣6a6
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并；
B、a7•a5＝a9，故此选项不符合题意；
C、（a5）3＝a15，故此选项符合题意；
D、（﹣2a6）3＝﹣8a6，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
5．（3分）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为点E，则DE的长为（ ）
A．3B．C．2D．6
【分析】根据角平分线的性质即可求得．
【解答】解：∵∠B＝90°，
∴DB⊥AB，
又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，
∴DE＝BD＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键
6．（3分）如图，已知E，B，F，C四点在一条直线上，∠A＝∠D，添加以下条件之一（ ）
A．∠E＝∠ABCB．AB＝DEC．AB∥DED．DF∥AC
【分析】由EB＝CF，可得出EF＝BC，又有∠A＝∠D，本题具备了一组边、一组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF，那么添加的条件与原来的条件可形成SSA，就不能证明△ABC≌△DEF了．
【解答】解：A．添加∠E＝∠ABC，故A选项不符合题意．
B．添加DE＝AB与原条件满足SSA，故B选项符合题意；
C．添加AB∥DE，根据AAS能证明△ABC≌△DEF；
D．添加DF∥AC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF；
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．（3分）甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件．设甲每天做x个零件（ ）
A．＝B．＝
C．+＝130D．﹣130＝
【分析】设甲每天做x个零件，根据甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相同，列出方程即可．
【解答】解：设甲每天做x个零件，根据题意得：
，
故选：A．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间＝工作总量÷工作效率．
8．（3分）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a（a+b）＝a2+abD．a（a﹣b）＝a2﹣ab
【分析】根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积．
【解答】解：左上角正方形的面积＝（a﹣b）2，
还可以表示为a2﹣2ab+b2，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
故选：B．
【点评】正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键，也考查了对完全平方公式的理解能力．
9．（3分）如图，在△ABC中，点D，AC上，将△ADE沿DE折叠至△FDE位置，∠BDF＝120°，则∠DEF的度数为（ ）
A．135°B．130°C．125°D．120°
【分析】由折叠的性质可得∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED，由邻补角定义可解得∠ADF＝60°，继而解得，再由三角形内角和180°解得∠DEA＝135°，最后由折叠的性质解答即可．
【解答】解：由题意得，∠ADE＝∠FDE，
∵∠BDF＝120°，
∴∠ADF＝180°﹣120°＝60°，
∴，
∴∠DEA＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣15°﹣30°＝135°，
∵△ADE沿DE折叠至△FDE位置，
∴∠DEF＝∠DEA＝135°，
故选：A．
【点评】本题考查三角形的内角和、折叠的性质等知识，掌握相关知识是解题关键．
10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2cm，D为BC的中点，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），当△BDE是直角三角形时，t的值为（ ）
A．2B．2.5或3.5
C．3.5或4.5D．2或3.5或4.5
【分析】由Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，可求得AB的长，由D为BC的中点，可求得BD的长，然后分别从若∠DEB＝90°与若∠EDB＝90°时，去分析求解即可求得答案．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2cm，
∴AB＝2BC＝8（cm），
∵BC＝2cm，D为BC的中点，
∴BD＝BC＝1（cm），
若∠BED＝90°，
当A→B时，∵∠ABC＝60°，
∴∠BDE＝30°，
∴BE＝BD＝，
∴t＝7.5，
当B→A时，t＝4+6.5＝4.5．
若∠BDE＝90°时，
当A→B时，∵∠ABC＝60°，
∴∠BED＝30°，
∴BE＝2BD＝2（cm），
∴t＝5﹣2＝2，
当B→A时，t＝5+2＝6（舍去）．
综上可得：t的值为3或3.5或4.5．
故选：D．
【点评】此题考查了含30°角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若分式有意义，则实数x的取值范围是 x≠7 ．
【分析】根据分式有意义的条件解答即可．
【解答】解；∵分式，
∴x﹣5≠0，
解得x≠7．
故答案为：x≠2．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
12．（3分）因式分解：m3﹣6m2+9m＝ m（m﹣3）2 ．
【分析】先提公因式，再利用公式法进行分解即可．
【解答】解：m3﹣6m3+9m＝m（m2﹣7m+9）＝m（m﹣3）2，
故答案为：m（m﹣3）2．
【点评】本题考查提公因式法、公式法进行因式分解，求出公因式，掌握公式法的结果特征是正确分解因式的关键．
13．（3分）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是 6 ．
【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，依题意
（n﹣2）•180°＝2×360°，
解得，n＝2．
故答案为：6．
【点评】本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据题意利用多边形的外角和及内角和之间的关系列出方程求边数．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3）（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小 （﹣1，0） ．
【分析】作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，则此时AP+BP最小，求出C的坐标，设直线BC的解析式是y＝kx+b，把B、C的坐标代入求出k、b，得出直线BC的解析式，求出直线与x轴的交点坐标即可．
【解答】解：作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，
∵A点的坐标为（2，3），3），
∴C（2，﹣3），
设直线BC的解析式是：y＝kx+b，
把B、C的坐标代入得：
解得．
即直线BC的解析式是y＝﹣x﹣7，
当y＝0时，﹣x﹣1＝2，
解得：x＝﹣1，
∴P点的坐标是（﹣1，4）．
故答案为：（﹣1，0）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，轴对称﹣最短路线问题的应用，关键是能找出P点，题目具有一定的代表性，难度适中．
15．（3分）如图，在△ABC中，点D为AC边的中点，过点D作直线EF交AB于点E，交直线CF于点F，CF＝6，△ABC的面积为50 10 ．
【分析】根据ASA即可判定△AED≌△CFD，得出AE＝CF，S△ADE＝S△CDF，根据等高的三角形面积比等于高所在的边的比得出S△AED＝S△ABD，S△ABD＝S△CBD＝S△ABC，据此即可得解．
【解答】解：∵点D为AC边的中点，
∴AD＝CD，
∵CF∥AB，
∴∠A＝∠FCD，
在△AED和△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE＝CF，S△ADE＝S△CDF，
∵BE＝9，CF＝6，
∴AE＝6，
∴AB＝AE+BE＝15，
∴AE＝AB，
∴S△AED＝S△ABD，
∵D为AC边的中点，△ABC的面积为50，
∴S△ABD＝S△CBD＝S△ABC＝25，
∴S△ADE＝S△CDF＝×25＝10，
故答案为：10．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，证明△AED≌△CFD得出S△ADE＝S△CDF是解题的关键．
二、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（6分）计算：．
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方运算法则计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方运算法则是解题的关键．
17．（8分）如图，点D在AB上，点E在AC上，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．
【分析】要证BD＝CE只要证明AD＝AE即可，而证明△ABE≌△ACD，则可得AD＝AE．
【解答】证明：在△ABE与△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（ASA）．
∴AD＝AE．
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
∴BD＝CE．
【点评】考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题得出三角形全等后，再根据全等三角形的性质可得线段相等．
18．（8分）先化简（﹣x+1）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．
【分析】先算括号内的加法和减法，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可．
【解答】解：（﹣x+8）÷
＝[﹣（x﹣1）]÷
＝•
＝•
＝，
∵分式的分母x+5≠0，x2﹣7≠0，x2+7x+1≠0，
解得：x≠±5，
∴取x＝0，
当x＝0时，原式＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
19．（9分）如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径为a与b的两个圆．
（1）用含有a，b代数式来表示剩下钢板的面积；
（2）当a＝30cm，b＝10cm时，剩下的钢板的面积为多少？
【分析】（1）由大圆面积减去两个小圆的面积表示出剩下的钢板面积即可；
（2）表示出的面积化简后，将a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）由题意得：剩下的钢板面积为π（）2﹣π（）2﹣π（）7＝（a+b）2﹣﹣＝（a2+2ab+b2﹣a2﹣b4）＝（cm2）；
（2）把a＝30cm，b＝10cm代入得：原式＝2）．
【点评】此题考查了整式的混合运算，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（10分）求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形（请画出图形，写出已知、求证、证明的过程）．
【分析】根据题意画出图形，即可写出已知、求证，根据平行线的判定和性质、三角形的外角性质即可证明．
【解答】
已知：如图：∠DAC是△ABC的外角，
AE平分∠DAC，AE∥BC．
求证：△ABC为等腰三角形．
证明：∵AE∥BC，
∴∠EAD＝∠B，
∠EAC＝∠C，
∵AE平分∠DAC，
∴∠EAD＝∠EAC，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的判定和性质、三角形的外角性质，解决本题的关键是准确画出图形．
21．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D是直线AB上的一动点（不和A、B重合），BE⊥CD交CD所在的直线于点E
（1）点D在边AB上时，证明：AB＝FA+BD；
（2）点D在AB的延长线或反向延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明，请画出图形，并直接写出AB，BD三者之间数量关系．
【分析】（1）易证∠FBA＝∠FCE，结合条件容易证到△FAB≌△DAC，从而有FA＝DA，就可得到AB＝AD+BD＝FA+BD．
（2）由于点D的位置在变化，因此线段AF、BD、AB之间的大小关系也会相应地发生变化，只需画出图象并借鉴（1）中的证明思路就可解决问题．
【解答】证明：（1）∵BE⊥CD即∠BEC＝90°，∠BAC＝90°，
∴∠F+∠FBA＝90°，∠F+∠FCE＝90°，
∴∠FBA＝∠FCE，
∵∠FAB＝180°﹣∠DAC＝90°，
∴∠FAB＝∠DAC，
在△FAB和△DAC中，
，
∴△FAB≌△DAC（ASA），
∴FA＝DA，
∴AB＝AD+BD＝FA+BD，
∴BD＝AB﹣AF；
（2）解：（1）中的结论不成立．
点D在AB的延长线上时，AB＝AF﹣BD，AB＝BD﹣AF．
理由如下：
①当点D在AB的延长线上时，如图2．
同理可得：FA＝DA．
则AB＝AD﹣BD＝AF﹣BD．
②点D在AB的反向延长线上时，如图3．
同理可得：FA＝DA．
则AB＝BD﹣AD＝BD﹣AF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，当条件没有改变仅仅是图形的位置发生变化时，常常可以通过借鉴已有的解题经验来解决问题．
22．（11分）某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进了B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒
（Ⅰ）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？
（Ⅱ）若第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），B种茶叶的售价是每盒400元，两种茶叶各售出一半后，两种茶叶均打七折销售，全部售出后（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？
【分析】（Ⅰ）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，根据用8400元购买的B种茶叶比用4000元购买的A种茶叶多10盒，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论；
（II）设第二次购进A种茶叶m盒，则购进B种茶叶（100﹣m）盒，根据总利润＝每盒的利润×销售数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（I）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，
依题意，得：﹣，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，
∴1.6x＝280．
答：A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元．
（II）设第二次购进A种茶叶m盒，则购进B种茶叶（100﹣m）盒，
依题意，得：（300﹣200）×+（400﹣280）×＝5800，
解得：m＝40，
∴100﹣m＝60．
答：第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程
23．（13分）（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，直线m经过点A，BD⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC
【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，就可以求出∠BAD＝∠ACE，进而由AAS就可以得出△BAD≌△ACE，就可以得出BD＝AE，DA＝CE，即可得出结论；
（3）由等边三角形的性质，可以求出∠BAC＝120°，就可以得出△BAD≌△ACE，就有BD＝AE，进而得出△BDF≌△AEF，得出DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，而得出∠DFE＝60°，就有△DEF为等边三角形．
【解答】解：（1）如图1，∵BD⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）如图2，∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（3）如图6，由（2）可知，
∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF，
∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF＝∠FAE，
∵在△DBF和△EAF中，
，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，
∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
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